Versuch 6. Zähigkeit (Viskosität) Abbildung 1. v τ=η (1) y

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1 Versuch 6 Zähigkeit (Viskosität) Gesetz von Stokes Wenn zwei feste Körper aufeinander gleiten, so wird ihre Bewegung dadurch gehet, dass zwischen den Körpern ein Reibungswiderstand herrscht. in ähnliches Verhalten ist auch bei Flüssigkeiten zu beobachten, und zwar vor alle bei solchen, die an als zäh bezeichnet. Zur Ableitung der Gesetzäßigkeiten sei eine Flüssigkeit betrachtet, die sich zwischen zwei ebenen Platten befindet, von denen die obere it der Geschwindigkeit v bewegt wird, während die untere Platte sich in Ruhe befindet (Abb. ). Parallel zu den Platten sei die Abbildung Flüssigkeit nun in Schichten geteilt. Die unittelbar an der oberen Platte befindliche Flüssigkeitsschicht hat dieselbe Geschwindigkeit v wie die Platte; die Schicht an der unteren Platte besitzt die Geschwindigkeit Null. Innerhalb der Flüssigkeit herrscht also ein Geschwindigkeitsgefälle, dass durch die Änderung der Geschwindigkeit v bestit ist, die an bei Fortschreiten u den Betrag y auf der kürzesten Verbindungslinie zwischen den beiden Platten feststellt. Zwischen den beiden Schichten i Abstand y herrscht eine Schubspannung, die de Geschwindigkeitsgefälle proportional ist (Gl.). v τ=η () y Wenn an zur infinitesialen Schreibweise übergeht, d.h. die Schichten unendlich dünn acht, ergibt sich (Gl. 2):

2 dv τ=η Definition der Zähigkeit nach Newton (2) dy Den Koeffizienten η bezeichnet an als Koeffizient der Flüssigkeitsreibung oder dynaische Viskosität. Die inheit der dynaischen Viskosität ist die Pascalsekunde (Pa s): Pa s = Ns -2 = kg - s -. ine früher, auch oft verwendete inheit ist gc s, auch Poise genannt ( Pa s = 0 Poise). Die kineatische Zähigkeit ν wird auch angegeben als der Quotient der dynaischen Zähigkeit η zu der Dichte ρ (Gl. )* η ν = ρ () Flüssigkeiten, die de Gesetz (2) folgen, heißen Newtonsche Flüssigkeiten. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass der Koeffizient η unabhängig ist von der Schubspannung τ und de Geschwindigkeitsgefälle dv/dy. Daneben gibt es viele Flüssigkeiten, bei denen η in koplizierterer Weise von τ abhängt. Aus der Schubspannung τ ergibt sich die Schubkraft F durch Multiplikation der Gl. (2) it der Fläche A, entlang der die Schubspannung wirkt: dv F=τ A =η A () dy Die Viskosität von Flüssigkeiten hängt in starke Maße von der Teperatur ab. In vielen Fällen wird die Abhängigkeit durch die Beziehung wiedergegeben: b /T η= C e (5) Hierbei sind C und b epirisch zu bestiende Konstanten. Noralerweise nit die Viskosität einer Flüssigkeit it steigender Teperatur ab (b < 0). ine Ströung, bei der die einzelnen Flüssigkeitsschichten bzw. die Strofäden ihre gegenseitige Lage beibehalten, wird als lainare Ströung bezeichnet. Alle Gesetzäßigkeiten, von denen hier die Rede ist, nälich das Newtonsche Gesetz (Gl. 2) und das Gesetz von Stokes sind nur i Bereich der lainaren Ströung gültig. Bei hohen Ströungsgeschwindigkeiten schlägt die Ströung von der lainaren in die turbulente For über. Das xperient zeigt, dass eine diensionslose Größe, die Reynoldsche * Die inheit der kineatischen Zähigkeit ist 2 /s. (Die ältere inheit c 2 /s wird als Stokes bezeichnet). 2

3 Zahl R e, für den Uschlag aßgeblich ist. R e ist gegeben durch Gl. (6). R e ρ v d v d = = η ν (6) Dabei ist d eine charakteristische Größe von der Diension einer Länge, z.b. bei de Stokesschen Kugelfallversuch (Ströung einer Flüssigkeit u eine Kugel) der Durchesser der Kugel und bei Rohrströung der Durchesser des Rohres. Der kritische Wert der Reynoldschen Zahl, bei der der Uschlag von der lainaren in die turbulente Ströungsfor erfolgt, liegt bei der Rohrströung etwa bei R e = 2000, während das Gesetz von Stokes für R e < 0, gültig ist. Gesetz von Stokes Die Zähigkeit von Flüssigkeiten und Gasen ist bei allen Ströungsvorgängen von großer Bedeutung, da ein großer Teil des Widerstandes, den Körper bei der Bewegung in eine Mediu zu überwinden haben, durch die Zähigkeit des Medius verursacht wird. Dieser Widerstand ist abhängig von der Geschwindigkeit, it der der Körper bewegt wird. Bei sehr kleinen Geschwindigkeiten ist der Reibungswiderstand infolge der Zähigkeit ausschließlichwirksa. Unter dieser Voraussetzung hat Stokes für kugelförige Körper ein sehr einfaches Widerstandsgesetz aufgestellt. Danach wirkt auf eine Kugel it de Radius r, die sich it der Geschwindigkeit v bewegt, eine Reibungskraft nach Gl. (7): R = 6 π η r v (7) Läßt an nun eine Kugel in eine Mediu, z.b. in eine Rohr it Glyzerin fallen, so wird die Bewegung durch folgende Kräfte bestit:. Die Anziehungskraft der rde Diese ist nach Gl. (8) zu berechnen, wobei ρ die Dichte der Kugel und g die rdbeschleunigung bedeutet. Die Anziehungskraft wird verindert u den Auftrieb, den die Kugel in der Flüssigkeit erleidet. Der Auftrieb ist gleich de Gewicht der verdrängten Flüssigkeit (Dichte ρ ) und wird durch Gl. (9) gegeben. = π ρ ρ (8) G r ( )g = π ρ (9) A r g Die nach unten gerichtete Kraft ist gleich der Differenz zwischen Anziehungskraft und Auftrieb. G A = π r ( ρ ρ )g (0)

4 2. Der Bewegung entgegengesetzt ist die Reibungskraft R. Solange R kleiner als G-A ist, wird die Kugel nach unten beschleunigt und fällt it wachsender Geschwindigkeit. Dabei wächst aber die Reibungskraft R, bis die beiden entgegengesetzten Kräfte gleich groß sind: R = G A () Die Kugel ändert solange ihre Geschwindigkeit, bis diese Bedingung erfüllt ist. Dann ist die Beschleunigung Null und die Kugel bewegt sich weiter it konstanter Geschwindigkeit (die ndgeschwindigkeit v ), die aus Gl. (2) zu berechnen ist. Hier ist R aus Gl. 7 und G-A aus Gl.0 in Gl. eingesetzt: 6 π η v r = π r ( ρ ρ )g (2) Aus dieser Beziehung kann die Zähigkeit berechnet werden, wenn r, ρ, ρ und v bekannt sind. Der Radius des Rohres R, in der sich die Flüssigkeit befindet, geht noch in ein Korrekturglied für die Geschwindigkeit ein, da die angegebene Forel für eine unendlich ausgedehnte Flüssigkeit abgeleitet ist. Die korrigierte Geschwindigkeit c (Gl. ) wird an Stelle von v in Gl. 2 eingesetzt. Dait lässt sich die Zähigkeit nach Gl. ausrechnen. r c= v (+ 2, ) () R Versuchsanordnung 2 2 r ( )g η = ρ ρ () 9 c Die Flüssigkeit, deren Zähigkeit bestit werden soll, befindet sich in eine kreiszylindrischen, unten geschlossenen Glasrohr. In eine gewissen Abstand unter der Flüssigkeitsoberfläche befindet sich ein Ring, ein zweiter Ring befindet sich a unteren nde des Rohres. Der Abstand zwischen den beiden Ringen beträgt a c. Läßt an eine kleine Stahlkugel in die Flüssigkeit fallen, so soll sich vor rreichen der oberen Marke das Gleichgewicht zwischen den Kräften eingestellt haben, d.h. aus der beschleunigten Bewegung soll eine gleichförige geworden sein. Wird nun die Zeit t geessen, die die Kugel zu Zurücklegen der Strecke a benötigt, so beträgt die Geschwindigkeit v = a/t. Versuchsdurchführung. Von einer Anzahl gleicher Stahlkugeln werden it der Mikroeterschraube die Durchesser bestit und der Mittelwert berechnet. 2. Das Gewicht von je 0 Kugeln gleicher Größe wird auf einer epfindlichen Waage festgestellt. Aus Gewicht und Voluen ist die Dichte zu bestien.. Die Fallzeiten von 5 Kugeln gleicher Größe werden geessen und erittelt.

5 . Mit de Mittelwert der Fallzeit t = t i wird die Geschwindigkeit v = a/t n berechnet. Mit Hilfe der Gl.() wird die korrigierte Geschwindigkeit erittelt, die in Gl. () eingesetzt wird. 5. Mit den Mittelwerten - r für den Radius der Kugel und - t für die ittlere Fallzeit - ist die Viskosität (Zähigkeit) η 2 2 t r ( ρ ρ ) g η= (5) 9 a ( + 2, r /R) zu bestien. Wenn an alle Größen in den SI-inheiten kg, und s einsetzt, erhält an als inheit der Viskosität η 2 kg s = N s / = Pa s Hinweise zur Fehlerrechnung Der Fehler der zu bestienden Viskosität ist nicht durch eine kurze Forel anzuschreiben (die Gl. (5) enthält Suen und Produkte von Meßgrößen!); deshalb acht an folgende Annahen: a) Der Korrekturfaktor i Nenner bleibt als kleine Korrekturgröße unberücksichtigt. b) Die angegebenen Größen g, a und ρ (Dichte der Flüssigkeit) werden als fehlerfrei angesehen. c) Man erittelt zunächst den relativen Fehler der Differenz ( ρ ρ ) ρ ρ = ( ) ρ + ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ und schätzt den Fehler der Dichtebestiung für die Kugeln aus den Messungen von Masse und Radius der Kugeln ab zu d) Nach diesen Vorarbeiten ist ρ = ρ ( /+ r /r ). η t r ρ = η t r ρ ρ (6) 5

6 Anhang Die Bewegungsgleichung der Kugel unter de influß der Kräfte R (Gl. 7) und G-A (Gl. 0) R = 6 π η r v und lautet = π ρ ρ G A r ( )g dv a = = (G A) R (A.) dt Definiert an k = R = 6 π η r und verwendet v kann Gl. (A.) ugefort werden: G A G A = = 6πηr k von (Gl.2), dv k(v v) dt = bzw. dv k = dt v v (A.2) Wir integrieren nun (A.2) unter Berücksichtigung, dass v = 0 für t = 0, v dv t k = dt v v 0 0 und erhalten * v k v v ln( v v ) 0 = t = ln v Das führt zu der Lösung für die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit (k/)t v(t) v ( e ) = (A.) Die Konstante k 6 πη = r legt fest, wie schnell sich die Kugel ihrer ndgeschwindigkeit v nähert. Die Strecke s, die dabei zurückgelegt wird, ist gegeben durch v v (A.) (k / ) (k / ) k t (k/)t s= v(t)dt = vt+ e v (t ) 0 * dy / y = ln y 6