Das Verfahren von Wagner und Whitin

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1 Das Verfahren von Wagner und Whitin I) Annahmen und Anwendungsgebiete Wann verwendet man typischerweise dynamische Verfahren der estellmengenplanung? Dynamische Verfahren der estellmengenplanung werden typischerweise dann eingesetzt, wenn die Prämissen der statischen estellmengen-planungsverfahren (über die Zeit konstante Periodenbedarfe, Lager- und Fehlmengenkostensätze sowie bestellfixe Kosten) nicht mehr erfüllt sind. Nennen Sie die Charakteristika sowie die Prämissen des Wagner/Whitin- Verfahrens zur Lösung des dynamischen estellmengenproblems! Die Charakteristika des Wagner- Whitin- Modells sind: variabler edarf; d.h. der edarf einer Periode ist zwar deterministisch bestimmt, jedoch von unterschiedlicher Größe, variable Planungszeiträume; d.h. das Unternehmen kann für eine Periode oder aber für mehrere Perioden planen, und in zeitlicher Folge variable bestellfixe Kosten und variable Lagerkostensätze. Des Weiteren gelten folgende Prämissen: Es wird nur ein einzelnes Gut/Produkt betrachtet. Der Lagerbestand des Gutes ist zu eginn der Periode 1 bzw. am Ende der Periode 0 und auch am Ende der letzten Periode des Planungszeitraums gleich Null. Gegebenenfalls ist der jeweilige Periodenbedarf um den abweichenden Lagerbestand zu korrigieren. Die Lieferung des bestellten Gutes erfolgt schlagartig. Der Periodenbedarf tritt in voller Höhe zu eginn der Periode auf, und Fehlmengen sind nicht erlaubt d.h. der Periodenbedarf muss vollständig zu eginn der Periode aus dem Lagerbestand oder aus der Lieferung gedeckt werden. Warum setzt man in der Praxis häufig Heuristiken statt exakter Verfahren zur Lösung des dynamischen estellmengenproblems ein? ei dem exakten Verfahren von Wagner und Whitin wird die optimale estell- und Lagerhaltungspolitik erst mit dem Erreichen der letzten Periode des Planungshorizontes durch anschließendes Zurückrechnen bestimmt. Gerade die edarfe und Kostensätze der letzten Perioden des Planungszeitraums sind jedoch schwer prognostizierbar, so dass man die Planungsergebnisse in nachfolgenden Perioden im Rahmen der rollierenden Planung regelmäßig revidieren müsste. Die ursprünglich ermittelte estellund Lagerhaltungspolitik ist dann jedoch nicht mehr zwangsläufig optimal. Daher setzt man in der Praxis häufig statt der exakten, so genannte heuristische Verfahren der estellmengenplanung ein, die unter Anwendung einer vereinfachten Lösungsprozedur und mit erheblich geringerem Rechenaufwand auf das Auffinden exakter Lösungen verzichten und sich vielmehr mit suboptimalen Lösungen in der Nähe des tatsächlichen Optimums begnügen. Man hofft dabei, dass die mit der Verwendung suboptimaler statt optimaler Lösungen verbundenen Kostenerhöhungen durch den geringeren Rechenaufwand bzw. die einfachere Handhabung (Datenerhebung) heuristischer Verfahren ausgeglichen werden können. Achtung: in dem folgenden eispiel sind die estellfixen Kosten und der Lagerkostensatz in allen Perioden identisch muss nicht sein, dann eben in jeden Periode die entsprechenden Werte benutzen Nachfolgend sind drei verschiedene Lösungsmöglichkeiten aufgeführt, die in den verschiedenen Kursen und üchern des Lehrstuhls Fandel vorgestellt werden: Katharina Nuenighoff/Rolf aumanns WS 06/07 Seite 1

2 IIa Rechnerische estimmung der optimalen Lagerhaltungspolitik (sp. 4 der KE1 S.19ff. IL ähnlich eispiel 7.21 uch Rechenalternative uch Produktionsmanagement zusätzlich mit Hilfstabelle) gegeben: Perioden: 6 Monate Rohstoffbedarf pro Periode in Tonnen: (1)100, (2) 120, (3) 80, (4) 110, (5) 80, (6) 40 estellfixe Kosten: 250 GE Lagerkosten pro Tonne und Monat: 2,00 GE Annahmen: edarf zum Monatsbeginn, Lieferung zum Monatsbeginn, estellung für ganze Monate gesucht: optimale estell- und Lagerhaltungspolitik Lösung: Grundüberlegung: edarf kann zu eginn eines jeden Monats durch eine neue estellung für genau eine Periode gedeckt werden (estellfixe Kosten) oder edarf kann durch eine estellung gedeckt werden, die den edarf mehrerer Perioden abdeckt (Reichweite der estellmenge >1; estellfixe Kosten und Lagerkosten) oder Kombination aus beidem (estellfixe Kosten und Lagerkosten) Schritt 1: Um die optimale Politik zu erhalten, müssen erstmal die Lagerhaltungskosten ermittelt werden (ggf. mit der folgenden Hilfstabelle). Hilfstabelle bestellfixe Kosten: 250 Lagerkosten: Perioden Rohstoffbedarf Hilfszahl Lagerkosten erechnung: Rohstoffbedarf x (Periode + negative Hilfszahl) x Lagerkostens=LK eispiel: 120 x (2-1) x 2 = 240 Hinweis: Lesart: ei der Hilfstabelle werden die jeweiligen Lagerkosten für den Rohstoffbedarf einer bestimmten Verbrauchsperiode bezogen auf eine bestimmte Lagerzeit ermittelt. Wird beispielsweise in der Periode 2 (negative Hilfszahl) der Rohstoffbedarf für die Periode 4 mitbestellt, so betragen die Lagerkosten für die Rohstoffe, die in Periode 4 verbraucht werden insgesamt 440 GE= 110 t x (4-2 Perioden) x2 GE/t) Die Periode (Verbrauchperiode) wird mit der negativen Hilfszahl (estellperiode x -1) addiert und entspricht dem Lagerzeitraum. ei Gleichheit der Perioden (sofortiger Verbrauch der bestellten Menge) ergibt sich so annahmegemäß auch ein Wert von Null für die Lagerkosten (sp. estellung erfolgt in estellperiode 2 für Verbrauchsperiode 2). In diesen Fällen ist in der Hilfstabelle jeweils eine Null einzutragen. Katharina Nuenighoff/Rolf aumanns WS 06/07 Seite 2

3 Der linke Teil der Matrix bleibt frei, da man am estellzeitpunkt nicht mehr für vergangene Verbrauchperioden bestellt, sondern nur für die aktuelle und/ oder für zukünftige Perioden. Alternative für das Ausfüllen der Tabelle mit weniger Rechenaufwand: Zunächst wird die 0-Diagonale eingetragen, d.h. es werden die Felder mit einer 0 ausgefüllt, in denen estellung und Verbrauch zusammenfallen und daher keine Lagerkosten entstehen. bestellfixe Kosten: 250 Lagerkosten: Danach wird in der Diagonale darüber jeweils die Menge der entsprechenden Periode mit dem Lagerkostensatz multipliziert eingetragen: bestellfixe Kosten: 250 Lagerkosten: eispiel: (Periode 4) 110 x 2 = 220. Dann kann jede Spalte von unten nach oben ausgefüllt werden, indem für jeden Schritt nach oben noch einmal die zuerst berechneten Lagerkosten hinzugezählt werden. bestellfixe Kosten: 250 Lagerkosten: eispiel: (Periode 6) Unterste Zelle: 0 Darüber: Lagerkostensatz x Periodenbedarf = 2 x 40 = 80. Darüber: = 160. Darüber: = 240. usw. Katharina Nuenighoff/Rolf aumanns WS 06/07 Seite 3

4 Schritt 2: Die Lagerkosten müssen nunmehr kumuliert werden sowie um die bestellfixen Kosten ergänzt werden, um die Gesamtkosten zu erhalten. Ausgangstabelle: Hilfstabelle bestellfixe Kosten: 250 Lagerkosten: Perioden Rohstoffbedarf Lagerkosten erechnung: kumul. Zeilenmenge (addieren der Lagerkosten und bestelllfixen Kosten) bis zur jew. Verbrauchsperiode eispiel: = = =250 Ergebnistabelle: Endtabelle estellperiode Verbrauchsperiode Hinweis: Lesart: Wird in Periode 2 die gesamte Rohstoffmenge für die Verbrauchsperioden 2 bis 5 bestellt ergeben sich Gesamtkosten (bestellfixe Kosten und Lagerkosten) in Höhe von 1330 GE Die optimale Politik ist an dieser Tabelle noch nicht ablesbar! Schritt 3: Anhand dieser Daten muss nun die optimale Politik ermittelt werden, welche die Gesamtkosten über die sechs Monate minimiert. Dazu erweitert man schrittweise den Planungshorizont und errechnet die für den betrachteten Planungshorizont minimalen Gesamtkosten. Hinweis: Um alle Möglichkeiten zu berücksichtigen, sollte man die Spalten nacheinander abarbeiten. Innerhalb der Spalten werden die Zeilen ebenfalls nacheinander betrachtet. Katharina Nuenighoff/Rolf aumanns WS 06/07 Seite 4

5 Die Kosten sind im Folgenden aus der Ergebnistabelle abzulesen K ij Dabei sei der erste Index (i) der Startpunkt der etrachtung und ist demzufolge die estellperiode bzw. in der produziert wird und der zweite Index (j) die Verbrauchsperiode, bis zu der die estellung einschließlich reicht. Die Politiken weisen analoge Indizes auf p ij Die Kosten für die optimalen Politiken der Vorperioden sind aus dem Rechengang zu übertragen Planungshorizont 1 Monat (Spalte 1 der Endtabelle): Die einzige Möglichkeit ist zu eginn des ersten Monats den edarf für den ersten Monat zu decken (bestellfixe Kosten) K1=min K11= 250 optimale Politik p1=p11 Planungshorizont 2 Monate (Spalte 2): Zeile 1) Man kann zu eginn des ersten Monats den edarf für beide Monate bestellen oder Zeile 2) Optimalbestellung für Planungshorizont 1 vornehmen sowie im zweiten Monat für den zweiten Monate bestellen K 12 = 490 K 1 + K 22 = = 500 K2 = min [K12, (K1+K22)] = min [490,500] = 490 optimale Politik p2=p12 Planungshorizont 3 Monate (Spalte 3): Zeile 1) zu eginn des ersten Monats den edarf für alle drei Monate bestellen Zeile 2) Optimalbestellung für Planungshorizont 1 vornehmen sowie im zweiten Monat für die Monate zwei und drei bestellen Zeile 3) Optimalbestellung für den Planungshorizont 2 vornehmen sowie im dritten Monat für den dritten Monat bestellen K 13 = 810 K 1 + K 23 = = 660 K 2 + K 33 = = 740 K3=min [K13, (K1+K23), (K2+K33)]= min [810, 660, 740] = 660 optimale Politik p3=(p1,p23) Die verschiedenen Möglichkeiten analog fortgeführt Planungshorizont 4 Monate (Spalte 4): K 14 = 1470 K 1 + K 24 = = 1100 K 2 + K 34 = = 960 K 3 + K 44 = = 910 K 4 =min [K14, (K1+K24), (K2+K34); (K 3 + K 44 ) ]= min [1470, 1100, 960, 910] = 910 optimale Politik p 4 =(p 3,p 44 ) Katharina Nuenighoff/Rolf aumanns WS 06/07 Seite 5

6 Planungshorizont 5 Monate (Spalte 5): K 15 = 2110 K 1 + K 25 = = 1580 K 2 + K 35 = = 1280 K 3 + K 45 = = 1070 K 4 + K 55 = = 1160 K 5 =min [K15, (K1+K25), (K2+K35), (K 3 + K 45 ), (K 4 + K 55 )] = min [2110, 1580, 1280, 1070, 1160] = 1070 optimale Politik p 5 =(p 3,p 45 ) Planungshorizont 6 Monate (Spalte 6): K 16 = 2510 K 1 + K 26 = = 1900 K 2 + K 36 = = 1520 K 3 + K 46 = = 1230 K 4 + K 56 = = 1240 K 5 + K 66 = = 1320 K 6 =min [K16, (K1+K26), (K2+K36), (K 3 + K 46 ), (K 4 + K 56 ), (K 5 + K 66 )] = min [2510, 1900, 1520, 1320, 1240, 1320] = 1230 optimale Politik p 6 =(p 3,p 46 ) Schritt 4: Durch Rückwärtsrechnen ermittelt man nun die optimale Politik für den gesamten Zeitraum: p6= (p3, p46) p3= (p1, p23) p1= p11 p6 entspricht (p11, p23, p46) Es entstehen estell- und Lagerkosten in Höhe von GE Hinweis: Die Gesamtkosten der optimalen Politik lassen sich einerseits beim Planungshorizont 6 Monate und andererseits auch aus der Endtabelle ( = 1230) ablesen. Endtabelle estellperiode Verbrauchsperiode Katharina Nuenighoff/Rolf aumanns WS 06/07 Seite 6

7 IIb Rechnerische estimmung der optimalen Lagerhaltungspolitik (sp. 4 der KE 1 IL 759 ähnlich eispiel 7.21 Rechenalternative Materialwirtschaft & Entsorgung wie Übungsaufgabe 6 KE 2) Woche edarf estellfixe Kosten c = 250, Lagerkosten l = 2,0 Schritt 1: Tabelle aufstellen Gegenüberstellung von Periodenbedarfen und möglichen estellzeitpunkten; Auflistung der Kosten der alternativ möglichen Losgrößen (=edarfszusammenfassungen zu Losen) Planungsperiode j edarf estellzeitpunkt i erechnung der Lager- und bestellfixen Kosten für die einzelnen estellzeitpunkte: estellzeitpunkt i=1: ei isolierter etrachtung von Planungsperiode j=1 wird nur der edarf der aktuellen Periode bestellt. Es fallen keine Lagerkosten an, die Gesamtkosten entsprechen den bestellfixen Kosten in Höhe von c=250. Dies wird in das Feld der Tabelle eingetragen. Planungsperioden j=2;3;4: Die jeweilige Losgröße entspricht der Summe der edarfe bis zum Planungszeitpunkt j. D.h. zum eispiel für j=3: =300. Hierfür fallen dann einmal bestellfixe Kosten (i=1) und die entsprechenden Lagerkosten an. Für j=3 belaufen sich die Gesamtkosten dann auf 250 (bestellfixe Kosten) ,01 (Lagerung des edarfs für j=2 für eine Periode) + 802,02 (Lagerung des edarfs für j=3 für 2 Perioden)= 810. estellzeitpunkt i=2: estellungen, die in i=2 erteilt werden, müssen nun auf der günstigsten Losgrößenpolitik aus der Vorperiode aufsetzen. Diese ist für j=1 K min,1 =250. Mögliche Losgrößenermittlung analog zu i=1. Die Gesamtkosten setzen sich aus den Kosten der optimalen Losgrößenpolitik der Vorperiode sowie den anfallenden bestellfixen und Lagerkosten zusammen. Für i=2, j=3 bedeutet das 250 (aus der Vorperiode) (bestellfixe Kosten in j=2) + 802,01 (Lagerkosten für eine Periode) = 660. Für i=2, j=4 bedeutet das ,02 = = 1100 Für i=2, j=5 bedeutet das ,03 = = 1580 Für i=2, j=6 bedeutet das ,04 = = 1900 Katharina Nuenighoff/Rolf aumanns WS 06/07 Seite 7

8 estellzeitpunkt i=3: estellungen in i=3 müssen wieder auf der günstigsten Alternative aus j=2 aufsetzen, d.h. K min,2 =490. Für i=3, j=3 ergibt sich dann: 490 (aus der Vorperiode) (bestellfixe Kosten in j=3) + 0 (Lagerkosten fallen nicht an) = 740. Für i=3, j=4 bedeutet das = = 960 Für i=3, j=5 bedeutet das = = 1280 Für i=3, j=6 bedeutet das = = 1520 Analog wird für alle weiteren Perioden verfahren. Schritt 2: Kostenminimum ermitteln Für jede Planungsperiode (d.h. Spalte) wird jetzt das Kostenminimum aus der Tabelle abgelesen. Es beträgt 250 für j=1, 490 für j=2, 660 für j=3, 910 für j=4, 1070 für j=5 und 1230 für j=6. Planungsperiode j edarf estellzeitpunkt i Kostenminimum Schritt 3: Rückwärtsrekursion Ausgehend von Planungsperiode j=6: Das ausgewiesene Kostenminimum von 1230 wird durch eine Zusammenfassung der estellung der edarfe von Periode 4, 5 und 6 erreicht. Im estellzeitpunkt i=4 werden somit =230 Einheiten bestellt. Planungsperiode j edarf estellzeitpunkt i Kostenminimum Da somit auch gleich die optimale Lösung für j=4 bestimmt ist, ist als nächstes die Periode j=3 zu betrachten. Katharina Nuenighoff/Rolf aumanns WS 06/07 Seite 8

9 Dort liegt das Minimum durch Zusammenfassung der Perioden 2 und 3 bei 660. Im estellzeitpunkt i=2 werden somit =200 Einheiten bestellt. Planungsperiode j edarf estellzeitpunkt i Kostenminimum Da somit auch gleich die optimale Lösung für j=2 bestimmt ist, ist als letztes die Periode j=1 zu betrachten. Dort ist als einzige Lösung die optimale Lösung 250. Da hiermit auch die optimale Lösung für j=1 bestimmt ist, ist die optimale Politik des Unternehmens für den gesamten Zeitraum gefunden: (p 11, p 23, p 46 ) mit den Gesamtkosten GE Katharina Nuenighoff/Rolf aumanns WS 06/07 Seite 9

10 IIc Rechnerische estimmung der optimalen Lagerhaltungspolitik (sp. 4 der KE 1 IL 759 Rechenalternative Materialwirtschaft & Entsorgung wie in KE2 S. 41ff.) Lösungsverfahren nach ELLMAN Das Lösungsverfahren basiert auf der von ELLMAN (1957) entwickelten dynamischen Optimierung und stellt eine problemspezifische Anwendung dieses Ansatzes dar. Die grundsätzliche Idee der dynamischen Programmierung besteht darin, ein Entscheidungsproblem in mehrere, einfacher zu lösende Teilprobleme so zu unterteilen, dass das sequenzielle Lösen dieser Teilprobleme das Optimum des ursprünglichen Entscheidungsproblems liefert. ei der Lösung der Teilprobleme basiert die jeweils nächste Entscheidung auf der bis dorthin optimalen Entscheidung des vorher gelösten Teilproblems. Mathematisch wird diese Idee durch die ELLMANSche Funktionalgleichung, die den Zusammenhang zwischen der optimalen Lösung für das Teilproblem t und das Teilproblem t+1 herstellt, wiedergegeben. Das von WAGNER und WHITIN konzipierte estellmengenverfahren nutzt die besondere Struktur des dynamischen Lagerhaltungsmodells und stellt eine für diese Problemstellung speziell angepasste Vorgehensweise dar, bei der die Anzahl der zu berechnenden eschaffungs- und Lagerhaltungspolitiken und damit der Rechenaufwand der dynamischen Programmierung vermindert wird. WAGNER und WHITIN verwenden zur Lösung des estellmengenproblems eine Vorwärtsrekursion mit anschließender Rückwärtsrechnung. ellmann sches Optimalitätsprinzip: Soll eine Losgrößenpolitik bis zum Planungshorizont die optimale (=kostenminimale) Politik sein, dann muss diese Politik auch in den vorhergehenden Perioden die beste gewesen sein. Theoreme Das oben dargestellte Problem lässt sich unter anderem anhand von Standardsoftware für ganzzahlige Optimierungsprobleme lösen. Im Folgenden wird jedoch die Idee vorgestellt, wie das ursprüngliche, oben aufgeführte Problem als Aufgabe der Dynamischen Optimierung formuliert wird und dann rekursiv aufgrund der gegebenen Stufenstruktur gelöst werden kann. Das Modell besitzt drei spezielle Eigenschaften, die jetzt diskutiert werden: 1. Complementary Slackness 2. Separations-Theorem 3. Entscheidungshorizont-Theorem Zu 1: Complementary Slackness" Es gibt eine optimale Politik p t, auch zu verstehen als optimale Folge von Entscheidungen, die die Eigenschaft besitzt, dass nur produziert bzw. bestellt wird, wenn am Anfang einer neuen Teilperiode t bzw. am Ende einer Teilperiode t-1 kein positiver Lagerbestand vorhanden ist. Es gilt folgende edingung: Entweder: q t = 0b t-1 >0 oder q t > b t-1 = 0 für t = 1,2,...,T. Diese edingung lässt sich sehr schnell nachvollziehen, denn zu einem Zeitpunkt t, in dem ein positiver Lagerbestand b t-1 > 0 existiert, kann es nicht optimal sein, zu bestellen bzw. zu produzieren, da dadurch bestellfixe Kosten k > 0 anfallen würden. Demzufolge muss die letzte getätigte estellung um den edarf q t erhöht werden, da dadurch keine zusätzlichen Kosten k anfallen. Aus der obigen edingung folgt sofort, dass ganzzahlige Reichweiten der Lose vorliegen müssen, da der Anfangsbestand in einer Periode t nicht ausreichen würde, die Nachfrage x t in der Periode t zu befriedigen, so dass in dieser Periode bestellt bzw. produziert werden muss, auch wenn ein positiver Lagerbestand b t-1 vorhanden gewesen ist. Eine weitere Eigenschaft lässt sich direkt aus der edingung der Complementary Slackness folgern: Für eine Periode m mit n < m gilt, dass, falls die Nachfrage x m durch eine estellung in der Periode n befriedigt wird, so wird t=n+1,...,m-1 die Nachfrage x t abgedeckt. Diese Eigenschaften vereinfachen die estimmung einer optimalen Lösung in diesem dynamisch-deterministischen Lagerhaltungsmodell aufgrund der eingeschränkten Anzahl an zu berücksichtigenden Entscheidungsalternativen. Die optimale Politik kann jetzt bestimmt werden, indem die dargestellte Zielfunktion in eine Rekursionsbeziehung umgewandelt wird, in der sowohl die anfallenden Periodenkosten als auch die Folgekosten aufgrund einer optimalen Strategie enthalten sind. Zusammengefasst wird das Minimum über alle zulässigen Losgrößen q t bestimmt. Die Wertfunktion, die man an dieser Stelle erhält, ist die ellman-gleichung des WAGNER/WHITIN-Modells. Diese Funktionalgleichung ist dann entsprechend der Vorgehensweise der Dynamischen Programmierung per Rekursion zu lösen. Auf eine ausführliche Darstellung wird an dieser Stelle verzichtet. Vielmehr soll im Folgenden eine weitere Vereinfachung der erechnung der Lösung aufgrund der Struktur des vorliegenden Modells erläutert werden. Katharina Nuenighoff/Rolf aumanns WS 06/07 Seite 10

11 Zu 2: Separations-Theorem" Falls am Ende der Periode t-1 keine Mengen mehr im Lager sind, b t-1 = 0, dann können laut dem Separations-Theorem bei der estimmung der optimalen Politik p t die Perioden vor t, also 1,...,t-1 und die Perioden ab dem Zeitpunkt der etrachtung t, also t,...,t getrennt voneinander betrachtet werden. Diese Eigenschaft kann über die ellman-gleichung gelöst werden, jedoch soll an dieser Stelle die ökonomische Idee dieses Theorems ausreichend sein. Zu 3: Entscheidungshorizont-Theorem" Angenommen es sei optimal, dass in einer Periode i die Nachfrage aus einer estellung/produktion der Periode t i befriedigt werden kann, dann ist es ausreichend, wenn für eine Periode j>i nur die estellung/produktion der Perioden k t erücksichtigung findet. Falls t = i sein sollte, müssen nur Pläne ab dem Zeitpunkt / mit q t > 0 berücksichtigt werden. Dieser Sachverhalt wird in der Literatur auch als Entscheidungshorizont-Theorem bezeichnet. Würde man die Nachfrage in der Periode j durch eine estellung/produktion in einer Periode vor t befriedigen, jedoch sei es optimal die Nachfrage in i durch t zu befriedigen, dann würde die Complementary Slackness verletzt, da obwohl zum Zeitpunkt t ein Lagerbestand für die Periode j zur Verfügung steht, für die Periode i bestellt würde. gegeben: Perioden: 6 Monate Rohstoffbedarf pro Periode in Tonnen: (1)100, (2) 120, (3) 80, (4) 110, (5) 80, (6) 40 estellfixe Kosten: 250 GE Lagerkosten pro Tonne und Monat: 2,00 GE Annahmen: edarf zum Monatsbeginn, Lieferung zum Monatsbeginn, estellung für ganze Monate gesucht: optimale estell- und Lagerhaltungspolitik Lösung: Grundüberlegung: edarf kann zu eginn eines jeden Monats durch eine neue estellung für genau eine Periode gedeckt werden (estellfixe Kosten) oder edarf kann durch eine estellung gedeckt werden, die den edarf mehrerer Perioden abdeckt (Reichweite der estellmenge >1; estellfixe Kosten und Lagerkosten) oder Kombination aus beidem (estellfixe Kosten und Lagerkosten) Rekursionsgleichung WAGNER/ WHITIN k K( t 1) K( t) min t min k ( i j ) xi kl K ( j 1) 0 jt i j1 Planungshorizont 1 Monat (t=1) Hier existiert nur eine Möglichkeit, und zwar: zu eginn des ersten Monats den edarf für den ersten Monat zu bestellen Für die estellperiode (t=1) in die Formel eingesetzt folgt, aufgrund der Annahme, dass in t=0 K(0)=0 gilt: K (1) k K (0) k Die optimale Politik für die Periode 1 werde mit p 1 bezeichnet und sei p 1 =p 11 Dabei sei der erste Index (i) der Startpunkt der etrachtung und demzufolge auch die Periode, in der bestellt bzw. produziert wird und der zweite Index (j) die Periode, zu der die estellung einschließlich reicht. p ij Katharina Nuenighoff/Rolf aumanns WS 06/07 Seite 11

12 Planungshorizont 2 Monate (t=2) Es existieren zwei Möglichkeiten 1. zu eginn des ersten Monats den edarf für zwei Monate zu bestellen (p 12 ) 2. zu eginn des ersten Monats den edarf für diesen Monat (p 11 ) und zu eginn des zweiten Monats den edarf für den zweiten Monat (p 22 ) bestellen K (2) min min k 0 j2 k 2 i j1 K(2 1) ( i j) x k i L K ( j 1) p22 p Lagerhaltungskosten für _ edarf _ in _ P.2 K (2) min K (11) min250 (2 1) j2 j1 _ und _ p 12 K (2) 500 min K (2) min 500 ; ( p1, p22 ) ( p12 ) Dies bedeutet, dass als optimale Politik p 2 = p 12 zu eginn der ersten Periode bestellt und der edarf für die zweite Periode durch Lagerung des Gutes in der ersten Periode gedeckt wird. Planungshorizont 3 Monate (t=3) Es existieren drei Möglichkeiten 1. zu eginn des ersten Monats den edarf für drei Monate zu bestellen (p 13 ) 2. zu eginn die optimale Politik für den ersten Monate zu wählen, d.h. den edarf für diesen Monat (p1=p11) und zu eginn des zweiten Monats den edarf für den zweiten und dritten Monat (p 23 ) bestellen 3. zu eginn die optimale Politik für die ersten beiden Monate zu wählen (p 2 =p 12 ) und zu eginn des dritten Monats den edarf nur für den dritten Monat (p 33 ) bestellen K (3) min min k 0 j3 k K(3 1) 3 ( i j) xik L K( j 1) j1 i p33 p Lagerhaltungskosten Lagerhaltungskosten Lagerhaltungskosten für _ edarf _ in _ P.2 für _ edarf _ in _ P.3 (11) für _ edarf _ in _ P.3 K (3) min K K (21) min250 (2 1) (3 1) ;250 (3 2) j3 j1_ und _ p 13 j 2 _ und _ p23 p1 K (3) 740 min min ; Katharina Nuenighoff/Rolf aumanns WS 06/07 Seite 12

13 K (3) min 740 ;810; ( p2, p33) ( p13 ) ( p1, p23) Das optimale Verhalten des Unternehmens lautet für die etrachtung von (t=3) Perioden: p 3 = (p 11, p 23 ) = (p 1, p 23 ) Damit wurde festgelegt, dass eine weitere etrachtung der ersten Periode nicht mehr notwendig ist (Separations-Theorem). Planungshorizont 4 Monate (t=4) Es existieren vier Möglichkeiten 1. zu eginn des ersten Monats den edarf für drei Monate zu bestellen (p 14 ) entfällt wegen Separations-Theorem erste Periode wird nicht mehr betrachtet 2. zu eginn die optimale Politik für den ersten Monate zu wählen, d.h. den edarf für diesen Monat (p1=p11) und zu eginn des zweiten Monats den edarf für den zweiten, dritten und vierten Monat (p 24 ) bestellen (p 1, p 24 ) 3. zu eginn die optimale Politik für die ersten beiden Monate zu wählen (p 2 =p 12 ) und zu eginn des dritten Monats den edarf für den dritten und vierten Monat (p 34 ) bestellen - (p 2, p 34 ) 4. zu eginn die optimale Politik für die ersten drei Monate zu wählen (p 3 = p 1, p 23 ) und zu eginn des vierten Monats den edarf nur für den dritten Monat (p 44 ) bestellen - (p 3, p 44 ) K (4) min min k 1 j4 k K(4 1) 4 ( i j) xik L K( j 1) i j1 p44 p Lagerhaltungskosten Lagerhaltungskosten Lagerhaltungskosten für _ edarf _ in _ P.3 für _ edarf _ in _ P.4 (21) für _ edarf _ in _ P.4 K (4) min K K (31) min250 (3 2) 80 2 (4 2) ;250 (4 3) j4 j2 _ und _ p 24 p1 j 3 _ und _ p34 p2 K (4) 910 min min ; K (4) min 910 ; 1100; ( p3, p44 ) ( p1, p24 ) ( p2, p34 ) Die optimale Politik des Unternehmens lautet für die etrachtung von (t=4) Perioden: p 4 = (p 3, p 44 ) = (p 11, p 23, p 44 ) Damit ist festgelegt, dass neben der estellung in der ersten Periode (p 11 ) in der zweiten Periode für die zweite und dritte Periode (p 23 ) bestellt wird und daher nur noch Vergleiche ab der dritten Periode vorgenommen werden müssen (Separations-Theorem). Katharina Nuenighoff/Rolf aumanns WS 06/07 Seite 13

14 Planungshorizont 5 Monate (t=5) Daher existieren nur zwei Möglichkeiten 1. zu eginn die optimale Politik für die ersten drei Monate zu wählen (p 3 =p 11, p 23 ) und zu eginn des vierten Monats den edarf für den vierten und fünften Monat (p 45 ) bestellen 2. zu eginn die optimale Politik für die ersten vier Monate zu wählen (p 4 = p 3, p 44 ) und zu eginn des fünften Monats den edarf nur für den fünften Monat (p 55 ) bestellen K (5) min min k 3 j5 k K(5 1) 5 ( i j) xik L K( j 1) j1 i p55 p Lagerhaltungskosten für _ edarf _ in _ P.5 K (5) min K (41) min250 (5 4) j5 j4 _ und _ p 45 p3 K (5) 1160 min K (5) min1160; ( p4, p55 ) ( p3, p45 ) Das optimale Verhalten des Unternehmens lautet für die etrachtung von (t=5) Perioden: p 5 = (p 3, p 45 ) = (p 11, p 23, p 45 ) Planungshorizont 6 Monate (t=6) Es existieren die eingeschränkten drei Möglichkeiten 1. zu eginn die optimale Politik für die ersten drei Monate zu wählen (p 3 =p 11, p 23 ) und zu eginn des vierten Monats den edarf für den vierten, fünften und sechsten Monat (p 46 ) bestellen 2. zu eginn die optimale Politik für die ersten vier Monate zu wählen (p 4 = p 3, p 44 ) und zu eginn des fünften Monats den edarf für den fünften und sechsten Monat (p 56 ) bestellen 3. zu eginn die optimale Politik für die ersten fünf Monate zu wählen (p 5 = p 3, p 45 ) und zu eginn des sechsten Monats den edarf nur für den sechsten Monat (p 66 ) bestellen K (6) min min k 3 j6 k K(6 1) 6 ( i j) xik L K( j 1) i j1 p66 p Lagerhaltungskosten Lagerhaltungskosten Lagerhaltungskosten für _ edarf _ in _ P.5 für _ edarf _ in _ P.6 (41) für _ edarf _ in _ P.6 K (6) min K K (51) min250 (5 4) 80 2 (6 4) ;250 (6 5) j6 j4 _ und _ p 46 p3 j 5 _ und _ p56 p4 K (6) 1320 min min ; Katharina Nuenighoff/Rolf aumanns WS 06/07 Seite 14

15 K (6) min1320;1230; ( p5, p66 ) ( p3, p46) ( p4, p56 ) Die optimale Politik des Unternehmens lautet für die etrachtung von (t=6) Perioden: p 6 = (p 3, p 46 ) = (p 11, p 23, p 46 ) Die optimale Politik des Unternehmens für den gesamten Zeitraum lautet also: p11 p23 p46 In der Periode eins wird nur für die gleiche Periode bestellt. In der Periode zwei wird für die zweite und dritte Periode bestellt, wobei der edarf für die dritte Periode zunächst gelagert wird. In der vierten Periode wird der edarf für die vierte Periode bestellt und zusätzlich der edarf für die fünfte und sechste Periode, welche zunächst eingelagert wird. Die Gesamtkosten von 1230 setzen sich wie folgt zusammen: = 750 estellkosten = 160 Lagerkosten für P = 160 Lagerkosten für P = 160 Lagerkosten für P Gesamtkosten Katharina Nuenighoff/Rolf aumanns WS 06/07 Seite 15