Dynamik und Glättung von impliziten Volatilitätsflächen

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1 Dynamik und Glättung von impliziten Volatilitätsflächen Masterarbeit am Fachbereich Mathematik und Informatik der Philipps-Universität Marburg vorgelegt von: Studienbereich: Albert Horn Mathematik und Informatik Matrikelnummer: Erstgutachter: Prof. Dr. Hajo Holzmann 2012

2 So eine Arbeit wird eigentlich nie fertig, man muss sie für fertig erklären, wenn man nach Zeit und Umständen das Möglichste getan hat. (J.W.v. Goethe, Italienische Reise, Caserta, den 16. März 1787)

3 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Symbolverzeichnis Abkürzungsverzeichnis Abbildungsverzeichnis III IV V 1. Einleitung Zielsetzung der Arbeit Aufbau der Arbeit Optionstechnische Grundlagen 5 3. Implizite Volatilität Bewertung von Derivaten mit dem Black-Scholes Modell Black-Scholes Differentialgleichung Black-Scholes Optionspreisformel Implizite Volatilität Zeitabhängige Volatilität Zeit- und spotabhängige Volatilität Stochastische Volatilität Glättung von impliziten Volatilitätsflächen Nadaraya-Watson- und Lokale-Polynomial-Glättung Arbitragefreie Bedingungen an die Optionspreise Kubische Splineglättung Dynamik von impliziten Volatilitätsflächen Hauptkomponentenanalyse Gemeinsame Hauptkomponentenanalyse Anwendungsstudie für DAX Optionen Analyse des Deutschen Aktienindex DAX Datenbasis und Aufbereitung Statistische Analyse des DAX Albert Horn I

4 Inhaltsverzeichnis 6.2. Glättung von impliziten Volatilitätsflächen PC- und CPC-Analyse Schlussbemerkung Fazit Danksagung Anhang Literaturverzeichnis i ix Albert Horn II

5 Symbolverzeichnis Symbolverzeichnis κ E Q [ ] F P Q F t Moneyness Erwartungswertoperator unter Q Filtration physikalisches (statistisches) Wahrscheinlichkeitsmaß risikoneutrales Wahrscheinlichkeitsmaß, Martingalmaß Information zum Zeitpunkt t µ mittlere erwartete Aktienrendite, Drift ν 2 (κ, τ) Φ φ(u) ρ σ σ t (K, T ) σ ϑ τ θ S t ϑ t C E K P E r R t S t T W t Totale Varianz kumulative Standardnormalverteilung charakteristische Funktion einer Wahrscheinlichkeitsverteilung Korrelationskoeffizient Variabilität der Preisprozesse; Volatilität zeitveränderliche Volatilität in Abhängigkeit von K und T Volatilität der stochastischen Varianz verbleibende Restlaufzeit einer Option langfristiger Mittelwert des Volatilitätsprozesses ϑ t bereinigter Basiswertkurs zum Zeitpunkt t instante Varianz, auch Momentanvarianz oder lokale Varianz Callpreis einer europäischen Option Ausübunspreis, Basispreis, Strike Putpreis einer europäischen Option stetiger risikoloser Zinssatz (logarithmierte) Preisveränderung Basiswertkurs zum Zeitpunkt t Fälligkeit;Laufzeit einer Option Brownsche Bewegung, Wiener-Prozess Albert Horn III

6 Abkürzungsverzeichnis Abkürzungsverzeichnis BS PCA CPCA ITM OTM ATM DAX VDAX DTB Eurex EURIBOR LIBOR FIBOR ODAX Xtra KIT MSE CV AIC Black-Scholes Hauptkomponentenanalyse Gemeinsame Hauptkomponentenanalyse In the money Out the money At the money Deutscher Aktienindex DAX-Volatilitätsindex Deutsche Terminbörse European Exchange Euro Interbank Offered Rate London Interbank Offered Rate Frankfurt Interbank Offered Rate Optionen auf den DAX vollelektronisches Handelssystem (Electronic Trading) Karlsruher Institut für Technologie Mean Squared Error Cross Validation Akaike Informationskriterium Albert Horn IV

7 Abbildungsverzeichnis Abbildungsverzeichnis 2.1. Auszahlungen einer Call- und Put-Option Monte Carlo Simulation vom DAX-Index EURIBOR-Zinsentwicklung Call- und Put-Preise im BS-Modell Volatilitäts-Smile einer DAX-Option und empirische Verteilung des DAX Implizite Volatilitätsfläche einer DAX Option PCA des ODAX bzgl. der Laufzeitgruppe von einem Monat und drei Monate CPCA des ODAX bzgl. der Laufzeitgruppe von einem Monat und drei Monate Tägliche Schlusskurse des DAX Implizite Volatilitäten vom für die ODAX Februar 2010 Optionen Tägliche Schlusskurse des DAX im Untersuchungszautraum Quantil Plot und Volatilitäts-Cluster der DAX-Tagesrenditen Histogramme der DAX-Renditen mit Normalverteilungsverlauf Fristenstruktur der impliziten Volatilität Callpreise und die totale Varianz einer DAX Option Implizite Volatilitätsflächen einer DAX Option vom Volatilitäts-Smiles und die totale Varianz einer DAX Option Eigenwerte mittels PCA Eigenvektoren mittels PCA und CPC A.1. Implizite Volatilitätsflächen einer DAX Option vom viii Albert Horn V

8 1. Einleitung 1. Einleitung Die Volatilität von Finanzanlagen ist ein wesentlicher Faktor des Risikomanagements, der Portfolio Theorie und der Bewertung von Derivaten. Sie ist die entscheidende Größe um einzuschätzen, wie risikoreich eine Finanzanlage ist und ergibt sich allein durch das Handeln der Marktteilnehmer. Der Händler einer risikobehafteten Finanzanlage wird entsprechend seiner Markterwartung nach einer optimalen Beziehung zwischen dem möglichen Ertrag und dem potenziellen Risiko seiner Portfoliostrategie streben. Dabei ist die genaue Erfassung des Risikos von zentraler Bedeutung. Die Black-Scholes-Formel liefert mit der sogenannten impliziten Volatilität eine griffige Kennzahl, die es einem Händler sofort ermöglicht, eine Option als teuer oder preiswert einzustufen. Mit der Entdeckung der Black-Scholes-Formel durch Black u. Scholes (1973) und Merton (1973) erlebte der Optionshandel an den Börsen einen fulminanten Aufschwung. Zudem liefert das Black-Scholes-Modell unter wenigen, gut interpretierbaren Annahmen ein klares und einfaches Modell zur Bewertung von Optionen auf Finanzanlagen wie Aktien und Aktienindizes. Das Modell basiert insbesondere auf der Annahme, dass die Volatilität im Zeitverlauf konstant ist. Tatsächlich zeigen sich jedoch in der Praxis Phänomene, die mit Begriffen wie Smile oder Skew umschrieben werden und die für einen bestimmten Verlauf der impliziten Volatilität in Abhängigkeit von Ausübungspreis (Strike) und Fälligkeit der Optionen zu einer Finanzanlage stehen. Diese funktionale Abhängigkeit führt zu einer zweidimensionalen Funktion und wird in der Finanzwelt als die implizite Volatilitätsfläche bezeichnet. In der Regel werden im Aktienmarkt kurzfristige Volatilitäten höher gehandelt als langfristige. Zusätzlich sind die impliziten Volatilitäten für weit aus dem Geld (out the money) liegende Ausübungspreise deutlich höher als für solche am (at the money) oder im Geld (in the money). Einer der Gründe dafür ist, dass die Normalverteilungsannahme der logarithmischen Renditen extreme Bewegungen des Aktienmarktes nicht hinreichend berücksichtigen. Es wurden daher unterschiedliche Erweiterungen des Black-Scholes-Modells zur Bewertung von Optionen entwickelt. Zunächst einmal ist das sogenannte Local-Volatility-Modell von Dupire (1994) und Derman u. Kani (1994) zu nennen. Das Modell erlaubt, dass sich die Volatilität deterministisch als Funktion der Zeit und des Basiswerts verändert und ermöglicht es zudem, den am Markt beobachteten Volatilitätssmile nachzubilden. Das Local-Volatility-Modell ist insbesondere ein Einfaktormodell und hat somit den Vorteil, dass das zugehörige mathe- Albert Horn 1

9 1. Einleitung matische Modell vollständig ist, d.h. das Risiko aller Optionen kann durch eine geeignete Handelstrategie in Basiswert und Cashbond aufgefangen werden. Zudem wurden Zweifaktormodelle entwickelt, in denen zwei Wienerprozesse zur Verfügung gestellt werden, um die zufällige Entwicklung von Basiswertkurs und Volatilität des Basiswertkurses zu modellieren. Eines der bekanntesten Zweifaktormodelle, das die stochastische Änderung der Volatilität berücksichtigt, ist Heston (1993) stochastisches Volatilitätsmodell. In diesem Modell hat die Volatilität ihre eigene stochastische Dynamik, dargestellt als Mean Reversion-Prozess. Trotz der systematischen Abweichungen zwischen den theoretischen Werten des Black- Scholes-Modell und den Marktpreisen, die für Optionen beobachtet werden, erfreut sich das Marktmodell und die von ihnen entwickelte Formel zur Bewertung von Optionen großer Beliebtheit und wird weitgehend in der Finanzwelt angewandt. Dies bedeutet jedoch nicht, dass die Marktteilnehmer die Annahmen des Black-Scholes Modells akzeptieren. Vielmehr wenden Sie die Black-Scholes Formel lediglich an, aber handeln nicht gemäß des Black-Scholes Modells. Diesbezüglich wird in dieser Arbeit nicht versucht, das Modell in irgendeiner Weise zu erweitern, sondern die aus dem Black-Scholes Modell resultierende implizite Volatilität als Zustandsgröße selbst zu betrachten, da es die aktuelle Marktsituation reflektiert und somit selbst interessant ist Zielsetzung der Arbeit Das erste Ziel dieser Arbeit soll sein, die impliziten Volatilitätsflächen mithilfe von nicht-parametrischen Glättungsmethoden zu schätzen und miteinander zu vergleichen. Hierbei werden speziell der Nadaraya-Watson und der lokal lineare Schätzer sowie die arbitragefreie Spline-Glättung, welches von Fengler (2005) vorgeschlagen wird, vorgestellt. Angesichts der Wichtigkeit der impliziten Volatilitäten bei der Bewertung von Derivaten spielt die Dynamik der impliziten Volatilitäten für die Marktteilnehmer eine große Rolle. Darüber hinaus ist auch die Variabilität der Volatilitäts-Smiles bzgl. unterschiedlicher Laufzeiten von besonderem Interessse. Um die Dynamik der impliziten Volatilitätsflächen zu modellieren wird in der Regel für jede Laufzeit einer Option eine Hauptkomponentenanalyse bzgl. der einzelnen impliziten Volatilitätssmiles angewandt. Der Nachteil dabei ist, dass man nur die Dynamik der einzelnen Smiles erklären kann, aber nicht die gesamte Volatilitätsfläche. In den früheren Arbeiten von Matthias R. Fengler u. Villa (2001) zeigt sich jedoch, dass die einzelnen Smiles für unterschiedliche Laufzeiten durch die gleichen Hauptkomponenten angetrieben werden. Daher schlagen die Autoren eine gemeinsame Hauptkomponentenanalyse vor, wodurch man die Dynamik Albert Horn 2

10 1. Einleitung für die gesamte implizite Volatilitätsfläche erhält. Dementsprechend soll das zweite Ziel dieser Arbeit die Analyse der maßgeblichen Faktoren der Strukturdynamik implizierter Volatilitätsflächen sein. Dabei wird sich eng an Matthias R. Fengler u. Villa (2001) orientiert Aufbau der Arbeit In Kapitel 2 werden zunächst die grundlegenden Definitionen und Zusammenhänge erläutert, die für das Verständnis der nachfolgenden Kapitel benötigt werden. Im Anschluss daran wird in Kapitel 3 die Black-Scholes Optionspreisformel sowie die Black-Scholes Differentialgleichung auf Grundlage von Black u. Scholes (1973) und Merton (1973) hergeleitet. Ferner wird auf die besondere Bedeutung der impliziten Volatilität eingegangen und alternative Bewertungsmodelle zur Black-Scholes Spezifikation vorgestellt. In Kapitel 4 werden der Nadaraya-Watson und der Lokal-lineare Schätzer vorgestellt. Mithilfe dieser Verfahren lässt sich aus den beobachteten impliziten Volatilitäten direkt eine implizite Volatilitätsfläche schätzen (bivariate Schätzung). Dabei kann es passieren, dass die resultierende implizite Volatilitätsfläche nicht vollständig arbitragefrei ist. Diesbezüglich werden im nächsten Abschnitt des Kapitels zwei Maßnahmen zur Vermeidung von Arbitragemöglichkeiten (hier Strike und Calendar-Arbitrage) vorgestellt. Im letzten Abschnitt des Kapitels wird insbesondere ein Glättungsverfahren betrachtet, welches auf kubischen Splines basiert. Dabei wird sich eng an Fengler (2005) orientiert. Anschließend wird in Kapitel 5 die allgemeine Hauptkomponentenanalyse auf Grundlage von Jolliffe (2002) sowie die gemeinsame Hauptkomponentenanalyse in Bezug auf Matthias R. Fengler u. Villa (2001) näher erläutert. Kapitel 6 bildet den zentralen Teil dieser Arbeit. Zunächst wird der Deutsche Aktienindex DAX, sowie die ihm zugrunde liegende Option ODAX, kurz vorgestellt. Anschließend werden die realen Daten einer empirischen Untersuchung unterzogen. Hierbei wird zum einen die Renditezeitreihe des DAX analysiert und zum anderen die sich aus quotierten Optionspreisen ergebenden impliziten Volatilitäten näher betrachtet. Gegenstand der Untersuchung sind die Settlementpreise von 767 Handelstagen. In den letzten beiden Abschnitten werden die hergeleiteten Glättungsverfahren aus Kapitel 4, sowie die beiden Hauptkomponentenanalysen aus Kapitel 5 auf die DAX Optionen angewandt. Dabei werden die Ergebnisse verglichen und eingehend diskutiert. Albert Horn 3

11 1. Einleitung Mit Kapitel 7 soll ein abschließender Rahmen gegeben werden, der Schlussbemerkungen, sowie die wesentlichen Erkenntnisse der Arbeit enthält. Der Anhang enthält eine Darstellung mathematischer Resultate, die für das Verständnis der Modellkonzeptionen von Bedeutung sind. Auch bietet er den Rahmen für weitere empirische Ergebnisse. Albert Horn 4

12 2. Optionstechnische Grundlagen 2. Optionstechnische Grundlagen In diesem Kapitel werden die grundlegenden Definitionen und Eigenschaften von Finanzderivaten, insbesondere von Optionen, erläutert, die zum Verständnis des Black- Scholes Modells notwendig sind. Dabei stützen wir uns, soweit nicht anders dargestellt, auf Hull (2009). Bei Derivaten oder derivativen Finanzinstrumenten handelt es sich um Termingeschäfte auf der Grundlage bestimmter Basiswerte (Underlyings). Der Begriff Derivate bezieht sich also auf Finanzinstrumente, deren Kurs von einem ihnen jeweilig zugrunde liegenden Marktgegenstand als Basiswert abgeleitet wird. Als derivative Finanzinstrumente bezeichnet man u.a. Futures, Swaps, Forwards und insbesondere sämtliche Typen von Optionen. Als Underlyings können z.b. Aktien, Aktienindizes, Währungen, Anleihen oder Handelswaren zugrundegelegt sein. Eines der wichtigsten Derivaten sind die europäischen Optionen. Diese werden im folgenden näher erläutert, da sie den Modellen der folgenden Kapitel zugrunde liegen. Definition Eine europäische Kaufoption bezeichnet einen Vertrag zwischen zwei Parteien, bei dem der Käufer (bzw. Verkäufer) zu einem Zeitpunkt t durch die Zahlung der Optionsprämie das Recht erwirbt, zu einem festgelegten zukünftigen Zeitpunkt T > t ein Objekt (Underlying) zu einem zur Zeit t vereinbarten Preis K (Strike) zu kaufen (bzw. zu verkaufen). Diese Optionsformen werden auch als Standardoptionen bzw. Plain Vanilla Optionen bezeichnet. Im Gegensatz zu europäischen Optionen kann der Käufer bei einer amerikanischen Option zu jedem Zeitpunkt in [0, T ] entscheiden, ob er das Recht ausüben will. Eine Kaufoption wird im Allgemeinem als Call und eine Verkaufsoption als Put bezeichnet. Weiterhin unterscheidet man zwischen einer Long- und einer Short-Position, da es bei jedem Optionskontrakt einen Käufer und einen Verkäufer gibt. Außerdem ist zu erwähnen, dass eine Option ein Recht und keine Pflicht darstellt, sodass die Möglichkeit besteht, die Option einfach verfallen zu lassen, ohne das Optionsrecht auszuüben. Der Wert einer Option setzt sich aus zwei Komponenten zusammen, dem inneren Wert und dem Zeitwert. Der innere Wert entspricht dem Erlös, der bei sofortiger Ausübung erzielt würde. Der Zeitwert ist die Differenz zwischen dem Marktwert der Option und Albert Horn 5

13 2. Optionstechnische Grundlagen dem inneren Wert. Sei K der Strikepreis und S T der Basiswert zum Zeitpunkt T. Ist K < S T (die Call-Option ist in the money), so kann der Halter der Call-Option das Underlying zum Preis K erwerben und sofort zum höheren Preis S T am Markt verkaufen. Er erzielt dann eine Auszahlung in Höhe von S T K. Ist K > S T (die Call-Option ist out of the money), so lässt der Halter der Call-Option sein Recht verfallen, da es günstiger ist, das Underlying am Markt zum Preis S T zu erwerben. In diesem Fall ist die Auszahlung für die Call-Option gleich null. Ebenso verhält es sich in dem Fall S T = K (die Call-Option ist at the money). Damit ergibt sich für den Halter einer europäischen Call-Option eine Auszahlung (Payoff) zum Zeitpunkt T in Höhe von (S T K) +, wobei (A) + := A, falls A > 0, (A) + := 0, falls A 0 ist. Genauer ergeben sich für europäische Optionen folgende Auszahlungen: Long Short Call (S T K) + (S T K) + Put (K S T ) + (K S T ) + Es ist ersichtlich, dass eine Option ihrem Halter (Long-Position) eine nichtnegative Auszahlung zusichert, die in ihrer Höhe allerdings unsicher ist. Daher ist es plausibel, dass man für den Erwerb einer Option eine Zahlung, die Optionsprämie, leisten muss. In der Abbildung (2.1) sind die Auszahlungen einer europäischen Call- bzw. Put-Option nochmal grafisch dargestellt. In allen vier Fällen ist der Wert der Option 10 und der Ausübungspreis 100. Es ist gut zu erkennen, dass der Käufer (Long) des Calls einen maximalen Verlust von 10 hat, hingegen unbegrenzte Gewinnmöglichkeiten besitzt. Im Gegensatz dazu hat der Verkäufer (Short) einen maximalen Gewinn von 10 mit unbegrenzten Verlusten. Die Schwierigkeit besteht nun darin, diese Optionsprämien zu berechnen, d.h. den fairen Preis C0 E der Call-Option zum Zeitpunkt t = 0 festzusetzen, und zu jedem Zeitpunkt t den Wert der Call-Option zu bestimmen. Der Preis einer Option wird dann als fairer Preis bezeichnet, wenn weder Käufer noch Verkäufer einer Option durch Kombination verschiedener Anlagen risikolose Gewinne (Arbitrage) erzielen können. Grundsätzlich entspricht der Preis einer Call-Option C0 E zum Zeitpunkt t = 0 dem Erwartungswert des Preises der Call-Option bei Fälligkeit, diskontiert mit dem risikolosen Zinssatz r, genauer C E 0 = e r(t ) E(C E T ) = e rt E(max{S T K, 0}). Albert Horn 6

14 2. Optionstechnische Grundlagen Auszahlung Long Call Short Call Auszahlung Long Put Short Put Basiswert Basiswert Abbildung 2.1.: Die linke Abbildung stellt die Auszahlungen einer Call-Option und die rechte Abbildung die einer Put-Option dar (K=100). Die Problematik lässt sich daran erkennen, dass man den Verlauf des Underlyingkurses über den Laufzeitraum nicht kennt. Deshalb ist es für die hier betrachteten europäischen Optionen von zentraler Bedeutung, eine Aussage über die Verteilung des Underlyingkurses bei Fälligkeit S T treffen zu können. Underlyingkurse (wie z.b. Aktienkurse) verändern sich täglich aufgrund der Marktkräfte, also von Angebot und Nachfrage. Weiterhin nimmt man an, dass der aktuelle Kurs nicht von dem Kursverlauf der Vergangenheit abhängt (Markov Eigenschaft) und dadurch die Prognosen für die Zukunft unsicher sind. Infolgedessen werden in dieser Arbeit die Modellierungen solcher Kursbewegungen durch stochastische Prozesse beschrieben. Insbesondere werden stochastische Prozesse in stetiger Zeit betrachtet, d.h. die Kurse können zu jedem Zeitpunkt t R einen anderen Wert annehmen. Konkret wird ein als geometrische Brownsche Bewegung bekannter Prozess der Form ds t = µs t dt + σs t dw t (2.1) mit konstanten Parametern µ R und σ 0, angenommen (siehe Anhang A.1). Dabei wird der Underlyingkurs durch eine Zufallsvariable S t, t 0 beschrieben. Die stochastische Differentialgleichung (2.1) charakterisiert das Verhalten der relativen Kursänderung im Zeitablauf. Folgt S t einer geometrischen Brownschen Bewegung der Form (2.1), dann sind folgende Annahmen erfüllt: Albert Horn 7

15 2. Optionstechnische Grundlagen S t ist ein Prozess ohne Gedächtnis. Die Vergangenheit ist vollständig im aktuellen Basiswert abgebildet und der Markt reagiert unmittelbar auf den Basiswert verändernde Informationen (Markov Eigenschaft). Es sind nur die Renditen St S t = S t+ t S t S t relevant. Die Renditen haben im Erwartungswert eine konstante Drift µ: E[ S t ] = µ t S t Der Parameter µ stellt die erwartete Rendite pro Zeiteinheit des Basiswerts dar. Der Basiswert hat eine konstante Volatilität σ, d.h. Var( S t ) = σ 2 t S t Die Renditen sind normalverteilt S t S t N(µ t, σ 2 t) Die Renditen sind stochastisch unabhängig voneinander Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Renditen hängen nicht vom Startzeitpunkt ab, sondern nur von der Zeitdifferenz. Für weitere Resultate sei auf Hull (2009, 328 ff.) verwiesen. In der folgenden Abbildung (2.2) wurden mit Hilfe des Modells (2.1) fünf Monte Carlo Simulationen vom bis zum vorgenommen. Außerdem wurde der echte Kurs in Form des fetten blauen Pfades eingezeichnet. Dabei liegt als Basiswert der DAX-Index zugrunde. Der DAX ist der wichtigste Deutsche Aktienindex. Zum Schätzen von µ und σ wurden die Kursdaten vom bis herangezogen. Hieraus ergab sich µ = und σ = ; also eine erwartete Jahresrendite von 2.95% und eine Volatilität in Höhe von 15.76%. Man kann leicht sehen, dass der echte Pfad ohne Vorkenntnisse nicht erkennbar ist. Ungeachtet der Verteilungsannahmen bezüglicher zukünftiger Kursverläufe können wir trotz allem für eine europäische Call-Option obere bzw. untere Schranken bestimmen. Satz Für eine europäische Call-Option zum Basiswert S t, Verfallszeit T, Ausübungspreis K und risikolosem Zinssatz r gilt (S t Ke r(t t) ) + C t S t, t [0, T ]. (2.2) Albert Horn 8

16 2. Optionstechnische Grundlagen Indexpunkte Jan 01 Feb 02 Mrz 31 Mrz 05 Mai Abbildung 2.2.: Monte Carlo Simulation vom DAX-Index für das Jahr 2009 Beweis. Die Schranke C t 0 ist klar, denn anderenfalls ergäbe ein Kauf einer solchen Option einen sofortigen Gewinn. Weiter kann eine europäische Call-Option niemals mehr Wert sein als der Basiswert selbst, ansonsten könnte man einen risikolosen Gewinn erzielen. Dazu verkaufe einen Call und kaufe einen Basiswert und realisiere zur Zeit t den risikofreien Gewinn C t S t 0. Diese ist nochmal in Tabelle (2.1) verdeutlicht. Schließlich kann eine europäische Call-Option nie kleiner sein als S t Ke rt. Wert in t Wert in T S T K S T > K Short Call C E t 0 K S T Long Basiswert S t S T S T S t C E t < 0 S T > 0 K > 0 Tabelle 2.1.: Zum Beweis von Satz Dabei betrachten wir die folgenden beiden Portfolios. Das erste Portfolio besteht aus einem europäischen Call und einem Geldbetrag in Höhe von Ke rt und das zweite Portfolio aus einem Basiswert. Damit hat zum Zeitpunkt T das erste Portfolio den Wert max(s T, K) und das zweite Portfolio den Wert S T, d.h. bei Fälligkeit der Option ist das erste Portfolio mindestens so viel Wert wie das zweite. Demzufolge muss dies auch heute gelten C E (t, T ) + Ke rt S t. Mit der Eigenschaft, dass der Wert einer Call-Option nie negativ werden kann, erhält man somit die Wertuntergrenze. Aus diesem lässt sich nun ein bekannter und wichtiger Satz ableiten. Albert Horn 9

17 2. Optionstechnische Grundlagen Satz (Put-Call-Parität). Für dividendenlose europäische Calls und Puts gilt C E t = S t Ke r(t t) + P E t (2.3) Den Beweis entnehme man der Tabelle (2.2). Zu beachten ist, dass die zwei betrachteten Portfolien am Laufzeitende T den gleichen Wert haben und im Zeitintervall (t, T ) keine Auszahlungen haben. Demzufolge müssen beide Portfolien auch im Zeitpunkt t den gleichen Wert haben. Portfolio 1 Wert in t Wert in T S T K S T > K Kaufe Call Ct E 0 S T K Kaufe Anleihe Ke r(t t) K K Ct E + Ke r(t t) max{s T, K} Portfolio 2 Wert in t Wert in T S T K S T > K Kaufe Put Pt E K S T 0 Kaufe Basiswert S t S T S T Pt E + S t max{s T, K} Tabelle 2.2.: Zum Beweis von Satz Zum Abschluss betrachten wir die Faktoren, welche die Preise von Optionen beeinflussen. Es ist zu betonen, dass sich jeweils nur ein Faktor ändert, während alle anderen Variablen gleich bleiben. Insgesamt gibt es fünf Faktoren. Diese sind der aktuelle Basiswert S t, der Ausübungspreis K, die Zeit bis zur Ausübung T, die Volatilität des Basiswertes σ und der risikolose Zinssatz r. Der Optionspreis wird hauptsächlich durch den aktuellen Basiswert beeinflusst. Für einen festen Ausübungspreis K steigt der Wert der Kaufoption, wenn der Basiswert steigt. Die Volatilität ist neben der Preisdynamik des Basiswertes der wesentlichste Einflussfaktor für die Optionspreisberechnung. Mit steigender Volatilität wächst die Wahrscheinlichkeit, dass der Basiswert stark steigt oder stark fällt. Dadurch steigt aber auch die Wahrscheinlichkeit, dass ein Besitzer einer Kaufoption bzw. Verkaufsoption einen kompletten Verlust erleidet. Daher steigen die Werte sowohl von Calls als auch von Puts, wenn die Volatilität zunimmt. Außerdem werden europäische Optionen gewöhnlich wertvoller sein, wenn der Ablaufszeitpunkt weit in der Zukunft liegt, d.h. mit steigender Laufzeit steigen europäische Kauf- und Verkaufsoptionen im Wert. Der risikolose Zinsatz hat einen positiven bzw. negativen Effekt auf eine Kaufoption bzw. Verkaufsoption, d.h. bei einer Erhöhung des Zinssatzes steigt der Wert einer Kaufoption bzw. sinkt der Wert einer Verkaufsoption. In der Praxis wird für den risikolosen Zinssatz der LIBOR bzw. EURIBOR verwendet, da dies Albert Horn 10

18 2. Optionstechnische Grundlagen die Zinssätze sind, auf deren Basis die Banken refinanzieren. Der EURIBOR bezeichnet die durchschnittlichen Zinssätze, zu denen viele europäischen Banken einander Anleihen in Euro gewähren und löste Anfang 1999 den bis dato gültigen FIBOR (Frankfurt Interbank Offered Rate) als europäischer Referenzzins für Geldmarktgeschäfte der Banken ab. Der LIBOR dagegen bezieht sich auf den Londoner Interbankenmarkt. Dabei geben große Banken und andere Finanzinstitute EURIBOR-Sätze bzw. LIBOR-Sätze mit Laufzeiten von bis zu 12 Monaten an. Diese liegen für den Beobachtungszeitraum bis vor (vgl. Abbildung (2.3)). Am wird mit 0.336% beim 1-Woche-EURIBOR-Satz das Zinstief innerhalb der Beobachtungsphase erreicht. Zinssätze w 2w 3w 1m 2m 3m 4m 5m 6m 7m 8m 9m 10m 11m 12m Jan 2009 Jul 2009 Jan 2010 Jul 2010 Jan 2011 Jul 2011 Dez 2011 Abbildung 2.3.: Zinsentwicklung des EURIBOR im Beobachtungszeitrum (in Prozent) Albert Horn 11

19 3. Implizite Volatilität 3. Implizite Volatilität Die Schwankungsbreite von Wertpapieren wird normalerweise technisch als Standardabweichung von deren Renditen definiert und Volatilität genannt. Optionen auf stark schwankende Wertpapiere sind vergleichsweise teuer, deshalb ist für das Bewerten von Derivaten entscheidend, wie stark die erwarteten Preisschwankungen sind, denen die Basiswerte während der Laufzeit unterliegen. Bei gegebener erwarteter Volatilität können theoretische Preise von Standardoptionen mithilfe der bekannten Formel von Black- Scholes (BS) berechnet werden. Das BS-Modell ist ein finanzmathematisches Modell zur Bewertung von Finanzoptionen Bewertung von Derivaten mit dem Black-Scholes Modell In den folgenden Abschnitten wird das BS-Modell auf zwei alternative Weisen hergeleitet. Diese werden einerseits über den Martingal-Ansatz und andererseits über den Ansatz aus der Originalarbeit von Black u. Scholes (1973) und Merton (1973) erfolgen. Dabei werden beide Ansätze auf der Basis einer europäischen Call-Option hergeleitet, wobei Aktien als Basisinstrument angenommen werden. Im Weiteren erfolgt die Modellierung der Entwicklung des Aktienkurses mit Hilfe der Brownschen Bewegung (2.1) aus dem vorherigen Kapitel. Ausserdem werden folgende vereinfachende Modellannahmen an den Finanzmarkt gestellt (vgl. Black u. Scholes, 1973): Es werden keine Dividendenzahlungen auf den Basiswert geleistet Der Markt ist arbitragefrei, liquide und friktionslos (d.h. es gibt keine Transaktionskosten, Steuern usw.) Der Basiswert kann kontinuierlich gehandelt werden und ist beliebig teilbar. Leerverkäufe sind erlaubt (d.h. wir dürfen verkaufen, was wir zum Zeitpunkt des Verkaufs noch nicht besitzen) Der risikolose Zinssatz r ist konstant und für alle Laufzeiten identisch. Mit diesen Annahmen werden nun die BS-Gleichung mit Hilfe der klassischen Analyse und die BS-Formel mit der risikoneutralen Bewertung hergeleitet. Albert Horn 12

20 3. Implizite Volatilität Black-Scholes Differentialgleichung Die klassische Analyse von Black-Scholes benutzt die Markov-Eigenschaft, um den Wert V des Claims als Funktion V (S t, t) des Underlyings S t und der Zeit t zu beschreiben. Außerdem argumentieren Black und Scholes nicht über risikoneutrale Wahrscheinlichkeiten, sondern verwenden ein Arbitrageargument, um den Preis eines europäischen Calls durch Lösen einer partiellen Differentialgleichung zu erhalten. Satz In einem risikolosen Portfolio gilt die sogenannte Black-Scholes Differentialgleichung rv (t, S t ) = V (t, S t) t σ2 S 2 2 V (t, S t ) S 2 + rs V (t, S t) S (3.1) Beweis. Es wird ein Portfolio Π t, bestehend aus einer Long-Position der Option und einer Short-Position, von t Anteilen des Underlyings konstruiert, das zu jedem Zeitpunkt risikolos ist: Π t = V (t, S t ) t S t Dabei wird als Modell für die Aktienbewegung ds t = µs t dt + σs t dw t unterstellt. Im nächsten Schritt wird die Veränderung des Portfoliowertes innerhalb eines kleinen Zeitschrittes betrachtet dπ t = dv (t, S t ) t ds t. Da S t ein Itô-Prozess ist gilt mit dem Itô-Lemma (siehe Anhang A.1) dv (t, S t ) = V (t, S t) dt + V (t, S t) ds t + 1 S t t 2 2 V (t, S t ) St 2 dst 2. Mit den Rechenregeln dt dt = 0, dt dw t = 0 und dw t dw t = dt gilt weiterhin ds 2 t = σ 2 S 2 t dt und somit dv (t, S t ) = ( V (t, S t) µs t + V (t, S t) + 1 S t t 2 2 V (t, S t ) St 2 σ 2 St 2 )dt + V (t, S t) σs t dw t. S t Albert Horn 13

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