Serie 6: Komplexe Zahlen

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1 D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 15 Dr. Ana Cannas Serie 6: Komplexe Zahlen Bemerkung: Die Aufgaben dieser Serie bilden den Fokus der Übungsgruppen vom 26. und 28. Oktober. Es gibt zwei Darstellungsformen komplexer Zahlen: die Normalform oder kartesische Form, wobei die kartesischen Koordinaten als Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl z dienen; { x y = Rez = Imz und die Polarform, die sich äquivalent in der trigonometrischen Form und in der Exponentialform darstellen lässt, wobei die Polarkoordinaten r und θ als Betrag und Argument einer komplexen Zahl z dienen. { x y = r cos θ = r sin θ Die Eulersche Formel e iθ = cos θ + i sin θ ermöglicht die direkte Umrechnung zwischen der trigonometrischen und der Exponentialform. Zum Beispiel, hat z = 8e i π 6 Betrag r = 8, Argument θ = π 6, Realteil x = 8 cos π 6 = 4 3 und Imaginärteil y = 8 sin π i. = 4, kann also äquivalent geschrieben werden als z = Nun hat z = 1 3i Realteil x = 1, Imaginärteil y = 3, Betrag r = = 2 und sein Argument erfüllt cos θ = x r = 1 2 und sin θ = y r = 3, durch Betrachtung 2 des Einheitskreises folgt, dass θ = 5π 3 : 1

2 Die zu z = x + iy = re iθ konjugierte komplexe Zahl ist z = x iy = re iθ. Abhängig vom betrachteten Problem, ist eine oder die andere Darstellung nützlicher. Während für die Addition die Normalform von Vorteil ist, z 1 + z 2 = (x 1 + iy 1 ) + (x 2 + iy 2 ) = (x 1 + x 2 ) +i (y 1 + y 2 ), Re(z 1 +z 2 ) Im(z 1 +z 2 ) ist die Multiplikation mit der Polarform einfacher, z 1 z 2 = ( r 1 e iθ 1 ) (r 2 e iθ 2 ) = (r 1 r 2 )e i(θ 1+θ 2 ). Die Polarform ist somit praktischer um Potenzen zu berechnen und n-te Wurzeln zu ziehen. Daraus folgen insbesondere trigonometrische Formeln für Summen und Potenzen von Winkeln: e i(θ 1+θ 2 ) = e iθ1 e iθ 2 und somit cos (θ 1 + θ 2 ) Re(e i(θ 1 +θ 2 ) ) sin (θ 1 + θ 2 ) Im(e i(θ 1 +θ 2 ) ) = cos θ 1 cos θ 2 sin θ 1 sin θ 2 Re(e iθ 1 e iθ 2 ) = sin θ 1 cos θ 2 + cos θ 1 sin θ 2 Im(e iθ 1 e iθ 2 ) und aus e inθ = ( e iθ) n 2

3 folgen Sei cos(nθ) = Re (cos(nθ) + i sin(nθ)) n sin(nθ) = Im (cos(nθ) + i sin(nθ)) n. z 0 = r 0 e iθ 0 eine komplexe Zahl. Es folgt aus der Multiplikation komplexer Zahlen, dass die n- ten Wurzeln von z 0, d.h. die n Lösungen z der Gleichung die Zahlen von der Form sind. z = n r 0 Betrag z n = z 0, e i θ 0+2kπ n, k = 0, 1, 2,, n 1. Der Fundamentalsatz der Algebra (Gauss) besagt, dass jede Polynomgleichung der Form a n z n + a n 1 z n a 1 z + a 0 = 0 mit komplexen Koeffizienten a 0, a 1,, a n, mit n 1 und a n 0 genau n komplexe Lösungen hat. Dabei wird jede mehrfache Nullstelle mit ihrer Vielfachheit gezählt. 1. Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil der folgenden Zahlen: a) i. b) 3 + 4i 2 i. c) e 1 + πi. d) 2e 3π 4 i. e) ( ) i. f) die beiden Quadratwurzeln von i. 1 i 2. Bestimmen Sie Betrag und Argument der folgenden Zahlen: a) i. b) 2 + 2i. c) 3 3 3i. d) 7e 3πi 2. 3 i e) die drei dritten Wurzeln von 8i. f) cos 2π i sin 2π Wie können Sie die folgenden komplexen Zahlen aus z = x + iy geometrisch gewinnen? Skizzieren sie. 3

4 a) z + (2 3i) b) z c) z d) ( z) e) 1 z f) z 2 g) z z 4. Skizzieren Sie die folgenden Punktmengen in der komplexen Zahlenebene. Eine grundlegende Strategie ist die Gleichungen, welche die Mengen definieren, bezüglich x und y umzuschreiben. A := { z C z i = 4 }. B := { z C Rez + Imz = 0 }. C := { z C 1 z i 2 }. D := { z C z + i = z 1 }. E := { z C z 1, Re z 1/2, Im z > 0 }. F := { z C i z = 2, Re(i z) = 3 }. G := { z C z = 3 2 eiπt e iπt, 0 t 2 } Hinweis zu G: Benutzen Sie die Eulersche Formel, um den Realteil x und den Imaginärteil y eines Punktes z von G zu bestimmen. Sie finden dann die Gleichung ( 1 2 x) 2 + y 2 = 1, die eine Ellipse darstellt. 5. Bestimmen Sie alle Lösungen der folgenden Gleichungen: a) z 2 = 9 b) z 3 = 8 c) z 3 = 27i d) z = 0 6. Es sei e) z 2 2z 1 = 0 f) z 6 + 2z = 0 Hinweis: Das ist eine quadratische Gleichung in w = z 3. P (z) = az 2 + bz + c, z C, eine polynomiale Funktion mit reellen Koeffizienten a, b, c R. a) Zeigen Sie, dass mit jeder Wurzel z von P auch z eine solche Wurzel ist. b) Angenommen, P nimmt die folgenden Werte an: P (0) = 3, und P (i) = 2 + 2i. Bestimmen Sie die Koeffizienten a, b und c. 4

5 7. Sei Rez der Realteil der Zahl z und Imz ihr Imaginärteil. Zeigen Sie, dass für beliebige komplexe Zahen z, z 1 und z 2 die folgenden Beziehungen gelten: a) z + z = 2Rez b) z z = 2iImz c) Rez z d) z 1 +z 2 2 = z z Re(z 1 z 2 ) e) z 1 + z 2 z 1 + z 2 Die Lösungen sind: 1. a) Rez = 1 2, Imz = 1 2 b) Rez = 2 5, Imz = 11 5 c) Rez = 1 e, Imz = 0 d) Rez = 2, Imz = 2 e) Rez = 1, Imz = 0 f) Rez = ± 2, Imz = ± a) r = 1, θ = π 3 b) r = 2, θ = 3π 4 c) r = 6, θ = 7π 6 d) r = 7, θ = 3π 2 e) r 1 = r 2 = r 3 = 2, θ 1 = π 6, θ 2 = 5π 6, θ 3 = 3π 2 f) r = 2, θ = π 2 5. a) z 1 = 3e i π 2, z 2 = 3e i 3π 2 b) z 1 = 2, z 2 = 2e i 2π 3, z 2 = 2e i 4π 3 c) z 1 = 3i, z 2 = 3e 7π 6 i, z 3 = 3e 11π 6 i d) z 1 = e i π 4, z 2 = e i 3π 4, z 1 = e i 5π 4, z 1 = e i 7π 4 e) z 1,2 = 1 ± 2 f) z 1 = 6 2e i π 4, z 2 = 6 2e i 11π 12, z 3 = 6 2e z 6 = 6 11π i 2e b) a = 5, b = 2, c = 3 i 5π 12, z 4 = 6 2e i π 4, z 5 = 6 2e i 5π 12, 5

6 MC-Serie 6 1. Sei z C. Stets reell ist z z. z z. z 2. e z e z. 2. Sei z C. Welche Aussage ist im Allgemeinen falsch? Re(z) = Im(iz). Im(z) = Re(iz). Re( z) = Im(iz). Im( z) = Re(iz). 6

7 3. Die Punktemenge ist ein Kreis {z C z 9 = 4} um z 0 = 4 mit Radius 9. um z 0 = 4 mit Radius 3. um z 0 = 9 mit Radius 4. um z 0 = 9 mit Radius Die Punktemenge {z C z = Re(z) + 1} ist eine Ellipse. eine Parabel. eine Hyperbel. keine der obigen Kurven. 7

8 5. Der Wert von e i π 3 e i π 6 is gleich 1 i i i 2 keine der obigen 6. Gegeben seien die komplexen Zahlen z = 3 i und w = 1 2 Welche Aussage über z ist korrekt? w ( cos 2π i sin ) 2π 3 3. z ( z ) = 4 und arg = 7π w w 6. z ( z ) = 4 und arg = π w w 2. z ( z ) = 1 und arg = 7π w w 6. z ( z ) = 1 und arg = π w w 2. 8

9 7. Die Nullstellen des Polynoms sind p(λ) = λ 2 2λ i, 2 i i, 1 2i. ( 2 + 1)i, ( 2 1)i. keine der obigen. 8. Die Nullstellen des Polynoms p(λ) = λ sind 2, 2i, 2i. 2, 2 + 2i, 2 2i. 2e i π 3, 2e i 2π 3, 2. 2e i π 3, 2e iπ, 2e i π 3. 9

10 9. Gegeben sei das Polynom p (λ) = λ 4 + 3λ Bemerken Sie, dass p (λ) nur von λ 2 abhängt. Welche der folgenden Aussagen ist richtig? Das Polynom hat keine Nullstellen (weder reelle noch komplexe). p hat mindestens eine reelle Nullstelle. p hat 2 Paare komplex konjugierte Nullstellen. Die Nullstellen können nicht bestimmt werden. 10. Es seien z, w C komplexe Zahlen mit z 4 = 1 und w 3 + i = 0. Welche der folgenden Zahlen sind mögliche Werte der Summe z + w? i. i i 2. 10