Motivation. Finanzmathematik in diskreter Zeit

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1 Moivaion Finanzmahemaik in diskreer Zei Eine Hinführung zu akuellen Forschungsergebnissen Alber-Ludwigs-Universiä Freiburg Prof. Dr. Thorsen Schmid Abeilung für Mahemaische Sochasik Freiburg, 22. April 2015 Der Dax seh derzei bei S 0 = und Sie kaufen einen Call mi Srike K = Gehen wir von folgendem Modell aus: { ω = ω 1, S 1 (ω) = ω = ω 2 und (aus saisischen Analysen) P(ω 1 ) = 1 /3. Die Auszahlung des Calls is (S 1 K) +, also { 500 ω = ω 1, C 1 (ω) = 0 ω = ω 2. Was wären Sie berei für dieses Deriva zu bezahlen? Sochasik Prof. Dr. T. Schmid Finanzmahemaik 2 / 27 Ich erhale ein Angebo für 167 EUR. Als geschicker Markeilnehmer kaufe ich den Call und verkaufe gleichzeiig (leer) 0.25 Akien, den verbleibenden Berag lege ich auf das Bankkono. Das ergib folgende Rechnung Call kaufen 167 Erlös aus Akienverkauf Resgeld auf Kono An Zeipunk 1 gib es zwei Möglichkeien. Angenommem wir beobachen ω 1. Dann ha das Porfolio folgenden Wer: Call zahl aus: Akie wird verkauf: Bankkono wird aufgelös: und alles geh auf. Summe der Ausgaben an = 0 sind 0 EUR.

2 Beobachen wir ω 2, so ha das Porfolio folgenden Wer: Call zahl aus: Akie wird verkauf: Bankkono wird aufgelös: In jedem Fall gewinne ich mi dieser Sraegie 83 (Euro), und zwar sicher (!) Der Call war offensichlich 83 EUR zu euer. Wie kann man sich sicher sein dass man solche Bewerungsfehler vermeide? 83 Überblick No-Arbirage Theorie in diskreer Zei Hedging Zinsmärke und affine Modelle Konsisene Kalibrierung Unendlichdimensionale Finanzmärke Sochasik Prof. Dr. T. Schmid Finanzmahemaik 6 / 27 Das Mehrperiodenmodell Handelszeipunke = 0,1,...,T Sei (Ω, F, P) ein Wahrscheinlichkeisraum Preis der i-en Akie, i = 1,...,d is größer oder gleich Null und gegeben durch einen sochasischen Prozess 0 S i, = 0,1,...,T Es gib ein Numéraire, das is ein posiives Werpapier Wir schreiben kurz F = (F ) =0,...,T für die Filraion. Finanzmark Der berachee Finanzmark wird beschrieben durch den d + 1-dimensionalen Prozess S = (S 0,S) und den filrieren Wahrschein- lichkeisraum (Ω, F, F, P). 0 < S 0, = 0,1,...,T Die Informaion is gegeben durch eine Filraion F 0 F 1 F T und S i, i = 0,...,d sind adapier (Definiion folg). Sochasik Prof. Dr. T. Schmid Finanzmahemaik 7 / 27

3 Definiion Ein sochasischer Prozess X = (X ) =0,...,T heiß adapier, falls X F -messbar is für alle = 0,...,T. Ein sochasischer Prozess X = (X ) =1,...,T heiß vorhersehbar, falls X F 1 -messbar is für alle = 1,...,T. Definiion Eine Handelssraegie is ein vorhersehbarer, d + 1-dimensionaler Prozess θ = (θ 0,θ). Inerpreaion des zeilichen Ablaufs. Sochasik Prof. Dr. T. Schmid Finanzmahemaik 10 / 27 Für eine selbsfinanzierende HS θ is Definiion Eine Handelssraegie θ heiß selbsfinanzierend, falls θ S = θ 1 S 0 + θ k (S k S k 1 ). (1) θ S = θ +1 S, = 1,...,T 1. Bei einer selbsfinanierenden Handelssraegie wird beim Umschichen des Porfolios kein neues Geld benöig und der gesame Berag reinvesier.

4 Für eine selbsfinanzierende HS θ is θ S = θ 1 S 0 + Das sieh man in zwei Schrien: θ k (S k S k 1 ). (1) θ S = θ S + θ 1 S 1 θ 1 S 1 Da θ selbsfinanzierend is, gil θ 1 S 1 = θ 1 S 1 + θ 1 S 0 θ 1 S 0 = θ 1 (S 1 S 0 ) + θ 1 S 0 und Gleichung (1) folg. = θ (S S 1 ) + θ 1 S 1 = k=2 θ k (S k S k 1 ) + θ 1 S 1 wobei wir genuz haben, dass θ selbsfinanzierend is. Beispiel (Bankkono) Of berache man das Bankkono als Numéraire. Dabei is (r ) 1 T ein vorhersehbarer Prozess, der den Zins beschreib. Das Bankkono sare mi dem Wer S0 0 = 1 und ha an den folgenden Wer: S 0 = s=1 (1 + r s ). Zahlungen zu unerschiedlichen Zeipunken mach man vergleichbar, indem man mi einer Referenz diskonier. Wir führen den diskonieren Preisprozess ein. Hierbei is X 0 1. X i := Si S 0, = 0,...,T, i = 0,...,d

5 Definiion Der diskoniere Werprozess V θ = V der Handelssraegie θ is V 0 := θ 1 X 0 und V := θ X, Der diskoniere Gewinnprozess G θ = G is G 0 := 0 und G := θ k (X k X k 1 ), = 1,...,T. = 1,...,T. Da Xk 0 X k 1 0 = 0 is, folg für alle 0 T, dass Weierhin is G := θ k (X k X k 1 ). V = θ X = θ S S 0. Beweis. θ is selbsfinanzierend Saz Sei θ eine Handelssraegie. Dann sind äquivalen 1 θ is selbsfinanzierend, 2 θ X = θ +1 X, = 1,...,T 1, 3 V = V 0 + G = θ 1 X 0 + θ k (X k X k 1 ) für 0 T. θ S = θ +1 S, = 0,...,T 1 θ S S 0 = θ +1 S S 0, = 0,...,T 1. und somi is 1 äquivalen zu 2. Außerdem gil θ X = θ +1 X θ +1 X +1 θ X = θ +1 (X +1 X ) = θ +1 (X +1 X ) V V 0 = s=1 θ s (X s X s 1 ).

6 Numéraire einer selbsfinanzierenden HS Sare man mi dem Berag V 0 und einer d-dimensionalen Handelssraegie θ, so kann man eindeuig eine selbsfinanzierenden HS θ besimmen durch die Wahl von und θ 0 1 = V 0 θ 1 X 0. θ+1 0 θ 0 = (θ +1 θ ) X Definiion Eine selbsfinanzierende Handelssraegie θ heiß Arbirage, falls für den Werprozess V = V θ gil, dass V 0 0, V T 0 P-fas sicher und P(V T > 0) > 0. Ein Finanzmark, in dem keine Arbiragemöglichkeien exisieren, heiß arbiragefrei (NA-no arbirage). Beweis. : Sei θ eine Arbirage und := min { s : V s 0 P-f.s. und P(V s > 0) > 0 }. Saz Es gib eine Arbirage genau dann, wenn ein {1,...,T} exisier und eine F -messbare Zufallsvariable ϕ R d, so dass ϕ (X X 1 ) 0 P(ϕ (X X 1 > 0) > 0. P-fas sicher und Dann is T, da θ eine Arbirage is. Enweder is V 1 = 0 P-f.s. oder P(V 1 < 0) > 0. Im ersen Fall gil θ (X X 1 ) = V V 1 = V P-fas sicher, also erfüll ϕ = θ s die Voraussezungen. Im zweien Fall sezen wir ϕ := θ 1 {V 1 <0}. Dann is ϕ F 1 -messbar und ϕ (X X 1 ) = (V V 1 )1 {V 1 <0} V 1 1 {V 1 <0} 0. Die reche Seie is posiiv mi posiiver Wahrscheinlichkei, also erfüll auch in diesem Fall das gewähle ϕ die Voraussezungen.

7 : Sei ϕ wie im Saz gegeben. Wir sezen { ϕ für s = θ := 0 sons. Dazu konsruieren wir mi V 0 = 0 eine selbsfinanzierende Handelssraegie θ mi und somi eine Arbirage. V T = ϕ (X X 1 ) Wir berachen nun ein zweies Wahrscheinlichkeismaß Q und die Filraion F. Definiion Ein sochasischer Prozess M heiß Q-Maringal, falls gil: 1 M is adapier, 2 E Q [ M ] < für = 0,...,T, 3 M s = E Q [M F s ], für 0 s T. Definiion Ein Wahrscheinlichkeismaß Q auf (Ω,F T ) heiß Maringalmaß falls der diskoniere Preisprozess X ein Q-Maringal is. Das Maß Q heiß äquivalen zu P (auf F T ), falls P(F) = 0 genau dann, wenn Q(F) = 0 für alle F F T. X is ein Q-Maringal, falls Inegrierbarkei gil und für i = 1,...,N [ S i ] E Q S 0 F s = Si s Ss 0, 0 s T. Die Menge der äquivalenen Maringalmaße bezeichnen wir mi M. Das Haupresula im ersen Teil is folgender Fundamenalsaz der Werpapierbewerung (Fundamenal Theorem of Asse Pricing, FTAP) Theorem Der Mark is genau dann arbiragefrei, wenn ein äquivalenes Maringalmaß exisier. In diesem Fall exisier ein P M mi beschränker Diche dp /dp. In Zeichen erhalen wir also (NA) M /0.

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