Aufgabenblatt 1. Lösungen. A1: Was sollte ein Arbitrageur tun?

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1 Aufgabenbla 1 Lösungen 1 A1: Was solle ein Arbirageur un? Spo-Goldpreis: $ 5 / Unze Forward-Goldpreis (1 Jahr): $ 7 / Unze Risikoloser Zins: 1% p.a. Lagerkosen: Es gib zwei Handelssraegien, um in einem Jahr 1 Unze Gold zu haben: Kaufe heue einen Forward für eine Unze Gold fällig in einem Jahr; bei Fälligkei zahle $7 und erhale eine Unze Gold Nimm einen Kredi über $5 für ein Jahr auf, kaufe mi diesem Kredi heue eine Unze Gold; in einem Jahr zahle den Kredi zurück

2 A1: Was solle ein Arbirageur un? Bei beiden Geschäfen gil: Zahle heue nichs, zahle in einem Jahr einen Berag X und erhale eine Unze Gold Deshalb muss der Berag X bei Arbiragefreihei in beiden Geschäfen gleich sein Cash-Flows a. Kaufe Forward b1. Kredi b. Kaufe Gold T= +$5 -$5 T=1 -$7 (X) -$55 (X) 3 A1: Was solle ein Arbirageur un? Arbirageur solle sich eine Menge Geld für ein Jahr leihen, sich mi diesem Geld am Spo Mark mi Gold eindecken und das Gold über Forwards auf ein Jahr wieder verkaufen. Der Neogewinn beräg $15 pro Unze Gold. Alernaiver Rechenweg: Der Wer eines Forward-Konrakes (f) zuzüglich des mi r abgezinsen bei Fälligkei zu zahlenden Goldpreises (K) muss idenisch sein mi dem akuellen Goldpreis (S). Zu Beginn des Forward-Konrakes wird K so gewähl, dass f gleich Null is. 4

3 A1: Was solle ein Arbirageur un? K f + = S 1+ r f = K = S(1 + r) $7 $5(1 +,1) = $55 5 A: Akie oder Calls? Spo-Akienkurs: $94 Dreimonaige Calls (Srike: $95): $4,7 Kaufe 1 Akien oder. Calls? Kaufpreis 1 Akien = $94 Kaufpreis. Calls = $94 P/L Akie: 1 * S T - $94 P/L Calls:. * (S T - $95) - $9.4, wenn S T >$95 -$9.4 wenn S T $95 6

4 A: Akie oder Calls? 5., 4., 3.,., 1., - -1., S A: Akie oder Calls? Raschlag: Kaufe Calls in dieser Größenordnung nur, wenn man sich sehr sicher is, dass der Akienkurs deulich über die drei Monae anseig. Wenn der Kurs nich über $95 seig, dann erleide der Call- Käufer einen Toalverlus der $9.4. Wie hoch muss der Akienkurs seigen, dami die Call- Anlage profiabel is? 1 * S T - $9.4 <. * (S T - $95) - $9.4 1* S T <. * S T $19. $19. < 1.9 * S T S T > $1 8

5 A3: Beschreiben Sie den Payoff Ein Forward-Konrak Long auf ein Asse Eine Europäische Pu-Opion Long auf das gleiche Asse mi gleicher Fälligkei und einem Srike, der gleich dem Forward-Preis des Asses zum Zeipunk der Porfolio-Zusammensellung is. 9 A3: Beschreiben Sie den Payoff Payoff in T Forward + Long Pu = Call S T -F F-S T S T -F Wenn F>S T Wenn F S T Wenn F>S T Wenn F S T 1

6 A4: Margin-Kono Iniial Margin: $. / Konrak Mainenance Margin: $1.5 / Konrak Tag 1: 1 Konrake long, Selemen-Preis $5. / Konrak Tag : + Konrake long, Kaufpreis $51. / Konrak, Selemen-Preis $5. / Konrak Tag 3:Selemen-Preis $49.5 / Konrak Wie viel muß am zweien Tag in das Margin-Kono eingezahl werden? Wie hoch is der Margin-Call am drien Tag? 11 A4: Margin-Kono Tag 1 Fuures Price $ 5. Anzahl Konrake 1 P/L Einzahlung Margin- Kono (Soll) * - * 8 = * 7 = Bei 1 Konraken beräg die mainenance margin $18.. Durch den Verlus sink der Margin-Konosand auf $156.. Deshalb komm es zum margin call. 1

7 A5: Forward-Preis und Forward-Wer Akienkurs in =: $4 Akienkurs in =1: $45 Risikoloser Zinssaz: 1% p.a. Forward-Preis in =: F = S * (1+r) 3 = $4*(1,1) 3 = $53,4 Forward-Wer in =: f = Forward-Preis in =1: F 1 = S 1 * (1+r) = $45*(1,1) = $54,45 Forward-Wer in =1: f 1 = S 1 -F /(1+r) = $45 - $53,4/(1,1) = $1 13 A6: Was für eine Arbiragegelegenhei? Risikoloser Zinssaz (Schweiz) = 3% Risikoloser Zinssaz (USA) = 8% Spo-Preis CHF =,65 $/CHF Fuures-Preis CHF ( Jahre) =,7 $/CHF Es gib zwei Handelssraegien, um in einem Jahr 1 CHF zu haben: Kaufe heue einen Forward für 1 CHF fällig in zwei Jahren; bei Fälligkei zahle $,7 und erhale 1 CHF Nimm einen $-Kredi für zwei Jahre in einer Höhe auf, so dass Du heue den $-Kredi in CHF umausch und die CHF zum CHF-Zins für zwei Jahre anlegs; in zwei Jahren zahle den $- Kredi zurück 14

8 A6: Was für eine Arbiragegelegenhei? Bei beiden Geschäfen gil: Zahle heue nichs, zahle in zwei Jahren einen Berag X und erhale 1 CHF Deshalb muss der Berag X bei Arbiragefreihei in beiden Geschäfen gleich sein Cash-Flows a. Kaufe Forward b1. Kaufe Barwer eines CHF heue b. Tausche CHF in $ b3. Nimm $-Kredi über zwei J. auf T= -(1/(1+,3) ) = -,946 CHF,65 $/CHF *,946 CHF = - $,617 +$,617 T=1 -$,7 (X), + 1 CHF + 1 CHF - $,617 * (1 +,8) = -$, A6: Was für eine Arbiragegelegenhei? Arbirageur solle sich eine Menge $ für zwei Jahre zum $-Zins leihen, sich mi diesem Geld am Spo Mark mi CHF eindecken und die CHF über Forwards auf zwei Jahre wieder verkaufen. Der Neogewinn beräg $,54 pro CHF. Alernaiver Rechenweg: Der Wer eines Forward-Konrakes (f) zuzüglich des mi r $ abgezinsen bei Fälligkei zu zahlenden CHF-Preises (K) muss idenisch sein mi dem akuellen CHF-Preis (S) abgezins mi r CHF. Zu Beginn des Forward-Konrakes wird K so gewähl, dass f gleich Null is. 16

9 A6: Was für eine Arbiragegelegenhei? f + K ( 1+ r ) ( 1+ r ) $ f = K = S CHF 1+ r = S 1+ r 1+,8 $,7 $,65 1+,3 $ CHF = $, A7: Beschreiben Sie den Payoff dieser Sraegie? Am 1. März 1 erhäl das Unernehmen aus dem ersen Geschäf 1 Mio. japanische Yen und muss im zweien Geschäf die gleiche Summe liefern. Neo passier also nichs. Die Posiion is sei dem 1. Sepember geschlossen. Der P/L aus der Posiion ergib sich aus der Differenz zwischen Verkaufs- und Kaufkurs 18

10 A8. Beschreiben Sie die Gesamposiion Siehe Folie 58 der Vorlesung Posiion is gleich einem Forward auf das Asse mi einem Forward-Preis von X (ergib sich aus Pu-Call-Pariä) - f: Forward-Wer, C: Call-Wer, P: Pu-Wer, S: Wer des Underlying C f C P = S + Xe rt P = Xe = S f rt f (Pu-Call-Pariä) = S Xe rt 19 Beziehung zwischen Call und Pu: Pu-Call-Pariä (1) 1. Kombinaion von Call (long) und Pu (shor) Pay Off Call Pay Off Pu Toal + = X X X -X

11 A9. Generierung Buerfly-Spread Kauf einen Pu mi Srike $65 zum Preis von $8 Kauf einen Pu mi Srike $55 zum Preis von $3 Verkaufe zwei Pus mi Srike $6 zum Preis von $5, Gesamkaufpreis = -$8 - $3 + * $5 = - $1 S T $65 $6 S T < $65 $55 < S T $6 S T $55 -$1 $65 S T -$1 $65 S T - $1 * ($6 S T ) = S T - $55 -$1 S T - $55 -$1 + ($55 S T ) = -$1 1 A1: Arbiragemöglichkei? Werunergrenze Call: C S Xe -r (s. Folie 54 der Vorlesung für Beweis) Reslaufzei Jahre: $7, $46- $4*e -*,5 = $7,997 Sraegie: Kaufe Call: -$7 Verkaufe Akie: +$46 Lege Cash-Inflow zum risikolosen Zins über zwei Jahre an (Payoff in zwei Jahren: $39 * (1,5) = $4,998

12 Werunergrenze für Call Für Opion auf Akie ohne Dividendenzahlung bis T gil: C S Xe rt Beweis: Porfolio A: Call + Zerobond mi Nominalwer X Porfolio B: Akie Wer in T S T <X S T >X Porfolio A X (S T -X)+X=S T Porfolio B ST ST Vergleich V A >V B V A =V B C + Xe rt S 3 A1: Arbiragemöglichkei? Bei Fälligkei: S > $4: Übe Opion aus, schließe die Akienposiion Gewinn: $4,998 - $4 = $,9975 S $4: Kaufe Akie am Mark, schließe die Akienposiion Gewinn: $,9975 4

13 A11: EK / FK als Opion? Vgl. Folie 83 der Vorlesung Hier V: Firmenwer, F: Nennwer Verbindlk. V T F V T > F FK + P = Fe -rt EK FK Long Pu V T F V T V T -F F FK = Fe -rt P Fe -rt P = V C (Pu-Call-Pariä) Summe F F FK = V C 5 Eigen- und Fremdkapial als Opion Bsp: Unernehmen mi einem Kredi mi Laufzei 1 Jahr Wer des Kredis in 1 Jahr Wer des Eigenkapials in 1 Jahr (= Call Opion) Wer der Akiva des Unernehmens in 1 Jahr Krediforderung 6

14 A11: EK / FK als Opion? EK: Call auf Firmenwer mi Srike in Höhe des Nennwers der Verbindlichkeien FK: Besiz der Asses des Unernehmens + shor Call auf den Firmenwer mi Srike in Höhe des Nennwers der Verbindlichkeien EK-Wer erhöhen? Volailiä des Firmenwers erhöhen: riskane Projeke eingehen Firmenwer erhöhen: Call geh ins Geld 7 A1: Wer des Calls? Akueller Akienkurs: $4 Akienkurs in einem Jahr: $4 / $38 Risikoloser Zinssaz: 1% p.a. Srike der Opion: $39 Opionspayoff in einem Jahr: $3 / Schri 1: Risikoloses Porfolio aus Akien long und einer Opion shor bilden $4 - $3 = $38 =,75,75 * $4 - $3 =,75 * $38 = $ 8,5 8

15 A1: Wer des Calls? Schri : Akueller Wer des risikolosen Porfolios $8,5 / 1,1 = $8,178 Schri 3: Uner Arbiragefreihei muss der Sarwer des Porfolios gleich dem Wer des risikolosen Porfolios sein,75 * $4 c = $8,178 c = $1,78 Vgl. Folien 6-65 Risikoneurale Bewerung: p * $4 + (1-p) * $38 = $4 * 1,1 p =,6 (,6 * $3 +,4 * ) / 1,1 = $1,78 9 A13: Delaneuraliä =,7 Wenn der Akienkurs um eine Einhei seig, seig der Opionswer um,7 Einheien ( c/ S) Das Dela der Opionsposiion is:,7 * -1. = -7. Das Dela einer Akienposiion is gleich 1. Dela-Neuraliä bedeue, dass das Dela der Gesamposiion gleich null is. Um das Dela der Opionsposiion von -7 auf null zu bringen, müssen 7 Akien gekauf werden. Da der Opionspreis eine nich-lineare Funkion des Akienkurses is, is die Opionsposiion nich vollsändig gehedg (sondern nur dela-gehedg). Deshalb muss der Hedge laufend angepass werden. 3

16 A14: Dela eines a-he-money Calls = N(d 1 ) (s. Folie 71f) Da die Opion a-he-money is, is S=X d 1 N( d ln( S / X ) + ( r + σ = σ T 1 ) =,6448 / ) T (,1 +,5 =,5* / )*,5,5 =, Die Black/Scholes Formel c = S * N( d ) Xe rt ln( S / X ) + ( r + σ / ) T d1 = σ T d = d σ T 1 1 N( d ) Akie * Dela - Kredi Benöige Parameer: Kurs des Underlying heue Ausübungskurs sicherer Zins Volailiä des Underlying Laufzei (in einigen Lehrbüchern finden Sie äquivalene Umformungen dieser Formel!) 3