Algebraische Gleichungen. Martin Brehm February 2, 2007

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1 Algebraische Gleichungen Martin Brehm February, 007

2 1. Der Begriff Algebra Algebraische Gleichungen Durch das herauskristalisieren von mehreren Teilgebieten der Algebra ist es schwer geworden eine einheitliche Definition des Begriffes Algebra abzugeben. Es existieren dafr mehrer zu folgender Definition mehr oder weniger Äquivalente Bemhungen: Die Algebra beschäftigt sich mit Relationen und Verknüpfungen zwischen mathematischen Größen. Die einzelnen Teilgebiete sind nicht immer scharf voneinander zu abgegrenzt und oft sind die Bezeichnungen der einzelnen Gebiete unterschiedlich verwendet. Man behandelt Themen wie den Umgang mit grundlegenden Rechenregeln, mit Gruppen, Ringen und Krpern und mit Algebren, und Moduln. Wir wollen uns jetzt vorerst mit einem Gebiet der Algebra zufrieden geben, bei dem wir uns mit dem Lösen von algebraischen Gleichungen beschäftigen. Speziell mit Gleichungen, zu deren Formulierung nur endlich viele elementare Rechenoperationen erforderlich sind.. Algebraische Gleichung Definition. Eine Gleichung ist eine sybolische Formel, in der die Gleichheit zweier Werter oder Terme behauptet wird. Im Allgemeinen haben Gleichungen eine oder mehrere Unbekannte, fr die mgliche Lsungen gesucht werden. Definition. Als eine Lösung einer Gleichung bezeichnet man in der Mathematik jede Konstante c, die die Gleichung erfüllt, wenn sie für die entsprechende Variable eingesetzt wird. Je nach Art der Gleichung kann die Konstante c unter anderem für eine Zahl, einen Vektor oder eine Funktion stehen. Eine algebraische Gleichung ist nun im weiteren Sinne eine Gleichung, bei der Zahlen gesucht sind. Im Gegensatz zum Beispiel zu einer Differentialgleichung bei denen Funktionen als Lösung gesucht sind. Beispiele für Gleichungen 1. x = 1. Eine Differentialgleichung. Hier sind Funktionen gesucht. y = y c 3. Ein sehr berühmtes Beispiel trägt den Namen Fermats letzter Satz und sieht eigentlich ganz harmlos aus: X n + Y n = Z n. Diesen Satz zu Beweisen stellte sich allerdings als keineswegs harmlos heraus. Mehr dazu gibt es in Simon Singhs Buch nachzulesen, das den selben Namen wie diese Gleichung trägt. Hierbei handelt es sich im eine Diophantische Gleichung, da man sich hier nur für ganzzahlige Lösungen interessiert.

3 3. Nullstellen von reellen Polynomen Konstante Funktion (Grad 0) Konstante Funktionen haben die Form: f(x) = c Diese Funktionen haben keine Nullstellen außer c = 0. Dann besitzt diese Funktion gleich unendlich viele davon. Lineare Funktion (Grad 1) Lineare Funktionen haben die Form: f(x) = ax + b Quadratische Funktion (Grad ) Quadratische Funktionen haben die Form: f(x) = ax + bx + c Man findet keine, eine oder zwei Lösungen durch die so genannte Mitternachtsformel: x 1/ = b b + 4ac a Wir wollen diese Formel doch einfach mal herleiten. Schlielich geht es hier noch nicht ganz so schwer wie es spter bei den Funktionen vom Grad 3 und 4 gehen wird. Wir nennen das ganze auch nicht Beweis sondern eben Herleitung: ax + bx + c = 0 a 0 a x + abx + ac = 0 Quadratisch erweitern oder die schlaue Null a x + abx + b 4 b 4 + ac = 0 Anwenden von a + ab + b = (a + b) (ax + b ) b = 4 ac falls moeglich a x 1/ + b = ± b 4 ac b, : a x 1/ = b b +4ac a Kubische Funktion (Grad 3) Kubische Funktionen haben die Form: Behauptung f(x) = ax 3 + bx + cx + d Das Berechnen der Nullstellen mit einer einzigen Formel stellt sich hier als aüßerst schwierig heraus. Eine Möglichkeit hierzu sind die Cardanischen Formeln, die wir jetzt im Folgenden herleiten wollen. Wir beginnen also mit: ax 3 + bx + cx + d = 0 (1) 3

4 Wir teilen durch a: x 3 + b a x + c a x + d a = 0 Nun führen wir eine Substition durch und definieren: u = x + b () Auf unsere Gleichung wirkt sich das also so aus: (u b )3 + b a (u b ) + c a (u b ) + d a = 0 Folgendes sollte man hier noch wissen, aber eigentlich sollte man es immer wissen: (a b) 3 = a 3 b + b b 3 Durch einige Umformungen siehts es bald so aus: u 3 u b a + u b b3 7a 3 + u b a u b 3 u 3 + c b + b3 9a 3 + uc a u + b3 7a 3 bc bc + d 3 a = 0 + d a = 0 Jetzt folgen wieder zwei Substitutionen, um das Ganze zu verkürzen: p = c b (3) q = b3 7a 3 bc + d a (4) Das weitere Lösungsverhalten hängt vom Vorzeichen der Diskriminante ab, die hier folgendermaßen aussieht: D = 4 p q Für die weitere Beweise dazu möchte ich auf Wikipedia.de\Cardanische Formel.htm oder auf matheplanet.com auf einen Artikel namens Die kubische Gleichung verweisen. Die einzelnen Ergebnisse sind hier mit u, q und p angegeben sie müssen erst noch wieder durch Gleichung, 3 und 4 zurückgerechnet werden. 4

5 1. D > 0 u 1 = 3 q + ( q ) + ( p 3 )3 + 3 q ( q ) + ( p 3 )3 u = ω 3 u 3 = ω 3 q + ( q ) + ( p 3 )3 + ω 3 q ( q ) + ( p 3 )3 q + ( q ) + ( p 3 )3 + ω 3 q ( q ) + ( p 3 )3 wobei. D = 0 3. D < 0 u 1 = i ω = u 1/ = 3q q p = 3 u 3 = 3q p = 3 4q 4 3 p cos(1 3 arccos( q 7 p 3 ) + π 3 ) u = 4 3 p cos(1 3 arccos( q 7 p 3 ) + π 3 ) u 3 = 4 3 p cos(1 3 arccos( q 7 p 3 ) π 3 ) Biquadratische Funktion (Grad 4) Biquadratische Funktionen haben die Form: f(x) = ax 4 + bx 3 + cx + dx + e Das Berechnen der Nullstellen geschieht hier zum Beispiel üeber die Formel von Ferrari. Am Beginn der Herleitung ähnelt sie stark der Formel von Cardano für die kubische Gleichung. Wir setzen wieder an: ax 4 + bx 3 + cx + dx + e = 0 (5)... Dass für Polynome höheren Grades keine derartige Formel existiert, die auf grundlegenden Rechenoperationen basiert, wurde 184 von Niels Henrik Abel bewiesen. 5