Grundwissen 7. Klasse

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1 Grundwissen 7. Klasse I. Symmetrie 1. Achsensymmetrie Die Punkte P und P sind achsensymmetrisch bzgl. der Symmetrieachse a. Sind Figuren zueinander achsensymmetrisch, so kannst du folgende Eigenschaften erkennen: Die Strecke zwischen Punkt und Bildpunkt wird von der Symmetrieachse senkrecht halbiert Strecke und Bildstrecke sind gleich lang Zueinander symmetrische Kreise besitzen den gleichen Radius Winkel und dazu symmetrischer Winkel sind gleich groß, ihre Drehrichtung ist entgegengesetzt Zueinander symmetrische Geraden sind parallel oder sie schneiden sich auf der Achse, z. B. g g, h und h schneiden sich im Punkt F = F. Achsenpunkte und nur diese sind von Punkt und Bildpunkt gleich weit entfernt A 1 P = A 1 P Punkte auf der Achse nennt man auch Fixpunkte 2. Konstruieren von Spiegelpunkten und Achse a) Konstruieren von Spiegelpunkte Wähle zwei beliebige Punkte Q und R auf der Achse a. Die Kreise k 1 (R; r=rp ) und k 2 (Q; r= QP ) schneiden sich in P und P. b) Konstruieren der Symmetrieachse Zeichne zwei Kreise durch P und P mit beliebigem (genügend großem), aber gleich großem Radius. Durch die Schnittpunkte S 1 und S 2 der Kreise ist die Achse a eindeutig festgelegt. 1

2 3. Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende und Lote Man kann diese mit Hilfe der Achsenspiegelung konstruieren Mittelsenkrechte zu [AB] Die Kreise um A und B mit gleichem (genügend großem) Radius schneiden sich in zwei Punkten, die die Mittelsenkrechte m eindeutig festlegen. Winkelhalbierende ω α Der Kreis um S mit beliebigem Radius schneidet die Schenkel in den Punkten G und G. Die Symmetrieachse, die G auf G abbildet und S fest lässt (S a) ist die Winkelhalbierend Lot errichten Man erhält das Lot l zu einer Geraden g durch einen Punkt P, indem man um P einen Kreis mit einem beliebigen Radius zeichnet, der die Gerade g in zwei Punkten A und B schneidet. Anschließend konstruiert man die Symmetrieachse zu diesen Punkten. Lot fällen Ein Kreisbogen um den Punkt P, der nicht auf der Geraden g liegt, schneidet g in den Punkten A und B. Zwei weitere Kreisbögen mit gleichem Radius um die Punkte A und B schneiden sich in dem Punkt P. Man nennt die Länge der Lotstrecke von P zur Gerade g Abstand des Punktes P von der Geraden g. 2

3 4. Punktsymmetrie Die Punkte P und P sind punktsymmetrisch mit Symmetriezentrum (oder Spiegelzentrum) Z, wenn sie durch eine Drehung von 180 um Z aufeinander zur Deckung kommen Es gilt: a) [PP ] wird durch Z halbiert. PZ =PZ b) Zueinander punktsymmetrische Geraden sind parallel (g g ), Strecken sind gleich lang und parallel (CA =C A ; [CA] [C A ]), Winkel sind gleich groß und haben den gleichen Drehsinn (α = α ).. Konstruktion des Zentrums Man verbindet zueinander symmetrische Punkte der Figur. Das Symmetriezentrum Z ergibt sich als Schnittpunkt zweier solcher Verbindungsgeraden. Konstruktion des Zentrums bei nur zwei gegebenen Punkten P und P Man verbindet die zwei Punkte durch die Gerade g. Dazu konstruiert man die Symmetrieachse zu den Punkten. Der Punkt der Symmetrieachse, der die Gerade schneidet ist das Symmetriezentrum Z. Aus jeder Figur lässt sich durch eine Punktspiegelung an einem Zentrum Z eine punktsymmetrische Figur erzeugen. Dazu konstruiert man zu jedem Punkt seinem Spiegelpunkt. 3

4 Konstruktion der Spiegelpunkte Um einen Punkt A am Zentrum zu spiegeln, zeichnet man die Halbgerade [AZ und einen Kreis um Z mit Radius r=az. Dieser Kreis schneidet [AZ im Punkt A` Konstruktion einer Tangente Gegeben sind ein Kreis mit dem Mittelpunkt M und ein Kreispunkt B. Die Tangente des Kreises durch den Punkt B erhält man, indem man im Punkt B das Lot zur Geraden MB konstruiert. Der gemeinsame Punkt von Kreis und Tangente heißt Berührpunkt. Eine Gerade kann mit einem Kreis zwei Punkte, einen einzigen Punkt oder keinen Punkt gemeinsam besitzen. Sekante Tangente Passante 4

5 5. Symmetrische Vierecke a) Punktsymmetrische Vierecke Parallelogramm Ein Parallelogramm ist ein Viereck bei dem die gegenüberliegenden Seiten parallel sind. Es gilt: Seiten, die gegenüberliegen sind gleich lang Winkel, die gegenüberliegen sind gleich groß Die Diagonalen halbieren sich b) Achsensymmetrische Vierecke mit einer Achse Achsensymmetrisches Trapez Ein achsensymmetrisches Trapez ist ein Viereck bei dem die Mittelsenkrechte von zwei gegenüberliegenden Seiten die Symmetrieachse ist. Es gilt, dass Schenkel und Diagonalen gleich lang sind. Drachenviereck Ein Drachenviereck/Drache ist ein Viereck mit einer Diagonale als Symmetrieachse Hier gilt, dass die Diagonalen senkrecht zueinander sind. c) Achsensymmetrische Vierecke mit zwei Achsen Rechteck Ein Rechteck ist ein Viereck bei dem alle vier Winkel 90 betragen. Es gilt, dass die Mittelsenkrechte die Symmetrieachsen sind und diese stehen aufeinander senkreckt und halbieren sich gegenseitig. Ein Rechteck ist auch eine punktsymmetrische Figur. Raute Eine Raute ist ein Viereck bei dem alle vier Seiten gleich lang sind. Es gilt, dass die Diagonalen die Symmetrieachsen sind und sie aufeinander senkreckt stehen und sich gegenseitig halbieren. Die Raute ist auch eine punktsymmetrische Figur. 5

6 d) Achsensymmetrische Vierecke mit vier Achsen Das Quadrat Ein Rechteck mit vier gleich langen Seiten heißt Quadrat Es gilt: Es ist auch ein Rechteck und eine Raute und somit ist es auch eine punktsymmetrische Figur Es besitzt vier gleich lange Seiten mit vier 90 - Winkel Die Mittelsenkrechten und Diagonalen sind die Symmetrieachsen Übersicht über symmetrische Vierecke 6

7 II. Winkelbetrachtung 1. Scheitelwinkel und Nebenwinkel Winkel an einer Geradenkreuzung: Je zwei gegenüberliegende Winkel werden als Scheitelwinkel bezeichnet. Welche gleich groß sind. Je zwei nebeneinander Winkel werden als Nebenwinkel bezeichnet, sie ergänzen sich zu 180. In der Figur sind α und γ Scheitelwinkel, ebenso β und δ. α und β sind Nebenwinkel, ebenso γ und δ, und γ sowie und δ und α. 2. Stufenwinkel und Wechselwinkel Werden zwei Geraden g und h von einer anderen Geraden geschnitten, so nennt man die jeweils gleich gefärbten Winkel an der Geraden Stufenwinkel (F-Winkel) bzw. Wechselwinkel (Z-Winkel). Wir betrachten nun Stufen- und Wechselwinkel an zwei parallelen Geraden g und h. Die Stufenwinkel sind hier gleich groß. Die Wechselwinkel sind hier gleich groß. 7

8 3. Winkelsumme im Dreieck Winkelsumme im Dreieck Die Summe der Innenwinkel im Dreieck betragt 180 : α + β + γ = 180 Beispiel: α = 45, γ = 72, dann ist β = 180 α γ = = 180 ( ) = 63 Bezeichnung für Dreiecke: Spitzwinkliges Dreieck rechtwinkliges Dreieck stumpfwinkliges Dreieck Jeder Winkel ist spitz. Ein Winkel ist ein rechter. Ein Winkel ist stumpf. 4. Winkelsumme im Vieleck Satz von der Winkelsumme in Vielecken: Die Winkelsumme in einem n-eck beträgt: (n-2) 180. Insbesondere beträgt die Winkelsumme im Viereck 360. III. Terme 1. Terme mit Variablen In Termen können auch Variablen auftreten, z.b. a + b 4 x + 2 y 2 7 y Die Variablen sind Stellvertreter für Zahlen oder für Größen sind die Variablen. 8

9 2. Berechnen von Termwerten Erst wenn alle Variablen durch Zahlen bzw. Größen ersetzt sind, kann man den Wert eines Terms berechnen. Wenn die gleiche Variable mehrmals in einem Term auftritt wie z. B. y (y + 3), so muss man für sie jeweils die gleiche Zahl bzw. Größe einsetzen. Treten in einem Term wie z. B. 3x 2 + 4y 2 verschiedene Variablen auf, so können für diese unterschiedliche, aber auch die gleichen Zahlen bzw. Größen eingesetzt werden. Für die Termberechnung gelten die bekannten Regeln: 1. Es wird zuerst berechnet, was in der Klammer steht. 2. Vor den Punktrechnungen Multiplizieren und Dividieren kommt Potenzieren. 3. Die Punkrechnungen kommen vor den Strichrechnungen Addieren und Subtrahieren. 3. Aufstellen und Interpretieren von Termen Schritte beim Aufstellen des Terms 1. Untersuchung des Sachverhaltes an konkreten Beispielen und Suche nach einer Gesetzmäßigkeit. 2. Einführung von Variablen und Beschreibung der gefundenen Gesetzmäßigkeit durch einen Term Beispiel: (Quelle: Lambacher Schweizer 7, S. 59 Bsp.2) a) Stelle einen Term zur Berechnung des Oberflächeninhaltes des Prismas auf, das man nach dem Netz bauen kann. b) a = 6,5 cm, b = 12 cm Berechne den Oberflächeninhalt. Lösung: a) Oberflächeninhalt: O (a; b) = 6a 2 + 8ab b) O (6,5cm; 12cm) = 6 (6,5cm) ,5cm 12cm = 877,5cm 2 Term interpretieren Wenn du einen Term interpretieren oder Aussagen über ihn machen sollst, musst du erst überlegen, welche Bedeutung die Variablen haben. Zum Beispiel beschreibt a b den Flächeninhalt eines Rechtecks, wenn a und b die Seitenlängen sind. 9

10 4. Zuordnung: Variablenwert - Termwert Es wird durch Terme, wie z.b. T(x) = x 2 1 jedem Variablenwert x ein eindeutig bestimmter Termwert zugeordnet. Verschiedene Variablenwerten können gleiche Termwerte zugeordnet werden, z. B. gilt: T (2) = T (-2) = 3 Es können aber umgekehrt niemals einem Variablenwert durch einen Term zwei verschiedene Termwerte zugeordnet werden. Die durch den Term beschriebene Zuordnung ist eindeutig. Die Zuordnung lässt sich durch eine Wertetabelle beschreiben x -2-1, ,5 T(x) 3 0, ,25 Jedes Zahlenpaar aus Variablenwert und zugeordnetem Termwert bestimmt einen Punkt im Koordinatensystem. Die Menge dieser Punkte nennt man Graph der Zuordnung. IV. Termumformungen Für alle rationale Zahlen a, b, c gilt: Kommunikativgesetz (KG) (Vertauschungsgesetz) der Addition und der Multiplikation: a + b = b + a a b = b a In einer Summe oder in einem Produkt darf man die Summanden bzw. Faktoren vertauschen, ohne dass sich der Wert der Summe bzw. des Produkts ändert. Beispiele: 14, = ,7 (-3,5) 7 = 7 (-3,5) 5 Assoziativgesetz (AG) (Verbindungsgesetz) der Addition und der Multiplikation: a + (b + c) = (a + b) + c a (b c) = (a b) c In einer Summe oder einem Produkt mit mehreren Gliedern darf man beliebig Klammern setzen oder weglassen, ohne dass sich der Wert der Summe bzw. des Produkts ändert. Beispiele: (11,4 + 83,5) + 6 = 11,4 + (83,5 + 6) [3 (41,8 11,9]) = [(3 41,8) 11,9] 10

11 Distributivgesetz (DG) (Verteilungsgesetz) für die Multiplikation einer Summe oder Differenz mit einer Zahl: (a + b) c = a c + b c (a - b) c = a c b c Du kannst jeden Summanden bzw. den Subtrahenden mit der Zahl multiplizieren und anschließend die Produkte addieren bzw. subtrahieren, ohne dass sich der Wert des Terms ändert. Beispiele: (14,2 + 8,03) 5 = 14,2 5+ 8,03 5 (31 0,5) 4,1 = 31 4,1-0,5 4,1 Umgekehrt kannst du aus einer Summe oder einer Differenz von Produkten, die einen gemeinsamen Faktoren enthalten, diesen Faktor ausklammern. Beispiele: , = (12 + 0,5-87) 4 = (-74,5) 4 = ab-35ac + 5a= 5a (2b-5c+1) 1. Gleichwertige Terme Zwei Terme, die bei jeder möglichen Ersetzung der Variablen durch Zahlen jeweils den gleichem Termwert ergeben, nennt man gleichwertig oder äquivalent. Man darf zwischen ihnen ein Gleichheitszeichen setzen. Durch Anwendung der Rechengesetzte kann man einen Term in einen äquivalenten Term umformen. (Lambacher Schweizer 7, S. 75) T 1 (x) = x ( 1 2 ry+ x) und T 2(x) = 0,5xy + x 2 sind äquivalent. T 1 (a) = 2a 2-4 und T 2 (a) = 2a 4 sind nicht äquivalent. 2. Umformungen in Produkten Potenzen mit gleicher Basis kann man multiplizieren, indem man die gemeinsame Basis mit der Summe der Exponenten potenziert. Beispiel: a 5 a 7 a 3 = a = a 14 Potenzen potenziert man, indem man die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert, Beispiel: (a 2 ) 3 a 23 = a 6 Enthalten Termen bereits Potenzen, so kann es nützlich sein, die Potenzen zunächst als Produkte zu schreiben und anschließend Termumformungen durchzuführen. Beispiel: a 5 : a 3 = a5 a a a a a a a a3 = = = a 2 a a a Umformungen in Summen Zwei Produkte, in denen genau die gleichen Variablen in jeweils gleicher Potenz auftreten, nennt man gleichartig. Sie werden addiert (subtrahiert), indem man die Zahlenfaktoren vor den Variablen addiert (subtrahiert) und die gemeinsamen Variablen beibehält. (Lambacher Schweizer 7, S.82) Mithilfe der Rechenregel für Potenzen lassen sich Produkte vereinfachen. Nutze dabei das Kommunikativgesetz der Multiplikation und fasse sowohl Zahlen als auch Variable zusammen. Beispiel: (4ac) c2 f 2 = 4ac 4ac 1 8 c2 f 2 = a a c c c2 f 2 = 2 a 2 c 4 f 2 = 2a 2 c 4 f 2 In Summen lassen sich nur gleichartige Terme zusammenfassen, d.h. solche, die sich nur durch einen Zahlenfaktor unterscheiden. Sie werden addiert oder subtrahiert, indem man die Zahlenfaktoren addiert oder subtrahiert, das Variablenprodukt bleibt dabei unverändert. 11

12 Beispiel: 2u 2 z + 4uz 2 3,5u 2 z = -1,5 u 2 z + 4uz 2 (dieser Term kann nicht weiter zusammengefasst, sondern nur als Produkt geschrieben werden) Klammerregel Die Klammern können weggelassen werden, falls ein Plus vor der Klammer steht. Ist ein Minus vor der Klammer, so ändert man die Vorzeichen in der Klammer und lässt die Klammern und das Minuszeichen vor der Klammer weg a + (b+ c) = a + b +c a + (b- c) = a + b - c a - (b +c) = a-b-c a - (b-c) = a- b +c 3k + (5+2k) = 3k k =5k + 5 7r+(s 2-3,5) = 7r + s 2 3,5 x 2 -(2x 2 +y 2 ) = x 2 2x 2 y 2 = -x 2 -y 2-2u - (uv 2 2u) = -2u -uv 2 +2u = -uv 2 4. Anwendungen des Distributivgesetzes Mit Hilfe des Distributivgesetzes können Produkte in Summen umgeformt werden. (Siehe DG) Beispiel: 2x (-4+6u) = 2x (-4) + 2x 6u = -8x +12ux Eine Summe wird mit einem Term multipliziert, indem man jeden Summanden mit dem Term multipliziert und die dabei entstehenden Produkte addiert. (Lambacher Schweizer 7, S. 86) Man spricht vom Ausmultiplizieren, wenn Produkte mit Hilfe des Distributivgesetzes in Summen umgeformt werden Beispiel: -4 (-s -5f) = -4 (-s) (-4) 5f = 4s + 20f Man spricht vom Ausklammer oder Faktorisieren, wenn Summen durch die Anwendung des Distributivgesetzes in Produkte umgeformt werden Beispiel: 5x + 5y = 5 (x + y) 5. Multiplizieren von Summen Zwei Summen werden multipliziert, indem man jeden Summanden der ersten Summe mit jedem Summanden der zweiten Summe multipliziert und die dabei entstehenden Produkte addiert: (a + b) ( x + y) = a x + a y + b x + b y = ax + ay + bx + by (Lambacher Schweizer 7, S. 90) Häufig spricht man vom Ausmultiplizieren oder Auflösen der Klammern. Steht ein Minuszeichen vor der Klammer, so kann der Term ohne Klammer geschrieben werden, wenn alle Vorzeichen in der Klammer abgeändert werden. Umgekehrt kannst du auch (-1) ausklammern. Beispiele: 2 (3a -2c + 0,5) = 2-3a +2c 0,5 = 1,5-3a + 2c 3a- 2b+ 0,4 = -(-3a +2b -0,4) Quellen: Prof. August Schmid& Prof. Dr. Ingo Weidig, Lambacher Schweizer 7,2011, Klett Verlag Bayern GeoGebra für alle Bilder (selbstgemacht) 12