Kleine Formelsammlung Elektrotechnik

Transkript

1 Kleine Formelsammlung Elektrotechnik Bearbeitet von Dieter Metz, Uwe Naundorf, Jürgen Schlabbach 4., verbesserte Auflage 003. Buch. 36 S. Hardcover ISBN Format (B x L): 11,5 x 16,5 cm Gewicht: 13 g Zu Inhaltsverzeichnis schnell und portofrei erhältlich bei Die Online-Fachbuchhandlung beck-shop.de ist spezialisiert auf Fachbücher, insbesondere Recht, Steuern und Wirtschaft. Im Sortiment finden Sie alle Medien (Bücher, Zeitschriften, CDs, ebooks, etc.) aller Verlage. Ergänzt wird das Programm durch Services wie Neuerscheinungsdienst oder Zusammenstellungen von Büchern zu Sonderpreisen. Der Shop führt mehr als 8 Millionen Produkte.

2 CARL HANSER VERLAG Dieter Metz, Uwe Naundorf, Jürgen Schlabbach Kleine Formelsammlung Elektrotechnik

3 Elektrisches Feld.1 Definitionen und Grundzusammenhänge Definition der elektrischen Feldstärke F E = Q F Kraft des elektrischen Feldes Q elektrische Ladung Die Definition erfolgt aus der Wirkung von Kräften auf elektrische Ladungen. Ursache der elektrischen Feldstärke Von den elektrischen Ladungen strömt ein elektrischer Fluss in den Raum (Quellenfeld). Mit der räumlichen Verteilung entsteht der Vektor der elektrischen Flussdichte und mit der Permittivität der Vektor der elektrischen Feldstärke. elektrischer Fluss Ψ = Q da ε e r elektrische Flussdichte elektrischer Flussdichtevektor elektrische Feldstärke elektrischer Feldstärkevektor elementare Querschnittsfläche Permittivität Richtungsvektor dψ D = da D = Der D E = ε E = Eer e r = 1

4 Zusammenhänge am Beispiel einer Punktladung 15 Definition des elektrischen Potenzials W ϕ = = Q U A W Energie, die bei Bewegung der Ladung von A nach B entsteht Q elektrische Ladung, die von A nach B transportiert wird U A Spannung (des Punktes A gegenüber der Bezugselektrode) Das elektrische Potenzial ist der Quotient aus der Energie, die bei Bewegung einer elektrischen Ladung zur Bezugselektrode (Potenzial null) entsteht, und der bewegten elektrischen Ladung. Es ist damit die elektrische Spannung relativ zu der Bezugselektrode (unendlich weit entfernte oder negativ geladene Elektrode). Zusammenhänge am Beispiel einer Punktladung elektrischer Fluss elektrische Flussdichte Ψ = Q P Q D = P 4πr

5 16 Definitionen und Grundzusammenhänge elektrischer Flussdichtevektor D Q P ε r e r elektrische Feldstärke elektrischer Feldstärkevektor Punktladung Permittivität Kugelkoordinate, Strecke Ladungszentrum Raumpunkt P Richtungsvektor De = r Q E = P 4πεr E = Ee r e r = 1 Elektrisches Potenzial in der Nähe von Punktladungen E dr QP ϕ = E dr = 4 πε r r 0 Vektor der elektrischen Feldstärke als Funktion von r Wegelementvektor Definitionen für homogene und inhomogene elektrische Felder E = konst. homogenes elektrisches Feld E = E( x, y, z) inhomogenes elektrisches Feld E Vektor der elektrischen Feldstärke x, y, z Richtungskoordinaten

6 Elektrische Flussdichte und Feldstärke 17 Das homogene elektrische Feld hat einen überall gleichen, das inhomogene elektrische Feld einen ortsabhängigen Vektor der elektrischen Feldstärke. Grafische Darstellung elektrischer Felder Das elektrische Feld wird zweidimensional mit Feldlinien und Äquipotenziallinien und dreidimensional mit Feldröhren und Äquipotenzialflächen dargestellt. Es gelten die folgenden Vereinbarungen: Feldlinien zeigen die Kraftrichtung. Quellen und Senken der Feldlinien sind elektrische Ladungen. Äquipotenziallinien verbinden Punkte gleichen Potenzials. Feldlinien und Äquipotenziallinien schneiden sich senkrecht. Größere Liniendichte bedeutet größere Feldstärke. Ein homogenes elektrisches Feld hat abstandsgleiche Linien. Im inhomogenen elektrischen Feld sinkt die elektrische Feldstärke in Richtung der Feldlinienkrümmung.. Elektrisches Feld in Nichtleitern Elektrische Flussdichte und Feldstärke D= ε E ε = ε r ε 0

7 18 Elektrisches Feld in Nichtleitern D Vektor der elektrischen Flussdichte E Vektor der elektrischen Feldstärke ε Permittivität, Dielektrizitätskonstante ε r Permittivitätszahl, relative Dielektrizitätskonstante ε 0 elektrische Feldkonstante (Permittivität des Vakuums) Die Vektoren der elektrischen Flussdichte D und der elektrischen Feldstärke E sind über die Permittivität (materialabhängige elektrische Feldkonstante) ε verknüpft. Die Permittivität ist das Produkt aus der absoluten Feldkonstante (des Vakuums) und der materialabhängigen Permittivitätszahl ε r. Gauß scher Satz des elektrischen Quellenfeldes D d A= Q A D Vektor der elektrischen Flussdichte A geschlossene Hüllfläche da elementarer Flächennormalenvektor Q elektrische Ladung Das Integral der elektrischen Flussdichte D über eine geschlossene Hülle A liefert als Nettofluss die von der Hülle eingeschlossene elektrische Ladung Q. Elektrische Spannung zwischen Raumpunkten E B UAB = ϕa ϕb = E() s ds A Vektor der elektrischen Feldstärke

8 Spannungsberechnung für Felder 19 ϕa; ϕb Werte des Potenzials in den Punkten A und B ds Vektor des Wegelements Der Wert des Integrals wird null für geschlossene Wege (Endpunkt gleich Ausgangspunkt) und für Wege auf einer Äquipotenzialen (der Winkel zwischen den Vektoren Weg und elektrische Feldstärke ist stets 90 ). Spannungsberechnung für homogene und inhomogene Felder homogenes elektrisches Feld UAB = Es inhomogenes elektrisches Feld B AB 1 d U = E ( s ) s A B UAB = Escosα UAB = E ( s1 )cos α ( s1 ) ds A U AB = ϕ A ϕ B U AB = ϕ A ϕ B EE ; Vektor der elektrischen Feldstärke; Betrag ss ; 1; s Wege im Feldraum d s; ds Vektor des Wegelements, Betrag α Winkel zwischen den Vektoren Weg und Feldstärke ϕa; ϕb Werte des elektrischen Potenzials in den Punkten A und B

9 0 Elektrisches Feld in Nichtleitern Entstehung der Feldstärke aus der Potenzialfunktion dϕ E x e dϕ = = x + y e dϕ y + z e grad ϕ z d d d ϕ Potenzialfunktion (Skalarfunktion) grad ϕ mathematisches Symbol zur richtungsorientierten Differenziation. Aus einer Skalarfunktion ϕ( xyz,, ) entsteht mit der Gradientenbildung die gerichtete Größe E. ex; ey; ez Richtungsvektoren in x-, y- und z-richtung eines kartesischen Koordinatensystems; ex = ey = ez =1 Influenzwirkung im elektrischen Feld Bei leitfähigen Probekörpern findet in einem elektrischen Feld eine Ladungstrennung statt (Influenz), bis der Probekörper im Innern feldfrei ist (Faraday scher Käfig). Die äußere elektrische Flussdichte wird zur Ladungsdichte auf der Oberfläche des Probekörpers. Influenzwirkung bei Influenzwirkung führt zum feldfreieinem Probekörper en Innenraum (Faraday scher Käfig) D 0 D = D E i = Vektor der äußeren elektrischen Flussdichte

10 Elektrisches Potenzial in der Nähe von Ringladungen 1 D 1 E i Betrag der Ladungsdichte auf der Oberfläche Feldstärke im Inneren des Probekörpers Elektrisches Potenzial in der Nähe von Linienladungen Q z z + r + z z 1 ϕ = 4π ε 0 ( z z ) ln ( e p ) p ( e p ) e a ( za zp) + rp + ( za zp) Q 1 Linienladung za; ze Koordinaten der Linienladung rp; zp Koordinaten des Punktes P ε 0 elektrische Feldkonstante Elektrisches Potenzial in der Nähe von Ringladungen QkK r ( k ) ϕ = 8 π ε rr 0 p q

11 Elektrisches Feld in Nichtleitern mit π dψ Kk ( ) = k = 1 k ' sinψ 0 4rr q p ( r + r ) + ( z z ) q p q p Q r Ringladung Kk ( ')elliptisches Integral mit dem Argument k rq; zq Koordinaten der Ringladung r ; z Koordinaten des Punktes P p p Grenzflächen im elektrostatischen Feld Elektrische Feldstärke und elektrische Flussdichte Et = Et1 Dn = Dn1 En = ε 1 Dt = ε En1 ε Dt1 ε1 tanα ε Eti = α i = arctan i = 1, tanα 1 ε1 Eni E t1; E t Tangentialkomponenten der elektrischen Feldstärke E n1; E n Normalenkomponenten der elektrischen Feldstärke D t1; D t Tangentialkomponenten der elektrischen Flussdichte Dn1; Dn Normalenkomponenten der elektrischen Flussdichte α ; α Winkel, unter denen die Grenzfläche geschnitten wird 1

12 Coulomb sches Gesetz 3 Die tangentialen Komponenten der elektrischen Feldstärke und die normalen Komponenten der elektrischen Flussdichte sind auf einer ladungsfreien Grenzschicht (σ F = 0) stetig. Elektrische Ladungsdichte auf einer Grenzschicht = d Q d = D A D σ F n n1 Dn1; Dn Normalenkomponenten der elektrischen Flussdichte Eine stationäre elektrische Ladungsdichte σ F auf der Grenzschicht kann über die Änderung der elektrischen Flussdichte ermittelt werden..3 Kraft und Energie im elektrischen Feld Kraftgesetz F = QE E Q von außen einwirkende elektrische Feldstärke elektrische Ladung Eine elektrische Ladung Q erfährt in einem von außen einwirkenden elektrischen Feld mit der elektrischen Feldstärke E eine Kraft F. Coulomb sches Gesetz F QQ F = 1 4πε a e r 0 Kraft auf jede der elektrischen Ladungen im Feld