42020 KE Investitionsanreize - Gefangenendilemma

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1 Bespel: Investtonsanrez (Gefangenendlemma: Opportunstsches Verhalten lohnt sch ncht, de beste Lösung für bede Seten st wenn bede Seten sch bewegen) Ausgangspunkt: 1. Zuleferer und Abnehmer snd über enen langfrstgen Vertrag mtenander verbunden. 2. Zuleferer steht vor der Entschedung ene spezfsche Investton n Qualtätsscherung durchzuführen, wobe sch deren Auswrkung erst nach enger Zet bemerkbar machen. 3. Abnehmer schert Investtonsbehlfe zu 4. Verhalten der beden Speler kann erst nach ener gewssen Zet vom jewels anderen beobachtet werden Fall A: Vertrag ohne Anrezsystem Fall B: Vertrag mt Anrezsystem Nchtenhaltung der Investtonsbehlfe durch Abnehmer: 6 Enheten Strafe Nchtenhaltung der Investton durch Zuleferer: 6 Enheten Strafe Beobachter zur Überwachung der Enhaltung der Investton: 1 Enhet Kosten für Abnehmer Fall A Der lnke Tabellenentrag (x, ) st der Gewnn des Zelenspelers Zuleferer = Z, der rechte Tabellenentrag (, x) der des Spaltenspelers Abnehmer = A. Für Z st es besser ncht nvesteren, falls A ncht nvestert und ncht nvesteren, falls A nvestert. De Entschedung von Z hängt folglch davon ab, was er bezüglch der Entschedung A erwartet. Für A glt umgekehrt dasselbe! Für A st es besser ncht nvesteren, falls Z ncht nvestert und ncht nvesteren, falls Z nvestert. Weder ene Stuaton, n der bede nvesteren, noch de Stuaton, n der bede ncht nvesteren, st stabl. Bmatrx: Zuleferer = Z Abnehmer = A , 7 2, 12-10, 0 5, 5 Rolf Baumanns SS12 Sete 1

2 Analyse: Ohne ene vertraglche Garante (Fall A) wrd weder der Abnehmer (A) ene Investtonshlfe lesten noch der Zuleferer (Z) de Investton tätgen, so dass ohne Kooperaton zwschen den Partnern de domnante Lösung (5/5) gewählt wrd. Würden sch de Partner absprechen und sch auch an hre Absprache halten, so wäre für bede das bessere Kooperatonsergebns (7/7) errechbar. Aber wer garantert, dass sch de jewels andere Parte an de Abmachung hält? Opportunsmus m Snne ener Nchtenhaltung der Absprache wäre für bede Parteen de nteressanteste Lösung, da des auf Kosten des Partners den mesten Proft enbrngen würde. Fall B Fall B zegt das Rückzahlungsergebns, welches auf en Anrezsystem basert. Deutlch wrd, dass sch Opportunsmus nun weder für den Zuleferer noch für den Abnehmer lohnt. Aus Egennteresse wrd also nun de beste Lösung gewählt. Würden sch de Partner vertrauen, so könnte auch de 1 Enhet für de Kontrollnstanz gespart werden. Abnehmer + - Zuleferer + 7, 6 8, 5-4, 5 5, 4 Analyse: Der Abnehmer verpflchtet sch, ene Investtonsbehlfe zu lesten. Es wrd festgelegt, dass er m Falle ener Nchtenhaltung mt ener Konventonalstrafe von 6 Enheten belegt wrd. Bem Zuleferer wrd für de Kosten von 1 Enhet en Beobachter nstallert, welcher de Enhaltung der Investton durch den Zuleferer überwacht. Be Nchtenhaltung wrd m Gegenzug der Zuleferer mt ener Konventonalstrafe von 6 Enheten belegt. De möglchen Ergebnsse zegen, dass sch Opportunsmus nun weder für den Zuleferer noch für den Abnehmer lohnt. Aus Egennteresse wrd nun also de beste Lösung gewählt. Fall C Abnehmer + - p (1-p) Zuleferer + q 7, 4 8, 5 - (1-q) 6, 6 w, v Analyse: Ken Nash-Glechgewcht n renen Strategen erkennbar Analyse der Parameter v und w Wenn v<6 und w>8 ken Nash-Glechgewcht n renen Strategen Vgl. zu Nash-Lösungen n renen/gemschten Strategen Holler/Illng: Enführung n de Speltheore. Sprnger. Rechmann: Speltheore. Vahlen. Blden ener Wahrschenlchketsvertelung und Analyse des Zuleferer- Abnehmer-Bezehung über gemschte Strategen Rolf Baumanns SS12 Sete 2

3 Bestmmen des Nash-Glechgewchts n gemschten Strategen: Zuleferer: z 7 p q 6 p 1 q 8 1 p q w 1 p 1 q z 7 p 6 p 8 (1 p) w (1 p) 7 p 6 p 8 8 p w w p 0 q z 7 p 8 w w p w p 7 p 8 w p (7 w) 8 w p (7 w) 8 w 0 q Auflösen nach p: 8 w p 7 w Folgerung: p 0 w Abnehmer: Analoges Vorgehen für de Wahrschenlchket q: A 4 q p 6 1 q p 5 q 1 p v 1 q 1 p A p A p 4 q 6 (1 q) 5 q v (1 q) 4 q 6 6 q 5 q v v q 0 7 q 6 v v q v q 7 q 6 v q ( v 7) v 6 0 Auflösen nach q: v 6 q v 7 Folgerung: q 0 v Aussagen: De Wahrschenlchket p, dass der Abnehmer hlft, stegt, wenn n (HN= Hlft Ncht, IN=Investert Ncht) de Auszahlung w für den Zuleferer stegt. De Wahrschenlchket q, dass der Zuleferer nvestert, snkt, wenn n (HN= Hlft Ncht, IN=Investert Ncht) de Auszahlung v für den Abnehmer stegt. Rolf Baumanns SS12 Sete 3

4 Gefangenendlemma En Bespel st das Gefangenendlemma, en speltheoretsches Problem, be dem genau en Nash-Glechgewcht exstert. Herzu stelle man sch folgende Stuaton vor: Zwe Gefangene werden verdächtgt, gemensam ene Straftat begangen zu haben. De Höchststrafe für das Verbrechen beträgt fünf Jahre Haft. Beden Gefangenen wrd nun en Handel angeboten, worüber auch bede nformert snd. Wenn ener allen gesteht und somt senen Partner mtbelastet, kommt er ohne Strafe davon der andere muss de vollen fünf Jahre abstzen. Entscheden sch bede zu schwegen, bleben nur Indzenbewese, de aber ausrechen, um bede für zwe Jahre enzusperren. Gestehen aber bede de Tat, erwartet jeden ene Gefängnsstrafe von ver Jahren. Nun werden de Gefangenen unabhängg vonenander befragt. Weder vor noch während der Befragung haben de beden de Möglchket, sch unterenander abzusprechen. Zwar st es optmal für de beden Gefangenen, wenn se bede schwegen. Dese Stratege-Kombnaton st aber ncht stabl, wel sch en enzelner Gefangener durch en Geständns enen Vortel für sch verschaffen kann. Stabl m Snne enes Nash- Glechgewchtes st de Stratege-Kombnaton, be der bede Gefangene gestehen: Dann kann sch ken enzelner durch en Schwegen enen Vortel verschaffen, so dass en Nash-Glechgewcht vorlegt. Deses Nash-Glechgewcht lefert aber für bede Gefangene schlechtere Ergebnsse als das bedsetge Schwegen, das nur durch Kooperaton fxerbar st. De üblche Darstellung solcher Spele erfolgt mt ener Bmatrx. Gefang. 2 gestehen schwegen Gefang.1 gestehen -4, -4 0, -5 schwegen -5, 0-2, -2 De Stratege Gestehen st für bede Gefangene de jewels beste Antwort auf bede möglchen Strategen des Gegners. Als beste Antworten werden jene Strategen bezechnet, welche de höchste Auszahlung auf de jewelge Stratege des Gegners enbrngen. In der Bmatrx snd se fett gedruckt. Damt st auch optsch zu erfassen, dass mt der Strategenkombnaton (Gestehen, Gestehen) beste Antworten aufenander treffen. Deses Aufenandertreffen von besten Antworten wrd als ausgeglchener Zustand angesehen. Denn kener der beden Speler kann durch ensetges Abwechen von sener Stratege sene Auszahlung erhöhen. Er würde se sogar verrngern, d. h. wenger Lebensjahre n Frehet verbrngen. In desem Snn st de Strategenkombnaton (Gestehen,Gestehen) als Lösung des Spels zu betrachten. Deses Lösungskonzept, baserend auf dem Ermtteln des Aufenandertreffens von besten Antworten und damt dem Fnden des so genannten Nash-Glechgewchts. Rolf Baumanns SS12 Sete 4

5 En enfacher Algorthmus zur Identfzerung von Nash-Glechgewchten Ene Stratege-Kombnaton heßt Nash-Glechgewcht, wenn hr ene gewsse Stabltät unterstellt werden kann aufgrund der Tatsache, dass ken enzelner Speler enen Anrez bestzt, von sener Stratege abzuwechen. = be gegebener Stratege aller anderen Speler lohnt es sch für kenen Speler, de egene Stratege zu wechseln ( Ensetges Abwechen lohnt sch ncht ) Rene Stratege Ene Stratege st en vollständger Verhaltensplan enes Spelers. Ene Stratege m speltheoretschen Snn muss mehr angeben als ene Stratege m Alltagssnn, nämlch ene exakte Handlungsvorschrft ("Zug") für jede Stuaton, n de der Speler kommen kann. Oftmals wrd allerdngs en derartger Verhaltensplan n der speltheoretschen Darstellung enfach auf den Namen der Stratege reduzert. Es seht dann so aus, als könne der betreffende Speler enfach nur zwschen wengen, enfachen Alternatven wählen, also zum Bespel zwschen den Strategen A und B. Man seht dann ncht mehr, dass sch hnter den harmlosen Namen egentlch komplexe Verhaltenspläne verbergen, sondern es seht so aus, als hätte das gesamte Spel nur enen enzgen Zug. Es st wchtg, de Stratege ncht mt ener Parte zu verwechseln. Wenn man deutlch machen möchte, dass en Speler ene Stratege drekt (ohne zwschengeschalteten Zufallsmechansmus) wählt, dann sprcht von ener renen Stratege (m Gegensatz zu ener gemschten Stratege). Nash-Glechgewcht be renen Strategen Es bezechne de Menge der Strategen (Handlungsalternatven) des -ten Spelers und das kartessche Produkt deser Strategenmengen. Unter enem Nash-Glechgewcht n renen Strategen versteht man en Strategeprofl be dem de Stratege jedes Spelers ene beste Antwort auf de gewählten Strategen der anderen Speler st. Wenn alle anderen Speler an hren gewählten Strategen festhalten, so st das Nash-Glechgewcht be renen Strategen formal dadurch gekennzechnet, dass es für Speler also ken gbt, das dem Speler ene höhere Auszahlung versprcht. Man sagt auch, dass Speler sene Auszahlung durch en ensetges Abwechen ncht verbessern kann. En Nash-Glechgewcht zechnet sch damt dadurch aus, dass sch ken Speler durch ene ensetge Änderung sener Stratege verbessern kann. Rene Strategen Legt en Spel n strategscher Form vor, so lassen sch alle Nash-Glechgewchte n renen Strategen durch folgenden Algorthmus bestmmen: 1. Optmere de Entschedung von Speler =1,...,n be (belebg) fxerten Strategen aller anderen Speler: Markere de unter desen Umständen errechbaren höchsten Auszahlungen für Speler. Wederhole des für alle möglchen Strategekombnatonen der anderen Speler. 2. Führe 1. für alle Speler durch. Dann snd genau de Strategenkombnatonen Nash-Glechgewchte, be denen alle Auszahlungen markert snd. Dese Vorgehenswese egnet sch nur für ene gernge Anzahl von Spelern und Strategen. Rolf Baumanns SS12 Sete 5

6 Bespel Se folgendes Spel n Normalform gegeben: Speler 1 Speler 2 lnks mtte rechts oben 4, 2 1, 1 2, 0 mtte 2, 3 1, 1 1, 4 rechts 3, 0 0, 2 1, 3 Dann funktonert der Algorthmus we folgt: = 1: gegeben Speler 2 spelt Rechts: Für Speler 1 st oben optmal markere de 2 ( Oben st beste Antwort auf Rechts ) gegeben Speler 2 spelt Mtte: oben und mtte st optmal markere de beden 1en gegeben Speler 2 spelt Lnks: oben st optmal markere de 4 = 2: gegeben Speler 1 spelt oben: Für Speler 2 st Lnks optmal markere de 2 gegeben Speler 1 spelt mtte: Rechts st optmal markere de 4 gegeben Speler 1 spelt unten: Rechts st optmal markere de 3 Das enzge Nash-Glechgewcht st also de Stratege, de zur Auszahlung 4, 2 führt: (oben,lnks). Falls zu überprüfen st, ob en Tupel von gemschten Strategen en Nash- Glechgewcht st, funktonert obger Algorthmus nur bedngt, da ene unendlche Anzahl an gemschten Strategen überprüft werden müsste. En Nash-Glechgewcht zechnet sch damt dadurch aus, dass sch ken Speler durch ene ensetge Änderung sener Stratege verbessern kann. Gemschte Stratege De gemschte Stratege st en Arte Lautstärkeregler n der Speltheore. Wählt en Speler ene gemschte Stratege, dann wählt er kene sener renen Strategen drekt aus, sondern er wählt statt dessen enen Zufallsmechansmus aus, der anschleßend ene rene Stratege wählt. Formal st ene gemschte Stratege also ene Wahrschenlchketsvertelung über de renen Strategen enes Spelers, be der mndestens zwe Strategen mt postver Wahrschenlchket ausgewählt werden. Wenn en Speler über alle sene renen Strategen mscht (er also jede mt postver Wahrschenlchket wählt), dann nennt man des ene vollständg gemschte Stratege. Ausführlcher: Dann vellecht en etwas anschaulcheres Bespel: En Speler hat de beden Strategen A und B zur Auswahl. Entschedet er sch nun dafür, A zu wählen, dann wählt er ene rene Stratege (eben de rene Stratege A). Wenn er statt dessen ankündgt, dass er zunächst würfelt und nur dann de rene Stratege A wählt, wenn er ene sechs gewürfelt hat, dann spelt er ene gemschte Stratege. Denn statt ener renen Stratege hat er nun enen Zufallsmechansmus gewählt, der an sener Stelle de rene Stratege auswählt. De gemschte Stratege besteht jetzt darn, dass er A mt ener Wahrschenlchket von 1/6 wählt und B mt ener Wahrschenlchket von 5/6 (also der Gegenwahrschenlchket zu 1/6, wel be allen anderen Würfen von ens bs fünf de Stratege B gewählt wrd). Rolf Baumanns SS12 Sete 6

7 In der klassschen Entschedungstheore spelt man ncht gegen enen vernunftbegabte Gegenspeler, sondern gegen de Natur, deren Verhalten durch ene Wahrschenlchketsvertelung dargestellt wrd. Wenn en vernunftbegabte Gegenspeler nun aber ene gemschte Stratege spelt, dann wählt er ja auch ene Wahrschenlchketsvertelung, gegen de wr anschleßend spelen. Man merkt den Untersched zwschen den beden Stuatonen sofort, wenn man sch klarmacht, wo de Wahrschenlchketsvertelungen herkommen: In der klassschen Entschedungstheore wrd de Vertelung von enem externen Mechansmus ausgewählt, der kenerle egene Interessen verfolgt. Klassscherwese st das das Wetter, woher auch wohl der Begrff "Spel gegen de Natur" kommt. Ene gemschte Stratege wrd aber von enem vernunftbegabten Gegenspeler gewählt. Und deser wrd de Wahrschenlchketsvertelung so wählen, dass es aus sener Scht optmal st. Während n der klassschen Entschedungstheore de Wahrschenlchketsvertelung über de Umweltzustände exogen vorgegeben und unveränderlch st, wrd ene gemschte Stratege aufgrund der Überlegungen und Präferenzen enes vernunftbegabten Gegenspelers ausgewählt, der egene Interessen verfolgt. Und das st en gewaltger Untersched. Ene gemschte Stratege braucht man ncht auszurechnen, sondern man gbt se an, ndem man de Wahrschenlchketsvertelung über de renen Strategen benennt (natürlch so, dass de Wahrschenlchketen sch zu ens ergänzen). Nash-Glechgewcht be gemschten Strategen In manchen Fällen lässt man zu, dass de Speler sch ncht auf ene bestmmte Stratege festlegen, sondern auf ene Wahrschenlchketsvertelung, mt der de aus zufällg gezogen werden. Ist endlch oder zumndest abzählbar, so kann de Wahrschenlchketsvertelung durch enen Vektor s beschreben werden, wobe de Wahrschenlchket st, dass de Stratege, j gewählt wrd. De gemschte Stratege st genau dann en Nash-Glechgewcht, wenn ken Speler durch allenges Abwechen ene bessere Auszahlung errechen kann. Exstenz enes Nash-Glechgewchtes Mt Hlfe des Fxpunktsatzes von Kakutan kann man zegen, dass mndestens en Nash-Glechgewcht exsteren muss, wenn folgende Voraussetzungen erfüllt snd: 1. De Auszahlungsfunktonen H ( 1,..., n ) snd stetg und quaskonkav n. 2. De Strategemengen,..., 1 n snd konvex und kompakt. Häufg werden Spele so konstruert, dass de können jedoch ncht konvex sen. Allerdngs st de Menge der gemschten Strategen endlch snd, endlche Mengen S über kompakt und konvex und de entsprechende Erweterung von H multlnear. Während de Exstenz enes Nash-Glechgewchtes n renen Strategen also ncht garantert werden kann, exstert mndestens en Nash-Glechgewcht be enem Spel n gemschten Strategen. Rolf Baumanns SS12 Sete 7

8 Gemschten Strategen Jedes Spel bestzt mndestens en Nashglechgewcht. Be der Identfzerung von Nash-Glechgewchten n gemschten Strategen st es hlfrech, dejengen gemschten Strategen zu dentfzeren, de den Gegenspeler ndfferent zwschen senen Handlungsalternatven machen. Ist solch ene Stratege gefunden, snd alle Handlungen des Gegners beste Antworten. Treffen solche gemschten Strategen aufenander, so snd se folglch wechselsetg beste Antworten, es besteht ken Grund zum ensetgen Abwechen und de gemschten Strategen blden en Nash-Glechgewcht. Bespel: Betrachten Se de folgende B-Matrx: Speler 1 Speler 2 Oper Fussball p (1-p) Oper q 3, 2 2, 3 Fussball (1-q) 1, 3 4, 1 Der Algorthmus funktonert we folgt: Spelt Speler 2 mt ener Wahrschenlchket von p Oper und mt der Gegenwahrschenlchket von (1-p) Fußball, so ergeben sch für Speler 1 folgende Erwartungsnutzen: E1(O) = 3p + 2(1-p) E1(F) = 1p + 4(1-p) 3p + 2(1-p) = 1q + 4(1-p) 3p + 2 2p = 1p + 4 4p 1p + 2 = 4 3p 4p = 2 p = 1/2 Speler 1 st also ndfferent zwschen senen beden Strategen. Für Speler 2 lässt sch analog ermtteln, dass er ndfferent st, wenn Speler 1 mt ener Wahrschenlchket von q = 2/3 Oper und mt (1-q) = 1/3 Fußball spelt. E2(O) = 2q + 3(1-q) E2(F) = 3q + 1(1-q) 2q + 3(1-q) = 3q + 1(1-q) 2q + 3-3q = 3q + 1-1q 3-1q = 2q + 1 3q = 2 q = 2/3 Da auf dese beden Strategen alle Antworten des Gegenspelers beste Antworten snd, snd se spezell jewels auch wechselsetg beste Antworten. Somt kann [(2/3;1/3),(1/2;1/2)] als Nash-Glechgewcht n gemschten Strategen dentfzert werden. Wetere, z.t. auch amüsante Informatonen be (lohnt sch): Chrstan Reck Rolf Baumanns SS12 Sete 8