Mathematik für Biologen

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1 Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 25. Januar 2013

2 1 Der χ 2 -Anpassungstest 2 Exakter Test nach Fisher Mendelsche Erbregeln als Beispiel für mehr als zwei Ausprägungen Test auf Übereinstimmung zweier Verteilungen Kleine Stichprobenumfänge 3 Normalverteilungsannahmen konservative Tests Q-Q-Plot: Vorgehensweise Q-Q-Plot: Beispiel

3 Test für ein Merkmal mit nur zwei Ausprägungen Beispielaufgabe: An der HHU sind 59.1% der Studierenden weiblich. Im BSc-Studiengang Biologie sind 618 von 1101 Studierenden weiblich. Das sind 56.1%. Ist der Unterschied beim Anteil weiblicher Studierender signifikant zum Signifikanzniveau α = 0.05? Für solche Fragestellungen verwendet man einen Chi-Quadrat-Anpassungstest. Diese Tests dienen zur Überprüfung der Gleichheit zweier Verteilungen.

4 Ausgangslage Stichprobenumfang ist n Daten eingeteilt in s-gruppen Experimentell ermittelte Anzahl der Daten in der j-ten Gruppe ist y j Von der Nullhypothese prognostizierte Wahrscheinlichkeit, dass Daten in Gruppe j fallen, ist π j Von der Nullhypothese prognostizierte Anzahl der Daten in der j-ten Gruppe ist n π j Teststatistik t = s (y j n π j ) 2 j=1 n π j

5 χ 2 -Anpassungstest, Entscheidung Das Signifikanzniveau sei α Die Teststatistik sei t Die Zahl der Freiheitsgrade ist s 1 Benötigt wird das Quantil χ 2 s 1, 1 α der χ2 -Verteilung H 0 wird abgelehnt, wenn t χ 2 s 1, 1 α

6 Zurück zum Beispiel s = 2 Teststatistik Beobachtung H 0 w m t = ( ) ( )2 450 = χ 2 1, 0.95 = 3.84 H 0 kann abgelehnt werden.

7 Quantile der χ 2 -Verteilung f 90% 95% 97.5% 99% 99.5% 99.9% 99.95%

8 Mendelsche Erbregeln Bei den Mendelschen Erbversuchen tritt das Merkmal Blütenfarbe in drei Ausprägungen auf, nämlich weiß, rosa und rot weiß und rot haben dieselbe Wahrscheinlichkeit, rosa die doppelte 4 Blüten werden beobachtet, alle sind rosa Widerspricht diese Beobachtung den Mendelschen Regeln?

9 Interpretation als Vergleich zweier Verteilungen Modellannahme: Die Mendelschen Regeln gelten für die untersuchte Situation Das entspricht der Verteilung Nummer Ausprägung Wahrscheinlichkeit 1 weiß 25% 2 rosa 50% 3 rot 25% Zu vergleichen mit der tatsächlichen Verteilung der Blütenfarben in dem Kollektiv Der Stichprobenumfang ist 4 Das ist für praktische Zwecke zu wenig, lässt sich aber gut von Hand rechnen

10 Mendelsche Erbregeln, Fortsetzung Ordne die möglichen Ergebnisse mit aufsteigender Wahrscheinlichkeit an Entscheidungsstrategie am Beispiel α = 0.05 Lehne H 0 ab, wenn die Beobachtung zu den 5% unwahrscheinlichsten Ereignissen gehört

11 Test auf Übereinstimmung zweier Verteilungen Unabhängige Zufallsvariable X 1,..., X n, die alle mit Wahrscheinlichkeit p 1 den Wert w 1, mit Wahrscheinlichkeit p 2 den Wert w 2,..., mit Wahrscheinlichkeit p s den Wert w s annehmen Vergleichswahrscheinlichkeiten π 1, π 2,..., π s mit π 1 + π π s = 1 Nullhypothese und Alternative: H 0 : p 1 = π 1, p 2 = π 2,..., p s = π s H 1 : mindestens ein p j π j

12 Test auf Übereinstimmung zweier Verteilungen: Summenvariable Summenvariable Erwartungswerte unter H 0 Y 1 = Anzahl aller X j mit X j = w 1 Y 2 = Anzahl aller X j mit X j = w 2. Y s = Anzahl aller X j mit X j = w s E(Y 1 ) = n π 1 E(Y 2 ) = n π 2 E(Y s ) = n π s.

13 Test auf Übereinstimmung für kleine Stichproben Bestimme für jede mögliche Kombination von Werten von Y 1,..., Y s deren Wahrscheinlichkeit Ordne diese Wahrscheinlichkeiten aufsteigend in einer Liste Der kritische Bereich, in dem H 0 abgelehnt wird, besteht aus den obersten Zeilen dieser Liste Man nimmt genau so viele Zeilen, dass die erlaubte Fehlerwahrscheinlichkeit erster Art nicht überschritten, aber möglichst gut ausgeschöpft wird

14 Beispiel Mendel: Formalisierung s = 3 X 1 ist der Zahlencode der Blütenfarbe der ersten Blüte, X 2 dasselbe für die zweite Blüte,... Y 1 bezeichnet die Anzahl der weißen, Y 2 die der rosafarbenen und Y 3 die der roten Blüten Dann Y 1 + Y 2 + Y 3 = 4 Im Beispiel Y 1 = 0, Y 2 = 4, Y 3 = 0 Rechne sämtliche Einzelwahrscheinlichkeiten aus

15 Beispiel Mendel: Wahrscheinlichkeiten der Einzelereignisse P(Y 1 = k 1, Y 2 = k 2, Y 3 = k 3 ) ( ) ( ) ( ) 4 4 k1 1 k1 ( ) 1 k2 ( ) 1 k3 = k 1 k ( ) 4! (4 k 1 )! 1 k1 = k 1! (4 k 1 )! k 2! (4 k 1 k 2 )! 4 ( ) 4! 1 k1 ( ) 1 k2 ( ) 1 k3 = k 1! k 2! k 3! ( ) 1 k2 2 ( ) 1 k3 4

16 Beispiel Mendel: Tabelle der W keiten der Einzelereignisse k 1 k 2 k 3 P(X 1 = k 1, X 2 = k 2, X 3 = k 3 ) kumulierte Summe

17 Beispiel Mendel: Balkendiagramm 100% 80% 60% 40% 20% (1,2,1) (0,3,1), (1,3,0) (0,2,2), (2,2,0), (1,1,2), (2,1,1) (0,4,0) (0,1,3), (3,1,0) (2,0,2) (1,0,3), (3,0,1) (4,0,0), (0,0,4) 0% Der linke Balken zeigt die kumulierten Werte aus der Tabelle, der rechte die 5%-Schwelle

18 Beispiel Mendel: Ergebnis In den folgenden Fällen kann die Nullhypothese zum Signifikanzniveau α = 0.05 abgelehnt werden 4 weiße oder 4 rote Blüten keine rosa, aber 3 weiße oder 3 rote Blüten Der p-wert des beobachteten Ereignisses 4 rosa Blüten beträgt 18.75%

19 Verteilungsannahmen Der t-test verwendet eine Verteilungsannahme: Daten müssen normalverteilt sein. Es gibt für viele verschiedene Verteilungsannahmen jeweils einen passenden Test. Zum Beispiel kann der χ 2 -Anpassungstest verwendet werden, nachdem man Erwartungswert und Varianz geschätzt hat In der Praxis ist oft nicht klar, welche Verteilungsannahme angemessen sind. Tests, die auch bei Verletzung der Verteilungsannahmen noch gute Ergebnisse liefern, heißen konservativ. Der t-test ist konservativ.

20 Q-Q-Plot Mit dem Quantil-Quantil-Plot kann man auf graphischem Wege beurteilen, ob Messwerte Realisierungen einer normalverteilten Zufallsvariablen sind Man trägt dazu auf der x-achse die Quantile der Standardnormalverteilung und auf der y-achse die Quantile der Beobachtungsdaten auf Wenn diese Punkte annähernd auf einer Geraden liegen, sind die Daten näherungsweise normalverteilt, ansonsten nicht

21 Q-Q-Plot: Vorgehensweise Gegeben n verschiedene Messwerte Ordne sie der Reihe nach an x 1 < x 2 < < x n Wenn z. B. n = 100, dann ist x 37 das 37%-Quantil des Datensatzes Allgemein interpretiere x j als j n-quantil des Datensatzes Genauigkeit steigt, wenn man x j als 1 n (j 1 2) -Quantil des Datensatzes betrachtet Beispiel mit drei Punkten 0% 33% 67% 100% 1/6 1/2 5/6 x 1 x 2 x 3

22 Q-Q-Plot: Vorgehensweise Die Daten werden nach der Größe sortiert j-ter Datenpunkt im Q-Q-Plot: x 1 < x 2 < < x n 1 x-koordinate : n (j 1 2) -Quantil der Standardnormalverteilung y-koordinate : x j Liegen diese Punkte annähernd auf einer Geraden? Wenn ja, dann ist die Normalverteilungsannahme gerechtfertigt

23 Q-Q-Plot: Beispiel Wir legen die Daten des Placebos aus dem Beispiel Blutdrucksenker zu Grunde Zur Bestimmung der Quantile ordnen wir sie der Größe nach an Benötigt: Die Quantile q 0.05, q 0.15, q 0.25,..., q 0.95 der Standardnormalverteilung q 0.05 q 0.15 q q 0.75 q 0.85 q

24 Q-Q-Plot q αj x j [mm Hg] ist das Quantil zu α j = 1 n q αj ( ) j 1 2

25 Q-Q-Plot von t-verteilten Daten 10 5 t αj q αj