Blatt 12: Satz von Gauss, Satz von Stokes
|
|
- Roland Hummel
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Fakltät für Physik Jan on Delft, Katharina Stadler, Frake Scharz T0: Rechenmethoden für Physiker, WiSe 203/4 Blatt 2: Satz on Gass, Satz on Stokes Abgabe: Freitag, , 3:00 Beispielafgabe : Gradient, Diergenz, Rotation, Laplace in Zylinderkoordinaten (**) In einem krmmlinigen orthogonalen Koordinatensystem mit r = r(,, ) nd r = b e, r = b e, r = b e sei f(r) ein Skalarfeld nd B(r) = e B + e B + e B ein Vektorfeld. Dann sind Gradient, Diergenz, Rotation nd Laplace-Operator gegeben drch f = e b f + B = b b b (b b B ) + [ ] B = e (b B ) (b B ) b b 2 f = ( f) = ( b b b b b b ) f Betrachten Sie Zylinderkoordinaten, definiert drch r = (ρ cos φ, ρ sin φ, z) T. (a) Wie laten e ρ, e φ, e z nd b ρ, b φ, b z? Finden Sie, asgehend on den oben angegebenen Formeln, explizite Formeln für (b) f, (c) B, (d) B, nd (e) 2 f. (f) Überprüfen Sie explizit, mittels den oben angegebenen Formeln für Gradient nd Rotation für allgemeine krmmlinigen Koordinaten,, (also nicht spezifisch für Zylinderkoordinaten), dass ( f) = 0. Beispielafgabe 2: Gradient, Diergenz, Rotation in Kgelkoordinaten (**) Gegeben sei ein Skalarfeld f(r) = r nd ein Vektorfeld (r) = (e r/a /r)r mit r = (x, y, z) T nd r = x 2 + y 2 + z 2. Berechnen Sie f,, nd 2 f explizit für r > 0, (a) in kartesischen Koordinaten nd (b) in Kgelkoordinaten. [Vergleichen Sie die Ergbnisse as (a) nd (b)!] Beispielafgabe 3: Magnetfeld eines stromdrchflossenen Leiters: Diergenz nd Rotation in Zylinderkoordinaten, Satz on Stokes (**) Ein nendlich langer, nendlich dünner Leiter sei entlang der z-achse orientiert nd trage einen Strom I. Er generiert ein Magnetfeld folgender Form: B(r) = µ y 0I x = µ 0I 2π x 2 + y 2 2π ρ e ϕ, für ρ = x 2 + y 2 > 0. 0
2 Berechnen Sie die Diergenz nd die Rotation on B(r) explizit für ρ > 0, (a) in kartesischen Koordinaten nd (b) in Zylinderkoordinaten. [Vergleichen Sie die Ergebnisse as (a) nd (b)!] (c) Berechnen Sie mittels Zylinderkoordinaten das Linienintegral γ S r B des Magnetfelds entlang des Randes γ S einer kreisförmigen, parallel zr x-y-ebene orientierten, af der z-achse zentrierten Scheibe S mit Radis R > 0. (d) Berechnen Sie mittels dem Satz on Stokes nd dem Ergebnis as (c) das Flssintegral S A ds ( B) der Rotation des Magnetfelds über die in (c) beschriebenen Scheibe S. (e) Folgern Sie as Ihren Ergebnissen für B as (a) nd (d), dass die Rotation des Feldes proportional z einer zei-dimensionalen δ-fnktion ist, also die Form B = Ce z δ(x)δ(y) hat, nd finden Sie die Konstante C. [Hineis: die Normierng der 2D-δ- Fnktion ist drch das Flächenintegral ds δ(x)δ(y) = gegeben, für eine beliebige, S parallel zr x-y-ebene gelegene, den Pnkt x = y = 0 einschliessende Fläche S.] (f) Schreiben Sie Ihr Ergebnis as (e) in die Form B = µ 0 j(r) nd bestimmen Sie j(r). Diese Gleichng ist das Gesetz on Ampère (eine der Maxell-Gleichngen), obei j(r) die Stromdichte ist. Lässt sich Ihr Ergebnis für j(r) entsprechend interpretieren? Beispielafgabe 4: Satz on Gaß Zylinder nd Würfel (**) (a) Berechnen Sie das Volmen eines Zylinders mit Höhe h nd Grndkreisradis R als Flss- Integral mit dem Satz on Gass nd einem Vektorfeld mit der Eigenschaft =, z.b. = ze z. (b) Berechnen Sie den Flss Φ des Vektorfeldes = (x 2, y 2, z 2 ) T drch die Oberfläche des Würfels 0 < x < a, 0 < y < a, 0 < z < a af zei Weisen: (b) direkt als Flss-Integral; nd (b2) ia dem Satz on Gaß als Volmenintegral. Beispielafgabe 5: Satz on Stokes (**) Betrachten Sie folgendes Vektorfeld in Kgelkoordinaten: A = A ϕ e ϕ, mit A ϕ = γ sin θ r 3. (a) Berechnen Sie explizit den Flss Φ = ds B on B = A drch die Halbkgel H H = {r x 2 + y 2 + z 2 = R 2, z > 0}. (Die Orientierng der Fläche sei drch die Vorgabe festgelegt, dass der Normalektor für jedes Flächenelement δs nach oben zeige, d.h. eine positie z-komponente habe.) (b) Verenden Sie den Satz on Stokes, m den Flss Φ drch ein Linienintegral aszdrücken, nd berechnen Sie dieses ebenfalls explizit. 2
3 Hasafgabe : Gradient, Diergenz, Rotation, Laplace in Kgelkoordinaten (**) In einem krmmlinigen orthogonalen Koordinatensystem mit r = r(,, ) nd r = b e, r = b e, r = b e sei f(r) ein Skalarfeld nd B(r) = e B + e B + e B ein Vektorfeld. Dann sind Gradient, Diergenz, Rotation nd Laplace-Operator gegeben drch f = e b f + B = b b b (b b B ) + [ ] B = e (b B ) (b B ) b b 2 f = ( f) = ( b b b b b b ) f Betrachten Sie Kgelkoordinaten, definiert drch r = (r sin θ cos φ, r sin θ sin ϕ, r cos θ) T. (a) Wie laten e r, e θ, e φ nd b r, b θ, b φ? Finden Sie, asgehend on den oben angegebenen Formeln, explizite Formeln für (b) f, (c) B, (d) B, nd (e) 2 f. (f) Überprüfen Sie explizit, mittels den oben angegebenen Formeln für Gradient nd Rotation für allgemeine krmmlinigen Koordinaten,, (also nicht spezifisch für Kgelkoordinaten), dass ( B) = 0. Hasafgabe 2: Gradient, Diergenz, Rotation in Zylinderkoordinaten (**) Gegeben sei ein Skalarfeld f(r) = z(x 2 + y 2 ) nd ein Vektorfeld (r) = (zx, zy, 0) T. Berechnen Sie f,, nd 2 f explizit, (a) in kartesischen Koordinaten nd (b) in Zylinderkoordinaten. [Vergleichen Sie die Ergbnisse as (a) nd (b)!] Hasafgabe 3: Elektrisches Feld einer Pnktladng: Diergenz nd Rotation in Kgelkoordinaten, Satz on Gaß (**) Das elektrische Feld einer Pnktladng Q am Ursprng hat die Form E(r) = Q 4πε 0 r r = Q x = 3 4πε 0 r 3 y z Q 4πε 0 e r r 2, mit r > 0, r = x 2 + y 2 + z 2. (ε 0 ist die sogenannte dielektrische Konstante.) Berechnen Sie die Diergenz nd die Rotation on E(r) explizit für r > 0, (a) in kartesischen Koordinaten nd (b) in Kgelkoordinaten. [Vergleichen Sie die Ergebnisse as (a) nd (b)!] (c) Berechnen sie mittels Kgelkoordinaten den Flss Φ K = O K ds E des elektrischen Feldes drch die Oberfäche O K einer am Ursprng zentrierten Kgel K mit Radis R > 0. (d) Berechnen Sie mittels dem Satz on Gaß nd dem Ergebnis as (c) das Volmenintegral V K dv ( E) über das Volmen V K der in (c) beschrieben Kgel K. 3
4 (e) Folgern Sie as Ihren Ergebnissen für E as (a) nd (d), dass die Diergenz des Feldes proportional z einer drei-dimensionalen δ-fnktion ist, also die Form E = C δ (3) (r) hat, nd finden Sie die Konstante C. [Hineis: die Normierng on δ (3) (r) = δ(x)δ(y)δ(z) ist drch das Volmenintegral V dv δ(3) (r) = gegeben, für ein beliebiges, den Ursprng einschliessendes Volmen V.] (f) Schreiben Sie Ihr Ergebnis as (e) in die Form E = ρ(r)/ε 0, nd bestimmen Sie ρ(r). Diese Gleichng ist das (physikalische) Gesetz on Gaß (eine der Maxell- Gleichngen), obei ρ(r) die Ladngsdichte ist. Lässt sich Ihr Ergebnis für ρ(r) entsprechend interpretieren? Hasafgabe 4: Dipolpotential: Gradient, Diergenz, Rotation in Kgelkoordinaten, Satz on Gaß (**) Das Potential eines elektrischen Dipols mit Dipolmoment p = pe z ist gebeben über Φ(r) = p r = pz 4πε 0 r 3 4πε 0 r 3 (a) Berechnen Sie das elektrische Feld E = Φ(r) explizit in kartesischen Koordinaten. (b) Stellen Sie Φ(r) in Kgelkoordinaten dar nd berechnen Sie das elektrische Feld explizit in Kgelkoordinaten. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit dem Ergebnis as (a). Hineis: e z = cos θe r sin θe θ (c) Berechnen Sie die Diergenz nd die Rotation des elektrischen Feldes explizit in kartesischen Koordinaten. (d) Berechnen Sie die Diergenz nd die Rotation des elektrischen Feldes explizit in Kgelkoordinaten. [Vergleichen Sie die Ergebnisse on (b) nd (c)!] (e) Lat dem (physikalischen) Gesetz on Gaß gilt V S ds E = Q/ε 0, obei Q die Gesamtladng innerhalb des on V S eingeschlossenen Volmens nd ε 0 die dielektrische Konstante ist. Berechnen Sie Q/ε 0, indem Sie das Flss-Integral mittels dem (mathematischen) Satz. Gaß in ein Volmenintegral über E mschreiben, nd dieses mittels dem Ergebnis on (d) aserten. Ist Ihr Ergebnis für Q/ε 0 sinnoll? Erlätern Sie! Hasafgabe 5: Satz on Gaß Kegel (**) Gegeben ist das Vektorfeld = (z, y, z + ) T. Berechnen Sie den Flss Φ = ds nach aßen drch die Oberfläche des Kegels K = {(x, y, z) R 3 ; 0 z 2 x 2 + y 2 } af zei erschiedene Weisen, nämlich: (a) Berechnen Sie zerst den Flss Φ = Φ M + Φ G drch den Mantel M nd den Grndkreis G des Kegels explizit mittels Zylinderkoordinaten. (b) Bentzen Sie nn den Satz on Gaß, m den Flss über ein Volmenintegral z berechnen. 4
5 Hasafgabe 6: Satz on Stokes magnetischer Dipol, Halbkgel (**) Jedes Magnetfeld lässt sich als B = A darstellen, obei das Vektorfeld A das Vektorpotential des Feldes genannt ird. Für einen magnetischen Dipol gilt A = µ 0 m r, B = µ 0 3r(m r) mr 2, 4π r 3 4π r 5 obei µ 0 eine postie Konstante ist. Das konstante Dipolmoment m sei nn in z-richtng orientiert, m = me z. H sei eine Halbkgel mit Radis a, deren Grndfläche in der xy-ebene liegt nd deren Rndng zr positien z-achse orientiert ist. Berechnen Sie das Flssintegral des Magnetfelds drch diese Halbkgel, Φ H = ds B, af zei erschiedene Weisen: H (a) Direkt, mittels Kgelkoordinaten. (b) Drücken Sie Φ mittels B = A nd dem Satz on Stokes drch ein Linienintegral on A über den Rand der Grndfläche on H as, nd berechnen Sie letzteres. 5
Blatt 14.2: Integralsätze von Gauß und Stokes
Fakltät für Physik R: Rechenmethoden für Physiker, WiSe 205/6 Dozent: Jan on Delft Übngen: Benedikt Brognolo, Dennis Schimmel, Frake Scharz, Lkas Weidinger http://homepages.physik.ni-menchen.de/~ondelft/lehre/5r/
MehrLösungsvorschlag zu Blatt3 Theoretische Physik III: Elektrodynamik WS 2015/16
Lösungsvorschlag zu Blatt3 Theoretische Physik III: Elektrodynamik WS 215/16 Abgabetermin: keine Abgabe, sondern Wertung als Präsenzübung Prof. Dr. Claudius Gros, Institut für Theoretische Physik, Goethe-Universität
MehrRepetitorium C: Nabla, 2-, 3-dim. Integrale, Satz v. Gauß
Fakultät für Physik R: Rechenmethoden für Physiker, WiSe 6/7 Dozent: Jan von Delft Übungen: Hong-Hao Tu, Fabian Kugler http://www.physik.uni-muenchen.de/lehre/vorlesungen/wise_6_7/r_ rechenmethoden_6_7/
MehrRepetitorium B: 1-, 2-dim. Integrale, Satz v. Stokes
Fakultät für Physik R: Rechenmethoden für Physiker, Wie 6/7 Dozent: Jan von Delft Übungen: Hong-Hao Tu, Fabian Kugler http://www.physik.uni-muenchen.de/lehre/vorlesungen/wise_6_7/r_ rechenmethoden_6_7/
Mehr2.3 Gekrümmte Oberflächen
2.3 Gekrümmte Oberflächen Jede Fläche im R 3 besitzt eine zweidimensionale Parameterdarstellung, so dass die Punkte der Fläche durch r(u, u 2 ) = x(u, u 2 )ê x + y(u, u 2 )ê y + z(u, u 2 )ê z beschrieben
MehrElektro- und Magnetostatik
Übung 1 Abgabe: 1.3. bzw. 5.3.219 Elektromagnetische Felder und Wellen Frühjahrssemester 219 Photonics Laboratory, ETH Zürich www.photonics.ethz.ch Elektro- und Magnetostatik In dieser Übung befassen wir
MehrPolarisierung und Magnetisierung
Übung 2 Abgabe: 10.03. bzw. 14.03.2017 Elektromagnetische Felder & Wellen Frühjahrssemester 2017 Photonics Laboratory, ETH Zürich www.photonics.ethz.ch Polarisierung und Magnetisierung 1 Mathematische
MehrFerienkurs Analysis 3 für Physiker. Integralsätze
Ferienkrs Analysis 3 für Physiker Integralsätze Ator: Benjamin Rüth Stand: 17. März 214 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Differentialoperatoren 3 2 Integralsatz von Gaß 4 2.1
MehrVIII.1.4 Magnetisches Feld induziert durch einfache Ladungsströme
V. Grundbegriffe und -ergebnisse der Magnetostatik 5 V..4 Magnetisches Feld induziert durch einfache Ladungsströme m Fall eines Ladungsstroms durch einen dünnen Draht vereinfacht sich das ntegral im Biot
MehrFormelsammlung Elektrodynamik
Formelsammlung Elektrodynamik SS 2006 RWTH Aachen Prof. Kull Skript Simon Sawallich Inhaltsverzeichnis 1 Allgemeines 3 1.1 Funktionen............................................ 3 Trigonometrische Funktionen..................................
MehrElektrizitätslehre und Magnetismus
Elektrizitätslehre und Magnetismus Othmar Marti 8. 6. 29 Institut für Experimentelle Physik Physik, Wirtschaftsphysik und Lehramt Physik Seite 2 Physik Elektrizitätslehre und Magnetismus 8. 6. 29 Exkursion
MehrÜbungen zur Klassischen Theoretischen Physik III (Theorie C Elektrodynamik) WS Aufgabe 1: Ampère-Gesetz (2+2+2=6 Punkte)
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theorie der Kondensierten Materie Übungen zur Klassischen Theoretischen Physik III (Theorie Elektrodynamik) WS 1-13 Prof. Dr. Alexander Mirlin Musterlösung:
MehrÜbungsaufgaben zu Höherer Analysis, WS 2002/03. Aufgaben zu Doppelintegralen.
Übungsaufgaben zu Höherer Analysis, WS 2002/03 Aufgaben zu Doppelintegralen. (A) Bestimmen Sie den Schwerpunkt des Gebietes 0 x π 2, 0 y cos x. (Antwort: s = ( π 2, π 8 )) (A2) Berechnen Sie die folgenden
MehrMathematische Formeln
Mathematische Formeln Vektorfeld E(r ), skalares Feld f(r ) Kartesische Koordinaten x, y, Ortsvektor r =(x, y, ) =xe x + ye y + e = re r Linienelement: ds = dx e x + dy e y + d e Volumenelement dv = dx
MehrZylinderkoordinaten 1 E1. Ma 2 Lubov Vassilevskaya
Zylinderkoordinaten E E E3 Berechnung in beliebigen krummlinigen Koordinaten Die Koordinaten sind durch die Beziehungen definiert: x x u, v, w, y y u, v, w, z z u, v, w Für sie sollen stetige partielle
MehrTeil 8. Vektoranalysis
Teil 8 Vektoranalysis 5 6 8. kalar- und Vektorfelder kalarfeld alternative chreibweisen: U = U(x, y, z) = U( r) R 3 P U(P ) R Visualisierung durch Niveaumengen oder Einschränkungen auf achsenparallele
MehrKlassische Theoretische Physik III (Elektrodynamik)
WiSe 7/8 Klassische Theoretische Physik III Elektrodynamik Vorlesung: Prof. Dr. D. Zeppenfeld Übung: Dr. M. Sekulla Übungsblatt 3 Ausgabe: Fr,..7 Abgabe: Fr, 7..7 Besprechung: Mi,..7 Aufgabe 8: Prolate
MehrIntegrieren Das bestimmte Integral einer Funktion f f(x) in einer Variable über das Intervall [a,b] schreiben wir
Klassische Theoretische Physik TP-L - WS 2013/14 Mathematische Methoden 8.1.2014 Frank Bertoldi (Version 2) Abbildungen und Beispiele aus F. Embacher "Mathematische Grundlagen..." und "Elemente der theoretischen
MehrKlassische Theoretische Physik III (Elektrodynamik)
rev: 1.17 WiSe 017/18 Klassische Theoretische Phsik III Elektrodnamik) Vorlesung: Prof. Dr. D. Zeppenfeld Übung: Dr. M. Sekulla Übungsblatt 8 Ausgabe: Fr, 15.1.17 Abgabe: Fr,.1.17 Besprechung: Mi, 10.01.18
MehrV4.3 Rotation, Satz von Stokes. Rotation: Vektorfeld: Definition: 'Rotation von ': (nur in d=3 Dimensionen definiert) Notationscheck:
V4.3 Rotation, Satz von Stokes Rotation: Vektorfeld: Definition: 'Rotation von ': (nur in d=3 Dimensionen definiert) Notationscheck: Erinnerung: Gradiententelder sind 'wirbelfrei': Für ein beliebiges (zweifach
MehrLösung für Blatt 7,,Elektrodynamik
Institut für Theoretische Physik, Universität Zürich Lösung für Blatt 7,,Elektrodynamik Prof. Dr. T. Gehrmann Blatt 7 FS 213 Aufgabe 1 Induktion im Magnetfeld Nach dem Faraday schen Induktionsgesetz induziert
Mehr1 Mathematische Hilfsmittel
Mathematische Hilfsmittel. Vektoranalysis Wiederholung Vektor: Länge und Richtung Vektoraddition: A + B = B + A (A + B) + C = A + (B + C) kartesische Koordinaten: B A + B = i (a i + b i )e i A+B Multiplikation
Mehr2. Aufgabe (*) 2. r R 0 : (3R 2 0 r 2 ) φ(r) = Insgesamt ergibt sich: r > R 0 : Gegeben ist folgendes Vektorfeld in Zylinderkoordinaten: H R = 0
Felder und Wellen WS 217/218 Musterlösung zum 3. Tutorium 1. Aufgabe (**) 1. E-Feld der homogen geladenen Kugel; außerhalb (r > R ) (3. Tutorium) E = Q 4πε r 2 e r mit Q = 4πR3 3 2. E-Feld innerhalb der
MehrElektro- und Magnetostatik
Übung 1 Abgabe: 3.3. bzw. 7.3.217 Elektromagnetische Felder & Wellen Frühjahrssemester 217 Photonics Laboratory, ETH Zürich www.photonics.ethz.ch Elektro- und Magnetostatik 1 Mathematische Grundlagen (3
MehrEinführung in die theoretische Physik II Sommersemester 2015
Einführung in die theoretische Physik II Sommersemester 25 martin.eckstein@mpsd.cfel.de Ausgewählte Aufgaben zur Klausurvorbereitung Lösungshinweise Aufgabe : Elektrostatik Betrachten Sie eine geladene
Mehr3.4 Gradient, Divergenz, Rotation in anderen Koordinaten
3.3.5 Rechenregeln Für Skalarfelder f, g und Vektorfelder v, w gelten die Beziehungen fg) = f g + g f v w) = v ) w + w ) v + v w) + w v) f v) = f v + v f v w) = w v) v w) 3.5a) 3.5b) 3.5c) 3.5d) f) = div
MehrTheoretischen Physik II SS 2007 Klausur I - Aufgaben und Lösungen
Theoretischen Physik II SS 7 Klausur I - Aufgaben und Lösungen Aufgabe Elektrostatik Im Mittelpunkt einer leitenden und geerdeten Hohlkugel RadiusR) befindet sich eine kleine Kugel mit homogener Ladungsverteilung
Mehr"Integral über die Ableitung einer Funktion hängt nur von ihrem Wert am Rand ab"
V4.2 - V4.3: Integralsätze der Vektoranalysis [Notation in diesem Kapitel: Vorausschau/Überblick: alle Indizes unten!] "Integral über die Ableitung einer Funktion hängt nur von ihrem Wert am Rand ab" Hauptsatz
MehrKrummlinige Koordinaten
Krummlinige Koordinaten Einige Koordinatensysteme im R 3 haben wir bereits kennengelernt : x, x 2, x 3... kartesische Koordinaten r, φ, x 3... Zylinderkoordinaten r, φ, ϑ... Kugelkoordinaten Sind andere
MehrInduktion, Polarisierung und Magnetisierung
Übung 2 Abgabe: 08.03. bzw. 12.03.2019 Elektromagnetische Felder & Wellen Frühjahrssemester 2019 Photonics Laboratory, ETH Zürich www.photonics.ethz.ch Induktion, Polarisierung und Magnetisierung In dieser
Mehr3 Flächen und Flächenintegrale
3 Flächen Flächen sind im dreidimensionalen Ram eingebettete zweidimensionale geometrische Objekte In der Mechanik werden zb Membranen nd chalen als Flächen idealisiert In der Geometrie treten Flächen
MehrM. 59 Perle auf rotierendem Draht (F 2018)
M. 59 Perle auf rotierendem Draht (F 8) Eine Perle der Masse m bewegt sich reibungslos auf einem mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω um die z-achse rotierenden Draht. Für die Belange dieser Aufgabe
MehrBlatt 03.2: Vektorprodukt, Raumkurven, Linienintegrale
Fakultät für Physik R: Rechenmethoden für Physiker, WiSe 25/6 Dozent: Jan von Delft Übungen: Benedikt Bruognolo, Dennis Schimmel, Frauke Schwarz, Lukas Weidinger http://homepages.physik.uni-muenchen.de/~vondelft/lehre/5r/
Mehr1. Aufgabe Auf dem Bildschirm eines Oszillographen durchlaufe ein Elektronenstrahl eine Bahn mit dem zeitabhängigen Ortsvektor
Thema: Vektoranalysis Studiengang: PT/LOT Analysis III Serie 3 Semester: WS 1/11 1. Aufgabe Auf dem Bildschirm eines Oszillographen durchlaufe ein Elektronenstrahl eine Bahn mit dem zeitabhängigen Ortsvektor
MehrGedächtnisprotokoll GGET 3 Klausur Vorwort:
Gedächtnisprotokoll GGET 3 Klausur 2010 Vorwort: Es handelt sich wieder einmal um ein Gedächtnisprotokoll, das direkt nach der Klausur erstellt wurde. Die Aufgaben entsprechen also in grober Näherung dem
MehrInduktion, Polarisierung und Magnetisierung
Übung 2 Abgabe: 11.03. bzw. 15.03.2016 Elektromagnetische Felder & Wellen Frühjahrssemester 2016 Photonics Laboratory, ETH Zürich www.photonics.ethz.ch Induktion, Polarisierung und Magnetisierung In dieser
Mehr1 = z = y + e. Nabla ist ein Vektor, der als Komponenten keine Zahlen sondern Differentiationsbefehle
Anmerkung zur Notation Im folgenden werden folgende Ausdrücke äquivalent benutzt: r = x y = x 1 x 2 z x 3 1 Der Vektoroperator Definition: := e x x + e y y + e z z = x y z. Nabla ist ein Vektor, der als
MehrTechnische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 11
Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik Elektrotechnik Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 11 Hausaufgaben Aufgabe 11.1 Berechnen Sie jeweils die Jacobi-Matrix folgender
MehrInduktion und Polarisation
Übung 2 Abgabe: 09.03. bzw. 13.03.2018 Elektromagnetische Felder & Wellen Frühjahrssemester 2018 Photonics Laboratory, ETH Zürich www.photonics.ethz.ch Induktion und Polarisation 1 Magnetfelder in Spulen
MehrRepetitorium B: 1-, 2-dim. Integrale, Satz v. Stokes
Fakultät fü Physik R: Rechenmethoden fü Physike, WiSe 06/7 Dozent: Jan von Delft Übungen: Hong-Hao Tu, Fabian Kugle http://www.physik.uni-muenchen.de/lehe/volesungen/wise_6_7/_ echenmethoden_6_7/ Repetitoium
Mehr"Integral über die Ableitung einer Funktion hängt nur von ihrem Wert am Rand ab"
V4.2 - V4.3: Integralsätze der Vektoranalysis [Notation in diesem Kapitel: Vorausschau/Überblick: alle Indizes unten!] "Integral über die Ableitung einer Funktion hängt nur von ihrem Wert am Rand ab" Hauptsatz
MehrAufgabe K1: Potential einer Hohlkugel ( = 11 Punkte)
Aufgabe K: Potential einer Hohlkugel ( + 7 + = Punkte) (a) Leiten Sie die integrale Form der Maxwell Gleichungen der Elektrostatik aus den entsprechenden differentiellen Gleichungen her. Differentielle
MehrSerie 9: Der Satz von Green und Parametrisierungen von Flächen im Raum
: Der Satz von Green und Parametrisierungen von Flächen im Raum Bemerkung: Die Aufgaben der sind der Fokus der Übungsstunden vom 6./8. April.. Überprüfung des Satzes von Green Der Satz von Green besagt
MehrFerienkurs Elektrodynamik - Drehmomente, Maxwellgleichungen, Stetigkeiten, Ohm, Induktion, Lenz
Ferienkurs Elektrodynamik - Drehmomente, Maxwellgleichungen, Stetigkeiten, Ohm, Induktion, Lenz Stephan Huber 19. August 2009 1 Nachtrag zum Drehmoment 1.1 Magnetischer Dipol Ein magnetischer Dipol erfährt
MehrDipolstrahlung und Antennen II
Übung 1 Abgabe: 14.5. bzw. 17.5 Elektromagnetische Felder & Wellen Frühjahrssemester 219 Photonics Laboratory, ETH Zürich www.photonics.ethz.ch Dipolstrahlung und Antennen II 1 Abstrahlung einer Dipolschleife
MehrTHEORETISCHE PHYSIK C NACHKLAUSUR Prof. Dr. J. Kühn Dienstag, 27.4.2 Dr. S. Uccirati 7:3-2:3 Uhr Bewertungsschema für Bachelor Punkte Note < 4 5. 4-5.5 4.7 6-7.5 4. 8-9.5 3.7 2-2.5 3.3 22-23.5 3. 24-25.5
MehrSatz v. Gauß: Volumenintegral der Divergenz = Flussintegral über Fläche. suggestive Notation. "Ausfluss pro Volumenelement"
Zusammenfassung: Satz v. Gauß Satz v. Gauß: Volumenintegral der Divergenz = Flussintegral über Fläche Volumen Rand des Volumens = Oberfläche Symbolisch: suggestive Notation Geometrische Definition der
MehrGeometrie und Topologie von Flächen
SoSe 06 Geometrie nd Topologie on Flächen Lösng der Afgaben on Blatt 6 Prof. Dr. Thomas Vogel Dr. Jonathan Bowden Afgabe. a) Wir wählen die Parametrisierng ϕ : V S, ϕx, y) x, y, ϕx, y)). Nach Definition
MehrSatz von Stokes. Für ein stetig differenzierbares Vektorfeld F auf einer regulären Fläche S mit orientiertem Rand C gilt. Satz von Stokes 1-1
Satz von Stokes Für ein stetig differenzierbares Vektorfeld F auf einer regulären Fläche S mit orientiertem Rand C gilt rot F ds = F d r. S C Satz von Stokes 1-1 Satz von Stokes Für ein stetig differenzierbares
MehrFakultät für Physik Jan von Delft, Katharina Stadler, Frauke Schwarz T0: Rechenmethoden für Physiker, WiSe 2013/14.
Fakultät für Physik Jan von Delft, Katharina Stadler, Frauke Schwarz T0: Rechenmethoden für Physiker, WiSe 01/14 http://homepages.physik.uni-muenchen.de/~vondelft/lehre/1t0/ T0: Probeklausur Donnerstag,
MehrFakultät für Physik Jan von Delft, Olga Goulko, Florian Bauer T0: Rechenmethoden für Physiker, WiSe 2012/13. T0: Nachholklausur. Mittwoch,
Fakultät für Physik Jan von Delft, Olga Goulko, Florian Bauer T0: Rechenmethoden für Physiker, WiSe 202/3 http://homepages.physik.uni-muenchen.de/~vondelft/lehre/2t0/ T0: Nachholklausur Mittwoch, 03.04.203
MehrKlassische Theoretische Physik III WS 2014/ D Leiterschleifen: (15 Punkte)
Karlsruher Institut für Tehnologie Institut für Theorie der Kondensierten Materie Klassishe Theoretishe Physik III WS 2014/2015 Prof. Dr. A. Shnirman Blatt 7 Dr. B. Narozhny Lösungen 1. 2D Leitershleifen:
MehrKapitel 11: Oberflächen- und Flussintegrale
Kapitel 11: Oberflächen- und Flussintegrale Ziel: Berechnung von Integralen, deren Integrationsbereich eine 2-dim. Fläche in einem 3-dim. Raum ist (z.b. Fläche von Kugel) Motivation / Anwendungen: - z.b.
MehrMusterlösung. TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik. Probeklausur Mathematik 4 für Physik (Analysis 3) I...
................ Note I II Name Vorname Matrikelnummer Studiengang (Hauptfach) Fachrichtung (Nebenfach) 2 3 Unterschrift der Kandidatin/des Kandidaten 4 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik
Mehr1 Vektoralgebra (3D euklidischer Raum R 3 )
Institut für Physik der Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg WS 202/203 Vorlesung Elektrodynamik LAG PD Dr. Angelika Chassé) Vektoralgebra 3D euklidischer Raum R 3 ). Grundbegriffe = Vektordefinition
MehrC4.6: Oberflächenintegrale
C4.6: Oberflächenintegrale Ziel: Berechnung von Integralen, deren Integrationsbereich eine 2-dim. Fläche in einem 3-dim. Raum ist (z.b. Fläche von Kugel) Motivation / Anwendungen: - z.b. Elektrostatik:
MehrMusterlösungen zu Serie 10
D-ERDW, D-HEST, D-USYS athematik II FS 3 Dr. Ana Cannas da Silva usterlösungen zu Serie. a) Die Ellipse E wird z.b. durch y 4 γ(t) 3 sin t, t 2 π, t (4, 3 sin t) parametrisiert. E Daher ist F d s E 48
MehrElektromagnetische Eigenschaften von Metallen, Potentiale
Übung 8 Abgabe: 02.05. bzw. 05.05.2017 Elektromagnetische Felder & Wellen Frühjahrssemester 2017 Photonics Laboratory, ETH Zürich www.photonics.ethz.ch Elektromagnetische Eigenschaften von Metallen, Potentiale
MehrTheoretische Elektrodynamik
Theoretische Elektrodynamik Literatur: 1. Joos: Lehrbuch der Theoretische Physik 2. Jackson: Klassische Elektrodynamik 3. Nolting: Grundkurs Theoretische Physik zusätzlich: Sommerfeld: Landau/Lifschitz:
MehrÜbungen zur Theoretischen Physik 1. Übungsblatt
1. Übungsblatt 1. In kartesischen Koordinaten gilt: grad Φ( r) = ( Φ x, Φ y, Φ ), div A x A = z x + A y y + A z z rot A = ( A z y A y z, A x z A z x, A y x A x ) y Berechnen Sie: (a) grad Φ( r) für Φ(
MehrTheoretischen Physik II SS 2007 Klausur II - Aufgaben und Lösungen
Theoretischen Physik II SS 007 Klausur II - Aufgaben und Lösungen Aufgabe Hohlleiter Gegeben sei ein in z-richtung unendlich langer, gerader Hohlleiter (Innenradius R/3, Außenradius R), der einen Stromfaden
MehrMagnetostatik. Kapitel Problemstellung. 3.2 Langer gerader Draht
Kapitel 3 Magnetostatik 3.1 Problemstellung In der Magnetostatik betrachten wir das Magnetfeld ~ B = ~ r ~ A,dasvoneiner gegebenen zeitunabhängigen Stromverteilung ~j (~r ) produziert wird. Die Feldlinien
MehrAufgabe 37: Helmholtz Spulenpaar
Theoretisch-Physikalisches nstitut Friedrich-Schiller Universität Jena Elektrodynamik Sommersemester 8 Hausübung 9 Aufgabe 37: Helmholt Spulenpaar Berechne das Magnetfeld auf der Symmetrieachse eines Helmholt
Mehr10.1 Ampère sches Gesetz und einfache Stromverteilungen
1 Magnetostatik Solange keine Verwechslungen auftreten, werden wir in diesem und in den folgenden Kapiteln vom magnetischen Feld B an Stelle der magnetischen Induktion bzw. der magnetischen Flußdichte
MehrAufgabe 2 Auf dem Bildschirm eines Oszillographen durchlaufe ein Elektronenstrahl eine Bahn mit dem zeitabhängigen Ortsvektor
Thema: Vektoranalysis PT/LOT WS 13/14 Analysis III Serie 3 www.fh-jena.de/~puhl Aufgabe 1 Ein Massepunkt bewegt sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω 1 auf einer Kreisbahn mit dem Radius R 1 und dem Mittelpunkt
MehrFakultät für Physik Jan von Delft, Katharina Stadler, Frauke Schwarz T0: Rechenmethoden für Physiker, WiSe 2013/14.
Fakultät für Physik Jan von Delft, Katharina Stadler, Frauke Schwarz T0: Rechenmethoden für Physiker, WiSe 013/14 http://homepages.physik.uni-muenchen.de/~vondelft/lehre/13t0/ Nachklausur: T0 Datum: Dienstag
MehrFakultät für Physik Jan von Delft, Olga Goulko, Florian Bauer T0: Rechenmethoden für Physiker, WiSe 2012/13. Probeklausur. Mittwoch,
Fakultät für Physik Jan von Delft, Olga Goulko, Florian Bauer T0: Rechenmethoden für Physiker, WiSe 2012/13 http://homepages.physik.uni-muenchen.de/~vondelft/lehre/12t0/ Probeklausur Mittwoch, 16.01.2013
MehrHöhere Mathematik 3 Herbst 2014
IMNG, Fachbereich Mathematik Universität Stuttgart Prof. Dr. K. Höllig Höhere Mathematik 3 Herbst 214 Aufgabe 1 Entscheiden Sie, welche der folgenden Aussagen richtig und welche falsch sind. (i) rot(2
MehrWellen und Elektrodynamik für Chemie- und Bioingenieure und Verfahrenstechniker WS 11/12 Übung 2
Wellen und Elektrodynamik für Chemie- und Bioingenieure und Verfahrenstechniker WS 11/12 Übung 2 KIT University of the State of Baden-Wuerttemberg and National Research Center of the Helmholtz Association
MehrFelder und Wellen WS 2016/2017
Felder und Wellen WS 216/217 Musterlösung zum 2. Tutorium 1. Aufgabe (**) Berechnen Sie das el. Feld einer in z-richtung unendlich lang ausgedehnten unendlich dünnen Linienladung der Ladungsdichte η pro
MehrTP2: Elektrodynamik WS Arbeitsblatt 10 21/ Dipole und Multipole in stationären Feldern
TP2: Elektrodynamik WS 2017-2018 Arbeitsblatt 10 21/22.12. 2017 Dipole und Multipole in stationären Feldern Die Multipolentwicklung ist eine hilfreiche Näherung zur Lösung der Poisson Gleichung, wenn eine
MehrMathematik für Ingenieure A III Wintersemester 2008
1 / 35 Mathematik für Ingenieure A III Wintersemester 28 J. Michael Fried Lehrstuhl Angewandte Mathematik III 21.11.28 2 / 35 Wiederholung Divergenz und Rotation Gradient und Laplace-Operator Merkregeln
MehrNACHKLAUSUR ZUR THEORETISCHEN PHYSIK II (LAK) Sommersemester 2014
Fachbereich Physik, Freie Universität Berlin NACHKLAUSUR ZUR THEORETISCHEN PHYSIK II (LAK) Sommersemester 204 Dienstag, 7.0.4, 0:5 Uhr 0 2 3 4 5 6 6 7 24 Name: Geburtsdatum: Matrikelnummer: Falls Sie wünschen,
MehrQ 1. d 2 e x. welche den Zusammenhang zwischen Stromdichte und Ladungsdichte beschreibt. Da die Stromdichte hier nur eine x-komponente besitzt, gilt
Elektromagnetische Felder Wellen: Lösung zur Klausur Herbst 999 Aufgabe Das Potential einer Punktladungen Q am Ort r lautet V { r} = Q 4πɛɛ 0 r r Hier soll das Potential einer gegebenen Raumladung ρ v
MehrDie Laplace-Gleichung
Die Laplace-Gleichung Dr. Piotr Marecki April 19, 2008 1 Einführung Die Randwertprobleme für die Laplace Gleichung, 2 V (x) = 0, (1) spielen in der Theoretischen Physik eine wichtige Rolle, u.a. : In der
MehrZusammenfassung: Flächenintegrale
Zusammenfassung: Flächenintegrale Gerichtetes Flächenelement: "Fluss" durch Flächenelement: "Fläche über G": "Fluss" durch die Fläche : Für orthogonale Koordinaten: Betrag des Flächenelements: Richtung:
MehrExperimentalphysik 2
Ferienkurs Experimentalphysik 2 Sommer 2014 Vorlesung 2 Thema: Elektrischer Strom und Magnetostatik I Technische Universität München 1 Fakultät für Physik Inhaltsverzeichnis 2 Elektrischer Strom 3 2.1
MehrTheoretische Physik: Elektrodynamik
Ferienkurs Theoretische Physik: Elektrodynamik Übungsblatt Technische Universität München Fakultät für Physik Verifikation des Stokesschen Satzes Verifizieren Sie den Stokeschen Satz für das Vektorfeld:
Mehr3. Die Divergenz und die Quellen des elektrischen Feldes
3. Die Divergenz und die Quellen des elektrischen Feldes Das Gauß sche Gesetz V E d f = ɛ Q in = ɛ V ρ el dv stellte eine beachtliche Verbindung her zwischen dem elektrischen Feld E und seinen Quellen,
MehrAufgabe 1 (2+2+2=6 Punkte)
Klausur zu Theoretische Physik 3 Elektrodynamik 0. Februar 017 Prof. Marc Wagner Goethe-Universität Frankfurt am Main Institut für Theoretische Physik 5 Aufgaben mit insgesamt 50 Punkten. Die Klausur ist
Mehr(1,y,0) e y dy + z 2. d) E muß rotationsfrei sein, also konservatives Feld
. a) E = grad ϕ = e r ϕ/ r = ϕ e r/ e r b) ρ = div D = D ( y 2y2 y 2 y ) = 2D y 2 y 3 y 2 y 3 c) J = rot H = H e z ( / )) = d) F = q v B = q v B 5 (3, 4,) e) U = = rb Ed l = r a [ ] E y2 2 r (,,) E y=
MehrFH Emden - FB Technik - Abt. Elektrot. & Informatik Teil A: Antennen Seite 1-1. A. Antennen J A
FH Emden - FB Technik - Abt. Elektrot. & Informatik Teil A: Antennen Seite 1-1 A. Antennen 1. Elektrischer Elementarstrahler ( Hertzscher Dipol ) Definition Querschnitt A mit konstanter Stromdichte J auf
MehrSerie 8. D-BAUG Analysis II FS 2015 Dr. Meike Akveld. 1. Berechnen Sie für das Vektorfeld (siehe Abbildung 1) Abbildung 1: Aufgabe 1
D-BAUG Analsis II FS 5 Dr. Meike Akveld Serie 8. Berechnen Sie für das Vektorfeld (siehe Abbildung ) 3 - -3 3 3 Abbildung : Aufgabe F : (, ) ( +, ) die Arbeit entlang der folgenden Wege C, wobei P = (,
MehrHelmuts Kochrezept Nummer 5:
Helmuts Kochrezept Nummer : Lokale Koordinatentransformation von Vektorfedern Version 2, 19.03.2018) Dieses Kochrezept erklärt Dir, wie du ein Vektorfeld von einem orthonormalen Koordinatensystem z.b.
MehrFerienkurs Experimentalphysik II Elektrodynamik. Magnetostatik. 12. September 2011 Michael Mittermair
Ferienkurs Experimentalphysik II Elektrodynamik Magnetostatik 12. September 2011 Michael Mittermair Inhaltsverzeichnis 1 Permanentmagnete und Polstärke 2 2 Magnetfelder stationärer Ströme 3 2.1 Magnetfeldstärke
MehrModerne Theoretische Physik WS 2013/2014
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theorie der Kondensierten Materie Moderne Theoretische Physik WS 23/24 Prof. Dr. A. Shnirman Blatt 2:Lösungen Dr. B. Narozhny Besprechung 8..23. Gauß scher
MehrBlatt 06.3: Matrizen
Fakultät für Physik R: Rechenmethoden für Physiker, WiSe 204/5 Dozent: Jan von Delft Übungen: Benedikt Bruognolo, Katharina Stadler http://homepages.physik.uni-muenchen.de/~vondelft/lehre/4t0/ Blatt 06.3:
MehrEINFÜHRUNG IN DIE TENSORRECHNUNG
EINFÜHRUNG IN DIE TENSORRECHNUNG Teil SIEGFRIED PETRY Nefassng vom.jni 016 I n h a l t 1 Mehr über Tensoren. Stfe Darstellng eines Tensors in einer Basis 4 Beispiele nd Übngen 5 4 Lösngen 1 1 1 Tensoren.
MehrQuellen und Senken als Feldursachen
Kapitel 2 Qellen nd Senken als Feldrsachen Wir sprechen von Qellenfeldern nd Wirbelfeldern. Beide nterscheiden sich grndlegend voneinander. Wir wollen deswegen beide Feldarten getrennt besprechen, m deren
MehrRauten-Mitten-Kegelschnitte zu vier Geraden. Eckart Schmidt. 1. Vorbemerkungen
Raten-Mitten-Kegelschnitte z ier Geraden 1 Vorbemerkngen Eckart chmidt Z ier Geraden g 1, g, g 3, g 4 erden Raten R 1 R R 3 R 4 betrachtet, deren Ecken entsprechend der Indizierng af den orgegebenen Geraden
MehrÜbungsblatt 2. Arbeit beim elektrischen Auaden. Eine Kugel aus Metall habe den Radius R = 5cm und sei zu beginn elektrisch neutral geladen.
Aufgabe 5 Arbeit beim elektrischen Auaden Eine Kugel aus Metall habe den Radius R = 5cm und sei zu beginn elektrisch neutral geladen. a) Welche Arbeit W ist erforderlich, um die Kugel auf die Ladung Q
MehrIntegralrechnung für GLET
Freitagsrunden Tech Talk November 2, 2012 1 Grundlagen Rechenregeln für Integrale 2 Mehrdimensionale Integrale Flächenintegrale Volumenintegrale Lösbar? 3 Kugel- und Zylinderkoordinaten Kugelkoordinaten
MehrRepetitorium Analysis II für Physiker
Technische Universität München Larissa Hammerstein Vektoranalysis und Fourier-Transformation Lösungen Repetitorium Analysis II für Physiker Analysis II Aufgabe Skalarfelder Welche der folgenden Aussagen
MehrDie Bewegungsgleichungen eines geladenen Teilchens im externen elektromagnetischen Feld sind bekannt d dt m v = e E + e [
Vorlesung 4 Teilchen im externen Elektromagnetischen Feld Die Bewegungsgleichungen eines geladenen Teilchens im externen elektromagnetischen Feld sind bekannt d dt m v = e E + e v B c ]. 1) Das elektrische
MehrElektrizitätslehre und Magnetismus
Elektrizitätslehre und Magnetismus Othmar Marti 12. 06. 2008 Institut für Experimentelle Physik Physik, Wirtschaftsphysik und Lehramt Physik Seite 2 Physik Klassische und Relativistische Mechanik 12. 06.
MehrFerienkurs Elektrodynamik WS 11/12 Übungsblatt 1
Ferienkurs Elektrodynamik WS / Übungsblatt Tutoren: Isabell Groß, Markus Krottenmüller, Martin Ibrügger 9.3. Aufgabe - Geladene Hohlkugel In einer Hohlkugel befindet sich zwischen den Radien r und r eine
Mehr