TM 2 Übung, Aufgaben an der Tafel , Prof. Gerling, SS 2013

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1 TM Übung, Aufgaben an der Tafel 9.4.3, Prof. Gerling, SS 03 Dieser Text ist unter dieser Creative Commons Lizenz veröffentlicht. Wir erheben keinen Anspruch auf Vollständigkeit oder Richtigkeit. Falls ihr Fehler findet oder etwas fehlt, dann meldet euch bitte über den -Kontakt. Inhaltsverzeichnis Aufgabe an der Tafel Aufgabenstellung Lösung Klausuraufgabe Fischbauchträger 3. Aufgabenstellung Lösung

2 TM Übung, SS 03 Aufgabe an der Tafel Aufgabenstellung Berechnen sie den Druck auf die Mauer und entscheiden sie dann wie hoch die Mauer sein muss.. Lösung Auf dem ersten Bild sehen wir, dass wir eine lineare Streckenlast betrachten müssen: Wir wissen, das unser Dreieck den Schwerpunkt in der Höhe h = m hat. Deshalb greift auch hier unsere resultierende Kraft F res an. Diese resultierende Kraft erzeugt ein Moment und daraus folgt eine Spannungsverteilung ( ist maximal am Boden der Mauer). Wir können das Problem deshalb um 90 drehen und es als einen mit einer Streckenlast belasteten Balken betrachten. Zunächst berechnen wir den Druck der Erde: p = ρ g (h x) Wir schauen uns nun die Spannungen in der Mauer an. Diese verhalten sich so wie unten zu sehen: Abbildung : rot = Zugspannung, blau = Druckspannung Die Mauer muss also so hoch sein, dass sie die Zugspannung durch ihr Eigengewicht ausgleicht oder übertrifft. Wir setzen die Grundgleichung der Biegung an: σ max = M b W

3 3 TM Übung, SS 03 Wir bestimmen zunächst die resultierende Kraft und setzen dazu eine Mauerbreite von b = 0 m ein. F res = p da = h = ρ E g b h Das Moment greift bei h = m an, deshalb gilt: 0 ρ E g (h x) b dx M b = 3 h F res = 6 ρ E g b h 3 Das Wiederstandsmoment ist: Wir setzen ein: W = bd M 6 σ max = ρ E g h 3 Wir wissen auch, dass für das Eigengewicht der Mauer gilt: d M Wir setzen dies gleich: σ M,max = ρ M g h M ρ M g h M = ρ E g h 3 d M h M = ρ E h 3 d ρ M Wenn wir unsere Werte einsetzen erhalten wir: h M = 4, m Klausuraufgabe Fischbauchträger. Aufgabenstellung Berechnen Sie die maximale Biegespannung σ max und vergleichen Sie diese mit der zulässigen σ zul.. Lösung Ein sog. Fischbauchträger ist ein I-Profil, das in diesem Fall von außen 00 mm bis mittig 500 mm anwächst, wie links und rechts dargestellt. Gesucht ist die Biegespannung für die angegebenen Werte in der Mitte des Trägers. Außerdem ist die Materialstärke mit 0 mm und die Streckenlast mit q 0 = 0 kn m gegeben. Aus der Formelsammlung entnehmen wir die Formeln für σ max (Seite 35), Widerstandsmoment W y und Flächenträgheitsmoment I y (Seite 37). Die Methode zur Berechnung des Biegemoments ist bekannt: Mit

4 4 TM Übung, SS 03 Hilfe des Freikörperbilds in Abb. b) kann der quadratische Biegemomentverlauf in Abb. a) berechnet werden. x + Mb (x) q0 l x x Mb (x) = q0 q0 l Mb (l/) = 8 X M(x) = 0 = F A x + q0 a) b) Abbildung : a) Querkraft- und Biegemoment-Verlauf; b) Freikörperbild zur Berechnung des Biegemoments Die Grundgleichung der Biegung lautet: σmax = Mb Mb emax = W Iy Wir bestimmen nun die einzelnen Komponenten. Abb. 3 zeigt die Formelzeichen, die im Folgenden benötigt werden: Abbildung 3: Flansch- und Stegbezeichnungen des I-Profils Für das Flächenträgheitsmoment eines Rechtecks gilt: Iy = bh3

5 5 TM Übung, SS 03 Auf unserer I-Profil übertragen erhalten wir drei Rechtecke, wobei die Flächenträgheitsmomente der Flansche mit Hilfe des Steinerschen Satzes (da nicht im Schwerpunkt) korrigiert werden. I y = d S h 3 S + b FdF 3 + b Fd F (h S + d F ) = ( ds h 3 S + b FdF) 3 + b Fd F (h S + d F ) e max ist der Abstand der äußeren zur neutralen (=mittleren) Faser. Daher gilt: e max = h S + d F I y, e max und M b (l/) eingesetzt ergibt: σ max = q 0l 8 Wenn wir nun die Werte einsetzen erhalten wir: h S + d F ( ds h 3 S + b ) FdF 3 + b Fd F (h S + d F ) σ max = N m Vergleichen wir diesen Wert mit σ zul 00 N mm, können wir sagen, dass zu zulässige Spannung nicht überschritten wird.