Zusammenfassung der 4. Vorlesung. ensysteme. Mehrgrößensysteme

Transkript

1 Mehrgrößensysteme ensysteme Zusammenfassung der 4. Vorlesung Standardform für ffür r nicht steuerbare Systeme Pole Pole und und Nullstellen von von MIMO-Systemen Pole Pole der der Übertragungsmatrix? Smith-McMillan-Form einer rationalen Matrix Pole Pole der der Übertragungsmatrix anhand der der Smith- McMillan-Form der der Übertragungsmatrix Pole Pole der der Übertragungsmatrix des des 2-DOF 2 Hubschraubermodells Blockierungseigenschaft der der Nullstellen von von SISO-Systemen Systemen Nullstellen der der Übertragungsmatrix?

2 Pole und Nullstellen von MIMO-Systemen (11) Diese Definition ist ist aus aus folgenden Gründen problematisch: folgenden Gr Die Die Determinante ist ist nicht mehr eindeutig definiert, wenn Elemente der der Übertragungsmatrix Pole Pole bei bei n i haben, i da da diese Elemente dann unendlich groß werden. Vielfachheiten einer Nullstelle können k nicht bestimmt werden. Bei Bei der der Bildung von von det detg(s G(s) können Pol- Pol-Nullstellenkürzungen auftreten. Welche Nullstellen hat hat die die Übertragungsmatrix, wenn der der Normalrang von von G(s) < m ist??? Das letzte Problem kann mit dieser Definition gelöst werden: Die Nullstellen der Übertragungsmatrix G(s) sind die komplexen Zahlen n i für die Rang G(n i )<Normalrang G(s) gilt.

3 Pole und Nullstellen von MIMO-Systemen (12) Alle Alle angesprochene Problem treten nicht auf, auf, wenn man man auch die die Nullstellen mit mit Hilfe der der Smith-McMillan-Normalform der der Über- tragungsmatrix definiert. Nullstellen der Übertragungsmatrix DieNullstellenderelementarenZählerpolynomeZ i (s), i= 1,..., ρ der Smith McMillan Normalform von G(s) mit ρ dem Normalrang von G(s) sind die Nullstellen der Übertragungsmatrix G(s) bzw. die Übertragungsnullstellen eines Systems (A,B,C).

4 Pole und Nullstellen von MIMO-Systemen (13) Beispiel 2.4 im im Skript Nullstellen Nullstellen bei bei s s = 1 Nullstelle Nullstelle bei bei s s =

5 Pole und Nullstellen von MIMO-Systemen (14) Eigenschaften der Nullstellen der Übertragungsmatrix Die Die Übertragungsnullstellen stimmen in in der der Regel nicht mit mit den den Nullstellen der der Elemente G ij (s) ij (s) von von G(s) überein. Übertragungsnullstellen von von Mehrgrößensystemen ensystemen können k dieselben Werte wie wie Übertragungspole aufweisen. Nichtquadratische Übertragungsmatrizen (unterschiedliche Anzahl von von Ein- Ein-und Ausgängen) haben in in der der Regel keine Übertragungsnullstellen. Die Die Übertragungsmatrix hat hat keine Nullstellen, wenn die die Anzahl der der Ausgänge gleich der der Anzahl der der Zustände ist. ist. Die Die Übertragungsmatrix wird wirdminimalphasig genannt, wenn alle alle Übertragungsnullstellen negative Realteile haben.

6 Pole und Nullstellen von MIMO-Systemen (15) Nullstellen der Rosenbrock-Systemmatrix Invariante Nullstellen Die Nullstellen der invarianten Polynome (Elementarpolynome)p 1 (s),...,p r (s)derrosenbrock Systemmatrix P(s), wobei r der Normalrang von P(s) ist, sind die Invarianten Nullstellen (IN) eines Systems (A,B,C). Für r Systeme mit Normalrang P(s) P = n+m,, können k die Invarianten Nullstellen auch mit Hilfe von berechnet werden. det P(s)=0 *Der *Der Name Name Invariante Invariante Nullstellen Nullstellen bezieht bezieht sich sich auf auf deren deren Zusammenhang Zusammenhang mit mit den den invarianten invarianten Polynomen Polynomen und und nicht nicht auf auf deren deren Invarianzeigenschaften Invarianzeigenschaften und und soll soll daher daher als als Eigenname Eigenname verstanden verstanden werden. werden.

7 Pole und Nullstellen von MIMO-Systemen (16) Nullstellen der Rosenbrock-Systemmatrix (2) (2) Entkopplungsnullstellen Die nicht steuer- und beobachtbaren Eigenwerte eines Systems (A,B,C) werden auch als Entkopplungsnullstellen (EN) bezeichnet. Eingangsentkopplungsnullstelle DiekomplexenZahlens 0,die Rang [s 0 I A, B] < n erfüllen, sind die Eingangs Entkopplungsnullstellen(EEN) eines linearen Systems(A,B,C). {EN} = {EEN,AEN} {EAEN} Ausgangsentkopplungsnullstelle DiekomplexenZahlens 0,die [ ] s0 I A Rang < n C erfüllen, sind die Ausgangs Entkopplungsnullstellen(AEN) eines linearen Systems(A,B,C). Komplexe Zahlen, die die beide beide Bedingungen erfüllen werden Eingangs- Ausgangs-Entkopplungsnullstellen (EAEN) genannt.

8 Pole und Nullstellen von MIMO-Systemen (16a) Alternative Definition:

9 Pole und Nullstellen von MIMO-Systemen (17) Zusammenhang zwischen IN IN und ÜN Durch Anwendung der SCHUR-Formel det R S T U =det R det [ U TR 1 S ], (det R 0) auf det P(n i )=0 folgt det n i I A B C 0 =det (n i I A) det [ 0 C(ni I A) 1 B ] =0 =det (n i I A) det G(n i )=0 Übertragungsnullstellen sind auch Invariante Nullstellen

10 Pole und Nullstellen von MIMO-Systemen (18) Zusammenhang zwischen IN IN und EN Aus Rang [n i I A, B] < n folgt Rang n ii A B C 0 <n+m und aus Rang [ ni I A C ] < n folgt Rang n ii A B C 0 <n+m {IN} = {ÜN} {EN} Entkopplungsnullstellen sind sind auch Invariante Nullstellen

11 Pole und Nullstellen von MIMO-Systemen (19) Anzahl der Nullstellen von MIMO-Systemen Anzahl der der Eingangsentkopplungsnullstellen n Rang Q S Anzahl der der Ausgangsentkopplungsnullstellen n Rang Q B

12 Pole und Nullstellen von MIMO-Systemen (20) Anzahl der Nullstellen von MIMO-Systemen (2) (2) Anzahl der der Invarianten Nullstellen Normalrang P(s)=n+m

13 Pole und Nullstellen von MIMO-Systemen (21) Anzahl der Nullstellen von MIMO-Systemen (3) (3) 2-DOF Hubschraubermodell A= B = 5,765 0,326 0,651 2,786 CB= 0 Rangdefekt d = 2 C = Anzahl der der IN IN n-m-d d = 0 Das Das Zustandsmodell des des Hubschraubers ist ist vollständig steuer- und und beobachtbar.

14 Pole und Nullstellen von MIMO-Systemen (22) Invarianzeigenschaften der Invarianten Nullstellen Die Die Invarianten Nullstellen werden durch durch unimodulare Transformationen, die die auf auf die die Rosenbrock-Systemmatrix angewendet werden, nicht nicht verändert. regulären ren Transformationen des Eingangsvektors w(t)=v 1 u(t) (A, B) (A, BV) regulären ren Transformationen des Zustandsvektors x(t)=tx(t) (A,B,C) (TAT 1,TB,CT 1 ) einer Zustandsrückf ckführung u(t)= Kx(t)+w(t) (A, B) (A BK, B)

15 Pole und Nullstellen von MIMO-Systemen (23) Invarianzeigenschaften der Invarianten Nullstellen (2) (2) Beweis der der Invarianz gegenüber Zustandsrückführungen: Die Rosenbrock-Systemmatrix P g (s) des geschlossenen Kreises lautet: P g (s) = P g (s) = [ si (A BK) B C 0 Diese Matrix kann in folgendes Matrizenprodukt zerlegt werden: [ si A B C 0 ] [ ] I 0 K I ] unimodulare Matrix mit mit det det = 1 Die Die Invarianten Nullstellen können k durch eine eine Zustandsrückführungen nicht verändert werden!!!!!!

16 Pole und Nullstellen von MIMO-Systemen (24) Invarianzeigenschaften der Übertragungsnullstellen Da Da die die Übertragungsnullstellen ein ein Teil Teil der der Invarianten Nullstellen sind, verfügen sie sie bis bis auf auf eine eine Ausnahme über dieselben Invarianzeigenschaften wie wie die die Invarianten Nullstellen. Ausnahme: Ein Ein beobachtbarer Eigenwert kann durch eine eine Zustandsrückführung unbeobachtbar gemacht werden, indem man man diesen auf auf eine eine Übertragungsnullstelle legt legt und und so so kompensiert. Innerhalb der der Invarianten Nullstellen wird wird dann aus aus einer Übertragungsnullstelle eine eine Ausgangs Entkopplungsnullstelle. Die Die Anzahl der der ÜN ÜN kann durch ein ein Zustandsrückführung verändert werden.

17 Pole und Nullstellen von MIMO-Systemen (25) Beispiel 2.4 im im Skript % Beispiel 2.4 in Skript " I % Nullstellen Nullstellen bei bei s s = 1 s = sym('s'); z11 = (s-1); z12 = 4*(s+1); G z21 = 4.5*(s+1); z22 = 2*(s-1); = [ H_s = (s+1)*(s+2); [ 1/(s+1)/(s+2)*(s-1), 4/(s+2) 4/(s+2) ]] [ Z=[ z11 z12; z21 z22] [ 9/2/(s+2)), 1/(s+1)/(s+2)*(2*s-2)] G=1/H_s*Z % % Bestimmung der Smith'schen Normalform S = % mit der Maple-Funktion Smith [[ 1, 1, 0 ]] % [[ 0, 0, 1/2/*(s+2)*(2*s+1)] S=maple('smith',Z,s); S=factor(S) M=1/H_s*S M = [[ 1/(s+1)/(s+2), 0 ]] [[ 0, 0, 1/2/(s+1)*(2*s+1) ]] Nullstelle Nullstelle bei bei s s =

18 Pole und Nullstellen von MIMO-Systemen (26) Beispiel für f r die Verschiebbarkeit der Nullstellen der Elemente der Übertragungsmatrix anhand Beispiel 2.4 % % Bestimmung der Übertragungsmatrix für U(s) = -K Y(s) + Z(S) % k11=sym('k11'); [ s + 2 k22 s - 8 k22 [ s + 2 k22 s - 8 k22 k12=sym('k12'); [ [ k21=sym('k21'); k22=sym('k22'); [9 s [9 s K=[k11 k12; k21 k22] [ [ G_g=inv(eye(2)+G*K)*G; G_g=simple(G_g); pretty(g_g) [ 2 ] [ 2 ] 8 k s + k12 s - 4 k12-2] 8 k s + k12 s - 4 k12-2] ] ] [ %1 %1 ] [ %1 %1 ] [ ] [ ] [ 2 ] [ 2 ] [9 s - 4 k21 s + 16 k s + k11 s - 4 k11-1 ] [9 s - 4 k21 s + 16 k s + k11 s - 4 k11-1 ] ] ] [ %1 %1 ] [ %1 %1 ] %1 := 2 s + 4 s k s + 2 k11 s + 8 k21 s + 10 s + 9 k12 k s %1 := 2 s + 4 s k s + 2 k11 s + 8 k21 s + 10 s + 9 k12 k s + 4 k11 s k22-4 k12 s k21-16 k11 k k k k11 s k22-4 k12 s k21-16 k11 k k k k12 k k12-2 k k12 k k12-2 k11

19 Pole und Nullstellen von MIMO-Systemen (27) Beispiel für f r die Verschiebbarkeit der Nullstellen der Elemente der Übertragungsmatrix anhand Beispiel 2.4 Übertragungsmatrix des des geschlossenen Kreises: [ 2 ] [ 2 ] [ s + 2 k22 s - 8 k s + k12 s - 4 k12-2] [ s + 2 k22 s - 8 k s + k12 s - 4 k12-2] [ ] [ ] [ %1 %1 ] [ %1 %1 ] [ ] [ ] [ 2 ] [ 2 ] [9 s - 4 k21 s + 16 k s + k11 s - 4 k11-1 ] [9 s - 4 k21 s + 16 k s + k11 s - 4 k11-1 ] [ ] [ ] [ %1 %1 ] [ %1 %1 ] Nullstelle des des Elementes G G11 (s) (s) wird wird durch RRückführung des des Ausganges y 1 auf 1 auf u 1 nicht 1 beeinflußt. Nullstelle des des Elementes G 11 (s) 11 (s) wird wird aber aber durch die die Rückführung des des Ausganges y 2 auf 2 auf u 2 beeinflußt. 2 Eine Eine beliebige Verschiebung der der Nullstellen der der Elemente der der Übertragungsmatrix ist ist durch eine eine statische Ausgangsrückführung nicht möglich.