Derivative Finanzinstrumente

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1 Derivative Finanzinstrumente Klaus Schindler Vorlesung an der Universität des Saarlandes c Sommersemester 2015 Version 15.0

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3 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Derivative Finanzinstrumente Srechweisen Zinsen Anleihen Derivative Finanzinstrumente Terminkontrakte und Futures Otionen Arbitragebeziehungen Arbitragefreiheit Terminkontrakte Otionen Put-Call-Parität Konvexitätseigenschaften Wahrscheinlichkeitsrechnung Zufall und Ereignisse σ-algebren Wahrscheinlichkeitsmaße Zufallsvariablen und Messbarkeit Verteilung von Zufallsgrößen Aroximationen der Normalverteilung Momente einer Zufallsgröße Bedingte Wahrscheinlichkeit Kovarianz, Korrelation Bedingte Erwartung Stochastische Prozesse I Zeitdiskrete stochastische Prozesse Arithmetische Binomialrozesse Arithmetische Trinomialrozesse Geometrische Binomialrozesse Allgemeine Irrfahrten Binomialrozesse mit zustandsabhängigen Zuwächsen σ-algebren und Information

4 4.3. Martingal-Prozesse Stochastische Prozesse II Der Wiener-Prozess Stochastische Integration Stochastische Differentialrechnung Der Aktienkurs als stochastischer Prozess Stochastische Differentiation BLACK/SCHOLES-Otionsmodell Eine analytische Lösung für euroäische Otionen Das Binomialmodell für euroäische Otionen Aktien ohne Erträge Aktien mit stetigen Erträgen Aktien mit diskreten Erträgen Amerikanische Otionen 113 Die vorzeitige Ausübung amerikanischer Calls Put-Call-Parität für amerikanische Otionen Das Trinomialmodell für amerikanische Otionen Otionsmanagement (Portfolio-Insurance) 125 Literaturverzeichnis 131 Anhang 134 A. Integrationstheorie 135 A.1. Funktionen von endlicher Variation A.2. Riemann-Stieltjes-Integral A.3. Der Satz von Radon-Nikodym B. Der Satz von Girsanov 139 B.1. Martingal-Darstellungssatz C. Portfolio-Strategien 143 D. Der Satz von Taylor 149

5 KAPITEL 1 Derivative Finanzinstrumente Wir stellen in diesem Kaitel zunächst die wichtigsten Finanzinstrumente, die im Rahmen dieser Vorlesung benötigt werden, vor. Zur Vermeidung von Schwierigkeiten gehen wir nur in Ausnahmefällen auf Handelsusancen ein, obwohl diese den Preis eines Finanzinstrumentes entscheidend beeinflussen können. In der Regel vermeiden wir diese Probleme durch Normierungen oder zum Teil unrealistische Vereinbarungen, wie z.b. fehlende Transaktionskosten. Auch in der Praxis finden solche Vereinfachungen statt. Viele derivative Finanzinstrumente sind stark normiert, z.b. in Bezugsgröße, Laufzeit, Terminkurs, Ausübungskurs usw.. Dies vereinfacht den Handel, erhöht damit die Fungibilität und erleichtert die Bewertung der Finanzinstrumente. Für den Kunden maßgeschneiderte, nicht normierte Finanzinstrumente werden als OTC-Derivate (OTC=over the counter) bezeichnet und meist nicht an Terminbörsen gehandelt. Ihre Bewertung erfordert wegen der von der Norm abweichenden Eigenschaften eine geeignete Anassung der Standardmodelle Srechweisen Ein Portfolio (Portefeuille) ist die Zusammenfassung mehrerer Finanzinstrumente eines Investors zu einem Gesamtwert. Ein einzelnes Finanzinstrument innerhalb eines Portfolios wird als Position bezeichnet. Hierbei unterscheidet man zwischen einer long und einer short osition. Im ersten Fall besteht die Position aus einem gekauften, im zweiten Fall aus einem verkauften Objekt (z.b. einer verkauften Anleihe oder verkauften Otion). Als short selling werden short Positionen bezeichnet, bei denen man sich - unter Einschaltung einer Bank oder eines Brokers - Objekte, die einem nicht gehören, ausleiht und verkauft. Der short seller verflichtet sich damit gleichzeitig, dem Besitzer der Objekte während der Leihzeit alle anfallenden Erträge und am Ende - durch einen Rückkauf an der Börse - die Objekte zu erstatten. Das Schließen einer Position bedeutet, dass man die Wertentwicklung des Portfolios unabhängig von dieser Position macht. Dies kann durch Verkauf dieser Position oder durch den Abschluss eines genauen Gegengeschäftes geschehen. Als sot rice (Marktreis) bezeichnen wir den Preis, zu dem ein Objekt gegen sofortige Zahlung und sofortige Auslieferung gehandelt wird 1. 1 Dies steht im Gegensatz zum sog. future rice in Bemerkung 1.5 iii).

6 Finanzinstrumente Derivative 1. Derivative Finanzinstrumente Kaitel 1 Anleihen 1.2. Zinsen Definition 1.1 Zinsen sind das Entgelt für die zeitweilige Überlassung einer Wertsumme 2. Üblicherweise werden Zinsen zu diskreten Zeitunkten - den Zinszuschlagsterminen (ZZT) - gutgeschrieben und dann weiterverzinst (Zinseszins). In einer Zinseriode (=Abstand benachbarter ZZTe) wächst ein Anfangskaital K Anf bei einem Periodenzinssatz i damit auf K End = K Anf (1 + i ) Ist seziell ein nomineller Jahreszinssatz i bei l ZZTen ro Jahr gegeben, d.h. liegt ein Periodenzinssatz i = i l vor, wächst ein Anfangskaital K Anf in einem Jahr insbesondere auf K End = K Anf (1 + i l )l. Im Grenzübergang l, wo jeder Augenblick ein ZZT ist, sricht man von stetiger Verzinsung. Dabei wächst das Anfangskaital in einem Jahr auf K End = K Anf e i. i wird in diesem Fall als stetiger (Jahres-)Zins oder short rate bezeichnet. Da stetige Zinsen starke Rechenvorteile aufweisen (keine gemischte Zinsrechnung), wird dies bei Finanzderivaten in Zukunft vorausgesetzt Anleihen Als erstes Finanzinstrument betrachten wir Anleihen. Sie stellen wegen der vorab festgelegten Laufzeit im Prinzi ein einfaches Beisiel für ein Termingeschäft dar. Definition 1.2 Der Besitzer einer Anleihe (Bond) erhält zu einem zukünftigen Zeitunkt t (Fälligkeitszeitunkt) einen vorher vereinbarten Betrag R, der als Nominal-, Nenn- oder Rückzahlungswert der Anleihe bezeichnet wird. Werden außerdem zu diskreten Zeitunkten t 1,..., t n vor t zusätzliche Couonzahlungen in Höhe C geleistet, sricht man von einer Couonanleihe, andernfalls von einer Nullcouonanleihe (Zerobond). Bemerkung 1.3 i) Der Wert A t einer Anleihe zum (aktuellen) Zeitunkt t berechnet sich als Summe aller mit dem Marktzins diskontierten zukünftigen Erträge, die mit der Anleihe verbunden 2 Diese Wertsumme muss nicht zwingend Geldform haben. Man betrachte als Beisiel etwa den Mietzins. 6 c Klaus Schindler SS 2015

7 Grundlagen Kaitel Zinsen sind. Geht man von n Couonzahlungen C zu den Zeitunkten t 1,..., t n, einem Nominalwert R zum Fälligkeitszeitunkt t und einem (konstanten) stetigen Marktzins i aus, ergibt sich 3 Derivative Finanzinstrumente A t n = R e i (t t) + C e i (tl t). (1.1) l=1 Hierbei ist deutlich zwischen dem aktuellen (stetigen) Marktzinssatz i und dem nominellen (stetigen) Zinssatz i nom der Anleihe zu unterscheiden. Letzterer bezieht sich immer auf den Nominalwert der Anleihe, d.h. der stetige nominelle Periodenzinssatz der Anleihe ist 4 ( i nom = ln 1 + C ) R und wird sich daher u.u. deutlich vom aktuellen Marktzinssatz i unterscheiden. Je nach dem, ob der Kurs der Anleihe unter, über oder gleich dem Rückzahlungswert ist, nennt man die Anleihe unter ari, über ari oder ari 5. Anders ausgedrückt bedeutet dies, dass die Rendite (= effektiver Zinssatz) einer sicheren Anleihe, bei der alle Zahlungen mit Wahrscheinlichkeit 1 eintreten, gleich dem aktuellen Marktzinssatz ist. Da die Couonzahlungen C und der Rückzahlungswert R bekannt sind, stellt Gleichung (1.1) eine umkehrbar eindeutige Beziehung zwischen dem Marktzins und dem Kurs einer Anleihe her, man sricht daher auch von Kursrechnung. Der Handel mit Anleihen ist daher ein Handel mit Zinssätzen. Gleichung (1.1) zeigt außerdem, dass ein Steigen des Marktzinses zu einem Absinken der Anleihekurse und umgekehrt ein Sinken des Marktzinses zu einem Anstieg der Anleihekurse führt. Im Falle eines Zerobonds wird Gleichung (1.1) besonders einfach. Wegen C = 0 ist der Wert des Zerobonds gleich dem diskontierten Rückzahlungswert A t = R e i (t t). (1.2) Äquivalent hierzu gilt folgende Gleichung für den Marktzins i = ln(a t) ln(r) t t Im Folgenden bezeichnen wir mit A t den Kurs eines Zerobonds mit Rückzahlungswert 1. Für konstante stetige Zinsen gilt gemäß Gleichung (1.2) die Beziehung A t = e i (t t), 3 Hierbei gehen wir stillschweigend davon aus, dass Zinssatz und Laufzeit die gleiche Zeiteinheit verwenden. Z.B. könnte i ein stetiger Jahreszinssatz sein und die Laufzeit in Jahren gemessen werden. 4 Hierbei wurde vorausgesetzt, dass die Couonzahlungen in regelmäßigem Abstand erfolgen. Ein direkter Vergleich von i nom und i macht außerdem nur Sinn, wenn dieser Abstand gleich der bei i verwendeten Zeiteinheit ist. 5 Unter den in der letzten Fußnote erwähnten Voraussetzungen gilt, dass der Anleihekurs genau dann unter ari ist (A t < R), wenn i nom < i gilt. c Klaus Schindler SS

8 Finanzinstrumente Derivative 1. Derivative Finanzinstrumente Kaitel 1 Terminkontrakte d.h. A t ist der stetige Abzinsungsfaktor für den Zeitraum t t. Im Fall zeitabhängiger deterministischer Zinsen i = i(t) gilt analog ( t ) A t = ex i(s)ds. (1.3) t In differentieller Form lautet Gleichung (1.3) da dt = A i(t) bzw. da A = i(t) dt Im Folgenden werden wir, wenn nicht anders erwähnt, von einem konstanten stetigen Zinssatz i und dem Zinsfaktor e i ausgehen. Bei nichtkonstanten Zinsen muss als Abzinsungsfaktor der Preis A t eines Zerobond mit dem Nominalwert 1 verwendet werden. ii) Der Kauf bzw. Verkauf einer Anleihe stellt nichts anderes, als das Verleihen bzw. die Aufnahme von Geld zum aktuellen Zinssatz dar. Im Gegensatz zu Zerobonds, bei denen der Verkäufer sich verflichtet, die gesamten Schulden inklusive Zinsen auf einen Schlag am Ende der Laufzeit zu Zahlen, erfolgen bei Couonanleihen zwischenzeitliche (nominelle!) Zinszahlungen, die vorab durch die Couons festgelegt sind. Hierdurch wird das Ausfallrisiko verringert 6. Hier weisen Anleihen eine gewisse Ähnlichkeit zu Terminkontrakten, bei denen man zwischen Forwards und Futures (siehe Definition 1.4) unterscheidet, auf. Forward-Kontrakte ähneln Zerobonds, da bei ihnen alle durch den Kontrakt entstandenen Zahlungsverflichtungen erst am Ende der Laufzeit erfüllt werden. Futures, bei denen während der Laufzeit Marginzahlungen anfallen, besitzen ein reduziertes Ausfallrisiko und ähneln daher Couonanleihen Derivative Finanzinstrumente Wir definieren nun die wichtigsten derivativen Finanzinstrumente. Die Bezeichnung Finanzderivat rührt daher, dass ihr Wert vom Wert anderer, an der Börse gehandelter Instrumente abhängt. Die dem Derivat zu Grunde liegenden Instrumente bezeichnen wir in Zukunft als underlying. Mathematisch gesehen sind Derivate also Funktionen, deren Inutvariablen als underlying bezeichnet werden Terminkontrakte und Futures Die im Folgenden definierten Terminkontrakte zählen zu den einfachsten unbedingten Termingeschäften. Diese müssen - im Gegensatz zu bedingten Termingeschäften wie z.b. Otionen - auf jeden Fall erfüllt werden. 6 Dies führt auch zum Unterschied zwischen effektivem Zinssatz (=Rendite) und nominellem Zinssatz. 8 c Klaus Schindler SS 2015

9 Grundlagen Kaitel Derivative Finanzinstrumente Definition 1.4 Ein Terminkontrakt ist ein Vertrag zwischen zwei Parteien, bei dem sich der Käufer bzw. der Verkäufer des Kontraktes heute verflichtet zu einem festgelegten zukünftigen Zeitunkt t ein Objekt zu einem heute vereinbarten Preis K (Terminkurs) zu kaufen (Terminkauf ) bzw. zu verkaufen (Terminverkauf ). V K,t (S t ) bezeichne den Wert dieses Terminkontraktes zum Zeitunkt t, wobei S t den sot rice des underlying bezeichne. Derivative Finanzinstrumente Bemerkung 1.5 i) Um sich mit Termingeschäften vertraut zu machen, ist es am einfachsten, zunächst nur den inneren Wert zu betrachten. Dieser gibt den Gewinn/Verlust an, den man bei sofortiger Fälligkeit oder Ausübung des Geschäftes machen würde. Bei einem Terminkauf ist der innere Wert zum Zeitunkt t gleich S t K, bei einem Terminverkauf gleich K S t. Der ay-off ist seziell der innere Wert des Finanzinstrumentes am Verfallstag t. Nachfolgende Skizze gibt den ay-off eines Terminkaufs und eines Terminverkaufs in Abhängigkeit vom Preis S t des Underlying an. Pay-off K Terminkauf S t K K Kurs S t Terminverkauf K S t K Man erkennt an den Pay-offs der unterschiedlichen Derivate sehr gut den Unterschied zwischen bedingten und unbedingten Termingeschäften (siehe hierzu etwa Beisiel 1.8 i) im Abschnitt über Otionen). ii) Der Forward Price F t ist der Terminkurs zum Zeitunkt t, für den der Wert des Terminkontraktes mit Fälligkeit t (siehe Satz 2.3) gleich Null ist, d.h. dass V Ft,t (S t) = 0 gilt. Bei Eröffnung eines Terminkontraktes wählt man den forward rice als Terminkurs, so dass beim Kauf keine Zahlung erforderlich ist. Erst im Laufe der Zeit wird der Kontrakt einen ositiven oder negativen Wert annehmen, was sich auch darin äußert, dass der forward rice vom ursrünglichen forward rice (=Terminkurs) abweicht. Offensichtlich gilt F t = S t zum Fälligkeitszeitunkt t. c Klaus Schindler SS

10 Finanzinstrumente Derivative 1. Derivative Finanzinstrumente Kaitel 1 Terminkontrakte iii) Futures sind standardisierte Terminkontrakte mit täglichem Verlust- bzw. Gewinnausgleich (Margin), d.h. sie werden von Tag zu Tag erfüllt und nicht erst am Ende der Laufzeit. Hierdurch wird das Erfüllungsrisiko ausgeschlossen bzw. stark gemindert, weil eventuelle Verluste bei den Geschäftsartnern auf die Kursschwankungen eines Tages beschränkt werden 7. Die Größe der täglichen Margin ist gleich der Änderung des Future-Preises. Analog zum Forward Price ist der Future Price dabei der Terminkurs, für den der Wert des Futures gleich Null ist. Forward- und Future-Price stimmen am Ende der Laufzeit mit dem Preis des underlying überein. iv) Die Sekulation (d.h. nicht abgesicherte Position) auf Terminmärkten weist wesentliche Unterschiede zur Sekulation auf den Sotmärkten auf. Z.B. erfordert der Erwerb eines Terminkontraktes keine Anfangszahlung. Dies und die üblicherweise hohe Bezugsgröße versieht den Investor mit einem wesentlich höheren Leverage. v) Da der ay-off negative Werte zulässt, kann der Wert von Terminkontrakten u. U. negativ sein. Bei Otionen werden dagegen durch die Vertragsbedingungen negative Pay-offs vermieden, wodurch eine Otion immer einen nichtnegativen Wert besitzt (siehe auch Bemerkung 2.8 (1)). vi) Ein Terminverkauf darf nicht mit einem short-selling verwechselt werden. Zur Erläuterung des Unterschieds zwischen Forward und Future betrachten wir im folgenden Beisiel zwei fiktive Öl-Terminkontrakte. Beisiel 1.6 Wir betrachten in der folgenden Tabelle die Entwicklung des Ölreises (in [$/Barrel]) in den Jahren t = 0 bis t = 5, den Future-Preis und die zu leistenden Margins bei jährlichem Settlement 8. Zum Vergleich ist in der letzten Salte noch ein Terminkontrakt mit Terminkurs K = 22, 04 [$/Barrel] angegeben. Beide Kontrakte sollen zum Zeitunkt t = 5 fällig sein. Margin Zeitunkt Sotrice Futurerice Restlaufzeit Future Forward t S t F t T = t t M = F t F t Das Verfahren wird als mark-to-market bezeichnet. 8 In der Praxis findet natürlich ein tägliches Settlement statt. 10 c Klaus Schindler SS 2015

11 Grundlagen Kaitel Derivative Finanzinstrumente Die Tabelle zeigt, wie durch die zwischenzeitlichen Margins beim Future das Ausfallrisiko im Vergleich zum Forward deutlich reduziert wird. Die Nettosumme der Marginzahlungen liefert gerade liefert gerade die Abschlusszahlung beim Forward. Derivative Finanzinstrumente Otionen Definition 1.7 Eine Otion ist ein Vertrag, der dem Käufer das Recht gibt, ein Objekt (underlying) am Ende oder während eines festen Zeitraumes (Laufzeit) zu einem festgelegten Betrag (Ausübungsreis) zu kaufen (Kaufotion, Call) oder zu verkaufen (Verkaufsotion, Put). Ist die Otion erst am Ende der Laufzeit ausübbar, srechen wir von einer euroäischen Otion, bei jederzeitiger Ausübbarkeit von einer amerikanischen Otion. Bemerkung 1.8 i) Um sich mit Otionen vertraut zu machen, ist es zunächst wieder am einfachsten, nur den Pay-off, also den inneren Wert der Otion zum Fälligkeitszeitunkt t zu betrachten. Bei einem gekauften Call bzw. Put mit Ausübungskurs K ist dieser gleich max{s t K, 0} bzw. max{k S t, 0} und hat damit folgendes Aussehen: Pay-off Call long max{s t K, 0} K Kurs S t K Pay-off K Put long max{k S t, 0} K Kurs S t c Klaus Schindler SS

12 Finanzinstrumente Derivative 1. Derivative Finanzinstrumente Kaitel 1 Otionen Häufig arbeitet man anstelle des ay-off auch mit der sog. Ertrags- oder Gewinnfunktion, wo man den Pay-off noch mit der gezahlten oder erhaltenen Otionsrämie verrechnet. Dies ist finanzmathematisch jedoch unkorrekt, weil hierbei Zahlungen, die zu verschiedenen Zeitunkten anfallen, ohne Berücksichtigung der Zinswirkung addiert werden. Ein Call short, d.h. der Verkauf einer Kaufotion mit Ausübungskurs K zum Preis C 0, liefert dann folgenden Pay-off bzw. folgende Gewinnfunktion: Pay-off Call short K Kurs S t max{s t K, 0} = min{k S t, 0} Ertrag C 0 Call short K Kurs S t ii) Gerade zum ersten Verständnis von Portfolios, die sich aus mehreren Derivaten zusammen setzen, sind ay-off- bzw. Gewinn-Diagramme eine große Hilfe. Wir wollen dies an Hand eines gekauften Straddle demonstrieren. Dies ist eine Position, die sich aus je einem gekauften Call und Put mit gleichem Ausübungskurs K und gleicher Laufzeit zusammensetzt. Das Gewinndiagramm zeigt, dass der Besitzer eines Straddle auf steigende oder fallende Kurse setzt, da nur bei in etwa gleich bleibenden Kursen Verluste eintreten. Bezeichnen wir die Call- bzw. Puträmie mit C 0 bzw. P 0, so hat das Gewinndiagramm eines Straddle folgendes Aussehen: 12 c Klaus Schindler SS 2015

13 Grundlagen Kaitel Derivative Finanzinstrumente Gewinn/Verlust Straddle Derivative Finanzinstrumente long Put K Kurs S t P 0 C 0 (C 0 + P 0 ) long Call iii) Liegt der Kurs des underlying über dem Ausübungskurs (S > K), so kann der Inhaber eines amerikanischen Call das Objekt statt zum Preis S zu dem günstigeren Preis K erwerben. Das Recht, das der amerikanische Call verbrieft, besitzt zu diesem Zeitunkt daher mindestens den Wert S K. Analog hierzu muss der amerikanische Put im Fall K > S mindestens den Wert K S besitzen (siehe hierzu Bemerkung 2.8 (3) ). Aus diesem Grund wird bei einer ersten Beurteilung von Otionen häufig mit dem inneren Wert gearbeitet. Dieser innere Wert ist gleich max{s K, 0} bei Calls und max{k S, 0} bei Puts. Er gibt an, was man jetzt bei Ausübung der Otion erhalten würde. Ist der innere Wert einer Otion ositiv, d.h. ist S > K bei Calls bzw. S < K bei Puts, sricht man von einer Otion in-the-money. Gilt S K ist die Otion at-the-money. Im Fall S < K bei Calls bzw. S > K bei Puts, liegt eine out-of-the-money Otion vor. Der Betrag, um den der aktuelle Otionsreis den inneren Wert überschreitet, wird als Zeitwert bezeichnet. Schon hier sei darauf hingewiesen, dass der Preis euroäischer Otionen unterhalb des inneren Wertes liegen kann (siehe dazu Kaitel 9). iv) Derivative Finanzinstrumente können zur Sekulation, aber auch zur Absicherung (Hedging) verwendet werden. v) Im Gegensatz zu Otionen (contingent claim, limited liability) verflichten Terminkontrakte (siehe Definition 1.4) zum Kauf oder Verkauf. Otionen werden daher auch als bedingte und Terminkontrakte als unbedingte Termingeschäfte bezeichnet. In diesem Sinne ist ein euroäischer Call ein bedingter Terminkauf, ein euroäischer Put ein bedingter Terminverkauf. Da durch die Vertragsbedingungen bei Otionen negative Pay-offs vermieden werden, ergibt sich der Pay-off einer Kauf- bzw. Verkaufsotion, indem man alle negativen Pay-off-Werte beim Terminkauf bzw. -verkauf (Terminkurs = Ausübungskurs) durch 0 ersetzt. c Klaus Schindler SS

14 Finanzinstrumente Derivative 1. Derivative Finanzinstrumente Kaitel 1 Otionen vi) Neben den Standardotionen (lain vanilla otion) und deren Kombinationen werden zum Teil wesentlich komlexere Otionen am Markt gehandelt. So zum Beisiel (Kurs- )wegabhängige Otionen wie - Asiatische Otionen (average rate otion): der Ausübungskurs entsteht durch Mittelung über die Kurse des underlying eines bestimmten Zeitraumes - Lookback Otionen: der Ausübungskurs ist das Minimum bzw. Maximum der Kurse des underlying über einen bestimmten Zeitraum - Knockout Otionen: diese liefern eine konstante Zahlung (oder verfallen), wenn das underlying bestimmter Schranken über- oder unterschreitet Ein weiteres Beisiel für solche nicht standardisierte Otionen sind Otionen auf Otionen (comound otion), bei denen das underlying selbst eine Otion ist. In diesem Zusammenhang sollte beachtet werden, dass viele Finanzgeschäfte einen Otionsanteil besitzen (z.b. Wandelanleihen oder Bezugsrechte bei Aktien). vii) Die Angabe der Otionswerte bezieht sich im folgenden immer auf den Bezug eines Objektes, so dass in der Praxis bei der Otionsreisberechnung noch eine Multilikation mit einem geeigneten Faktor erfolgen muss. viii) In den nachfolgenden Beweisen werden der Einfachheit halber meistens Aktienotionen, bei denen das underlying eine Aktie ist, betrachtet. Variablen der Bewertung und Notationen Zeit: t = aktueller Zeitunkt (oft auch t = 0), t = Fälligkeitszeitunkt des Derivates. Die Laufzeit des betrachteten Geschäftes ist dann T = t t. Preis des underlying: S bzw. S t, S(t), (S, t) Ausübungskurs (Basisreis) bzw. Terminkurs: K Volatilität des underlying: σ, beschreibt das Schwankungsverhalten des underlying Bestandshaltekosten des underlying: Die Bestandshaltekosten ergeben sich als Summe aller Kosten (inklusive Oortunitätskosten), die der Besitzer des underlying tragen muss, verkleinert um eventuelle Erträge, die der Besitzer eines underlying erhält. Überwiegen im Sezialfall die Erträge die Kosten, ergeben sich daher negative Bestandshaltekosten, d.h. im Fall B < 0 liegen Erträge, im Fall B > 0 Kosten vor! 14 c Klaus Schindler SS 2015

15 Grundlagen Kaitel Derivative Finanzinstrumente Wir unterscheiden diskrete Bestandshaltekosten B oder stetige Bestandshaltekosten b. So sind für ein underlying mit stetigen Lagerhaltungskosten l und stetiger Dividendenrendite d (jeweils in %, bezogen auf das underlying) die stetigen Bestandshaltekosten b = i + l d. Der Zinssatz i stellt hierbei die Oortunitätskosten dar. Derivative Finanzinstrumente stetiger Zinssatz: i Otionswerte: CK,t eur eur am und Cam K,t bzw. PK,t und PK,t bezeichnen die euroäischen und amerikanischen Call- bzw. Putwerte mit Ausübungskurs K und Fälligkeitszeitunkt t. Insgesamt gilt also Otionsreis = Funktion(S t, K, t, t, σ, i) c Klaus Schindler SS

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17 KAPITEL 2 Arbitragebeziehungen Zur Bewertung von Devisen, Zinsen, Wertaieren, Derivaten und anderen Objekten auf Finanzmärkten sind verschiedene ökonomische Theorien entwickelt worden. Zu erwähnen sind in diesem Zusammenhang die Kaufkraftaritätstheorie für Wechselkurse, die Zinsstrukturtheorie, das CAPM (Caital-Asset-Pricing-Model) und das Black/Scholes-Modell zur Bewertung von Derivaten. Die Aussagen, die in den jeweiligen Modellen hergeleitet werden, basieren wie alle wissenschaftlichen Modelle auf bestimmten Denkansätzen. Eines der bekanntesten Grundaxiome, das wir im Folgenden auch stillschweigend voraussetzen, ist z.b., dass sich alle Marktteilnehmer rational verhalten. In den Gleichgewichtsmodellen (wie etwa dem CAPM) werden z.b. die Preise (bzw. Renditen) dadurch bestimmt, dass sie markträumend wirken, d.h. dass das Angebot gleich der aggregierten Nachfrage ist. In der Arbitragetheorie (wie etwa dem Black/Scholes-Modell) geht man davon aus, dass eine Arbitrage (risikoloser Gewinn) nicht möglich ist, da diese sofort 1 von den Marktteilnehmern erkannt und über eine Preisanassung eliminiert würde. In diesem und den nachfolgenden Kaiteln fordern wir diese Arbitragefreiheit und setzen zusätzlich einen erfekt funktionierenden Markt (efficient-market-hyothese) voraus. Arbitragebeziehungen Annahme: Der Finanzmarkt funktioniert erfekt, d.h. Soll- und Habenzinsen sind gleich. Es gibt keine Transaktionskosten, keine Steuern, keine Einschränkungen beim short-selling und keine Arbitrage. Alle Wertaiere sind beliebig teilbar. Die unter diesen Voraussetzungen abgeleiteten Ergebnisse für Otionen und Terminkontrakte, die sich direkt aus den ökonomischen Eigenschaften dieser Finanzgeschäfte ergeben, sind ohne weitere Annahmen gültig. Sätere mathematische Otionsreismodelle müssen diesen Anforderungen genügen, andernfalls sind sie fehlerhaft. Wegen der einfacheren Darstellung gehen wir im folgenden immer davon aus, dass der Zinssatz während der Laufzeit konstant i ist. Ist dies nicht der Fall tritt an die Stelle des Diskontierungsfaktors e it = e i(t t) der entsrechende Wert A t eines Zerobonds (s. Bemerkung 1.3 i)). 1 Dies setzt den gleichen Informationsstand bei allen Marktteilnehmern und insbesondere eine unendlich große Informationsgeschwindigkeit voraus. 17

18 ARBITRAGEBEZIEHUNGEN Kaitel 2 Terminkontrakte 2.1. Arbitragefreiheit Arbitragebeziehungen Eine zentrale Eigenschaft, die sich aus der Arbitragefreiheit ergibt ist, dass zwei Portfolios, die zu einem bestimmten Zeitunkt den gleichen Wert haben, auch zu jedem früheren Zeitunkt wertgleich sein müssen. Genauer gilt folgender Satz. Satz 2.1 Hat ein Portfolio in einem erfekten Markt zu einem Zeitunkt t (mit Sicherheit) einen ositiven Wert, so gilt dies auch zu jedem früheren Zeitunkt, sofern das Portfolio nicht von außen verändert werden kann. Beweis: Bezeichne V P (t) den Wert eines Portfolios P zum Zeitunkt t und gelte V P (t ) 0. Dann ist zu zeigen, dass gilt: t t : V P (t) 0 Wir führen den Beweis indirekt, indem wir annehmen, dass V P (t) < 0 zu einem Zeitunkt t t gilt. Kauft man Portfolio P zum Zeitunkt t, so bedeutet dies, dass man den Betrag V P (t) > 0 erhält. Hält man Portfolio P bis zum Zeitunkt t und verkauft es zum Zeitunkt t (Dies ist nur möglich, weil es nicht von außen verändert werden kann!), erhält man zusätzlich noch den Betrag V P (t ) 0. Insgesamt hat der Kauf des Portfolios einen risikolosen Gewinn zum Zeitunkt t in Höhe V P (t) e i(t t) + V } {{ } P (t ) > 0 } {{ } >0 0 erbracht, was einen Widersruch zur Arbitragefreiheit darstellt. Bemerkung 2.2 Angewendet wird Satz 2.1 meistens in folgender Form: Für zwei Portfolios A und B, die nicht von außen verändert werden können, gelten in einem erfekten Markt folgende Aussagen: V A (t ) V B (t ) = t t : V A (t) V B (t) V A (t ) = V B (t ) = t t : V A (t) = V B (t) Zum Beweis bilde man ein Portfolio P bestehend aus Portfolio B long und Portfolio A short. Dann gilt V P (t ) = V B (t ) V A (t ) 0 und es kann Satz 2.1 angewendet werden. 18 c Klaus Schindler SS 2015

19 Arbitragebeziehungen Kaitel Terminkontrakte 2.2. Terminkontrakte Satz 2.3 Sei K der Terminkurs eines zum Zeitunkt t fälligen Terminkaufs auf ein underlying mit dem Kurs S t. Mit V K,t (S t ) bezeichnen wir den Wert des Terminkaufs. a) Fallen während der Laufzeit T=t t auf das underlying nur diskrete Bestandshaltekosten 2 im Gesamtwert B t (bezogen auf den Zeitunkt t) an, so gilt V K,t (S t ) = S t B t K e it. (2.1) Arbitragebeziehungen Der Forward Price F t ist in diesem Fall gleich F t = (S t B t ) e it. b) Werden stetige Bestandshaltekosten b auf das Objekt vorausgesetzt, so gilt V K,t (S t ) = S t e (b i)t K e it (2.2) Der Forward Price F t ist in diesem Fall gleich F t = S t e bt. Beweis: Wir wollen der Einfachheit voraussetzen, dass das underlying eine Aktie mit diskreten Dividenden mit dem Barwert D t bzw. stetigem Dividendenertrag d (also d = i b) ist. a) Wir betrachten zum Zeitunkt t zwei Portfolios A und B mit folgendem Aussehen Portfolio A : Terminkauf der Aktie zum Terminkurs K, fällig zum Zeitunkt t. Portfolio B: Kauf einer Aktie. Verkauf eines Zerobonds mit Nominalwert K und eines Zerobonds mit Barwert D t, Fälligkeitszeitunkt jeweils t. Da mit den Dividendenerträgen der Aktie in Portfolio B die Anleihe mit Barwert B t zurückgezahlt wird, haben beide Portfolios zum Zeitunkt t den gleichen Wert, nämlich S t K. Daher gilt zum Zeitunkt t ebenfalls die Gleichheit, also V K,t (S t ) = S t D t K e it. b) Besitzt die Aktie eine stetige Dividendenrendite d kann ähnlich argumentiert werden. Wieder betrachten wir zwei Portfolios A und B zum Zeitunkt t, wobei A wie im Beweis von Teil a) gewählt wird. Portfolio B hat folgendes Aussehen Portfolio B: Kauf von e (b i)t Aktien. Verkauf eines Zerobonds im Nominalwert K. 2 Man beachte, dass B t < 0 gelten kann. c Klaus Schindler SS

20 ARBITRAGEBEZIEHUNGEN Kaitel 2 Terminkontrakte Arbitragebeziehungen Wird die Dividende direkt in die Aktie reinvestiert, enthält Portfolio B zum Zeitunkt t genau eine Aktie. Unter Berücksichtigung der Anleihe hat Portfolio B zum Zeitunkt t den Wert S t K, d.h. den gleichen Wert wie Portfolio A. Daher muss wie in Teil a) die Wertgleichheit der beiden Portfolios zum Zeitunkt t gelten, also V K,t (S t ) = e (b i)t S t K e it. Bemerkung 2.4 Der Beweis des letzten Satzes zeigt insbesondere, dass Terminkontrakte durch ein Portfolio mit Anleihen und Objekten duliziert werden können. Im Gegensatz zur dynamischen Dulikation (siehe Kaitel 6) wird der Aufbau des Dulikationsortfolios zu Beginn der Laufzeit festgelegt und beibehalten, unabhängig davon, wie der sätere Kursverlauf aussieht. Entscheidend bei dieser Argumentation ist, dass kein Teil von Portfolio A oder Portfolio B von außen verändert werden kann, wie zum Beisiel bei short-positionen in amerikanischen Calls oder Puts. Beisiel 2.5 i) Betrachte den Terminkauf einer 5-Jahres Anleihe, die zum Kurs 900e gehandelt wird. Der Terminkurs betrage 910 e, die Laufzeit des Kontraktes ein Jahr. Couonzahlungen von 60 e fallen in 6 bzw. 12 Monaten (letztere kurz vor Fälligkeit des Kontraktes) an. Der stetige Jahreszins für 6 bzw. 12 Monate betrage 9% bzw. 10%. In diesem Fall ist S t = 900, K = 910, i = 0.10, T = 1, D = 60 e e 0.10 = Der Wert des Terminkaufs ist dann 3 V K,t (S t ) = e 0.10 = Der Käufer dieses Kontraktes erhält also Fall e. Der Forward Price F t beträgt F t = (S t D) e it = e e 0.1 = e. ii) Betrachte einen Dollar Terminkauf. In diesem Fall liegt ein stetiger Dividendenertrag d in Höhe des amerikanischen Zinssatzes vor. Bezeichnet S den Dollarkurs, i den inländischen Zinssatz, so ist der Forward Price gleich F t = S t e (i d)t. Für i>d ergibt sich ein Reort S t < F t (Zinsaufschlag), für i<d ergibt sich ein Deort S t > F t (Zinsabschlag) 4. 3 Beim Kauf der Anleihe wird vorausgesetzt, dass keine Stückzinsen anfallen. Andernfalls ist der Wert des Terminkaufs um die entsrechend abgezinste Größe zu verringern, da K um die Stückzinsen erhöht wird. 4 Preisnotiz, nicht Mengennotiz! 20 c Klaus Schindler SS 2015