Konzentrische U-Bahn-Linienpläne
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- Thilo Fürst
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Transkript
1 Bachelor-Kolloquium Konzentrische U-Bahn-Linienpläne Magnus Lechner Betreuer: Prof. Dr. Alexander Wolff Dipl.-Inf. Martin Fink
2 Motivation Warum sind U-Bahn-Linienpläne von Interesse?
3 Motivation Warum sind U-Bahn-Linienpläne von Interesse? London Underground: 270 Stationen 11 Linien 402 km Streckenlänge 3,2 Millionen Fahrgäste pro Tag
4 Motivation Warum sind U-Bahn-Linienpläne von Interesse? London Underground: 270 Stationen 11 Linien 402 km Streckenlänge 3,2 Millionen Fahrgäste pro Tag Linienpläne müssen: übersichtlich sein eine effiziente Routenplanung ermöglichen
5 Motivation Henry Beck (1933): Schematische Darstellung des Londoner U- Bahn-Netzes
6 Motivation Henry Beck (1933): Schematische Darstellung des Londoner U- Bahn-Netzes Oktilineares Layout weltweit vorherrschend!
7 Motivation Aufgrund Untersuchungen: Abweichung vom oktilinearen Layout Designregeln an zugrundeliegendes Netzwerk anpassen
8 Motivation Aufgrund Untersuchungen: Abweichung vom oktilinearen Layout Designregeln an zugrundeliegendes Netzwerk anpassen
9 Motivation Aufgrund Untersuchungen: Abweichung vom oktilinearen Layout Designregeln an zugrundeliegendes Netzwerk anpassen Radial-Konzentrisches Layout
10 Motivation Aufgrund Untersuchungen: Abweichung vom oktilinearen Layout Designregeln an zugrundeliegendes Netzwerk anpassen Radial-Konzentrisches Layout
11 Motivation Aufgrund Untersuchungen: Abweichung vom oktilinearen Layout Designregeln an zugrundeliegendes Netzwerk anpassen Radial-Konzentrisches Layout
12 Modellierung eines Liniennetzwerkes Grundlegende Bedingungen: essentielle Bestandteile eines (radial-konzentrischen) Linienplanes müssen in jedem Linienplan erfüllt sein
13 Modellierung eines Liniennetzwerkes Grundlegende Bedingungen: essentielle Bestandteile eines (radial-konzentrischen) Linienplanes müssen in jedem Linienplan erfüllt sein Optimierungskriterien: definieren ein optimales Ergebnis dienen als Qualitätsmaß
14 Modellierung eines Liniennetzwerkes Grundlegende Bedingungen: Nur radiale oder konzentrische Liniensegmente Keine Kreuzungen Linienverläufe eindeutig nachvollziehbar Stationen dürfen nicht aufeinanderliegen
15 Modellierung eines Liniennetzwerkes Grundlegende Bedingungen: Nur radiale oder konzentrische Liniensegmente Keine Kreuzungen Linienverläufe eindeutig nachvollziehbar Stationen dürfen nicht aufeinanderliegen
16 Modellierung eines Liniennetzwerkes Grundlegende Bedingungen: Nur radiale oder konzentrische Liniensegmente Keine Kreuzungen Linienverläufe eindeutig nachvollziehbar Stationen dürfen nicht aufeinanderliegen
17 Modellierung eines Liniennetzwerkes Grundlegende Bedingungen: Nur radiale oder konzentrische Liniensegmente Keine Kreuzungen Linienverläufe eindeutig nachvollziehbar Stationen dürfen nicht aufeinanderliegen
18 Modellierung eines Liniennetzwerkes Optimierungskriterien: Linien sollen möglichst wenig Knicke enthalten Abstand zwischen benachbarten Liniensegmenten Kanten möglichst gleich lang Kante: Geringe Anzahl unterschiedlicher Radien von konzentrischen Liniensegmenten Geringe Anzahl unterschiedlicher Winkel von radialen Liniensegmenten Relative Positionen zwischen Knotenpaaren soll berücksichtigt werden
19 Modellierung eines Liniennetzwerkes Optimierungskriterien: Linien sollen möglichst wenig Knicke enthalten Abstand zwischen benachbarten Liniensegmenten Kanten möglichst gleich lang Linie: Geringe Anzahl unterschiedlicher Radien von konzentrischen Liniensegmenten Geringe Anzahl unterschiedlicher Winkel von radialen Liniensegmenten Relative Positionen zwischen Knotenpaaren soll berücksichtigt werden
20 Modellierung eines Liniennetzwerkes Optimierungskriterien: Linien sollen möglichst wenig Knicke enthalten Abstand zwischen benachbarten Liniensegmenten Kanten möglichst gleich lang Geringe Anzahl unterschiedlicher Radien von konzentrischen Liniensegmenten Geringe Anzahl unterschiedlicher Winkel von radialen Liniensegmenten Relative Positionen zwischen Knotenpaaren soll berücksichtigt werden
21 Modellierung eines Liniennetzwerkes Optimierungskriterien: Linien sollen möglichst wenig Knicke enthalten Abstand zwischen benachbarten Liniensegmenten Kanten möglichst gleich lang Geringe Anzahl unterschiedlicher Radien von konzentrischen Liniensegmenten Geringe Anzahl unterschiedlicher Winkel von radialen Liniensegmenten Relative Positionen zwischen Knotenpaaren soll berücksichtigt werden
22 Modellierung eines Liniennetzwerkes Optimierungskriterien: Linien sollen möglichst wenig Knicke enthalten Abstand zwischen benachbarten Liniensegmenten Kanten möglichst gleich lang Geringe Anzahl unterschiedlicher Radien von konzentrischen Liniensegmenten Geringe Anzahl unterschiedlicher Winkel von radialen Liniensegmenten Relative Positionen zwischen Knotenpaaren soll berücksichtigt werden
23 Modellierung eines Liniennetzwerkes Optimierungskriterien: Linien sollen möglichst wenig Knicke enthalten Abstand zwischen benachbarten Liniensegmenten Kanten möglichst gleich lang Geringe Anzahl unterschiedlicher Radien von konzentrischen Liniensegmenten Geringe Anzahl unterschiedlicher Winkel von radialen Liniensegmenten Relative Positionen zwischen Knotenpaaren soll berücksichtigt werden
24 Modellierung eines Liniennetzwerkes Optimierungskriterien: Linien sollen möglichst wenig Knicke enthalten Abstand zwischen benachbarten Liniensegmenten Kanten möglichst gleich lang Geringe Anzahl unterschiedlicher Radien von konzentrischen Liniensegmenten Geringe Anzahl unterschiedlicher Winkel von radialen Liniensegmenten Relative Positionen zwischen Knotenpaaren soll berücksichtigt werden
25 Grundlagen Polarkoordinaten: Globaler Mittelpunkt
26 Grundlagen Polarkoordinaten: p(r, φ) r φ Globaler Mittelpunkt Polachse
27 Grundlagen Kante: Konzentrisch - Radial - Konzentrisch q p
28 Grundlagen Kante: Konzentrisch - Radial - Konzentrisch q p
29 Grundlagen Kante: Konzentrisch - Radial - Konzentrisch p q
30 Grundlagen Kante: Konzentrisch - Radial - Konzentrisch q p
31 Grundlagen Kreuzung: Radiales Liniensegment einer Kante kreuzt ein konzentrisches Liniensegment einer anderen Kante
32 Heuristischer Ansatz Mittelpunkt
33 Heuristischer Ansatz Mittelpunkt
34 Heuristischer Ansatz Mittelpunkt
35 Heuristischer Ansatz Mittelpunkt
36 Heuristischer Ansatz Mittelpunkt
37 Heuristischer Ansatz Mittelpunkt
38 Besteht aus: Variablen
39 Besteht aus: Variablen Nebenbedingungen: - Lineare Gleichungen und Ungleichungen - Sind in jeder Lösung des Problems erfüllt
40 Besteht aus: Variablen Nebenbedingungen: - Lineare Gleichungen und Ungleichungen - Sind in jeder Lösung des Problems erfüllt Zielfunktion: - Enthält zu optimierende Variablen - Wird minimiert
41 Nebenbedingungen: Berücksichtigung der Eingabe Kreuzungen Überlappungen Mehrfachabbildungen
42 Nebenbedingungen: Berücksichtigung der Eingabe Kreuzungen Überlappungen Mehrfachabbildungen Zielfunktion: Berücksichtigung der Ursprungsposition eines Knotens Knickminimierung für eine Kante Radialer oder konzentrischer Kantenverlauf Knickminimierung für eine Linie
43 Darstellung von Knoten und Kanten: p(r, φ) Radial
44 Berücksichtigung der Eingabe: φ + c φ c v(r, φ ) k u r k l r Mittelpunkt
45 Berücksichtigung der Eingabe: k l r r k u r φ c φ φ + c Parameter: 0 < c k l < 1 < k u φ + c φ c v(r, φ ) k u r k l r Mittelpunkt
46 Kreuzungen: e 2 e 1
47 Kreuzungen:
48 Kreuzungen: 1) 4) 2) 3)
49 Kreuzungen: 1) 4) 2) 3)
50 Kreuzungen: Radial 2 γ 3)
51 Kreuzungen: Radial 2 γ 3) φ Radial 1
52 Kreuzungen: Radial 2 γ l 3) γ l φ γ l Radial 1
53 Kreuzungen: Radial 2 γ l 3) γ l φ γ l Radial 1 Parameter: 0 < ɛ Radial 2 + ɛ γ l
54 Kreuzungen: 1) 4) 2) 3) 1: r r l ɛ r +M(X 1 + X 2 ) 2: r u r ɛ r +M((1 X 1 ) + X 2 ) 3: Radial 2 + ɛ γ l +M(X 1 + (1 X 2 )) 4: γ u + ɛ Radial 2 +M((1 X 1 ) + (1 X 2 ))
55 Kreuzungen: M : X : Konstante Binärvariable a b +M X b a +M(1 X)
56 Kreuzungen: M : X : Konstante Binärvariable a b +M X b a +M(1 X) X = 0 : a b b a +M
57 Kreuzungen: M : X : Konstante Binärvariable a b +M X b a +M(1 X) X = 1 : a b +M b a
58 Kreuzungen: 1) 4) 2) 3) M : X 1, X 2 : Konstante Binärvariablen 1: r r l ɛ r +M(X 1 + X 2 ) 2: r u r ɛ r +M((1 X 1 ) + X 2 ) 3: Radial 2 + ɛ γ l +M(X 1 + (1 X 2 )) 4: γ u + ɛ Radial 2 +M((1 X 1 ) + (1 X 2 ))
59 Kreuzungen: 1) 4) 2) 3) M : X 1, X 2 : Konstante Binärvariablen 1: r r l ɛ r +M(X 1 + X 2 ) 2: r u r ɛ r +M((1 X 1 ) + X 2 ) 3: Radial 2 + ɛ γ l +M(X 1 + (1 X 2 )) 4: γ u + ɛ Radial 2 +M((1 X 1 ) + (1 X 2 ))
60 Überlappungen: e 1 p(r, φ) e 2
61 Überlappungen: e 1 p(r, φ) e 2
62 Überlappungen:
63 Überlappungen: Radial 1 < φ Radial 2 < φ p(r, φ) Radial 1 Radial 2
64 Überlappungen: p(r, φ) Radial 1
65 Überlappungen: p(r, φ) Radial 1 Wert von X R1 <φ Wert von X φ<r1 Bedingung 1 0 Radial 1 < φ 0 1 Radial 1 > φ 0 0 Radial 1 = φ 1 1 nicht möglich
66 Überlappungen: p(r, φ) Radial 1 Wert von X R1 <φ Wert von X φ<r1 Bedingung 1 0 Radial 1 < φ 0 1 Radial 1 > φ 0 0 Radial 1 = φ 1 1 nicht möglich
67 Überlappungen: p(r, φ) Radial 1 φ Radial 1 +MX R1 <φ Radial 1 + ɛ φ +M(1 X R1 <φ) Radial 1 φ +MX φ<r1 φ + ɛ Radial 1 +M(1 X φ<r1 )
68 Überlappungen: p(r, φ) Radial 1 =1 φ Radial 1 +MX R1 <φ =1 Radial 1 + ɛ φ +M(1 X R1 <φ) Radial 1 φ +MX φ<r1 φ + ɛ Radial 1 +M(1 X φ<r1 )
69 Überlappungen: p(r, φ) Radial 1 φ Radial 1 +MX R1 <φ Radial 1 + ɛ φ +M(1 X R1 <φ) Radial 1 φ +MX φ<r1 φ + ɛ Radial 1 +M(1 X φ<r1 )
70 Überlappungen: Radial 1 < φ Radial 2 < φ Radial 1 p(r, φ) Radial 2
71 Überlappungen: Radial 1 < φ Radial 2 < φ p(r, φ) Radial 2 Radial 1 X R1 <φ + X R2 <φ 1 X φ<r1 + X φ<r2 1
72 Überlappungen: r 1 r 2 p(r, φ)
73 Überlappungen: r 2 p(r, φ) r 1
74 Mehrfachabbildungen: p 1 = (r 1, φ 1 ) p 2 = (r 2, φ 2 ) φ 1 + ɛ φ 2 +M(G 1 + G 2 ) φ 2 + ɛ φ 1 +M((1 G 1 ) + G 2 ) r 1 r 2 ɛ r +M(G 1 + (1 G 2 )) r 2 r 1 ɛ r +M((1 G 1 ) + (1 G 2 ))
75 Nebenbedingungen: Berücksichtigung der Eingabe Kreuzungen Überlappungen Mehrfachabbildungen Zielfunktion: Berücksichtigung der Ursprungsposition eines Knotens Knickminimierung für eine Kante Radialer oder konzentrischer Kantenverlauf Knickminimierung für eine Linie
76 Berücksichtigung der Ursprungsposition eines Knotens: p u (r u, φ u ) δ r δ φ p(r, φ)
77 Berücksichtigung der Ursprungsposition eines Knotens: p u (r u, φ u ) δ r δ φ p(r, φ) r u r δ r r r u δ r
78 Berücksichtigung der Ursprungsposition eines Knotens: p u (r u, φ u ) δ r δ φ p(r, φ) r u r δ r r u φ u r u φ δ φ r r u δ r r u φ r u φ u δ φ
79 Berücksichtigung der Ursprungsposition eines Knotens: p u (r u, φ u ) δ r δ φ p(r, φ) Kosten Eingabe = v V (δ r (v) + δ φ (v))
80 Knickminimierung für eine Kante: v(r v, φ v ) Radial u,v u(r u, φ u )
81 Knickminimierung für eine Kante: v(r v, φ v ) Radial u,v u(r u, φ u ) φ v Radial u,v + M(1 R 1 ) Radial u,v φ v + M(1 R 1 )
82 Knickminimierung für eine Kante: v(r v, φ v ) Radial u,v u(r u, φ u ) φ v Radial u,v + M(1 R 1 ) Radial u,v φ v + M(1 R 1 ) φ u Radial u,v + M(1 R 2 ) Radial u,v φ u + M(1 R 2 )
83 Knickminimierung für eine Kante: u(r u, φ u ) v(r v, φ v ) r v r u + M(1 K) r u r v + M(1 K)
84 Knickminimierung für eine Kante: Kosten Kante = 2K 2 R 1 R 2 e E (R 1 (e) + R 2 (e) + 2K(e))
85 Radialer oder konzentrischer Kantenverlauf: v Z R = 0 u
86 Radialer oder konzentrischer Kantenverlauf: v Z R = 0 u Z K = 0 v u
87 Radialer oder konzentrischer Kantenverlauf: v Z R = 0 u Z K = 0 v u Z R = 0 Z K = 0 Z = 0 Kosten Verlauf = e E Z(e)
88 Knickminierung für eine Linie: j i
89 Knickminierung für eine Linie: Z K,i = 0 Z K,j = 0 Z K,i = 0 Z K,j = 0 X i,j = 0
90 Knickminierung für eine Linie: Z R,i = 0 Z R,j = 0 Z R,i = 0 Z R,j = 0 Y i,j = 0
91 Knickminierung für eine Linie: X i,j = 0 Y i,j = 0 Z i,j = 0 Kosten Linie = (i,j) J Z i,j (i, j)
92 Zielfunktion: Minimiere: λ Eingabe Kosten Eingabe - λ Kante Kosten Kante + λ Verlauf Kosten Verlauf + λ Linie Kosten Linie
93 Laufzeitverbesserung: Vereinfachung des Graphen Nachträgliches Einfügen von Nebenbedingungen
94 Laufzeitverbesserung: Vereinfachung des Graphen Nachträgliches Einfügen von Nebenbedingungen v k v k v 1 v 1
95 Laufzeitverbesserung: Vereinfachung des Graphen Nachträgliches Einfügen von Nebenbedingungen v k v k v 1 v 1
96 Knoten Kanten Laufzeitverbesserung: Vorher Vereinfachung des Graphen Nachher Nachträgliches Einfügen von Nebenbedingungen
97 Laufzeitverbesserung: Vereinfachung des Graphen Nachträgliches Einfügen von Nebenbedingungen
98 Laufzeitverbesserung: Vereinfachung des Graphen Nachträgliches Einfügen von Nebenbedingungen 1. Lese Graph G ein und vereinfache G 2. Löse MIP Gehe zu 3. Sind Nebenbedingungen verletzt? Ja: Füge entsprechende Nebenbedingungen ein Nein: Erzeuge Zeichnung
99 Laufzeitverbesserung: Vereinfachung des Graphen Nachträgliches Einfügen von Nebenbedingungen 1. Lese Graph G ein und vereinfache G 2. Löse MIP Gehe zu 3. Sind Nebenbedingungen verletzt? Ja: Füge entsprechende Nebenbedingungen ein Nein: Erzeuge Zeichnung
100 Wien:
101 Wien: Laufzeit: 13 Min.
102 Montréal:
103 Montréal: Laufzeit: 10 Min. 59 Sek.
104 Zusammenfassung und Ausblick Ist-Zustand: Modell kann qualitativ gute Ergebnisse erzeugen Hohe Laufzeit
105 Zusammenfassung und Ausblick Ist-Zustand: Modell kann qualitativ gute Ergebnisse erzeugen Hohe Laufzeit Lösungsvorschläge: Struktur der Nebenbedingungen und Optimierungskriterien vereinfachen Anzahl der benötigten Variablen verringern
106 Zusammenfassung und Ausblick Qualität erhöhen: Kurze Überlappungen
107 Zusammenfassung und Ausblick Qualität erhöhen: Gleichmäßige Kantenlänge
108 Zusammenfassung und Ausblick Qualität erhöhen: Knickminimierung für Linien optimieren
109 Zusammenfassung und Ausblick Ist-Zustand: Modell kann qualitativ gute Ergebnisse erzeugen Hohe Laufzeit Lösungsvorschläge: Struktur der Nebenbedingungen und Optimierungskriterien vereinfachen Anzahl der benötigten Variablen verringern Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!
Konzentrische U-Bahn-Linienpläne
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