Kapitel 1. Kapitel 1 Das Schubfachprinzip

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1 Das Schubfachprinzip Inhalt Das Das Prinzip Tauben und und Taubenschläge Einfache Anwendungen Die Die Socken des des Professor Mathemix, Gleiche Zahl Zahl von von Bekannten Cliquen und und Anticliquen Entfernte Punkte im im Quadrat Differenzen von von Zahlen Teilen oder oder nicht teilen Seite 2

2 1.1 Das Prinzip Schubfachprinzip. Seien m Objekte in in n Kategorien ( Schubfächer ) eingeteilt. Wenn m > n ist, ist, dann dann gibt gibt es es mindestens eine eine Kategorie, die die mindestens zwei zwei Objekte enthält. Oft Oft wird wird das das Schubfachprinzip auch auch als als Taubenschlagprinzip bezeichnet: Wenn m Tauben in in n Taubenschlägen sitzen und und m > n ist, ist, dann dann sitzen in in mindestens einem Taubenschlag mindestens zwei zwei Tauben. Seite 3 Einfache Beispiele Unter je je Personen gibt gibt es es mindestens zwei, zwei, die die im im selben Monat Geburtstag haben. Unter je je drei drei Personen haben mindestens zwei zwei dasselbe Geschlecht. Unter je je Studierenden gibt gibt es es mindestens zwei zwei aus aus demselben Fachbereich. Unter je je Studierenden gibt gibt es es mindestens zwei zwei mit mit derselben Semesterzahl. Seite 4

3 1.2 Einfache Anwendungen Die Die Socken des des Professor Mathemix In In der der Sockenkiste von von Professor Mathemix befinden sich sich graue und und braune Socken. Der Der Professor nimmt in in Gedanken versunken eine eine Reihe von von Socken heraus. Wie Wie viele viele muß muß er er herausnehmen, um um (a) (a) garantiert zwei zwei gleichfarbige, (b) (b) garantiert zwei zwei graue Socken zu zu erhalten? Seite 5 Wie viele Socken? Lösung Lösung. Wir Wir teilen die die Socken des des Professors in in zwei zwei Kategorien ein: ein: In In die die Kategorie der der grauen und und die die der der brauen Socken. (Im (Im Schubfachprinzip ist ist dann dann n = 2.) 2.) (a) (a) Wenn Professor Mathemix m = 3 Socken seiner Kiste Kiste entnimmt, so so sind sind nach nach dem dem Schubfachprinzip mindestens zwei zwei aus aus derselben Kategorie. Also Also hat hat er er entweder zwei zwei graue oder oder zwei zwei braune Socken gezogen. (b) (b) Wenn er er aber aber darauf besteht, zwei zwei Socken seiner Lieblingsfarbe grau grau zu zu bekommen, so so muß muß er er im im schlimmsten Fall Fall Socken ziehen, denn denn die die ersten könnten ja ja alle alle braun sein. sein. Seite 6

4 Gleiche Zahl von Bekannten Satz. In In jeder jeder Gruppe von von mindestens zwei zwei Personen gibt gibt es es zwei, zwei, die die die die gleiche Anzahl von von Bekannten innerhalb dieser Gruppe haben. (Voraussetzung: Die Die Relation bekannt sein sein ist ist symmetrisch; das das heißt: aus aus der der Tatsache, daß daß X mit mit Y bekannt ist, ist, folgt, folgt, daß daß Y mit mit X bekannt ist. ist. Wir Wir können also also sagen X X und und Y sind sind bekannt. Außerdem wollen wir wir zu zu den den Bekannten einer einer Person nicht nicht diese Person selbst rechnen.) Beweis. Mit Mit Hilfe Hilfe des des Schubfachprinzips. Objekte: die die Personen der der Gruppe. Sei Sei m die die Anzahl der der Personen. Seite 7 Die Kategorien Wir Wir fassen diejenigen Personen in in einer einer Kategorie zusammen, die die die die gleiche Anzahl von von Bekannten haben. K 0 diejenigen, 0 die die überhaupt keine Bekannten haben; K 1 : 1 : diejenigen, die die einen einzigen Bekannten haben; K m 1 : m 1 : diejenigen Menschen, die die alle alle anderen m 1 m 1 kennen. Allgemein: In In der der Kategorie K i befinden i sich sich diejenigen Personen, die die genau i i Bekannte innerhalb der der Gruppe haben. Dies Dies sind sind genau m Kategorien, also also genau so so viele viele wie wie Objekte?????? Seite 8

5 Der Trick Trick: Von Von den den Kategorien K 0 und 0 und K m 1 tritt m 1 tritt höchstens eine eine auf. auf. Mit Mit anderen Worten: Wenn eine eine von von diesen Kategorien ein ein Objekt enthält, dann dann die die andere bestimmt nicht. Warum? Wir Wir betrachten die die Situation, dass dass mindestens eine eine Person P in in der der Kategorie K m 1 enthalten m 1 ist. ist. Dann müssen wir wir zeigen, dass dass K 0 leer 0 leer ist. ist. Das Das bedeutet, dass dass P alle alle anderen Personen der der Gruppe kennt. Dann kennen aber aber auch auch alle alle Personen der der Gruppe die die Person P ( bekannt sein sein ist ist symmetrisch!). Also Also hat hat jede jede Person der der Gruppe mindestens einen Bekannten. Das Das heißt, dass dass keine Person in in der der Kategorie K 0 ist. 0 ist. Seite 9 Beweisabschluss Es Es gibt gibt also also höchstens m 1 m 1 Kategorien, die die überhaupt eine eine Person enthalten. Jetzt Jetzt können wir wir das das Schubfachprinzip anwenden. Dieses liefert uns uns eine eine Kategorie mit mit mindestens zwei zwei Objekten, also also zwei zwei Personen mit mit der der gleichen Anzahl von von Bekannten. Seite 10

6 1.3 Cliquen und Anticliquen Satz. Unter je je 6 Personen gibt gibt es es stets stets drei, drei, die die sich sich paarweise kennen ( Clique ) oder oder drei, drei, die die sich sich paarweise nicht nicht kennen ( Anticlique ). Beweis. Wir Wir greifen irgendeine Person P 1 heraus 1 und und betrachten zunächst deren Bekannte. Jede Jede der der fünf fünf anderen Personen ist ist entweder bekannt oder oder nicht nicht bekannt mit mit P Da Da 5 > ist, ist, hat hat P 1 also 1 also entweder (mindestens) drei drei Bekannte oder oder (mindestens) drei drei Nichtbekannte in in der der Gruppe. Nehmen wir wir an, an, er er habe habe drei drei Bekannte P 2, 2, P 3 und 3 und P Seite 11 Fallunterscheidung Fall: Fall: Unter den den Personen P 2, 2, P 3, 3, P 4 gibt 4 gibt es es zwei, zwei, die die sich sich kennen, sagen wir: wir: P 2 und 2 und P Dann kennen sich sich P 1, 1, P 2 und 2 und P 3 3 gegenseitig. Daher ist ist die die Behauptung richtig Fall: Fall: Keine zwei zwei der der Personen P 2, 2, P 3, 3, P 4 kennen 4 sich. sich. Dann ist ist P 2, 2, P 3, 3, P 4 eine 4 eine Menge von von Personen, die die sich sich gegenseitig nicht nicht kennen. Auch Auch in in diesem Fall Fall gilt gilt also also die die Behauptung. Bemerkung bewies F. F. P. P. Ramsey ( ) einen sehr sehr allgemeinen Satz: Zu Zu je je zwei zwei natürlichen Zahlen m, m, n 2 gibt gibt es es eine eine Zahl Zahl M, M, so so dass dass für für jede jede Menge von von mindestens M Personen gilt: gilt: Es Es gibt gibt in in dieser Menge entweder n Personen, die die sich sich paarweise kennen oder oder m Personen, die die sich sich paarweise nicht nicht kennen. Seite 12

7 1.4 Entfernte Punkte im im Quadrat Wir Wir betrachten ein ein Quadrat der der Seitenlänge 2 und und fragen uns, uns, wie wie viele viele Punkte wir wir in in das das Quadrat einzeichnen können, die die weit weit voneinander entfernt sind. sind Satz. Satz. Unter je je fünf fünf Punkten, die die in in einem Quadrat der der Seitenlänge 2 liegen, gibt gibt es es zwei, zwei, die die einen Abstand 2 2 haben. Seite 13 Der Beweis Beweis. Mit Mit Hilfe Hilfe des des Schubfachprinzips. Wir Wir teilen das das Quadrat der der Seitenlänge 2 in in in in vier vier Teilquadrate der der Seitenlänge 1 ein. ein. Wir Wir fassen die die Punkte eines jeden Teilquadrats zu zu einer einer Kategorie zusammen; es es gibt gibt also also genau vier vier Kategorien. Da Da es es aber aber fünf fünf Objekte (die (die Punkte) gibt, gibt, folgt folgt mit mit Schubfachprinzip, dass dass es es eine eine Kategorie mit mit zwei zwei Objekten gibt. gibt. Das Das heißt: Es Es gibt gibt ein ein Teilquadrat, in in dem dem zwei zwei der der fünf fünf Punkte liegen. Da Da der der maximale Abstand in in einem Teilquadrat gleich 2 2 (die (die Länge der der Diagonale) ist, ist, haben diese beiden Punkte einen Abstand Seite 14

8 1.5 Differenzen von Zahlen Satz. Unter je je sechs natürlichen Zahlen gibt gibt es es stets stets zwei, zwei, deren Differenz durch 5 teilbar ist. ist. Beispiel: Sind Sind die die Zahlen 8, 8, 17, 17, 21, 21, 25, 25, 33, 33, 49, 49, so so ergibt sich, sich, dass dass = durch 5 teilbar ist. ist. Beweis. Um Um das das Schubfachprinzip anwenden zu zu können, müssen wir wir wissen, was was die die Objekte und und was was die die Kategorien sind. sind. Die Die Objekte sind sind die die 6 natürlichen Zahlen. Diese werden nun nun in in fünf fünf Kategorien K 0, 0, K 1, 1,..., K 4 eingeteilt: 4 Seite 15 Beweis K 0 : 0 : diejenigen Zahlen, die die Vielfache von von 5 sind, sind, K 1 : 1 : diejenigen Zahlen, die die bei bei Division durch 5 Rest Rest 1 ergeben. K 2 : 2 : diejenigen Zahlen, die die bei bei Division durch 5 Rest Rest 2 ergeben K 4 : 4 : diejenigen Zahlen, die die bei bei Division durch 5 Rest Rest 4 ergeben. Da Da jede jede Zahl Zahl bei bei Division durch 5 den den Rest Rest 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3 oder oder 4 ergibt, ist ist jede jede Zahl Zahl in in mindestens einer einer Kategorie enthalten. Schubfachprinzip es es gibt gibt eine eine Kategorie mit mit zwei zwei Objekten. Also Also gibt gibt es es zwei zwei Zahlen, die die bei bei Division durch 5 denselben Rest Rest ergeben. Das Das bedeutet: Die Die Differenz ist ist durch 5 teilbar. Seite 16

9 1.6 Teilen oder nicht teilen Erinnerung: Wir Wir nennen zwei zwei ganze Zahlen teilerfremd, wenn ihr ihr größter gemeinsamer Teiler 1 ist. ist. Zum Zum Beispiel sind sind 7 und und teilerfremd, 8 und und aber aber nicht Satz. Unter je je n+1 n+1 Zahlen der der Menge {1, {1, 2, 2, 3, 3,...,..., 2n} 2n} gibt gibt es es stets stets zwei zwei teilerfremde. Beweis. Unter je je n+1 n+1 Zahlen der der Menge {1, {1, 2, 2, 3, 3,...,..., 2n} 2n} gibt gibt es es stets stets zwei zwei aufeinanderfolgende; diese Zahlen sind sind sicher teilerfremd. Seite 17 Zwei Zahlen teilen sich Satz. Unter je je n+1 n+1 Zahlen der der Menge {1, {1, 2, 2, 3, 3,...,..., 2n} 2n} gibt gibt es es stets stets zwei zwei Zahlen, von von denen die die eine eine die die andere teilt. teilt. Beweis. Seien a 0, 0, a 1, 1,..., a n die n die gewählten Zahlen. Wir Wir schreiben jede jede dieser Zahlen als als Produkt einer einer Zweierpotenz und und einer einer ungeraden Zahl; Zahl; das das heißt heißt a i = i 2 ei ei u u i, i, wobei e i eine i eine natürliche Zahl Zahl (e (e i darf i darf Null Null sein), und und u i ungerade i ist. ist. (Konkrete Beispiele: Wenn a i ungerade i ist, ist, dann dann ist ist e i = i 0 und und u i = i a i. i. Im Im Fall Fall a i = i ist ist e i = i 2 und und u i = i 3.) 3.) Seite 18

10 Beweisabschluss Dann sind sind die die u i ungerade i Zahlen zwischen 1 und und 2n. 2n. Da Da es es in in diesem Intervall nur nur n ungerade Zahlen gibt, gibt, muss es es ein ein i i und und ein ein j j (i (i j) j) geben mit mit u i = i u j (Schubfachprinzip). j Dann ist ist a i = i 2 ei ei u u i und i und a j = j 2 ej ej u u i, i, Dann teilt teilt die die Zahl Zahl mit mit der der kleineren Zweierpotenz die die andere. Seite 19