Satz von Rellich-Kondrachov

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1 Satz von Rellich-Kondrachov Xaver Hellauer LMU Munich, Germany Haslach, 17. Februar 2012 Xaver Hellauer Satz von Rellich-Kondrachov 1/13

2 Satz von Rellich Kondrachov Sei j : (X, X ) (Y, Y ) eine stetige Einbettung. Eine Einbettung heißt kompakt, falls beschränkte Folgen (x n ) durch j auf kompakte Folgen abgebildet werden. Satz von Rellich Kondrachov Sei Ω R d offen und beschränkt. Dann ist die Einbettung für p < d kompakt. W 1,p (Ω) L t (Ω) t < pd d p Xaver Hellauer Satz von Rellich-Kondrachov 2/13

3 Konvergenzsatz von Vitali Sei (f k ) L p (X, µ) mit 1 p < und es gelte f k f µ-f. ü. sowie sup f k p dµ 0, wenn µ(e) 0 k E und zu ε > 0 gibt es eine µ-meßbare Teilmenge E ε mit µ(e ε ) < und sup f k p dµ ε. k X \E ε Dann gilt f L p (X, µ) und f k f in L p (X, µ). Xaver Hellauer Satz von Rellich-Kondrachov 3/13

4 Beweis (1/2) Zunächst kompakte Einbettung W 1,p (Ω) L p (Ω). Sei u k in W 1,p (Ω) beschränkt. p > 1: Nach Übergang zu einer Teilfolge erhalten wir direkt u k : u in L p (Ω). p = 1: d Aus Satz von Sobolev folgt Beschränktheit von u in L d 1 (Ω) Nach Teilfolgenwahl folgt u k u in L d d 1 (Ω) und damit auch in L 1 (Ω). Wir setzen u k und u auf R\Ω durch 0 fort u k W 1,p (R d ) ist mit Träger in Ω. Die Glättung (u k ) ε gehört dann zu C 0 (Rd ) und (u k ) ε k u ε in L p (R d ). Xaver Hellauer Satz von Rellich-Kondrachov 4/13

5 Beweis (2/2) Seien x R d fest, ε > 0. Definiere Funktionale Ψ x ε L p (Ω) mit: Ψ x ε(v) := v(y)η ε (x y)dy. Ω Daraus folgt (u k ) ε (x k ) = B ε(x k ) η ε (z x k )u k (z)dz = Ψ x k ε (u k ) Ψ x ε(u). und damit (u k ) ε u ε lokal gleichmäßig auf R d also auch in L p (R d ), da (u k ) ε und (u ε ) außerhalb kompakter Mengen 0 sind. Xaver Hellauer Satz von Rellich-Kondrachov 5/13

6 Hilfsaussage (1/2) Wir benötigen v v ε p ε v p v W 1,p (R d ). beide Seiten der Ungleichung hängen stetig von v ab können wir die Ungleichung für v C0 (Ω) zeigen, folgt der Rest durch Approximation (v ε v)(x) = η ε (z x)(v(z) v(x))dz = = B ε(x) B ε(0) B ε(0) η ε (z)(v(z + x) v(x))dz ( 1 ) η ε (z) v(x + sz) z ds dz. 0 Xaver Hellauer Satz von Rellich-Kondrachov 6/13

7 Hilfsaussage (2/2) (v v ε )(x) ε B ε(0) η ε (z) ( p R d B η ε(0) ε(z) F (x, z) dz) dx (Hölder) ( 1 1 p q p R d R η d ε (z)ηε (z)f (x, z)dz) dx R d ( 1 v(x + sz) ds 0 dz. }{{} :=F (x,z) R η d ε (z)dz ) p ( q R η d ε (z) F (x, z) p dz ) dx = R η d ε (z) ( R F (x, z) p dx ) dz sup d z Bε(0) R F (x, z) p dx. d Xaver Hellauer Satz von Rellich-Kondrachov 7/13

8 Fortsetzung Beweis (1/2) Aus (u k ) ε k u ε in L p (R d ) und Hilfsaussage folgt u u k p u u ε p + u ε (u k ) ε p + (u k ) ε u k p u u ε p + u ε (u k ) ε p + ε u k p. Mit der Beschränktheit von u k in L p (Ω) folgt lim u u k p cε + u u ε p. k Durch Wahl eines geeigneten ε folgt W 1,p (Ω) L p (Ω) durch Approximation. Xaver Hellauer Satz von Rellich-Kondrachov 8/13

9 Fortsetzung Beweis (2/2) Sei (u k ) W 1,p (Ω) beschränkt. Nach Teilfolgenwahl konvergiert u k u in L p und punktweise f. ü. Satz von Sobolev (u k ) beschränkt in L s(p) (Ω) Für t < s(p) folgt mit Hölder (mit s(p) t und s(p) s(p) t ) sup k E u k t dx sup u k t s(p) Ld (E) s(p) t s(p) k L d (E) 0 0. Zu passendem δ > 0 gibt es eine meßbare Menge E δ Ω mit L d (Ω\E δ ) δ und sup u k t dx sup u k t s(p) Ld (Ω\E δ ) s(p) t s(p) ε k Ω\E δ k Mit Konvergenzsatz von Vitali folgt u k u in L t (Ω). Xaver Hellauer Satz von Rellich-Kondrachov 9/13

10 Zusammenhang zwischen Lip(Ω) und W 1, (Ω) Sei Ω R d offen, beschränkt und konvex, so gilt W 1, (Ω)=Lip(Ω), mit { } u(x) u(y) Lip(Ω) := u : Ω R : Lip(u) := sup <. x y x y Insbesondere gilt u = Lip(Ω). Für nichtkonvexe beschränkte Gebiete gilt W 1, loc (Ω) = Lip loc(ω). Xaver Hellauer Satz von Rellich-Kondrachov 10/13

11 Charakterisierung der kompakten Teilmengen von C 0 (Ω) zentrale Bedingung ist die gleichgradige Stetigkeit Sei Ω R d offen und beschränkt und für (u m ) C 0 ( Ω) gelte: 1. Beschränktheit: 2. Gleichgradige Stetigkeit: sup u m < m ε > 0 δ > 0 x, y Ω m mit x y < δ u m (x) u m (y) < ε Dann gibt es eine in C 0 (Ω) konvergente Teilfolge. Xaver Hellauer Satz von Rellich-Kondrachov 11/13

12 Beweis Q d dicht in R d Ω separabel abzählbare dichte Teilmenge {x n, n N} von Ω. (f m (x 1 )) beschränkt in R wählen konvergente Teilfolge (f m(x 1 )). [... ] Diagonalverfahren [... ] Wir finden Folge f mk (f m ), so daß g k := f mk (x i ) für alle i N konvergiert. müssen jetzt punktweise Konvergenz von g k zeigen Xaver Hellauer Satz von Rellich-Kondrachov 12/13

13 Seien x Ω, ε > 0 beliebig. Wegen gleichgradiger Stetigkeit folgt ρ = ρ(ε) mit f m (B ρ (x)) B ε (f m (x)) m N Es gilt g p (x i ) g q (x i ) < ε, falls p, q n 0 = n 0 (ε, i). Für δ > 0 gibt es ein i > 1 mit x i B ρ (x) und es folgt für alle p, q n 0 g p (x) g q (x) g p (x) g p (x i ) + g p (x i ) g q (x i ) + g q (x i ) g q (x) < 3ε. g k Cauchyfolge g(x) := lim k g k (x) existiert für alle x Ω. k Bleibt zu zeigen, daß g stetig ist und g k g gleichmäßig. Xaver Hellauer Satz von Rellich-Kondrachov 13/13