Prof. Dr. Dietmar Pfeifer Institut für Mathematik. Diskrete Stochastische Finanzmathematik

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1 Prof. Dr. Diemar Pfeifer Iiu für Mahemaik Dikree Sochaiche Fiazmahemaik Sad: 7. Augu 4

2 Ihal. Vorbemerkug Opioe ud Arbirage Hedgig Die Hebelwirkug vo Opioe Kombiaioe vo Opiogechäfe Ei allgemeie DerivaeModell Da CoxRoRubieiModell Die Formel vo Black ud Schole Sochaiche Markmodelle Selbfiazierede Hadelraegie Marigale ud Arbirage MarkVollädigkei Uvollädige Märke Da BlackScholeModell... 8 Lieraur Dakagug... 9

3 . Vorbemerkug Späee ei der Verleihug de Nobelpreie für Ökoomie im Jahr 997 a Myro Schole ud Rober Mero i die zuamme mi Ficher Black ei dem Afag der 7er Jahre ewickele heorie der mahemaiche Bewerug vo Fiazderivae i aller Mude; hiervo zeuge auch die mehr al drei Duzed allei ei 996 erchieee Moographie ud Hadbücher zu dieem hema (für eie Auwahl vgl. [4], [6] bi [9], [], [6] bi [9], [], [5], [6];.a. [3], [36], [39] bi [47], [49] bi [53], [55] bi [59], [65] bi [7], [74], [75]; vor 996 vgl. [] ud [36] bi [38]). Allei im Jahr erchiee davo über ei Duzed eu! Die Bedeuug vo derivaive Fiazirumee bechräk ich dabei izwiche ich ur auf de Fiazmark, oder erlag vermehr auch Bedeuug auf dem Vericherug (vgl. [4]), peziell dem Rückvericherugmark (Sichwor: Aleraiver Riikorafer, AR; vgl. [6], [54]), dem Zimark (vgl. [7], [8], [3], [33], [37], [38], [4], [6], [6], [64], [65], [76]) ud dem Weer ud Eergiemark (vgl. [5], [3], [5], []). Der böremäßige Hadel mi Derivaive lä ich hiorich bi i frühe 7. Jahrhuder zurückverfolge (Wareermikorake beim ulpehadel i Hollad, Reihadel i Japa); Fiazderivaive (Akieopioe) wurde berei Afag de 9. Jahrhuder a der Lodo Sock Exchage gehadel. Der Begi de modere Hadel mi Derivaive geh eiher mi der Grüdug de Chicago Board of rade (CBO) im Jahr 848, zuäch haupächlich für divere Wareermigechäfe, päer auch für Akieopioe. Böre für de reie FiazderivaiveHadel peziell Währuggechäfe exiiere allerdig er ei 97 [Grüdug de Ieraioal Moey Marke (IMM) al Uerabeilug de ei 99 exiierede Chicago Mercaile Exchage (CME), Chicago Board Opio Exchage (CBOE) ei 973]. Zeigleich erchie die ere bahbrechede Arbei vo Ficher Black ud Myro Schole mi dem iel he pricig of opio ad corporae liabiliie i dem damal relaiv ubedeuede Joural of Poliical Ecoomy, achdem mehrere der führede Fachzeichrife im Bereich der Ökoomie die Publikaio abgeleh hae, wa möglicherweie dem mahemaich apruchvolle, aber ökoomich chwer direk zugägliche Ihal zuzuchreibe war. Er im Jahr 979 wurde vo J.C. Cox, A. Ro ud M. Rubiei ei aleraiver Aaz publizier, der auf kombiaoriche Argumee beruhe ud vor allem ehr gu dazu geeige war, de ökoomich eifach zu faede Begriff der Arbiragefreihei eie Marke i verädlicher Form zu mahemaiiere. Der Durchbruch wurde chließlich mi Arbeie vo J.M. Harrio, D.M. Krep ud S.R. Plika Afag der 8er Jahre erziel, i dee die Marigalheorie ud die Mehode der Sochaiche Aalyi zuamme mi Mehode der Fukioalaalyi al fudameale Baueie i die Preiheorie vo Derivaive eigeführ wurde, die heue al Sadard gele ud die Grudlage aller modere Publikaioe zu dieem hema bilde. Dieer ex orieier ich im Weeliche a dem zeidikree Modell vo Cox, Ro ud Rubiei, wobei zuäch die Erläuerug der eher ökoomiche Apeke (Arbirage, Hebelwirkug, Kombiaioe vo Opiogechäfe) im Vordergrud eh. Die Darellug folg i eile de Moographie vo BINGHAM UND KIESEL [8], EHERIDGE [], LAMBERON UND LAPEYRE [7] ud SEINER UND UHLIR [5]; vgl. auch KREMER [7]. Eie elemeare Eiführug i da Gebie, ibeodere uer markechiche Apeke, gib REUERS [3]; Areguge peziell für die Schule fide ma i ADELMEYER [], ADELMEYER UND WARMUH [] ud PFEIFER []. 3

4 . Opioe ud Arbirage Uer dem Sammelbegriff Derivaiv vereh ma eie Fiazkorak zwiche eiem oder mehrere Beeilige, der vom zuküfige Wer eie Wirchafgu abgeleie i. Spezielle Derivaive id: Forward ud Fuure Opioe Swap. Bei eiem Forward verpfliche ich der Verkäufer eie beimme Wirchafgu gegeüber dem Käufer zur Lieferug eier fegelege Mege zu eiem fegelege Zeipuk. Der Verkaufprei ka dabei im vorhiei oder er zum Zeipuk der Lieferug fegeleg werde. Solche Verräge köe umielbar zwiche juriiche Peroe abgechloe werde, id i.a. ich adardiier ud müe auch ich owedig a Böre gehadel werde. Im Gegeaz dazu i ei Fuure ei adardiierer, böremäßig gehadeler Forward, der durch ei og. Clearig Houe al Vermiler zwiche Verkäufer ud Käufer abgewickel wird; Hadelkodiioe (z.b. Preie) werde veröffelich. Uer eier Opio vereh ma da Rech, eie beimme Mege eie beimme Wirchafgu zu eiem im vorau fegeeze Prei (egl. Exercie Price) zu kaufe (CallOpio) oder zu verkaufe (PuOpio). Darf da Rech ierhalb eier beimme Fri augeüb werde, prich ma vo eier Amerikaiche Opio; i die Auübug de Rech auf eie beimme Zeipuk bechräk, prich ma vo eier Europäiche Opio. Die Auübug der Opio häg i.a. davo ab, wie ich der Prei de Wirchafgu z.b. a der Böre ewickel; im Fall eier CallOpio wird ma diee verüfigerweie ewa ur da auübe, we der Böreprei de Wirchafgu über dem vereibare Kaufprei lieg, o da ich durch die eehede Preidifferez ei Voreil für de Ihaber der Opio ergib. Lieg der Böreprei dagege uer dem vereibare Kaufprei, wird ma die Opio ivollerweie ich auübe, da ma da bereffede Wirchafgu i dieem Fall billiger direk a der Böre erwerbe ka. Daebe gib e eie Reihe weierer Opioype, die al Exoiche Opioe bezeiche werde, bei dee die Auübug de Rech vom Verlauf der Hadelpreie abhäg. Uer eiem Swap vereh ma eie Verrag, bei dem der imulae Kauf ud Verkauf ählicher Wirchafgüer oder Forderuge vo gleichem Fiazvolume zu eiem fegelege Zeipuk vereibar wird. Gägige Swap id ZiSwap, die ich auf zuküfige Zahluge (z.b. Kredivergabe / Schuldeaufahme) zwiche de Beeilige i.a. mi uerchiedliche Ziäze beziehe; WährugSwap bezeiche Swap, bei dee uerchiedliche Währuge zu zuküfige Zeipuke gewechel werde. I dieem ex werde wir auchließlich Opioe vom Europäiche yp behadel; i de Beipiele beziehe wir u dabei mei auf Akiemärke. Gebühre oder adere raakiokoe werde hier au Vereifachuggrüde ich berache. Die folgede Bezeichuge id weelich: : Laufzei; Verfallag (egl. ime) X : Auübugprei; Baiprei (egl. exercie Price) S: Prei de Wirchafgu (Kurwer) zur Zei Î[, ] (egl. Sock Price [bei Akie]) i : (riikoloer) Ziaz (egl. Iere Rae) 4

5 Wie cho obe erläuer, häg die ivolle Auübug de mi dem Erwerb der Opio verbudee Rech zur Zei vo dem Verhäli de Kurwer zur Zei zum Auübugprei X ab: CallOpio: S > X : Opio auübe S X : Opio ich auübe PuOpio: S < X : Opio auübe S ³ X : Opio ich auübe Da weeliche Ziel beeh u dari, de "richige" Prei C der CallOpio bzw. P der Pu Opio zur Zei, alo zum Zeipuk de Erwerb bzw. Verkauf de eprechede Rech, zu beimme. Dazu berache wir zuäch de Prei (Wer) der Opio zum Verfallag. Da zu dieem Zeipuk der Kurwer de Wirchafgu beka i ud au dem Erwerb der Opio keie Voreile zur Zei abgeleie werde olle, ergib ich für die eprechede Preie (Were) C bzw. : P { } C = max S X; = S X (Poiiveil) { } P = max X S ; = X S I beipielweie im Fall der CallOpio auf eie Akie S > X, o ka der Ihaber der Opio vom Sillhaler (d.h. dem Verkäufer der Opio) die Lieferug eier Akie zum Prei X verlage ud diee zeigleich a der Böre zum höhere Prei S > X verkaufe; ei Gewi beräg omi gerade S X = C, alo de Wer der Opio zur Zei. Au obigem ergib ich umielbar och die folgede Beziehug zwiche Call ud PuPrei: C P = S X (Pu Call Pariy Relaio) Im folgede berache wir zuäch da og. ZweiSufeEiPeriodeModell, d.h. wir gehe davo au, da der afägliche Kurwer S der Akie bi zum Verfallag eweder auf de Wer S > S eig oder auf de Wer S < S fäll, wobei wir och S < X < S voraueze wolle. Die Wahrcheilichkei eie Kuraieg ei p Î (,); epreched i p die Wahrcheilichkei für eie Kurverfall. Da folgede Beipiel i dem Arikel vo Eberlei [] eomme. Hier beräg der Afagkur der Akie, mi Wahrcheilichkei.4 eig er auf de Wer 3 bzw. fäll mi Wahrcheilichkei.6 auf de Wer 8. Der Auübugprei berage, der Ziaz für die berachee Periode berage 5%. Welche Prei C olle der Käufer eier eprechede CallOpio bezahle? Berache wir zuäch die mögliche Were C ud der CallOpio zum Verfallag. Diee köe al Were der Zufallvariable C aufgefaß werde. Im Beipiel gil offebar C = 3 = ud C =. We ma diee Were auf de Zeipuk beziehe möche, 5 C

6 mu ma ie allerdig och dikoiere, d.h. mi dem og. Dikofakor v= /( i) mulipliziere; ma erhäl alo vc = /.5 = 9, 5 ( ) ud vc = ( ). Ma ka u die obige Siuaio al ei Spiel auffae, i dem der Käufer der Opio gege de "Mark" piel. Der Opioprei eprich da dem Eiaz für ei "faire" Spiel. E gib hier allerdig (midee) zwei Möglichkeie, "Faire" zu defiiere:. Variae eie faire Spiel: Der Käufer olle im Durchchi weder Gewi och Verlu erziele, we er auchließlich mi Opioe hadel; demach i der Erwarugwer C = E v C = p v C =.4 9,5 =7, 6 der "richige" Opioprei. Die Beoug bei dieer Berachugweie lieg dabei auf dem Wor auchließlich; aächlich lä ich ämlich leich zeige, da ei gechicker Käufer, der ich ur mi Opioe, oder auch mi Akie (ud Geld) hadel, mi dem obige OpioPrei i jedem Fall eie Gewi erziele ka, uabhägig davo, i welche Richug ich der Akiekur ewickel! Die folgede abelle zeig, wie die hier zu bewerkellige i: = = Akio Koobewegug S > X S Leerverkauf Akie, 6, 6, Kauf 5 CallOpioe 38,,, Kredi vergebe 6,9 7, 7, Saldo,,, Erläuerug: Bei eiem og. Leerverkauf zum Zeipuk leih ich der Veräußerer z.b. vo eier Bak Akie gege die Hierlegug eier Sicherhei mi der Vereibarug, epreched viele Akie diee yp zu dem päere Zeipuk zurückgebe; der Verkauf erfolg alo zum Zeipuk, zu dem da gülige Prei [hier: ]. Uer hypoheicher OpioKäufer erziel alo zum Zeipuk eie Eiahme vo für zwei leerverkaufe Akie, vo dee er er zum Zeipuk elb zwei auf dem Mark erwirb, um ie da vereibaruggemäß der Bak zurückzugebe. (I der Praxi falle für olche Leerverkäufe Gebühre a, die wir i uerem Modell allerdig ich berückichige wolle.) Je ach Kurewicklug wird ei Koo alo zur Zei mi eiem Berag vo 6 [eigeder Kur] bzw. 6 [falleder Kur] belae. Da die füf im Gegezug erworbee CallOpioe aber ur 38, koe, ha er zur Zei ei Guhabe vo 6,9, welche er zu eiem Ziaz vo 5% auleih ud zum Zeipuk eichließlich Zie im Geamwer vo 7 zurückerhäl. Zum Zeipuk i ei Koo alo mi Wer augegliche. Die beide reche Spale der abelle zeige die Kooewicklug zum Zeipuk. Im Fall eier Kureigerug wird uer Käufer igemäß da Kaufrech au de füf erworbee Call Opioe auübe; d.h. er erwirb 5 Akie zum vereibare Auübugprei vo ud verkauf ie ofor a der Böre zum akuelle Kur vo 3, worau ei NeoGewi vo 5 = reulier. Im Fall eie ikede Kure id die Opioe aürlich werlo. Offeichlich ka uer OpioKäufer uabhägig vo der aächliche Kurewicklug alo i jedem Fall eie NeoGewi vo realiiere! Ma prich i eiem olche Fall auch vo eier og. ArbirageMöglichkei, d.h. der Möglichkei, ohe eigee fiazielle Aufwad mi poiiver Wahrcheilichkei ei poiive Ergebi zu erziele. 6 X

7 .Variae eie faire Spiel: Der Käufer olle im Durchchi weder Gewi och Verlu erziele, we er mi Opioe, Akie ud Geld hadel. Dazu berache wir zuäch eie Siuaio mi eiem höhere Opioprei al dem obe agegebee, ewa C =. Die folgede abelle zeig, da auch da eie ichere ArbirageMöglichkei exiier: _ = = Akio Koobewegug S > X S Kauf Akie, 6, 6, Verkauf 5 CallOpioe 6,,, Kredi aufehme 4, 47, 47, Saldo, 3, 3, Um olche ArbirageMöglichkeie auzuchließe, wolle wir u eie allgemeiere Aaz berache. Au Grüde, die päer deulicher werde, eze wir dazu och vorau, da S > rs gil, d.h. e mu heoreich möglich ei, am Akiemark eie höhere Redie al auf dem Geldmark mi dem "riikoloe" Zi i zu erziele. = = Akio Koobewegug S > X S Leerverkauf Akie S Kauf m CallOpioe mc S ms ( X) X X S, Kredi vergebe ( S mc ) r( S mc ) r( S mc ) Saldo,,, Dabei i r= i der Zifakor für die berachee Periode. Au de beide reche Spale ergib ich u die Gleichug ( ), S m S X = S o da da Verhäli h= / m (og. Hedge Raio, vgl. Abchi 3) eideuig beimm i zu S X C C h = = S S S S ud al Löug für de CallPrei zur Zei folg ( C h S vs ) =. 7

8 Daelbe Reula häe ma au Symmeriegrüde übrige auch erhale, we i der leze abelle mi Akiekauf / Opioverkauf / Krediaufahme a Akie(leer)verkauf / Opiokauf / Krediaufahme gereche worde wäre. Im obige Beipiel ergib ich demach h = (3 ) /(3 8) = / 5 =.4 ud C =.4 ( 8 /.5) =9,5. Die Hedge Raio gib dabei gerade da "richige" Verhäli vo gehadele Akie zu Opioe a, hier alo ei Verhäli vo.4 = :5. E bleib och zu zeige, da mi dem o ermiele CallPrei auch durch adere Akie / Opiokombiaioe keie Arbirage erziel werde ka. Dazu berache wir de Fall, da die beide Saldi zur Zei = ichegaiv id, wa zu dem folgede Ugleichugyem führ: ( ) ( ) S m S X r S mc ³ Durch weiere Umformug erhäl ma: S r S mc ³ bzw. ( ) ³ ( ) mr C ( r S S ) r( S v S ) ms X rc S rs r C = = h = ( ) = ( ) ( ) = ( ) S X rc S X h rs S h S S h rs S h S rs ud dami ach Kürze die Ugleichugkee mh mh, alo mh = ud dami da urprügliche Gleichugyem, i dem alle Saldi Null berage. Ma beache dabei, da hierfür die obige Vorauezug S > rs weelich i! Iereaerweie häg der CallPrei C ach der leze Formel gar ich mehr vo der Wahrcheilichkei p eie Kuraieg ab! rozdem ka ma diee CallPrei immer och al Erwarugwer ierpreiere, we ma die "richige" Wahrcheilichkei p für eie Kuraieg epreched beimm, d.h. ma berache die Gleichug. mi C = h S vs = p vc p vc S S S vs rs S = h = al Löug. Nach der Vorauezug S > rs i dabei p <, ach der Vorauezug S < S ferer auch p >, d.h. p i dami aächlich eie Wahrcheilichkei. Ma beache, da für die leze Ugleichug auch och die chwächere Bedigug S < rs augereich häe. I umgekehr rs Ï S S ), o beehe immer eifache Arbiragemöglichkeie: bei rs S (, kaufe ma ewa Akie auf Kredi (da verlier ma zur Zei ich bei falledem 8

9 Kur, realiier aber bei eigede Kur eie poiive Gewi i Höhe vo S bei rs ³ S je Akie), verkaufe ma ewa Akie leer (da verlier ma zur Zei ich bei eigedem Kur, realiier aber bei falledem Kur eie poiive Gewi i Höhe vo je Akie). Die Vorauezug S < rs < S i alo ich ur hireiched, oder auch owedig für die Exiez eie arbiragefreie CallPreie i uerem Modell. = rs rs S Im obige Beipiel ergib ich p (5 8) /(3 8) = 5/ 5 =.5, d.h. würde die Wahrcheilichkei für eie Kuraieg gerade.5 berage, wäre C ach der obige allgemeie Formel geau der Erwarugwer ach "Variae ". Diee Berachugweie i charakeriich für die geame Sochaiche Fiazmahemaik, d.h. e komm bei der Bewerug vo Derivaive (Opioe) ich auf die aächliche Wahrcheilichkeie p vo Kurveräderuge, oder allei auf die recherich äquivalee Wahrcheilichkeie p a, uer dee die Opiopreie ach dem ErwarugwerPrizip Arbirage Möglichkeie auchließe. Eprechede Überleguge lae ich aürlich auch für PuOpioe aelle. Die folgede abelle zeig die aaloge Rechug gleich im allgemeie Rahme (wieder uer der Vorauezug S ): < rs < S = = Akio Koobewegug S > X S Kauf Akie S Kauf m PuOpioe mp Kredi aufehme S mp S X S, m( X S ) r( S mp ) r( S mp ) Saldo,,, mi der modifiziere Hedge Raio h X S P P = = = = h m S S S S für PuOpioe ud dem PuPrei ( ) =. P h vs S Im obige Beipiel erhäl ma alo h =.6 ud P =.6 (3 /.5) =4, 9. Auch hier lä ich mi eier aaloge Rechug wie obe leich zeige, da für de o ermiele PuPrei auch durch adere Kombiaioe vo Akie ud Opioe keie Arbiragemöglichkei ergib. 9

10 Für die PuCallPariyRelaio zur Zei ergib ich hierau ebebei och die Beziehug C P = S vx, die zuamme mi der afägliche PuCallPariyRelaio auch gechriebe werde ka al / C P = S v X, Î,. { } Diee Formel i auch i allgemeiere Modelle der Opiopreiheorie gülig [d.h. auch für adere Were vo im Bereich (, ) ]; allerdig köe wir de Nachwei dafür a dieer Selle ich führe. 3. Hedgig I der beriebwirchafliche Praxi werde derivaive Fiazirumee i der Regel weiger zu pekulaive, oder häufiger zu wererhalede Zwecke eigeez. Ma prich da auch vo eiem Hedgig de zugrudeliegede Porfolio (egl. o hedge (agai.h.): (ich gege ewa) abicher). Da folgede Beipiel zeig, wie ma eie Bead vo Akie mi Hilfe vo Call Opioe ich ur gege Kurchwakuge abicher, oder zugleich auch de Wer wie bei Verziug mi dem riikoloe Ziaz i eiger ka. Zugrude lieg hierbei wieder die Augagiuaio de Abchi, ibeodere der arbiragefreie CallPrei C. E wird dabei ageomme, da ma zur Zei im Beiz vo 4 Akie zum Kurwer, je Akie i. = = Akio Koo S > X S Beiz 4 Akie 4, 5, 3, Verkauf CallOpioe 95,38,, Kredi vergebe 95,38,, Saldo 4, 4, 4, X Die Azahl der verkaufe CallOpioe riche ich dabei wie zuvor ach der Hedge Raio, hier alo 4: = :5 = h. Im Uerchied zu früher wird der Afagaldo dabei aber ich zu Null gemach, oder eprich dem afägliche Wer der gehalee Akie. Die bedeue, da lediglich der durch de Verkauf der CallOpioe erziele Gewi auf dem Kapialmark zum riikoloe Ziaz i ageleg wird. Da obige Rechebeipiel zeig, da owohl im Fall de Kuraieg al auch i der Siuaio eie Kurverfall der reulierede Saldo um 5% über dem Afagaldo lieg, der Porfoliower alo igeam epreched dem riikoloe Zi ageiege i. Die achfolgede allgemeie Rechug zeig, da die grudäzlich o i, we da Verhäli : m vo gehalee Akie zu verkaufe CallOpioe der Hedge Raio h eprich. Ählich wie i Abchi läß ich dabei zeige, da die zugleich die opimale Michug vo Akie zu Opioe i, d.h. durch keie adere SückzahlKombiaio lä ich ei gleichmäßig beerer Saldo uabhägig vo der Kurewicklug erziele.

11 = = Akio Koo S > X S Beiz Akie S Verkauf m CallOpioe mc Kredi vergebe mc Saldo S ms ( X) S S, rmc r S X rmc r S Wir müe die zum Zeipuk = agegebee reulierede Saldi och durch Rechug achprüfe. Wir beuze dazu die früher hergeleiee Formel S X C C h = = S S S S ud C = h( S vs ). Dami erhale wir im Falle eie Kuraieg ( ) = ( ) ( ) = = S m S X rmc S S S mh rs S S S S rs S rs owie S rmc = S mh rs S = S rs S = rs i der Siuaio eie Kurverfall, wie behaupe. Naürlich i ei Hedgig aalog auch mi PuOpioe möglich. Die folgede abelle zeig, wie i dieem Fall vorzugehe i: = = Akio Koo S > X S Beiz Akie S Kauf m PuOpioe mp Kredi aufehme mp Saldo S S S, m( X S ) rmp r S X rmp r S

12 Hierbei i für da Verhäli : m aürlich epreched die Hedge Raio h = h für Pu Opioe azuwede. Mi de Formel h X S P P = = S S S S ud P = h ( vs S) erhale wir für die reulierede Saldi im Falle eie Kuraieg aalog owie S rmp = S mh S rs = S S rs = rs ( ) ( ) S m XS rmp = S S S mh S rs = S S S S rs = rs i der Siuaio eie Kurverfall. C Bemerkug: Ma ka zeige, da die HedgeRaioFormel h = S bzw. h P = S P S S ich zwiche ud lieg. C S für CallOpioe für PuOpioe auch da richig bleibe, we der Auübugprei X S 4. Die Hebelwirkug vo Opioe I dieem Abchi wolle wir bei gleichem Kapialeiaz die Auwirkuge reier Opiogechäfe gegeüber reie Akiegechäfe berache. Die Zahle gehadeler Akie ud gehadeler Opioe m eie alo o gewähl, da der Kapialaufwad K = S = mc e gleich hoch i. (Die Azahle ud m habe hier alo eie adere Bedeuug al i de voragegagee Abchie.) = = Akio Koobewegug S > X S Kauf Akie S Kredi aufehme S S S rs X rs Saldo, S ( rs) rs S reie Akiegechäf

13 = = Akio Koobewegug S > X S Kauf m CallOpioe mc Kredi aufehme mc ms ( X), rmc Saldo, ms ( X rc) X rmc rmc reie Opiogechäf i die Ergebie der u Sez ma die obe hergeleiee OpiopreiFormel ere Zeile der leze abelle ei, o ergib ich: = ( ) C h S vs mh rmc =rmhs vs =mhrs S = rss mh ms X rc ms X hrs S S rs ëê ûú ( ) ( ) ( ) ( ) = ( é ù ) = ( ), d.h. die Saldi au reiem Akiegechäf ud reiem Opiogechäf uercheide ich aufgrud m S der Beziehug S = mc,alo = C geau um de Fakor Die bedeue: S mh = = >. rs S Bei gleichem Kapialeiaz id Gewie bzw. Verlue au eiem reie Opiogechäf gegeüber eiem reie Akiegechäf um de Fakor > größer. Bei gleichem Kapialeiaz werde im Fall poiiver Gewie bei eiem reie Opiogechäf mehr Akie beweg al bei eiem reie Akiegechäf, ud zwar geau m/ = / h mal o viele. Die Redie R O au eiem Opiogechäf i im Fall poiiver Gewie epreched größer al die Redie R A bei eiem reie Akiegechäf (Hebelwirkug oder LeverageEffek). Die Redie lae ich dabei darelle al: R R O C C S vs S X C S X S S : = = = (Opiogechäf) S S S A = = < RO S S : (Akiegechäf). 3

14 Für die NegaivRedie im Fall vo Verlue folg epreched: R R O C : = = (Opiogechäf; oalverlu) C S S S A = = > RO S S : (Akiegechäf). Im Afagbeipiel gil ewa 8 8 = = = = 4. = =.5 h 3 3v v r RO = = = = = % v v 3 3 RA = = = 3% R R O A = =% 8 = = =%. Leg ma im Modell wieder die äquivalee Wahrcheilichkeie p a p zugrude, o ergib ich außerdem och für de Gewi bzw. Verlu G bei Hadel mi Akie bzw. m Call Opioe: E ( G) = ép S ù rs p rs S ù é ê = p S S S rs ú =, ë úû êë û d.h. uer p i der Akie bzw. Opiohadel bezüglich de Gewi im Miel augegliche, wa och eimal die Moivaio für die Variae de faire Spiel au eier adere Sich uer Die Hebelwirkug vo Opiogechäfe lä ich beoder gu verachauliche, we ma reich. derivaive Fiazirumee zu Spekulaiozweck e eiez, d.h. we ma davo augeh, da der Akiekur zur Zei ich ur de E dad S oder S aehme, oder eie beliebi die Hebelwirkug vo Opiogechäfe für die im ge, ichegaive Wer erreiche ka. Die folgede Graphik zeig für diee Fall obige Beipiel geae Kodiioe. 4

15 Gewi / Verlu au Opioe (dicke Liie) ud au Akie (düe Liie) al Fukio de Kurwer S ; C = 9,5, X =, K =, i= 5%; =, m= 5 Die Gleichuge der beide Gerade für die Gewie Bereich ³ X = id i dieem Modell gegebe durch S G A au Akie ud G O au Opioe im G = S rs = S 5 A é ù O ( ) G = mê S X rc ú= 5 S 5 = 5 S 6; ë û die zugehörige Seiguge berage alo = [für da Akiegechäf] bzw. m= / h 5 [für da Opiogechäf]. Der BreakEvePoi S ergib ich i dieem Modell zu = B S B mx X = = =,58, m h d.h. da Opiogechäf "loh" ich er da, we der Akiekur zur Zei über de Wer S B =,58 eig. Die Gewizoe wird dabei beim Akiegechäf berei beim Kur vo S = rs =5 erreich, beim Opiogechäf dagege er beim Kur vo S = X rc =. Für Kurwere uer dem Auübugprei prich ma auch davo, die CallOpio ei "au dem Geld" (egl.: ou of he moey), für Kurwere über dem Auübugprei e ma die Call Opio "im Geld" (egl.: i he moey); id Kurwer ud Auübugprei ideich, heiß die CallOpio "am Geld" (egl.: a he moey). Ei Diagramm der obige Ar, i welchem Gewie ud Verlue eie Porfolio i Abhägigkei vom akuelle Kur der Akie dargeell werde, heiß auch PayoffDiagramm. 5

16 5. Kombiaioe vo Opiogechäfe I dieem Abchi wolle wir de "pekulaive" Apek vo Opiogechäfe ei weig weier veriefe, idem wir die Auwirkuge beimmer Kombiaioe, die i der Praxi häufig azureffe id, ueruche, wie z.b. gleichzeiiger Kauf ud Verkauf gewier Opioe. Augagpuk uerer Rechuge i dabei wieder da obige Beipiel vo Eberlei, d.h. bei der Berechug der Opiopreie gehe wir vo der Aahme au, da die zuküfige Kure ur zwei Were aehme köe; wir ueruche allerdig die Auwirkuge der geäige Gechäfe für eie weelich größere Badbreie möglicher zuküfiger Kure. Ei erer wichiger yp vo Kombiaiogechäfe i der og. "Spread"; daruer vereh ma de gleichzeiige Kauf ud Verkauf je eier Opio deelbe yp zu uerchiedliche Auübugpreie. Die Auwirkuge dieer HadelSraegie beehe im weeliche i eier Reduzierug de Verluriiko bei gleichem Kapialeiaz, allerdig werde die GewiChace dami ebefall geriger. Die folgede beide PayoffDiagramme zeige die Gewie bzw. Verlue au eiem og. BullCallSpread ud eiem og. BearCallSpread al Fukio de Kurwer zur Zei ; im ere Fall i der Auübugprei X der gekaufe Opio iedriger al der Auübugprei X der verkaufe Opio, im zweie Fall i e gerade umgekehr. Mi C ud C eie dabei die zugehörige CallPreie bezeiche, die ich au dem obe hergeleie Aaz [Arbiragefreihei] ergebe. X = X = ; C = 4, 8 C = 4, 76 X = X = ; C = 4, 76 C = 4, 8 I beide Fälle berage die abolue Koe C C = 9,5, d.h. die hier berachee Kombiaiogechäfe id geau o euer wie ei Opiogechäf mi ur eier gekaufe CallOpio zum Auübugprei vo X =; allerdig id Verlu ud Gewi i beide Fälle begrez durch de Wer. Da Riiko bei dieer Ar vo Opiogechäf i alo relaiv gerig, allerdig id hier auch die Gewimöglichkeie epreched iedrig. Die Echeidug für eie Bulloder BearCallSpread häg dabei echeided vo der Erwarug a die zuküfige Kurewicklug ab: geh ma eher vo eigede Kure au, wird ma ich ivollerweie für eie BullCallSpread echeide, im umgekehre Fall für eie BearCallSpread. Ähliche Darelluge ergebe ich, we ma mi PuOpioe arbeie. 6

17 Eie beoder gechicke Kombiaio vo Opiogechäfe beeh i dem BuerflyCall Spread, bei dem zwei CallOpioe zu uerchiedliche Auübugpreie X< X gekauf ud zwei weiere CallOpioe zu eiem dazwicheliegede Auübugprei X 3 mi X< X3< X verkauf werde. heoreich i e dami möglich, eie ichere [ichegaive] Gewi zu erziele! Da folgede PayoffDiagramm zeig wieder de Verlauf de Gewi i Abhägigkei vom Kurwer. X = X = X = ; C = 4,8 C = 4,76 C = 9,5 3 3 Wie ma ieh, erziel der BuerflyCallSpread eie ichere poiive Gewi für Kure im Bereich vo X = bi X =, ohe eie Verlu für alle übrige Kurwere zu realiiere! Die i übrige kei Widerpruch zur obe gefordere Arbiragefreihei, weil ich diee ur auf die mögliche zuküfige Kure vo 8 bzw. 3 bezieh, ud ma au der Graphik bzw. der zugehörige Rechug deulich erke, da für diee Kure aächlich auch kei Gewi realiierbar i. [I der "wirkliche" Praxi cheier diee verlockede Gechäf allerdig a der aache, da ere i.a. Opiopreie ich exak ach uerer heorie bereche werde, ud zweie für olche Gechäfe üblicherweie raakiokoe i Form vo Gebühre oder Proviioe afalle.] Ei ählicher Effek lä ich durch de gleichzeiige Kauf bzw. Verkauf eier Call ud eier PuOpio zum elbe Auübugprei X erziele (og. Sraddle). Im ere Fall (Log Sraddle) erziel ma eie poiive Gewi, we der Kurwer zur Zei ärker vom Auübugprei abweich, im adere Fall (Shor Sraddle), we der Kurwer ahe beim Auübugprei lieg. Auch hier beimm alo die Erwarug a die zuküfige Kurchwakuge da Alegerverhale. 7

18 X = ; C = 9,5 P = 4, 8 Im berachee Beipiel lieg die Verlu bzw. Gewizoe im Bereich [85,35], mi maximalem Verlu / Gewi vo C P = 3,8 für eie Kur vo S = X =. Eie "Verflachug" der Spize erreich ma zuäzlich och dadurch, da die Call ud Pu Opio zu uerchiedliche Auübugpreie ge bzw. verkauf werde (og. Sragle). Im folgede Beipiel beräg der Auübugprei für die CallOpio X = ud für die PuOpio X =. Ma beache, da die Verlu / Gewizoe hier uveräder i, wogege der maximale Verlu / Gewi ur och 5, beräg, allerdig mi höhere abolue Preie vo C P =33,33. X = X = ; C = 4, 8 P = 9, 4 Gelegelich id auch uymmeriche Auzahluge vo Ieree. Die ka ma durch uerchiedliche Azahle ge bzw. verkaufer Opioe realiiere (og. Srip bzw. Srap). Die folgede Diagramme zeige de Gewiverlauf für die LogPoiio im Fall vo eier Call ud zwei PuOpioe (Srip) bzw. eier Pu ud zwei CallOpioe (Srap). 8

19 X = ; C = 9,5 P = 4, 8 6. Ei allgemeie DerivaeModell Die Auführuge i de voragehede Abchie lae ich weelich i eiem eizige Aaz mi "abrake" Derivae vereiheiliche. Daruer wolle wir hier eie (zuäch beliebige) Fukio D de Akiekure (zur Zei ) verehe, mi de Bezeichuge D = D S ud D = D S. Mi D ei epreched der (Abiragefreie) Prei zur Zei bezeiche. Ibeodere Kombiaioe vo Opioe wie Fuure, Spread, Sraddle uw. köe mi dieem Aaz al ei eiheiliche Deriva behadel werde. Die eprechede Überleguge zur Arbiragefreie Preifidug köe wir wieder im gewohe Rahme mi eier abelle durchführe. Der Eifachhei halber formuliere wir da Akiegechäf dabei formal al Kaufgechäf, wobei owohl al auch m beliebig (alo poiiv wie egaiv) gewähl werde köe; (Leer)Verkäufe id alo i dieem Aaz mi ehale. Wir elle zuäch die Gleichuge für die NullSaldi auf. = = Akio Koobewegug Kuraieg Kurabfall Kauf Akie S Verkauf m Derivae md S S md md Kredi vergebe ( S md ) r( S md ) r( S md ) Saldo,,, Wir erhale alo 9

20 = ( ) = ( ) S md S md ud dami S S m D D, worau ich wie früher die (Derivapezifiche) Hedge Raio h D D D : = = m S S ergib. Au der milere bzw, reche Spale erhale wir ach Eieze weier alo = D = D S md r S md bzw. vh S vd h S D, = D ( D ) = D( ) D h S vh S vd vd h S vs. Zum Nachwei, ob bzw. da hierdurch ei Arbiragefreier Prei D für da Deriva gegebe i, ereze wir i der abelle die Azahl der Akie durch die Azahl d mi d > uer Beibehalug der Mege m =. (Eie adere Megeaufeilug ka wege de NullSaldo i der h D ere Spale immer durch Kürze bzw. Erweier der Zahle i dieer Spale auf diee Aaz reduzier werde.) Wir erhale dami folgede eue abelle: = = Akio Koobewegug Kuraieg Kurabfall Kauf d Akie ( d) S ( d) S ( d) S Verkauf m Derivae md md md Kredi vergebe (( d) S md ) r(( d) S md ) r(( d) S md ) Saldo, d ( S rs) d ( S rs) Eie ArbirageMöglichkei i hier geau da augechloe, we die Differeze ud S Aahme rs S < S uerchiedliche Vorzeiche beize, alo wege der ach Koveio ivolle geau da, we S rs < < S rs S

21 gil, eie Bedigug, die u auch cho früher begege i. Für die äquivalee Wahrcheilichkei p, mi der der Arbiragefreie DerivaePrei D aleraiv al Erwarugwer Prei augedrück werde ka, alo al é ù êë úû ( ) D = v p D p D = vd p v D D, erhäl ma epreched durch Vergleich mi dem obige Audruck S vs rs S p = rhd =, D D S S alo deelbe, ur vo der Akiekurewicklug abhägige Audruck wie früher, gäzlich uabhägig vom yp de Deriva! (Wege der obige Bedigug S < rs < S gil hier aürlich e p Î,, d.h. der ErwarugwerPrei exiier uer dieer Bedigug immer.) Durch Spezialiierug erhäl ma au dem obige Aaz aürlich ofor die bekae Bewerugformel u.a. für Call, Pu ud Fuure zurück (mi eiem geeigee Auübugprei X zwiche S ud S ): Deriva D CallOpio D S X PuOpio X S Fuure S X D D D h D = S S S X S S X S S S D = vd h S vs D Call ( ) h S vs hpu ( S vs ) S X S vx Ma beache, da im Gegeaz zur frühere Noaio die Hedge Raio h Pu für die PuOpio hier egaiv i, wa die uerchiedliche Kauf/Verkaufraegie für Call ud PuOpioe berückichig. Kombiaioe vo Derivae Di [ ], i=,, m mi Gewiche a [ i], i=,, m lae ich jez i aürlicher Weie al ei eizige Deriva vermöge m D= åa[] i D[] i i= auffae, mi de eprechede Größe

22 m m = a = i= i= å å i D [] i D [], i D a[] i D []. Da die Arbiragefreie Preie durch die vom Derivaeyp uabhägige äquivalee Wahrcheilichkeie p = augedrück werde köe, folg hierau, da der Arbiragefreie rs S S S Prei de eue "abrake" Deriva D dargeell werde ka al æ ö D = vd pvd D = v id[] i pv id[] i id[] i ç ø m m m ( ) åa ç åa åa i= è i= i= m m a é ( ) ù êë úû å i= i= å = [] i vdi [] pv Di [] Di [] = a[] id[], i d.h. al epreched gewichee Summe der eizele Arbiragefreie Preie! Die zeig, da ArbirageSiuaioe auch ich durch gechicke Kombiiere vo Opioe erreich werde köe, we jede eizele Opio mi dem "richige", d.h. Arbiragefreie Prei bewere wird. Die gil übrige auch für Kombiaioe mi Akie, da i uerem allgemeiere Aaz die Akie elb auch "Derivae" darelle, ämlich mi der Fukio DS ( ) = S ud de "Arbiragefreie" Preie rs S vs p v S S = vs v S S = S S S wie erware. Die (Arbiragefreie) Preie für Spread, Sraddle uw. ergebe ich epreched eifach durch gewichee Summaio der (Arbiragefreie) Preie der eizele Beadeile. Für de obige BuerflyCallSpread D mi de Kodiioe, X = X = X = ; C = 4,8 C = 4,76 C = 9,5 3 3 ergib ich dehalb auch der (Arbiragefreie) Prei weil hier ach Korukio D = D = i. D = C C C =, 3 Ähliche Überleguge lae ich aürlich auch für de Bereich de Hedge vo Porfolio mi "abrake" Derivae aelle. 7. Da CoxRoRubieiModell I dieem Abchi wolle wir eie eifache Verallgemeierug de obige Modell auf mehrere Hadelperiode berache. Dazu ehme wir a, da ich die Kure S, S, S, S über Periode e ur prozeual veräder, d.h. wir berache koae Kuräderugrae k S S : = >, k : = <, S S

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