10. Gruppenübung zur Vorlesung. Höhere Mathematik 1. Wintersemester 2012/2013 A =

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1 O Alaya, S Demirel M Fetzer, B Krinn M Wied Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Wintersemester /3 Dr M Künzer Prof Dr M Stroppel Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 34 a Gegeben ist die Matrix Eigenwerte, Eigenräume A = 3 6 Bestimmen Sie alle Eigenwerte der Matrizen A, A und A sowie die Eigenräume von A b Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenräume der Matrix B = 3 7 Lösungshinweise hierzu: a Das charakteristische Polynom von A ist gegeben durch deta λe 3 = λ λ6 λ 4 6 λ 6 λ 6 λ = λ 3 9λ 6λ 4 Wir setzen dies gleich Null um die Eigenwerte zu erhalten Die Gleichung = λ 3 9λ 6λ 4 hat die Lösungen λ =, λ = 3 und λ 3 = 4 Der Eigenraum zu λ ist die Lösungsmenge des Gleichungssystems A λ E 3 x = In diesem Fall lösen wir A e 3 x = dh 3 4 Die Lösungsmenge ist gegeben durch { t, t, t R 3 t R Für λ erhalten wir den Eigenraum {, t, t R 3 t R Für λ 3 erhalten wir den Eigenraum { t, t, t R 3 t R Nun betrachten wir die Potenzen Hierzu sei λ ein Eigenwert von A und v sei ein dazu gehörige Eigenvektor, so gilt Av = λv nach Definition Wir multiplizieren diese Gleichung von links mit A und erhalten A v = AAv = Aλv = λav = λ v wwwmathematikuni-stuttgartde/studium/infomat/hm-stroppel/

2 Gruppenübung Höhere Mathematik Somit ist λ ein Eigenwert von A und v liegt im dazu gehörigem Eigenraum Da in diesem Beispiel die Matrix drei verschiedene Eigenwerte hat und auch die Potenzen dieser unterschiedlich sind, so ist der Eigenraum jeweils ein-dimensional Dh der Eigenraum ist gegeben durch L v Zusammengefasst heißt das: A hat die Eigenwerte λ = 4, λ = 9 und λ 3 = 6 und die Eigenräume sind die gelichen, wie die von A Multiplizieren wir abermals von links mit A und wiederholen das bis wir die Potenz erreicht haben, so erhalten wir, dass die Eigenwerte λ, λ und λ 3 sind, wobei die Eigenräume gleich bleiben b Wir berechnen die Eigenwerte mit Hilfe des charakteristischen Polynoms! = detb λe 4 λ = λ det λ 3 7 det λ Entwicklunsverfahren = λ 4 8 Somit ergeben sich die Eigenwerte λ = 3, λ = 3, λ 3 = 3i, λ 4 = 3i Die zu λ i zugehörigen Eigenräume sind dann gegeben durch: Zu λ = 3: V 3 = L V λ i = KernB λ i, 3, 9, Genauso ergeben sich die anderen Eigenräume: V 3 = L, 3, 9, 9 V 3i = L i, 3, 9i, 9 V 3i = L i, 3, 9i, 9 λ λ 3 Aufgabe H 35 Eigenwerte, Eigenräume Finden Sie eine 3 3-Matrix, die die Eigenwerte, und 3 und zu diesen die Eigenräume V = L, V = L, V 3 = L wwwmathematikuni-stuttgartde/studium/infomat/hm-stroppel/

3 Gruppenübung Höhere Mathematik hat Lösungshinweise hierzu: Da v = ein Eigenvektor zum Eigenwert ist, wissen wir von der gesuchten Matrix A, dass Av = v gilt Da v = ein Eigenvektor zum Eigenwert ist, wissen wir von der gesuchten Matrix A, dass Av = v gilt Da v 3 = ein Eigenvektor zum Eigenwert 3 ist, wissen wir von der gesuchten Matrix A, dass Av 3 = 3v 3 gilt Wir haben also 3 lineare Gleichungsysteme mit jeweils 3 Gleichungen um die 9 = 3 3 Elemente der Matrix A zu bestimmen Bilden wir aus den Vektoren v, v, v 3 die Matrix T = und aus den Eigenwerten die Matrix D =, so können 3 wir die 3 linearen Gleichungsysteme simultan lösen, in dem wir AT = T D lösen Man kann leicht nachprüfen, dass T invertierbar ist dett = 3 Wir können also A bestimmen, in dem wir die letzte Gleichung von Rechts mit T multiplizieren Berechnung der Inversen ergibt T = 3 3 Damit gilt A = T DT = Aufgabe H 36 Affine Abbildung, Koordinatentransformation Gegeben sind im Standardkoordinatensystem E = ;, die Punkte P =,, Q = 4, und R = 3, 3 Das Koordinatensystem F = P ; v, w wird durch den Punkt P und die beiden Vektoren v = P Q und w = P R gebildet a M sei der Mittelpunkt der Strecke QR Geben Sie die Koordinaten des Punktes M bezüglich beider Koordinatensysteme an b Die affine Abbildung α vertauscht die Punkte P,Q und R zyklisch, dh αp = Q, αq = R und αr = P Geben Sie die Darstellung F von α bezüglich des Koordinatensystems F an c Geben Sie die Koordinatentransformationen E κ F, F κ E und F κ F an Berechnen Sie E α E wwwmathematikuni-stuttgartde/studium/infomat/hm-stroppel/

4 Gruppenübung Höhere Mathematik Lösungshinweise hierzu: a In den Standardkoordinaten gilt: E M = OQ OR = 4, 3, 3 7 =, 5 Im System F sind die Punkte durch folgende Koordinaten gegeben: Somit gilt F M = F P =,, F Q =,, F R =, P Q P R =,, =, b Die Abbildung α lässt sich beschreiben als a b α x = F F F c d F x s t mit a, b, c, d, s, t R Wir setzen nun die Bedingungen von oben an a b s Q = = F F F P = c d t a b s R = = F F F Q = c d t a b s P = = F F F R = c d t Es ergibt sich α x = F F F x F c Wir berechnen zuerst die Transformation von F nach E Diese ist nach Skript gegeben durch κ : x x E F Die Transformation von E nach F ist das Inverse obiger Transformation Hierzu benötigen wir die Inverse der Matrix in der Beschreibung Sie ist gegeben durch vgl Aufgabe H33 3 Es ergibt sich via y = Ax b A y A b = x κ : x x F E 3 wwwmathematikuni-stuttgartde/studium/infomat/hm-stroppel/

5 Gruppenübung Höhere Mathematik Die Transformation von F nach F ist schlicht die Identität Es gilt als Hintereinanderausführung von Abbildungen: E α E = E κ FF F κ E Somit erhalten wir α : x E E 5 x wwwmathematikuni-stuttgartde/studium/infomat/hm-stroppel/