Einführung in die Finanzmathematik Vorlesung an der TU Darmstadt WS 2004/2005

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1 Einführung in die Finanzmathematik Vorlesung an der TU Darmstadt WS 2004/2005 Jakob Creutzig TU Darmstadt, AG 9 9. Februar 2005 Inhaltsverzeichnis 1 Finanzderivate 2 2 Ein-Perioden-Modellierung 8 3 Prozesse und Filtrationen 26 4 Preismodellierung im n Perioden Modell 43 5 Ausblick: Das Black-Scholes-Modell 67 A Ein Trennungssatz der konvexen Analysis 78 creutzig@mathematik.tu-darmstadt.de 1

2 1 Finanzderivate Das Kapitel gibt einen groben Überblick über moderne Finanzmärkte und die wichtigsten Derivate. Es werden Modellierungsannahmen für einen mathematischen Zugang gefunden und begründet. 1.1 Aktien und andere Finanzgüter Aktien Die typische Großfirma unserer Tage existiert als Aktiengesellschaft (AG) bzw. als Corporation (Inc., USA) oder limited liability company (&Co. Ltd/plc, UK). Die Firma gehört anteilig den Aktieninhabern (shareholder). Eine Aktie gibt also einen anteiligen Besitz der Firma wieder, hat einen Wert 1, zu dem sie gehandelt werden kann, der im Aktienkurs dargestellt wird Bonds Ein Bond ist ein Wertpapier, welches einen garantierten Abnahmewert hat. Die einfachste Form eines Bond ist ein festverzinstes Wertpapier, welches nach Erwerb in seinem Wert nach einer vorgegebenen Zinsrate steigt. Beispiele für solche einfachen Bonds sind z.b. Bundesschatzbriefe. Kompliziertere Bonds benötigen Prämienzahlungen zu vorher festgesetzten Zeiten; diese können (wie z.b. bei Lebensversicherungen oder Bausparverträgen) am Anfang der Laufzeit festgelegt werden oder sich an Finanzmarktfaktoren wie z.b. dem Leitzins orientieren. Wir betrachten in dieser Vorlesung nur einfache Bonds, also festverzinste Wertpapiere. Diese werden an eigenen Märkten, den Rentenmärkten 2, gehandelt Währungen Währungen (Devisen) verhalten sich in ihren relativen Preisen Aktien nicht unähnlich; natürlich sind aber hier die preisbestimmenden Faktoren meist anders gelagert. Devisenkurse und Aktienkurse internationaler Firmen sind oft korreliert (Im-/Export). Devisen werden an Devisenmärkten in erstaunlichen Volumina gehandelt. 1 Was der Wert einer Aktie eigentlich widerspiegelt, ist nicht ganz klar. Eine mögliche Interpretation ist die, daß der Wert einer Aktie im wesentlichen die Einschätzung der Anleger über die künftige Entwicklung eben dieses Wertes widerspiegelt. 2 Der Name erklärt sich daraus, daß viele Firmen zb in den USA solche Bonds primär nutzen, um Betriebsrenten für ihre Mitarbeiter zu finanzieren. 2

3 1.1.4 Waren Warenmärkte handeln mit Großverbrauchsgütern wie Öl, aber auch mit Wertanlagen wie Gold. Wie Aktien unterliegen auch Warenpreise Schwankungen durch äußere Einflüsse; das prominenteste Beispiel unserer Zeit ist der Ölpreis Basisgüter Alle oben beschriebenen Güter wollen wir als Basisgüter bezeichnen. Der Wert (Kurs) eines solchen Basisgutes ändert sich zeitlich, abhängig von äußeren Einflüssen (z.b. Katastrophen, Zinssenkungen, Krieg, Halbjahresbilanzen, neue Ölfelder) und aufgrund der inneren Dynamik des jeweiligen Marktes (z.b. Gewinnmitnahmen nach einem längeren Kursanstieg). Wir sind interessiert an Vorhersagen zum Zeitpunkt 0 über den weiteren Verlauf des Kurses. Weil weder die äußeren Einflüsse noch die innere Dynamik zuverlässig vorhergesagt werden kann, ist es naheliegend, diese Einflüsse gar nicht erst explizit mitmodellieren zu wollen, sondern diese einfach als zufällig 3 anzusehen; unsere erste Modellierungsentscheidung lautet daher: Annahme I: Der Wert eines Basisgutes zu einem beliebigen Zeitpunkt t > 0 ist eine Zufallsgröße, die von einem geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum in die Menge (0, ) abbildet. Somit wandelt sich das Problem, die verschiedenen Einflüsse auf den Kurs zu reflektieren, in das Problem, einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum und eine Familie von Zufallsgrößen hierauf zu finden, welche die mögliche Entwicklung des Kurses in einem gewissen Sinne hinreichend gut modellieren. 1.2 Derivate Der einfache Handel mit Aktien ist für die komplexen wirtschaftlichen Transaktionen unserer Zeit längst nicht mehr ausreichend. Anleger schließen heutzutage Verträge über zukünftige Transaktionen, die von den künftigen Kursverläufen abhängen. Solche Verträge heißen Derivate oder abgeleitete Finanzinstrumente. Die für uns interessantesten Derivate sind Termingeschäfte; hier wird zum Zeitpunkt t 0 vereinbart, in einem (festen oder kursabhängigen) Zeitrahmen [T 0, T 1 ] bestimmte Transaktionen durchzuführen, die vom Kursverlauf eines oder mehrerer Basisgüter abhängt. Der Einfachheit halber setzen wir meist t 0 = 0. Ein Derivat hat stets einen Preis, den 3 Natürlich heißt dies nicht rein zufällig. Ein festverzinster Bond wird stets den gleichen Ertrag bringen. 3

4 eine der Parteien bei Vertragsabschluß zahlen muß. Die Frage, welcher Preis für ein Derivat angemessen ist, wird das zentrale Thema dieser Vorlesung sein Swaps Bei einem Swap tauschen beide Parteien an einem vorher festgelegten Zeitpunkt Basisgüter aus, und zwar in einer Menge, die durch eine festgelegte Formel von den Kursen der Güter zum Endzeitpunkt abhängt. Swaps sind populär im Devisenhandel, aber auch am Rentenmarkt Forwards/Futures Bei einem Forward oder Future verpflichtet sich die eine Partei, von der anderen Partei innerhalb eines künftigen Zeitraumes [T 0, T 1 ] eine festgelegte Menge eines Basisgutes zu einem festgelegten Preis zu kaufen, bzw. ihr zu verkaufen. Ein solcher Handel an einem Finanzmarkt (s.u.) heißt Future, ein individuell geschlossener Vertrag Forward. Der Käufer bei einem solchen Kontrakt ist in einer long position, der Verkäufer in einer short position. Es ist keineswegs unüblich, einen Forward in einer short position zu schließen, obwohl man beim Vertragsabschluß selbst das Basisgut noch gar nicht besitzt (Leerverkäufe oder auch short sellings) Optionen Optionen geben dem Käufer das Recht, aber nicht die Pflicht, ein bestimmtes Gut in einem zukünftigen (festen oder kursabhängigen) Zeitfenster [T 0, T 1 ] zu einem vereinbarten Preis K, dem Ausübungspreis (strike price), zu kaufen oder zu verkaufen. Eine Call Option ist eine mit Kaufrecht, eine Put Option eine mit Verkaufsrecht. Analog spricht man auch hier von long (Käufer der Option) und short (Verkäufer der Option) positions. Das vom Käufer erworbene Recht wird auch Claim genannt; daher wird oft auch gesagt, man habe einen Claim gekauft. Bei einer europäischen Option ist T 0 = T 1, bei einer amerikanischen Option ist T 0 = 0. Diese vier Optionstypen (europäischer Call/Put, amerikanischer Call/Put) sind die vier wichtigsten Typen von Optionen und werden daher auch (plain) vanilla 4 Optionen genannt. Daneben gibt es noch exotische Optionen, z.b. aisatische, lookback- oder Barriereoptionen, auf die wir hier nicht weiter eingehen wollen. Für eine europäische Call Option können wir leicht das optimale Verhalten vorhersagen (Übe das Kaufrecht genau dann aus, wenn der Kurs höher ist als K.), und damit erhalten wir für den Gewinn des Käufers die Formel max{s(t 1 ) K, 0} =: (S(T 1 ) K) +, 4 Viele Süßigkeiten werden in den USA in verschiedenen Geschmacksrichtungen angeboten; der Grundtyp wird dabei meistens mit vanilla bezeichnet. 4

5 wobei S(T 1 ) der Kurswert des entsprechenden Basisgutes zum Zeitpunkt T 1 ist. Analog ist der Gewinn des Käufers einer europäischen Put-Option (K S(T 1 )) Finanzmärkte Es gibt grundsätzlich zwei Arten, Finanzderivate zu handeln. Einerseits gibt es die großen organisierten Börsen (exchanges) mit festen Regeln und Preisen, andererseits den individuellen Handel zwischen zwei Parteien (over-thecounter, OTC). Wichtige Börsen sind die Chigago Board Options Exchange (CBOE), die deutsche Terminbörse (DTB) oder die London International Financial Futures Exchange (LIFFE). Der Großteil des OTC-Handels findet zwischen Banken, hauptsächlich Investmentbanken, statt, z.b. Goldman Sachs, Chase Manhattan oder der deutschen Bank. Der OTC-Handel ist wegen der flexibleren Vertragsmöglichkeiten in letzter Zeit deutlich beliebter geworden und wächst schneller als der Handel an den meisten Terminbörsen. 1.4 Arbitrage Als Arbitrage bezeichnet man die Möglichkeit, durch Kauf und Verkauf von Basisgütern oder Derivaten einen risikolosen Profit zu erzielen, der größer ist, als der durch Bonds erzielbare Profit. Ein simples Beispiel (s. Irle, p.11): Die Aktie A wird in New York und Frankfurt gehandelt; in Frankfurt sei der Kurswert 93 Euro, in New York 100 Dollar, der Dollar koste 0,94 Euro, und es gibt keine Gebḧren oder sonstigen Transaktionskosten. Eine Arbitragemöglichkeit ist nun gegeben durch die Strategie: Kaufe Aktien in Frankfurt, verkaufe sie in New York, und wechsle Dollar in Euro. Dabei entfällt pro Aktie der Gewinn ( ) = 1 Euro. Eine zentrale Annahme für unsere Modellierung basiert auf der folgenden heuristischen Argumentation: Falls eine Möglichkeit zur Arbitrage vorliegt und sie genutzt wird, wird der Markt reagieren und die entsprechenden Preise entsprechend anpassen, sodaß die Arbitragemöglichkeit verschwindet. Daher werden wir für unsere Modellierung annehmen: Annahme II: Ein stabiler Markt ist arbitragefrei. Alle Preise für Güter/Derivate müssen daher so berechnet werden, daß keine Arbitragemöglichkeit existiert. 1.5 Handelsstrategien Die beobachtbaren Handelsstrategien lassen sich grob in drei Kategorien einteilen. 5

6 1.5.1 Hedging Das Wort Hedging hat keine direkte deutsche Übersetzung; es bezeichnet den Versuch, durch klug verteilte Investitionen das Risiko eines (großen) Verlustes zu minimieren. Ein typisches Beispiel ist das einer Firma mit großem Exportvolumen, die sich gegen die Folgen ungünstiger Wechselkurse absichern will und daher Call-Optionen auf ihre Währung kauft. Üblicherweise sind Hedger an ein oder einen Pool von Basisgütern gebunden und wollen sich gegen eine schlechte Entwicklung der Kurse derselben absichern Spekulation Ein Spekulant geht im Gegenteil ein kalkuliertes Risiko ein, um sich Gewinnmöglichkeiten zu verschaffen. Typischerweise ist ein Spekulant uninteressiert an dem zugrundeliegenden Basisgut und lediglich am möglichen Gewinn interessiert; das ermöglicht es den Hedgern, leicht einen Spekulanten zu finden, welcher ihre Risiken übernimmt Arbitrageurs Arbitrageure versuchen ständig, Arbitragemöglichkeiten aufzufinden und zu nutzen; meistens indem sie an zwei oder mehr verschiedenen Finanzmärkten agieren. Scheinbar widerspricht dies der Annahme der Arbitragefreiheit, tatsächlich aber unterstützt die Existenz dieser Strategie die der These zugrunde liegende Heuristik, da mögliche Arbitragen auch schnell gefunden und nach kurzer Zeit durch die Marktdynamik unterbunden werden. 1.6 Weitere Modellierungsannahmen Wir treffen einige weitere Annahmen, die die Modellierung vereinfachen: Annahme III: Der Markt ist reibungsfrei, d.h. es entstehen einem Käufer/Verkäufer keinerlei Transaktionskosten oder Steuern. Annahme IV: Der Markt ist symmetrisch und ohne intrinsische Risiken, d.h. die Preise für Kauf und Verkauf eines Gutes/Derivates sind stets die gleichen, und weiter gelten die gleichen Zinsen für Guthaben und Kredite. Annahme V: Der Markt ist kontinuierlich und unreguliert, d.h. jedes Basisgut kann in beliebig kleinen Mengen erhalten werden, und es können beliebige Optionen abgeschlossen werden. Insbesondere sind Leerverkaeufe in beliebiger Höhe erlaubt. Annahme VI: Der Markt ist gierig, d.h. jeder Teilnehmer bevorzugt höhere Mengen jedes Basisgutes. Annahme VII: Der Markt ist preisindifferent, d.h. der Kauf/Verkauf einer beliebigen Menge an Gütern/Optionen beeinflußt nicht den momentanen Kurs. (Händler sind Preisnehmer, nicht Preismacher.) 6

7 1.7 Beispiel: Call-Put-Parität bei europäischen Optionen Betrachte europäischen Call und Put. Identisch seien: Basisgut, strike price K und Fälligkeitstermin T. Weiter sei ein risikoloser Bond gegeben mit Verzinsung r > 1 bis zur Zeit T. Bezeichnungen: S t der Preis des Basisgutes zur Zeit t, C sowie P die Preise der Call und Put Optionen (zur Ziet t = 0). 1. Strategie: Kauf des Basisgutes und des Put zur Zeit t = 0. Kapitaleinsatz zur Zeit t = 0: Wert des Portfolios zur Zeit T : S 0 + P. S T + (K S T ) + = max{s T, K}. 2. Strategie Lege K/(1 + r) in Bonds an und kaufe Call. Kapitaleinsatz zur Zeit t = 0: Wert des Portfolios zur Zeit T : K/(1 + r) + C. K + (S T K) + = max{s T, K}. Somit: für jeden Preis S T stimmen die Werte beider Portfolios zur Zeit T überein. Das Prinzip der Arbitragefreiheit liefert S 0 + P = K/(1 + r) + C. Denn wäre z.b. S 0 +P < K/(1+r)+C, so würde die folgende kombinierte Strategie risikolosen Profit ergeben: Kaufe das Basisgut und die Put-Option, gebe einen Bon über K/(1 + r) aus und verkaufe einen Call. (Dies ist ein allgemeines Prinzip: Strategien mit identischem Gewinn müssen identische Kosten haben.) 7

8 2 Ein-Perioden-Modellierung 2.1 Erinnerung: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie Wahrscheinlichkeitsraum Ein Wahrscheinlichkeitraum ist ein Tupel (Ω, A, P ), sodaß 1. Ω (Grundraum), 2. A P(Ω) 5 ist eine σ-algebra, d.h. (a) Ω A, (b) A A Ω \ A A, (c) A i A, i N i N A i A, 3. P : A [0, 1] Wahrscheinlichkeitsmaß, d.h. (a) P (Ω) = 1, (b) Für alle A i A, i N paarweise disjunkt ist P ( i N A i) = i N P (A i). Wichtige Spezialfälle: diskreter Wahrscheinlichkeitsraum: Ω höchstens abzählbar und A = P(Ω), Absolutstetige Maße: Ω = R n, A σ-algebra der Borel-Mengen 6, f : R n [0, [ integrierbar mit R f(x) dx = 1; definiere WahrscheinlichkeitMaßP n durch P (A) = f(x) dx, A A. Eine Zufallsvariable X ist eine Abbildung X : Ω R mit A {X c} A, c R. Zufallsvektor: Vektor von Zufallsvariablen auf einem gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsraum. Konvention: Wir schreiben X = Y, X Y, X > Y usw. für Zufallsvariablen X und Y auf gemeinsamem Wahrscheinlichkeitsraum, falls die entsprechende Relation fast sicher gilt 7. Im folgenden legen wir ohne besondere Erwähnung stets einen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ) zugrunde. 5 P(Ω) ist die Potenzmenge von Ω 6 D.h., die kleinste σ Algebra, die alle offenen Kugeln als Elemente enthält. Insbesondere sind auch alle abgeschlossenen Mengen enthalten. 7 D.h., es existiert eine Menge Ω 0 A mit P (Ω 0) = 1 und für alle ω Ω gilt X(ω) = Y (ω) (analog >, <, etc.). 8

9 2.2 Definitionen und Beispiele Definition 1. Ein-Perioden-Modell: Preise von g Basisgütern zu zwei Handelszeitpunkten S j,t, j = 1,..., g, t = 0, 1, wobei fest und bekannt, Zufallsvektor. S 0 = S 1 = S 1,0. S g,0 R g S 1,1. S g,1 Hiermit liegt das einfachste stochastische Finanzmarktmodell vor. Definition 2. Portfolio (Wertpapierbestand) 8 Dessen Wert zur Zeit t Portfolio x heißt risikofrei, falls x S t = Für ein risikofreies Portfolio x heißt der zugehörige Diskontierungsfaktor. x R g. g x i S i,t. j=1 x S 0 > 0 x S 1 = 1. B 1 = x S 0. Beispiel 1. Eine festverzinsliche Anlage und eine Aktie mit zwei möglichen Kursen A 1 zur Zeit t = 1. Anfangskurs A 0 > 0 sowie { u A 0 mit Wahrscheinlichkeit p, A 1 = d A 0 mit Wahrscheinlichkeit 1 p für p ]0, 1[ und 0 < d < u. Festverzinsliche Anlage zum Zinssatz ρ > 0. Formal: Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ) mit Ω = {ω 1, ω 2 }, A = P(Ω), P ({ω 1 }) = p, 8 Beachte: x j N 0 zugelassen und x S 1 Zufallsvariable. 9

10 ferner A 1 (ω 1 ) = u A 0 und A 1 (ω 2 ) = d A 0 sowie ( ) ( ) ρ S 0 =, S 1 =. Risikofreies Portfolio A 0 x = ( 1 1+ρ 0 mit Diskontierungsfaktor B 1 = 1/(1 + ρ). Definition 3. Portfolio x heißt Arbitrage (risikoloser Profit), falls x S 0 0 x S 1 0 P ({x S 1 > x S 0 }) > 0. Modell heißt arbitragefrei, falls keine Arbitrage existiert. Fortan vorausgesetzt: Existenz eines risikofreien Portfolios. Lemma 1. Das Modell ist arbitragefrei genau dann, wenn keine Arbitrage x mit x S 0 = 0 existiert. Beweis. Sei x Arbitrage mit x S 0 < 0. Setze z = x + λ y, wobei y risikofrei und λ R. Also z S t = x S t + λ y S t. ) A 1 Wähle Hiermit so daß λ = x S 0 y S 0 > 0. z S 0 = 0, z S 1 = x S 1 + λ > 0, P ({z S 1 > z S 0 }) = 1. Lemma 2. Der Diskontierungsfaktor eines arbitragefreien Modells ist eindeutig bestimmt, d.h. zwei risikofreie Portfolios haben stets denselben Diskontierungsfaktor. Beweis. "Ubung. Beispiel 2. Fortsetzung von Beispiel 1. Es gilt Modell arbitragefrei d < 1 + ρ < u. 10

11 Beweis: 1. Fall d 1 + ρ. Leihe Geld zum Aktienkauf. Formal ( ) A0 x =. 1 Dies definiert eine Arbitrage, da x S 0 = A 0 +A 0 = 0, x S 1 = A 0 (1+ρ)+A 1 A 0 (d (1+ρ)) 0 und P ({x S 1 > 0}) P ({ω 1 }) = p > Fall u 1+ρ. Leihe Aktie zur Geldanlage. Arbitrage x = (A 0, 1). Nachweis wie oben. Sei x Arbitrage mit x S 0 = 0, d.h. x 2 = x 1 /A 0. Dann und somit x S 1 = x 1 (1 + ρ A 1 /A 0 ), x 1 > 0 x S 1 (ω 1 ) < 0, x 1 < 0 x S 1 (ω 2 ) < 0, x 1 = 0 x S 1 = 0. Definition 4. Claim (Anrecht, Forderung) 9 ist reellwertige Zufallsvariable C. Zugehöriger Hedge (Sicherungsgeschäft) 10 ist Portfolio x mit x S 1 = C. Claim heißt absicherbar, falls ein zugehöriger Hedge existiert. Modell heißt vollständig, falls jeder Claim absicherbar ist. Beispiel 3. Das Modell aus Beispiel 1 ist vollständig. Betrachte Claim C und Portfolio x. Dann x Hedge für C x S 1 (ω i ) = C(ω i ), i = 1, 2. Also ist ein Hedge durch das lineare Gleichungssystem x 1 (1 + ρ) + x 2 u A 0 = C(ω 1 ) x 1 (1 + ρ) + x 2 d A 0 = C(ω 2 ) charakterisiert. Als eindeutige Lösung erhält man x 1 = u C(ω 2) d C(ω 1 ) (1 + ρ) (u d) x 2 = C(ω 1) C(ω 2 ). A 0 (u d) 9 Inhaber erhält Auszahlung C zur Zeit t = Verkäufer des Claims sichert sich gegen zufällige Entwicklung ab. 11

12 Speziell: Europäischer Call mit Basispreis K und Verfallstermin T = 1, d.h., C = (A 1 K) +. Zugehöriger Hedge Beachte x 1 = u (d A 0 K) + d (u A 0 K) + (1 + ρ) (u d) x 2 = (u A 0 K) + (d A 0 K) +. A 0 (u d) x 1 0 x 2, also Aufnahme von Geld und Kauf der Aktie. 2.3 Bewertung von absicherbaren Claims Gegeben: arbitragefreies Modell (S 0, S 1 ) und Claim C mit Hedge x. Frage: fairer Preis von C zur Zeit t = 0? Definition mit dem Prinzip der Arbitragefreiheit. Dazu: Claim als neues Basisgut mit Preis C zur Zeit t = 1. Erweitertes Modell auf demselben Wahrscheinlichkeitsraum ( ) ( ) a C S 0 =, S 1 =. S 0 Definition des Preises a des Claims zur Zeit t = 0, so daß die Arbitragefreiheit erhalten bleibt. S 1 Satz 1. (S 0, S 1 ) arbitragefrei a = x S 0. Beweis. 1. Fall: a < x S 0. Arbitrage durch Kauf des Claim, Verkauf des Hedge x und risikofreie Anlage der Differenz. Formale Rechnung: Es existiert Portfolio y mit y S 0 = 1 und y S 1 = 1/B 1. Definiere Dann und z = ( ) 1 + (x S x 0 a) ( ) 0. y z S 0 = a x S 0 + (x S 0 a) 1 = 0 z S 1 = C x S 1 + x S 0 a B 1 2. Fall: a > x S 0. Analog. = x S 0 a B 1 > 0. 12

13 3. Fall: a = x S 0. Betrachte beliebiges Portfolio z = Modell. Es gilt sowie z S 0 = z 0 a + y S 0 = (z 0 x + y ) S 0 z S 1 = z 0 C + y S 1 = (z 0 x + y ) S 1. ( ) z0 im erweiterten y Fazit: Falls z Arbitrage im erweiterten Modell, so ist z 0 x + y Arbitrage im ursprünglichen Modell. Definition 5. In obiger Situation: fairer Preis s(c) des Claim C: s(c) = x S 0. Bemerkung 1. Fairer Preis hängt nicht vom gewählten Hedge ab, sonst Arbitragemöglichkeit. 2.4 Steilkurs: Absolutstetigkeit und Dichten Erinnerung: Der Erwartungswert ist linear. Für jede Zufallsvariable X 0 gilt E(X) 0 sowie E(X) = 0 X = 0. Der Erwartungswert eines Zufallsvektors ist komponentenweise definiert. Definiere N P = {A A : P (A) = 0}. Schreibweise für Erwartungswerte bzgl. P E P (X) = X dp = Ω X dp. Definition 6. Sei Q Wahrscheinlichkeitsmaß auf (Ω, A). Q absolut stetig bzgl. P (in Zeichen Q P ), falls N P N Q. Q äquivalent zu P (in Zeichen Q P ), falls N P = N Q. Sei L Zufallsvariable mit L 0 und LdP = 1. Durch Q(A) = L dp = 1 A L dp, A A, A wird ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf (Ω, A) definiert. Definition 7. In obiger Situation heißt L eine P -Dichte von Q (in Zeichen: L = dq dp ). Beispiele in den Fällen Ω endlich, abzählbar und 11 Ω = R d. Eigenschaften: 11 Nicht notwendig P (Ω) = 1. 13

14 i) Q P, Ausblick: Satz von Radon-Nikodym, ii) Q P P ({L > 0}) = 1, iii) L, L P -Dichten von Q P ({L = L }) = 1. iv) Sei X Zufallsvariable. Falls X 0 X dq = X dq dp dp. Stets und ggf. gilt X Q-integrierbar X dq dp P -integrierbar X dq = X dq dp dp. 2.5 Das äquivalente risikoneutrale Wahrscheinlichkeitsmaß Gegeben: Ein-Perioden-Modell (S 0, S 1 ) auf (Ω, A, P ). Welche Rolle spielt das Maß P bei der Bestimmung des fairen Preises? Ziel: fairer Preis als Erwartungswert. Definition 8. Zufallsvariable Z heißt zulässig (bezüglich P ), falls Z > 0, und Z ist beschränkt, 2. E P ( ZS 1 ) < für die euklidische 13 Norm auf R g. Proposition 1. (S 0, S 1 ) arbitragefrei Z zulässig : S 0 = E(Z S 1 ). Beweis. Sei Z zulässig mit S 0 = E(Z S 1 ) und x Arbitrage mit x S 0 = 0. Dann 0 = x S 0 = E(Z x S 1 ) > 0, da Z x S 1 0 und P ({Z x S 1 > 0}) = P ({x S 1 > 0}) > 0. Widerspruch. Betrachte Z = {E(Z S 1 ) : Z zulässig} sowie Z = S Im Spezialfall Ω endlich: Z > Tatsächlich kann man hier E( ZS 1 ) < für eine beliebige Norm auf R g fordern, da auf dem R g alle Normen äquivalent sind. 14

15 Dann: Z zulässig, also Z. Ferner: Z konvex(er Kegel), da {Z : Z zulässig} konvex und Z E(Z S 1 ) linear. Annahme 1: Verwende Satz A.1: S 0 Z. sowie x R g \ {0} β R z Z : x S 0 β x z x S 0 < β z Z : β < x z. Behauptung 1: x ist Arbitrage. Setze Z n = 1 n Z für n N. Dann: Z n zulässig, und z n := E(Z n S 1 ) = 1 n E(Z S 1) 0. Also gilt β 0 und somit x S 0 0. Annahme 1a): P ({x S 1 < 0}) > 0. Dann P ({x S 1 /(1+ S 1 ) < δ}) = ε > 0 für passende δ, ε > 0. Setze Z n = n 1 + S {x S 1 <0} S 1 1 {x S 1 0}, z n = E( Z n S 1 ). Dann: Z n zulässig und ( x z n = x E( Z ( x S 1 ) + ) ( (x S 1 ) + ) n S 1 ) = n E +E, 1 + S S 1 } {{ } δ ε so daß lim n x z n =, im Widerspruch zu x z n β. Also ist Annahme 1a) widerlegt, es gilt folglich x S 1 0. Annahme 1b): x S 0 = 0 = x S 1. Dann gilt für alle z Z mit geeignetem zulässigem Z x z = E(x ZS 1 ) = 0 = β = x S 0. Widerspruch. Damit ist Annahme 1 b) widerlegt, es gilt also x S 0 < 0 oder P ({x S 1 > 0}) > 0, und damit folgt Behauptung 1. Diese widerspricht aber der Voraussetzung, folglich ist Annahme 1 falsch. 15

16 Beispiel 4. Festverzinsliches Wertpapier plus Aktie, siehe Beispiel 1. Hier ( ) ( ) ( ) ρ 1 + ρ S 0 = E(Z S 1 ) = p Z(ω A 1 ) +(1 p) Z(ω 0 ua 2 ), 0 da 0 so daß S 0 = E(Z S 1 ) äquivalent ist zu p Z(ω 1 ) + (1 p) Z(ω 2 ) = ρ, p u Z(ω 1 ) + (1 p) d Z(ω 2 ) = 1. Die Determinante ist hier gegeben durch Man erhält als eindeutige Lösung Z(ω 1 ) = Z(ω 2 ) = p (1 p) (d u) < 0. 1 p(u d) ( 1 d 1 (1 p)(u d) ), 1 + ρ ( u 1 + ρ 1 Also: Positivität von Z äquivalent zur Arbitragefreiheit des Modells, siehe Beispiel 2 (und Proposition 1). ). Im folgenden: Q weiteres Wahrscheinlichkeitsmaß auf (Ω, A). Bemerkung 2. Falls Q P, so gehören zu P und Q offenbar dieselben risikofreien Portfolios, Arbitragen und Hedges. Also besitzt ein absicherbarer Claim bzgl. P und Q denselben Preis. 16

17 Satz 2. Äquivalent sind (i) (S 0, S 1 ) arbitragefrei, (ii) Q W maß B > 0 : Q P E Q ( S 1 ) < S 0 = E Q (B S 1 ). Beweis. (i) (ii) Sei Z gemäß Proposition 1 gewählt, und sei x risikofrei. Also B 1 = x S 0 = E P (Z x S 1 ) = E P (Z), d.h. E P (Z) ]0, [. Definiere B = B 1 und Q(A) = 1 Z dp. B Dann gilt A P Q, E Q ( S 1 ) = 1 B E P (Z S 1 ) <, E Q (S 1 ) = 1 B E P (Z S 1 ) = 1 B S 0. (ii) (i) Es gilt für jedes Portfolio x x S 0 = E Q (B x S 1 ). Aus x S 0 = 0 und x S 1 0 folgt wegen B > 0, daß x S 1 = 0. Somit existiert keine Q-Arbitrage und, gemäß Bemerkung 2, auch keine P -Arbitrage. Definition 9. Jedes Wahrscheinlichkeitsmaß Q gemäß Satz 2 heißt äquivalentes risikoneutrales Wahrscheinlichkeitsmaß. Bemerkung 3. Das äquivalente risikoneutrale Wahrscheinlichkeitsmaß ist i.a. nicht eindeutig bestimmt. Vgl. jedoch Satz 4. Der Faktor B ist stets der eindeutig bestimmte Diskontierungsfaktor B 1. Beweis. Sei Q beliebiges äquivalentes risikoneutrales Wahrscheinlichkeitsmaß und B gemäß (ii) gewählt. Sei x risikofrei. Dann B = E Q (Bx S 1 ) = x S 0 = B 1. Jetzt: Arbitragefreiheit des erweiterten Modells, fairer Preis eines Claims mittels äquivalentem risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsmaß ohne explizite Angabe eines Hedges. 17

18 Satz 3. Gegeben: Arbitragefreies Modell (S 0, S 1 ) mit Diskontierungsfaktor B 1 und äquivalentem risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsmaß Q sowie absicherbarer Claim C. Dann (( ) ( )) a C, arbitragefrei a = E Q (B 1 C). S 0 S 1 Beweis. Sei x Hedge für C. Dann. Wende Satz 1 an. x S 0 = E Q (x B 1 S 1 ) = E Q (B 1 C). Fazit: In obiger Situation Bewertung durch 1. Diskontieren, 2. Erwartungswertbildung, jedoch nicht bzgl. P sondern bzgl. Q. Bemerkung 4. Bestimmung eines äquivalenten risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsmaßes: Ansatz gemäß Beweis von Satz 2 und Bemerkung 3 dq dp = Z B 1, Bestimmung von Z gemäß Proposition 1? Beachte, daß der Beweis dieser Proposition nicht-konstruktiv geführt wird (Trennungssatz). Speziell Ω = {ω 1,..., ω n } endlich mit Ω = n. Dann Q({ω i }) = Z(ω i) B 1 P ({ω i }). Dies führt auf ein lineares Gleichungssystem sowie und n Q({ω i }) S 1 (ω i ) = 1/B 1 S 0 i=1 i = 1,..., n : Q({ω i }) = 0 P ({ω i }) = 0 n Q({ω i }) = 1 i = 1,..., n : Q({ω i }) 0. i=1 Man erhält ein lineares Ungleichungssystem, falls obda P ({ω i }) > 0 für alle i = 1,..., n. 18

19 Beispiel 5. Festverzinsliches Wertpapier plus Aktie. Gelte d < 1 + ρ < u, d.h. Arbitragefreiheit gemäß Beispiel 2. Beispiel 4 liefert ( Z(ω 1 ) = 1 d ), Z(ω 2 ) = 1 p(u d) 1 (1 p)(u d) Beispiel 1 zeigt B 1 = 1/(1 + ρ). Also 1 + ρ ( u 1 + ρ 1 ). q := Q({ω 1 }) = 1 + ρ d u d = 1 Q({ω 2 }) ]0, 1[, und es gilt Q P für jedes Wahrscheinlichkeitsmaß P auf (Ω, P(Ω)). Gemäß Beispiel 3 ist das Modell vollständig. Für jeden Claim C ergibt sich s(c) = E Q (B 1 C) = 1 u d ((1 B 1 d) C(ω 1 ) + (B 1 u 1) C(ω 2 ) ). Ein numerisches Beispiel. Gelte A 0 = 1, ρ = 0.05, u = 2, d = 0.5 sowie C(ω 1 ) = 3, C(ω 2 ) = 1 5. Dann B 1 = 20 21, q = = und s(c) = B 1 (3 q (1 q)) = = Annahme: Verkaufspreis 1, etwa bei irrtümlicher Bewertung bzgl. P mit p = 17/56 = Dann: Kauf des Claim, Verkauf des Hedge ( ) 44/63 x =, 28/15 siehe Beispiel 3. Nettogewinn x 1 + x 2 1 = s(c) 1 = =

20 Bemerkung 5. In Beispiel 5 hängt der faire Preis (und das äquivalente Martingalmaß) nicht vom Wahrscheinlichkeitsmaß P, d.h. vom Parameter p ]0, 1[ ab. Bullen und Bären, die Kurssteigerungen mit großer bzw. kleiner Wahrscheinlichkeit erwarten, können sich allein unter Verwendung des Prinzip der Arbitragefreiheit auf einen fairen Preis einigen. Dies erklärt auch das Attribut risikoneutral. Man beachte jedoch, daß dieser Preis von den Parametern u, d und ρ abhängt. Ein Hedge ergibt sich als Lösung eines linearen Gleichungssystems ohne Berücksichtigung von Wahrscheinlichkeiten. Deshalb überrascht es nicht, daß der faire Preis nicht von den Wahrscheinlichkeiten abhängt. Satz 4. Arbitragefreiheit und Vollständigkeit sichern die Eindeutigkeit des äquivalenten risikoneutrales Wahrscheinlichkeitsmaßes. Beweis. Gelte Q i P und S 0 = E Qi (B 1 S 1 ) für i = 1, 2. Für jedes A A existiert x R g mit x S 1 = 1 A. Also so daß Q 1 (A) = Q 2 (A), da B 1 > 0. x S 0 = E Qi (B 1 x S 1 ) = B 1 Q i (A), Satz 5. Gegeben: arbitragefreies Ein-Perioden-Modell mit endlichem Grundraum Ω. Aus der Eindeutigkeit des äquivalenten risikofreien Wahrscheinlichkeitsmaßes folgt die Vollständigkeit. Beweis. Gelte obda P ({ω}) > 0 für alle ω Ω. Betrachte M := L 2 (Ω, A, P ), den Raum aller quadratisch integrierbaren Zufallsvariablen bzgl. P. Da Ω endlich ist, folgt M = R Ω, und dies ist die Menge aller Claims. Die Menge aller absicherbaren Claims ist gegeben durch S 1 = span{s 1,1,, S g,1 } M. Die Existenz eines risikofreien Portfolios sichert 1 S 1. Ferner S 1 = {U M : E P (U Z) = 0 für alle Z S 1 } 20

21 und M = S 1 S 1. Die Vollständigkeit des Modells ist äquivalent zu M = S 1. Annahme: S 1 = M. Dann existiert U S 1 \ {0}. Sei Q ein äquivalentes risikoneutrales Wahrscheinlichkeitsmaß und Da Ω endlich ist, existiert ε > 0 mit Also: Definiere Q durch dq dp L = dq dp > 0. L := L + ε U > 0. L L E P (L ) = E P (L) +ε E } {{ } P (U 1) = 1. } {{ } 1 0 = L, so daß Q P und Q Q. Schließlich E Q (B 1 S 1 ) = E P ((L + εu) B 1 S 1 ) = E P (LB 1 S 1 ) + εb 1 E P (U S 1 )) } {{ } 0 = E Q (B 1 S 1 ) = S 0, im Widerspruch zur Eindeutigkeit des äquivalenten risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsmaß. Beispiel 6. Festverzinsliches Wertpapier plus g 1 Aktien, g > ρ S 0 = 1..., S 1 = A 1..., Ω = {ω 1, ω 2 } 2, A = P(Ω). 1 A g 1 Diskontierungsfaktor: B 1 = 1/(1 + ρ), P (A i = u i ) = p i = 1 P (A i = d i ) (0, 1), und A i unabhängig (also P (A 1 = ε 1 A g 1 = ε g 1 ) = i<g P (A i = ε i ), ε i {d i, u i } ). Nach Hausübung 2.2 ist dies Modell nicht vollständig. Bemerkung 6. Notwendig für die Vollständigkeit eines Modells mit Ω <, und damit für die Festsetzung fairer Preise für beliebige Claims gemäß Definition 5, ist g {ω Ω : P ({ω}) > 0}, 21

22 d.h. es gibt höchstens so viele Kursverläufe wie Finanzgüter. (Siehe Hausübung 2.1 c).) Die natürliche Annahme, daß es mindestens 2 g mögliche Kursverläufe gibt, ist damit also nicht vereinbar. Vgl. Beispiel 6 sowie Übungsaufgabe 1H2; dort zwei sich synchron bewegende Aktien. 2.6 Unvollständige Modelle Literatur: Musiela, Rutkowski, Chap. 4), Föllmer, Schied, Chap. 1.3 Definition 10. Sei (S 0, S 1 ) ein arbitragefreies Modell und C ein Claim. Ein Preis a für C heißt arbitragefrei, falls das erweiterte Modell (a, S 0 ), (C, S 1 ) arbitragefrei ist. Satz 6. Sei (S 0, S 1 ) ein Modell über (Ω, A, P ) mit Diskontierungsfaktor B, sodaß die Menge P der ärwm nichtleer sei. Sei C eine Option mit C 0; dann ist die Menge der arbitragefreien Preise für C gleich { } (C) = E Q (BC) : Q P, E Q (C) <. Falls (C), so gilt ˆπ(C) := inf p p = inf E Q(BC), π(c) := sup (C) Q P p p = sup E Q (BC). (C) Q P Beweis. Die erste Behauptung folgt leicht aus Satz 2. Daraus folgt auch sofort die Behauptung für ˆπ(C). Falls E Q (C) < für alle Q P, ist auch die zweite kein Problem; nehmen wir also an, es gäbe ein Q mit E Q (C) =, dann haben wir zu zeigen, daß (C) unbeschränkt ist. Nehmen wir im Gegenteil an, daß π(c) <, und betrachten eine reelle Zahl π > ˆπ(C). Dann existiert zu π ein Arbitrage Portfolio x = (x g+1, x) R g+1, sodaß x (π, S 0 ) = 0 und x (C, S 1 ) 0 und mit positiver Wahrscheinlichkeit > 0. Wäre x g+1 < 0, so würde folgen C x S 1 } x {{ d+1 =: V x S 1 } x d+1 (wobei die euklidische Norm bezeichne), und da E Q S 1 <, folgt E Q (C) <, Widerspruch. Also muß x g+1 > 0 sein, also C V. Definiere C n := min{c, (n + V + )}, n N. Dann gilt C n V P f.s. und P (C n > V ) = P (C > V ) > 0, also ist x S 0 + x d+1 C n P fast sicher 0 und mit positiver Wahrscheinlichkeit > 0. Also ist π kein arbitragefreier Preis für C n. Nun ist C n aber eine monotone Folge von Zufallsvariablen mit C n < V + n, und daher gilt für n hinreichend groß Satz von der monotonen Konvergenz, siehe Bauer, Satz