Implizite Funktionen. Ist für eine stetig differenzierbare Funktion f : R n R m R n. so lässt sich das Gleichungssystem

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Implizite Funktionen. Ist für eine stetig differenzierbare Funktion f : R n R m R n. so lässt sich das Gleichungssystem"

Transkript

1 Implizite Funktionen Ist für eine stetig differenzierbare Funktion f : R n R m R n f (x, y ) = (0,..., 0) t, det f x (x, y ) 0, so lässt sich das Gleichungssystem f k (x 1,..., x n, y 1,..., y m ) = 0, k = 1,..., n, in einer Umgebung von (x, y ) nach x auflösen: x = ϕ(y). Implizite Funktionen 1-1

2 Die implizit definierte Funktion ϕ ist in einer Umgebung von y stetig differenzierbar und besitzt die Jacobi-Matrix ϕ = (f x ) 1 f y. Implizite Funktionen 1-2

3 Die implizit definierte Funktion ϕ ist in einer Umgebung von y stetig differenzierbar und besitzt die Jacobi-Matrix ϕ = (f x ) 1 f y. Ein entsprechendes Resultat gilt nach Permutation der Variablen, d.h. man kann nach x k1,..., x kn auflösen, wenn die Spalten k 1,..., k n der Jacobi-Matrix f linear unabhängig sind. Insbesondere ist die Gleichung f (x) = 0 für eine skalare Funktion f in einer Umgebung von x nach x k auflösbar, wenn k f (x ) 0. Implizite Funktionen 1-3

4 Beweis: betrachte die Abbildung (x, y) u(x, y) = (f (x, y), y) von R n+m nach R n+m in einer Umgebung von (x, y ) Implizite Funktionen 2-1

5 Beweis: betrachte die Abbildung (x, y) u(x, y) = (f (x, y), y) von R n+m nach R n+m in einer Umgebung von (x, y ) invertierbare Jacobi Matrix ( ) u fx f (x, y ) = y 0 E (x,y ) = lokale Existenz einer Umkehrfunktion u 1 = (v 1,..., v n+m ) E : m m Einheitsmatrix Implizite Funktionen 2-2

6 u(x, y) = (f (x, y), y) = (0, y) (x, y) = v(0, y), d.h. ϕ(y) = (v 1 (0, y),..., v n (0, y)) Implizite Funktionen 2-3

7 u(x, y) = (f (x, y), y) = (0, y) (x, y) = v(0, y), d.h. ϕ(y) = (v 1 (0, y),..., v n (0, y)) Differenzieren von 0 = f (ϕ(y), y) nach y = 0 = f x ϕ + f y, d.h. die explizite Formel für die Jacobi-Matrix ϕ Implizite Funktionen 2-4

8 Beispiel: Vivianische Kurve: Schnitt der Einheitssphäre mit einem Zylinder sin t cos t C : t sin 2 t cos t, t [0, 2π) z x y Implizite Funktionen 3-1

9 implizite Form f (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 1 = 0 ( g(x, y, z) = x 2 + y 1 ) 2 1 = Implizite Funktionen 3-2

10 implizite Form f (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 1 = 0 ( g(x, y, z) = x 2 + y 1 ) 2 1 = Jacobi-Matrix ( fx f y f z g x g y g z ) = ( 2x 2y 2z 2x 2y 1 0 ) Satz über implizite Funktion = Bedingung für eine Parametrisierung durch eine der Koordinaten x, y, z Implizite Funktionen 3-3

11 (i) Parametrisierung bezüglich x, d.h. auflösen nach y und z: Implizite Funktionen 3-4

12 (i) Parametrisierung bezüglich x, d.h. auflösen nach y und z: hinreichende Bedingung: Invertierbarkeit von ( ) (f, g) 2y 2z (y, z) = 2y 1 0 Implizite Funktionen 3-5

13 (i) Parametrisierung bezüglich x, d.h. auflösen nach y und z: hinreichende Bedingung: Invertierbarkeit von ( ) (f, g) 2y 2z (y, z) = 2y 1 0 erfüllt für z 0 und y 1/2 Implizite Funktionen 3-6

14 (i) Parametrisierung bezüglich x, d.h. auflösen nach y und z: hinreichende Bedingung: Invertierbarkeit von ( ) (f, g) 2y 2z (y, z) = 2y 1 0 erfüllt für z 0 und y 1/2 g = x 2 + (y 1/2) 2 1/4 = 0, f g = z y = 0 y(x) = δ 1 4 x 2, z(x) = δ δ 4 x 2 wobei die Vorzeichen δ, δ { 1, 1} entsprechend den einzelnen Zweigen gewählt werden müssen Implizite Funktionen 3-7

15 (i) Parametrisierung bezüglich x, d.h. auflösen nach y und z: hinreichende Bedingung: Invertierbarkeit von ( ) (f, g) 2y 2z (y, z) = 2y 1 0 erfüllt für z 0 und y 1/2 g = x 2 + (y 1/2) 2 1/4 = 0, f g = z y = 0 y(x) = δ 1 4 x 2, z(x) = δ δ 4 x 2 wobei die Vorzeichen δ, δ { 1, 1} entsprechend den einzelnen Zweigen gewählt werden müssen Parametrisierungen singulär in den Punkten (0, 1, 0) t, (±1/2, 1/2, ± 2/2) t und (±1/2, 1/2, 2/2) t geometrisch notwendig: Tangentenrichtung nicht orthogonal zu (1, 0, 0) t, d.h. mit nichtrivialer Komponente in x-richtung Implizite Funktionen 3-8

16 (ii) Parametrisierung bezüglich y und z: hinreichende Bedingungen ( ) ( 2x 2z 2x 2y det = 4xz 0, det 2x 0 2x 2y 1 ) = 2x 0 Implizite Funktionen 3-9

17 (ii) Parametrisierung bezüglich y und z: hinreichende Bedingungen ( ) ( 2x 2z 2x 2y det = 4xz 0, det 2x 0 2x 2y 1 ) = 2x 0 keine lokale Parametrisierung (weder nach x, y oder z) im Punkt (0, 1, 0) t Implizite Funktionen 3-10

18 (ii) Parametrisierung bezüglich y und z: hinreichende Bedingungen ( ) ( 2x 2z 2x 2y det = 4xz 0, det 2x 0 2x 2y 1 ) = 2x 0 keine lokale Parametrisierung (weder nach x, y oder z) im Punkt (0, 1, 0) t Jacobi-Matrix ( ) (f, g) (x, y, z) (0,1,0) = Implizite Funktionen 3-11

19 (ii) Parametrisierung bezüglich y und z: hinreichende Bedingungen ( ) ( 2x 2z 2x 2y det = 4xz 0, det 2x 0 2x 2y 1 ) = 2x 0 keine lokale Parametrisierung (weder nach x, y oder z) im Punkt (0, 1, 0) t Jacobi-Matrix ( ) (f, g) (x, y, z) (0,1,0) = Rang der Jacobi-Matrix gleich 1 Doppelpunkt der Kurve Implizite Funktionen 3-12

20 Beispiel: skalare Funktion f (x, y, z) = xe y yz = 0 Implizite Funktionen 4-1

21 Beispiel: skalare Funktion f (x, y, z) = xe y yz = 0 nach einer Variablen auflösbar, falls die entsprechende partielle Ableitung nicht verschwindet Implizite Funktionen 4-2

22 Beispiel: skalare Funktion f (x, y, z) = xe y yz = 0 nach einer Variablen auflösbar, falls die entsprechende partielle Ableitung nicht verschwindet Gradient (f x, f y, f z ) t = (e y, xe y z, y) t Implizite Funktionen 4-3

23 Beispiel: skalare Funktion f (x, y, z) = xe y yz = 0 nach einer Variablen auflösbar, falls die entsprechende partielle Ableitung nicht verschwindet Gradient (f x, f y, f z ) t = (e y, xe y z, y) t (i) f x > 0 = f = 0 für alle (x, y, z) nach x auflösbar: Implizite Funktionen 4-4

24 Beispiel: skalare Funktion f (x, y, z) = xe y yz = 0 nach einer Variablen auflösbar, falls die entsprechende partielle Ableitung nicht verschwindet Gradient (f x, f y, f z ) t = (e y, xe y z, y) t (i) f x > 0 = f = 0 für alle (x, y, z) nach x auflösbar: x = yze y Implizite Funktionen 4-5

25 Beispiel: skalare Funktion f (x, y, z) = xe y yz = 0 nach einer Variablen auflösbar, falls die entsprechende partielle Ableitung nicht verschwindet Gradient (f x, f y, f z ) t = (e y, xe y z, y) t (i) f x > 0 = f = 0 für alle (x, y, z) nach x auflösbar: x = yze y (ii) Auflösen nach z für y 0 möglich (f z 0): Implizite Funktionen 4-6

26 Beispiel: skalare Funktion f (x, y, z) = xe y yz = 0 nach einer Variablen auflösbar, falls die entsprechende partielle Ableitung nicht verschwindet Gradient (f x, f y, f z ) t = (e y, xe y z, y) t (i) f x > 0 = f = 0 für alle (x, y, z) nach x auflösbar: x = yze y (ii) Auflösen nach z für y 0 möglich (f z 0): z = xe y /y Implizite Funktionen 4-7

27 (iii) Keine elementare Auflösbarkeit nach y: Implizite Funktionen 4-8

28 (iii) Keine elementare Auflösbarkeit nach y: Satz über implizite Funktionen = Auflösbarkeit in einer Umgebung von (x, y, z ), falls f y (x, y, z ) = x e y z 0 Implizite Funktionen 4-9

29 (iii) Keine elementare Auflösbarkeit nach y: Satz über implizite Funktionen = Auflösbarkeit in einer Umgebung von (x, y, z ), falls f y (x, y, z ) = x e y z 0 z.b. erfüllt für die Lösung (0, 0, 1) der Gleichung: f y (0, 0, 1) = 1 = ϕ : f (x, y, z) = 0 y = ϕ(x, z), (x, y, z) (0, 0, 1) Implizite Funktionen 4-10

30 (iii) Keine elementare Auflösbarkeit nach y: Satz über implizite Funktionen = Auflösbarkeit in einer Umgebung von (x, y, z ), falls f y (x, y, z ) = x e y z 0 z.b. erfüllt für die Lösung (0, 0, 1) der Gleichung: f y (0, 0, 1) = 1 = ϕ : f (x, y, z) = 0 y = ϕ(x, z), (x, y, z) (0, 0, 1) Die Funktion ϕ ist nicht explizit angebbar; aber der Gradient ϕ kann bestimmt werden: 0 = f (x, ϕ(x, z), z) = 0 = f x + f y ϕ x, 0 = f z + f y ϕ z Implizite Funktionen 4-11

31 (iii) Keine elementare Auflösbarkeit nach y: Satz über implizite Funktionen = Auflösbarkeit in einer Umgebung von (x, y, z ), falls f y (x, y, z ) = x e y z 0 z.b. erfüllt für die Lösung (0, 0, 1) der Gleichung: f y (0, 0, 1) = 1 = ϕ : f (x, y, z) = 0 y = ϕ(x, z), (x, y, z) (0, 0, 1) Die Funktion ϕ ist nicht explizit angebbar; aber der Gradient ϕ kann bestimmt werden: 0 = f (x, ϕ(x, z), z) = 0 = f x + f y ϕ x, 0 = f z + f y ϕ z Auflösen nach den partiellen Ableitungen von ϕ im Punkt (x, y, z ) ϕ x (0, 1) = f x(0, 0, 1) f y (0, 0, 1) = 1 1 = 1 ϕ z (0, 1) = f z(0, 0, 1) f y (0, 0, 1) = 0 1 = 0 Implizite Funktionen 4-12

32 Beispiel: algebraische Kurve, definiert durch ein bivariates Polynom p C : p(x, y) = 0 Implizite Funktionen 5-1

33 Beispiel: algebraische Kurve, definiert durch ein bivariates Polynom p C : p(x, y) = 0 grad p (0, 0) t = Darstellbarkeit als Funktion von x oder y Implizite Funktionen 5-2

34 Beispiel: algebraische Kurve, definiert durch ein bivariates Polynom p C : p(x, y) = 0 grad p (0, 0) t = Darstellbarkeit als Funktion von x oder y grad p = (0, 0) t = Möglichkeit einer Singularität 0.5 y 1 x Implizite Funktionen 5-3

35 Lemniskate C : p(x, y) = x 4 x 2 + y 2 = 0, grad p = ( 2x + 4x 3, 2y) t Implizite Funktionen 5-4

36 Lemniskate C : p(x, y) = x 4 x 2 + y 2 = 0, grad p = ( 2x + 4x 3, 2y) t Doppelpunkt bei (0, 0), keine eindeutige Auflösbarkeit nach x oder y Implizite Funktionen 5-5

37 Lemniskate C : p(x, y) = x 4 x 2 + y 2 = 0, grad p = ( 2x + 4x 3, 2y) t Doppelpunkt bei (0, 0), keine eindeutige Auflösbarkeit nach x oder y (i) Vertikale Tangente bei (±1, 0): Implizite Funktionen 5-6

38 Lemniskate C : p(x, y) = x 4 x 2 + y 2 = 0, grad p = ( 2x + 4x 3, 2y) t Doppelpunkt bei (0, 0), keine eindeutige Auflösbarkeit nach x oder y (i) Vertikale Tangente bei (±1, 0): grad p (1, 0) t, lokale Auflösung nach x (Parametrisierung bzgl. y) möglich x = σ y 2 mit σ = 1 für x 1 und σ = 1 für x 1 Implizite Funktionen 5-7

39 Lemniskate C : p(x, y) = x 4 x 2 + y 2 = 0, grad p = ( 2x + 4x 3, 2y) t Doppelpunkt bei (0, 0), keine eindeutige Auflösbarkeit nach x oder y (i) Vertikale Tangente bei (±1, 0): grad p (1, 0) t, lokale Auflösung nach x (Parametrisierung bzgl. y) möglich x = σ y 2 mit σ = 1 für x 1 und σ = 1 für x 1 (ii) Waagerechte Tangente bei (σ 1 2/2, σ2 /2) mit σ k { 1, 1}: Implizite Funktionen 5-8

40 Lemniskate C : p(x, y) = x 4 x 2 + y 2 = 0, grad p = ( 2x + 4x 3, 2y) t Doppelpunkt bei (0, 0), keine eindeutige Auflösbarkeit nach x oder y (i) Vertikale Tangente bei (±1, 0): grad p (1, 0) t, lokale Auflösung nach x (Parametrisierung bzgl. y) möglich x = σ y 2 mit σ = 1 für x 1 und σ = 1 für x 1 (ii) Waagerechte Tangente bei (σ 1 2/2, σ2 /2) mit σ k { 1, 1}: grad p (0, 1) t, d.h. y = ϕ(x) Implizite Funktionen 5-9

41 Lemniskate C : p(x, y) = x 4 x 2 + y 2 = 0, grad p = ( 2x + 4x 3, 2y) t Doppelpunkt bei (0, 0), keine eindeutige Auflösbarkeit nach x oder y (i) Vertikale Tangente bei (±1, 0): grad p (1, 0) t, lokale Auflösung nach x (Parametrisierung bzgl. y) möglich x = σ y 2 mit σ = 1 für x 1 und σ = 1 für x 1 (ii) Waagerechte Tangente bei (σ 1 2/2, σ2 /2) mit σ k { 1, 1}: grad p (0, 1) t, d.h. y = ϕ(x) Auflösen von p = 0 nach y y = σ 2 x 2 x 4 Implizite Funktionen 5-10

42 (iii) Punkte (x 0, y 0 ) mit weder vertikaler noch horizontaler Tangente: Implizite Funktionen 5-11

43 (iii) Punkte (x 0, y 0 ) mit weder vertikaler noch horizontaler Tangente: Auflösbarkeit sowohl nach x oder y Implizite Funktionen 5-12

44 (iii) Punkte (x 0, y 0 ) mit weder vertikaler noch horizontaler Tangente: Auflösbarkeit sowohl nach x oder y Bei Auflösung nach y folgt aus dass 0 = d dx p(x, y(x)) = p x + p y dy dx dy dx = p 1 y p x = 4x 3 2x 2y Implizite Funktionen 5-13

45 (iii) Punkte (x 0, y 0 ) mit weder vertikaler noch horizontaler Tangente: Auflösbarkeit sowohl nach x oder y Bei Auflösung nach y folgt aus dass 0 = d dx p(x, y(x)) = p x + p y dy dx dy dx = p 1 y p x = 4x 3 2x 2y Gleichung der Tangente im Punkt (x 0, y 0 ) y y 0 = 4x 3 0 2x 0 2y 0 (x x 0 ) Implizite Funktionen 5-14

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Aufgabe 35: Thema: Singulärwertzerlegung und assoziierte Unterräume Sei A eine m n Matrix mit Rang r und A = UDV T ihre Singulärwertzerlegung.

Mehr

Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen

Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen Als bekannt setzen wir die folgenden Umformungen voraus: e ln(f(x)) = f(x) e f(x)+c = e f(x) e c e ln(f(x)) +c = f(x) e c = f(x) c f ( g(x) ) g (x)

Mehr

Modulabschlussklausur Analysis II

Modulabschlussklausur Analysis II Modulabschlussklausur Analysis II. Juli 015 Bearbeitungszeit: 150 min Aufgabe 1 [5/10 Punkte] Es sei a R und f a : R 3 R mit f a (x, y, z) = x cos(y) + z 3 sin(y) + a 3 + (z + ay a y) cos(x) a) Bestimmen

Mehr

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN GRUNDBEGRIFFE Differentialgleichung Eine Gleichung, in der Ableitungen einer unbekannten Funktion y = y(x) bis zur n-ten Ordnung auftreten, heisst gewöhnliche Differentialgleichung

Mehr

Mathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011

Mathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011 Mathematik für Informatiker II Christoph Eisinger Sommersemester 211 Beispiellösungen zur Probeklausur Aufgabe 1 Gegeben sind die Polynome f, g, h K[x]. Zu zeigen: Es gibt genau dann Polynome h 1 und h

Mehr

Höhere Mathematik 3. Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr. Wintersemester 2015/16. FB Mathematik

Höhere Mathematik 3. Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr. Wintersemester 2015/16. FB Mathematik Höhere Mathematik 3 Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr FB Mathematik Wintersemester 2015/16 4. Homogene lineare Dierentialgleichungen 4.1. Grundbegrie 4.1.1. Denition. Es sei J R ein Intervall und a 0 ; : :

Mehr

a n := ( 1) n 3n2 + 5 2n 2. a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 10n + 1. a n := 1 3 + 1 2n 5n 2 n 2 + 7n + 8 b n := ( 1) n

a n := ( 1) n 3n2 + 5 2n 2. a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 10n + 1. a n := 1 3 + 1 2n 5n 2 n 2 + 7n + 8 b n := ( 1) n Folgen und Reihen. Beweisen Sie die Beschränktheit der Folge (a n ) n N mit 2. Berechnen Sie den Grenzwert der Folge (a n ) n N mit a n := ( ) n 3n2 + 5 2n 2. a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 n +. 4 3. Untersuchen

Mehr

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Wintersemester 3/4 (.3.4). (a) Für z = + i und z = 3 4i berechne man z z und z z. Die Ergebnisse sind in kartesischer Form anzugeben.

Mehr

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2013/14 Hochschule Augsburg : Gliederung 1 Aussagenlogik 2 Lineare Algebra 3 Lineare Programme 4 Folgen

Mehr

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 9.. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 Die Grundfrage bei der Anwendung des Satzes über implizite Funktionen betrifft immer die folgende Situation: Wir haben eine Funktion f : V W und eine Stelle x

Mehr

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg : Gliederung 7 Folgen und Reihen 8 Finanzmathematik 9 Reelle Funktionen 10 Differenzieren 1 11 Differenzieren 2 12 Integration

Mehr

Extrema von Funktionen in zwei Variablen

Extrema von Funktionen in zwei Variablen Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Extrema von Funktionen in zwei Variablen Literatur: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen,

Mehr

Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15

Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Linearkombinationen, Basen, Lineare Abbildungen 2.1 Lineare Unabhängigkeit Sind die folgenden Vektoren linear unabhängig? (a) 1, 2, 3 im Q Vektorraum R (b)

Mehr

Serie 13: Online Test

Serie 13: Online Test D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 3 Dr. Ana Cannas Serie 3: Online Test Einsendeschluss: 3. Januar 4 Bei allen Aufgaben ist genau eine Antwort richtig. Lösens des Tests eine Formelsammlung verwenden.

Mehr

2 3 x3 17. x k dx = x k x k+1 k +1. Mit jeder weiteren partiellen Integration reduziert sich der Grad des Faktors x n, induktiv erhalten wir also

2 3 x3 17. x k dx = x k x k+1 k +1. Mit jeder weiteren partiellen Integration reduziert sich der Grad des Faktors x n, induktiv erhalten wir also Universität Konstanz Fachbereich Mathematik und Statistik Repetitorium Analysis 0 Dr DK Huynh Blatt 8 Aufgabe 6 Bestimmen Sie (a) (x + x 7x+)dx (c) (f) x n exp(x)dx (n N fest) sin (x)dx (g) (b) (d) ln(x)dx

Mehr

13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen.

13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen. 13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen. Sie heißt linear, wenn sie die Form y (n) + a n 1 y (n 1)

Mehr

Lösungen zum 3. Aufgabenblatt

Lösungen zum 3. Aufgabenblatt SS, Lineare Algebra Die Lösungen wurden erstellt von: Isabel Voigt, Vanessa Lamm und Matthias Rehder Hinweis: Eine Liste der zur Bearbeitung verwendeten Literatur ist unter www.mathematiwelt.com aufrufbar.

Mehr

Charakteristikenmethode im Beispiel

Charakteristikenmethode im Beispiel Charakteristikenmethode im Wir betrachten die PDE in drei Variablen xu x + yu y + (x + y )u z = 0. Das charakteristische System lautet dann ẋ = x ẏ = y ż = x + y und besitzt die allgemeine Lösung x(t)

Mehr

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Gewöhnliche Differentialgleichungen XIV Gewöhnliche Differentialgleichungen Definition 4. : Sei n IN, F : D(F IR n+2 IR. Gewöhnliche DGL n ter Ordnung a F (x, y, y,..., y (n = heißt gewöhnliche Differentialgleichung (DGL n ter Ordnung. Läßt

Mehr

Skalare Differentialgleichungen

Skalare Differentialgleichungen Kapitel 2 Skalare Differentialgleichungen 2.1 Skalare lineare Differentialgleichungen 2.2 Bernoulli und Riccati Differentialgleichungen 2.3 Differentialgleichungen mit getrennten Variablen 2.4 Exakte Differentialgleichungen

Mehr

Höhere Mathematik III für Wirtschaftsinformatiker

Höhere Mathematik III für Wirtschaftsinformatiker TU Ilmenau Institut für Mathematik Prof. Dr. S. Vogel Höhere Mathematik III für Wirtschaftsinformatiker Funktionen von mehreren Variablen. Grenzwerte und Stetigkeit Betrachtet werden Funktionen f : D f

Mehr

Für die Parameter t und ϕ sind das im angegebenen Bereich Funktionen, d.h. zu jedem Parameterwert gehört genau ein Punkt.

Für die Parameter t und ϕ sind das im angegebenen Bereich Funktionen, d.h. zu jedem Parameterwert gehört genau ein Punkt. PARAMETERFUNKTIONEN Zwei Beispiele: gsave currentpoint translate 21 4 div setlin 1 1 x = 2t 2 1 y = t < t

Mehr

Funktionen (linear, quadratisch)

Funktionen (linear, quadratisch) Funktionen (linear, quadratisch) 1. Definitionsbereich Bestimme den Definitionsbereich der Funktion f(x) = 16 x 2 2x + 4 2. Umkehrfunktionen Wie lauten die Umkehrfunktionen der folgenden Funktionen? (a)

Mehr

Lineare Algebra - alles was man wissen muß

Lineare Algebra - alles was man wissen muß Statistik für Bioinformatiker SoSe 3 Rainer Spang Lineare Algebra - alles was man wissen muß Der Titel ist natürlich gelogen, aber was wir hier zusammengetragen haben ist zumindest ein Anfang. Weniger

Mehr

Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen

Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Prof. Dr. Volker Schulz Universität Trier / FB IV / Abt. Mathematik 8. November 2010 http://www.mathematik.uni-trier.de/ schulz/elan-ws1011.html

Mehr

Umgekehrte Kurvendiskussion

Umgekehrte Kurvendiskussion Umgekehrte Kurvendiskussion Bei einer Kurvendiskussion haben wir eine Funktionsgleichung vorgegeben und versuchen ihre 'Besonderheiten' herauszufinden: Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte, Polstellen

Mehr

3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung

3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung 3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung Definition und Lemma 3.3.1. Sei V ein K-Vektorraum, φ End K (V ), λ K. Wir defnieren den zu λ gehörigen Eigenraum von φ als Dies ist ein Unterraum von V.

Mehr

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1 Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.

Mehr

Optimalitätskriterien

Optimalitätskriterien Kapitel 4 Optimalitätskriterien Als Optimalitätskriterien bezeichnet man notwendige oder hinreichende Bedingungen dafür, dass ein x 0 Ω R n Lösung eines Optimierungsproblems ist. Diese Kriterien besitzen

Mehr

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema 2x 4 + x 3 + x + 3 div x 2 + x 1 = 2x 2 x + 3 (2x 4 + 2x 3 2x 2 ) x 3 + 2x 2 + x + 3 ( x

Mehr

Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen

Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Das Eigenwertproblem Sei A eine quadratische Matrix vom Typ m,m. Die Aufgabe, eine Zahl λ und einen dazugehörigen Vektor x zu finden, damit Ax = λx ist, nennt

Mehr

Einführung in die Tensorrechnung

Einführung in die Tensorrechnung 1. Definition eines Tensors Tensoren sind Grössen, mit deren Hilfe man Skalare, Vektoren und weitere Grössen analoger Struktur in ein einheitliches Schema zur Beschreibung mathematischer und physikalischer

Mehr

Z = 60! 29!31! 1,1 1017.

Z = 60! 29!31! 1,1 1017. Aufgabe : Eine Hochzeitsgesellschaft besteht aus 60 Personen. a Wieviele verschiedene Möglichkeiten für Sitzordnungen gibt es? b Nehmen Sie nun an, dass 9 Gäste aus dem Familien- und Freundeskreis der

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Sei K ein Körper, a ij K für 1 i m, 1 j n. Weiters seien b 1,..., b m K. Dann heißt a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2... a m1

Mehr

Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung

Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung Klaus-R. Löffler Inhaltsverzeichnis 1 Einfach zu behandelnde Sonderfälle 1 2 Die ganzrationale Funktion dritten Grades 2 2.1 Reduktion...........................................

Mehr

Elemente der Analysis II

Elemente der Analysis II Elemente der Analysis II Kapitel 3: Lineare Abbildungen und Gleichungssysteme Informationen zur Vorlesung: http://www.mathematik.uni-trier.de/ wengenroth/ J. Wengenroth () 15. Mai 2009 1 / 35 3.1 Beispiel

Mehr

Grundlagen der Mathematik II

Grundlagen der Mathematik II Wintersemester 204/205 - Aufgabenblatt I Abgabe: bis Donnerstag, den 6. November 204, 9:00 Uhr Aufgabe : Untersuchen Sie, für welche 2 C die folgende Matrix c diagonalisierbar ist, und bestimmen Sie für

Mehr

Klausuraufgabensammlung Mathematik. Klausuraufgaben zur Mathematik 1-3 von Wolfgang Langguth

Klausuraufgabensammlung Mathematik. Klausuraufgaben zur Mathematik 1-3 von Wolfgang Langguth Fakultät für Ingenieurswissenschaften Bachelorstudiengang Biomedizinische Technik Prof. Dr. W. Langguth Klausuraufgabensammlung Mathematik Klausuraufgaben zur Mathematik - von Wolfgang Langguth Aufgabenstellungen

Mehr

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Übungsaufgaben

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Übungsaufgaben Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Übungsaufgaben an der Fachhochschule Heilbronn im Wintersemester 2002/2003 Dr. Matthias Fischer Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg Lehrstuhl für

Mehr

Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Matrizen

Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Matrizen Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung Matrizen Definition einer Matrix Unter einer (reellen) m x n Matrix A versteht man ein rechteckiges Schema aus reellen Zahlen, die wie folgt angeordnet sind:

Mehr

Mathematik für Physiker III/Analysis III

Mathematik für Physiker III/Analysis III Mathematik für Physiker III/Analysis III Ausarbeitung einer Vorlesung vom Wintersemester 26/7 Joachim Weidmann Fachbereich Informatik und Mathematik der Universität Frankfurt Stand 9. Februar 27 2 Teil

Mehr

Bitte unbedingt beachten: a) Gewertet werden alle acht gestellten Aufgaben.

Bitte unbedingt beachten: a) Gewertet werden alle acht gestellten Aufgaben. Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur für alle gemeldeten Fachrichtungen außer Immobilientechnik und Immobilienwirtschaft am 9..9, 9... Bitte unbedingt beachten: a) Gewertet werden alle acht

Mehr

7 Die Determinante einer Matrix

7 Die Determinante einer Matrix 7 Die Determinante einer Matrix ( ) a11 a Die Determinante einer 2 2 Matrix A = 12 ist erklärt als a 21 a 22 det A := a 11 a 22 a 12 a 21 Es ist S 2 = { id, τ}, τ = (1, 2) und sign (id) = 1, sign (τ) =

Mehr

7 Lineare Abbildungen und Lineare Gleichungssysteme

7 Lineare Abbildungen und Lineare Gleichungssysteme 7 LINEARE ABBILDUNGEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 5 7 Lineare Abbildungen und Lineare Gleichungssysteme 7 Lineare Abbildungen 7 Abbildungen: Eine Verallgemeinerungen des Funktionsbegriffs Bemerkung:

Mehr

A Matrix-Algebra. A.1 Definition und elementare Operationen

A Matrix-Algebra. A.1 Definition und elementare Operationen A Matrix-Algebra In diesem Anhang geben wir eine kompakte Einführung in die Matrizenrechnung bzw Matrix-Algebra Eine leicht lesbare Einführung mit sehr vielen Beispielen bietet die Einführung in die Moderne

Mehr

Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen

Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen Thomas Coutandin (cthomas@student.ethz.ch) 7. November 2 Abbildungsmatrizen Im Folgenden betrachten wir stets endlich dimensionale K-Vektorräume (K irgend

Mehr

Beispiel 11.2. Wenn p ein Polynom vom Grad größer gleich 1 ist, ist q : C Ĉ definiert durch q (z) =

Beispiel 11.2. Wenn p ein Polynom vom Grad größer gleich 1 ist, ist q : C Ĉ definiert durch q (z) = Funktionentheorie, Woche Funktionen und Polstellen. Meromorphe Funktionen Definition.. Sei U C offen und sei f : U gilt, nennt man f meromorph auf U: Ĉ eine Funktion. Wenn folgendes. P := f hat keine Häufungspunkte;.

Mehr

Klausuraufgabensammlung Mathematik. Klausuraufgaben zur Mathematik 1-3 von Wolfgang Langguth

Klausuraufgabensammlung Mathematik. Klausuraufgaben zur Mathematik 1-3 von Wolfgang Langguth Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes University of Applied Sciences Fakultät für Ingenieurswissenschaften Bachelorstudiengang Biomedizinische Technik Prof. Dr. W. Langguth Klausuraufgabensammlung

Mehr

Formelsammlung Wirtschaftsmathematik

Formelsammlung Wirtschaftsmathematik Formelsammlung Wirtschaftsmathematik Strobel Stefan 29. Januar 2006 Inhaltsverzeichnis I. Mathematik 2 1. Umrechnung von Dezimalzahlen in Brüche 2 2. Differentiationsregeln 2 2.1. Summenregel..................................

Mehr

Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen?

Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen? Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen können zwei Ebenen (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen? Wie heiÿt

Mehr

Lösungen und Lösungshinweise zum Grundkurs Analysis 2

Lösungen und Lösungshinweise zum Grundkurs Analysis 2 Lösungen und Lösungshinweise zum Grundkurs Analysis 2 Vorbemerkung: Bei einem Buchprojekt dauert meist alles etwas länger als geplant. So ging es mir mit dem Erscheinungdatum des zweiten Bandes, der sich

Mehr

3.1. Die komplexen Zahlen

3.1. Die komplexen Zahlen 3.1. Die komplexen Zahlen Es gibt viele Wege, um komplexe Zahlen einzuführen. Wir gehen hier den wohl einfachsten, indem wir C R als komplexe Zahlenebene und die Punkte dieser Ebene als komplexe Zahlen

Mehr

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s Nachtrag zur allgemeinen Vektorraum-Theorie. 1.5.15. Direkte Summen. Sei V ein Vektorraum, seien U 1,..., U t Unterräume, wir schreiben V = U 1 U 2 U t = t i=1 U i falls die folgenden beiden Bedingungen

Mehr

Brückenkurs Mathematik Mathe: Das 1x1 der Ingenieurwissenschaften

Brückenkurs Mathematik Mathe: Das 1x1 der Ingenieurwissenschaften Brückenkurs Mathematik Mathe: Das x der Ingenieurwissenschaften Gewöhnliche Differentialgleichungen, lineare Algebra oder Integralrechnung vertiefte Kenntnisse der Mathematik sind Voraussetzung für den

Mehr

11 Normalformen von Matrizen

11 Normalformen von Matrizen 11 Normalformen von Matrizen Wir wenden uns in diesem Kapitel noch einmal der Untersuchung linearer Abbildungen auf endlichdimensionalen Vektorräumen und deren Darstellung mittels Matrizen zu Speziell

Mehr

Vorlesung 12 22. bzw. 23. Januar 2014. Determinanten 1. Cramersche Regel

Vorlesung 12 22. bzw. 23. Januar 2014. Determinanten 1. Cramersche Regel Vorlesung 2 22 bzw 23 Januar 204 Lineares Gleichungssystem a a 2 b b 2 = F a a 2 a 3 b b 2 b 3 c c 2 c 3 = V V =< a, b c > c b a b a F V Seite 70 a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 b = 0 < a x + a 2 x 2 + a 3 x 3

Mehr

Stochastische Eingangsprüfung, 17.05.2008

Stochastische Eingangsprüfung, 17.05.2008 Stochastische Eingangsprüfung, 17.5.8 Wir gehen stets von einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) aus. Aufgabe 1 ( Punkte) Sei X : Ω [, ) eine integrierbare Zufallsvariable mit XdP = 1. Sei Q : A R, Q(A)

Mehr

www.mathe-aufgaben.com

www.mathe-aufgaben.com Abiturprüfung Mathematik Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit sin() f() =. Aufgabe : ( VP) Berechnen Sie das Integral ( )

Mehr

Musterlösungen zu Prüfungsaufgaben über gewöhnliche Differentialgleichungen Prüfungsaufgabe a) Gegeben sei die lineare Differentialgleichung

Musterlösungen zu Prüfungsaufgaben über gewöhnliche Differentialgleichungen Prüfungsaufgabe a) Gegeben sei die lineare Differentialgleichung Musterlösungen zu n über gewöhnliche Differentialgleichungen a) Gegeben sei die lineare Differentialgleichung y + - y = e - ln, > 0 Man gebe die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung an Wie lautet

Mehr

Die Laufzeit muss nun ebenfalls in Monaten gerechnet werden und beträgt 25 12 = 300 Monate. Damit liefert die Sparkassenformel (zweiter Teil):

Die Laufzeit muss nun ebenfalls in Monaten gerechnet werden und beträgt 25 12 = 300 Monate. Damit liefert die Sparkassenformel (zweiter Teil): Lösungen zur Mathematikklausur WS 2004/2005 (Versuch 1) 1.1. Hier ist die Rentenformel für gemischte Verzinsung (nachschüssig) zu verwenden: K n = r(12 + 5, 5i p ) qn 1 q 1 = 100(12 + 5, 5 0, 03)1, 0325

Mehr

Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme

Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme Übung Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme Diese Übung beschäftigt sich mit Grundbegriffen der linearen Algebra. Im Speziellen werden lineare Abbildungen, sowie

Mehr

Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5

Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5 Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5 Aufgabe. Man betrachte die Matrix A := über dem Körper R und über dem Körper F und bestimme jeweils die Jordan- Normalform. Beweis. Das charakteristische

Mehr

Schleswig-Holsteinische Ergänzung der Musteraufgaben für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015

Schleswig-Holsteinische Ergänzung der Musteraufgaben für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015 ische Ergänzung der für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015 Ministerium für ildung und Wissenschaft des Landes Juni 2013 1 für Aufgabenpool 1 Analysis

Mehr

Ergänzungen zur Analysis I

Ergänzungen zur Analysis I 537. Ergänzungsstunde Logik, Mengen Ergänzungen zur Analysis I Die Behauptungen in Satz 0.2 über die Verknüpfung von Mengen werden auf die entsprechenden Regelnfür die Verknüpfung von Aussagen zurückgeführt.

Mehr

Maple-Skripte. A.1 Einleitung. A.2 Explizite Zweischritt-Runge-Kutta-Verfahren. Bei der Ausführung

Maple-Skripte. A.1 Einleitung. A.2 Explizite Zweischritt-Runge-Kutta-Verfahren. Bei der Ausführung A Maple-Skripte A.1 Einleitung Bei der Ausführung mechanischer Rechnungen können Computeralgebra-Programme sehr nützlich werden. Wenn man genau weiß, was eingesetzt, umgeformt, zusammengefaßt oder entwickelt

Mehr

2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen

2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen 2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen V und V seien Vektorräume über einem Körper K. Hom K (V, V ) bezeichnet die Menge der K linearen Abbildungen von V nach V. Wir machen Hom K (V, V )

Mehr

Übungsaufgaben LAAG I. für Lehramtsstudenten GS, MS, BS

Übungsaufgaben LAAG I. für Lehramtsstudenten GS, MS, BS Doz.Dr. Norbert Koksch TU DRESDEN Fachrichtung Mathematik, Institut für Analysis Übungsaufgaben LAAG I für Lehramtsstudenten GS, MS, BS Logik: Übungsaufgabe 1. Begründen Sie, ob es sich um eine Aussage

Mehr

Matrizennorm. Definition 1. Sei A M r,s (R). Dann heißt A := sup die Matrixnorm. Wir wissen zunächst nicht, ob A eine reelle Zahl ist.

Matrizennorm. Definition 1. Sei A M r,s (R). Dann heißt A := sup die Matrixnorm. Wir wissen zunächst nicht, ob A eine reelle Zahl ist. Matrizennorm Es seien r,s N Mit M r,s (R bezeichnen wir die Menge der reellen r s- Matrizen (also der linearen Abbildungen R s R r, und setze M s (R := M s,s (R (also die Menge der linearen Abbildungen

Mehr

( ) als den Punkt mit der gleichen x-koordinate wie A und der

( ) als den Punkt mit der gleichen x-koordinate wie A und der ETH-Aufnahmeprüfung Herbst 05 Mathematik I (Analysis) Aufgabe [6 Punkte] Bestimmen Sie den Schnittwinkel α zwischen den Graphen der Funktionen f(x) x 4x + x + 5 und g(x) x x + 5 im Schnittpunkt mit der

Mehr

11.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen

11.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen .3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen Definition.) komplexe Folgen: z n = x n + j. y n mit zwei reellen Folgen x n und y n.) Konvergenz: Eine komplexe Folge z n = x n + j. y n heißt

Mehr

Gleichungen - Aufgabenstellung und Lösungsstrategien

Gleichungen - Aufgabenstellung und Lösungsstrategien Gleichungen - Aufgabenstellung und Lösungsstrategien Franz Pauer Institut für Mathematik, Universität Innsbruck, Technikerstr. 25, A-6020 Innsbruck, Österreich. Franz.Pauer@uibk.ac.at 18. Juli 2006 1 Einleitung

Mehr

Lernzettel Mathe Inhaltsverzeichnis

Lernzettel Mathe Inhaltsverzeichnis Lernzettel Mathe Inhaltsverzeichnis Aufgabe 1 - Vollständige Induktion 2 Aufgabe 2 - Grenzwertbestimmung 2 Aufgabe 3 - Lin/Log 2 Aufgabe 4 - Barwert/Endwert 3 Aufgabe 5 - Maximalstellen, steigend/fallend

Mehr

(2) (x 2 1 + x 2 2 + + x 2 n)(y 2 1 + y 2 2 + + y 2 n) = z 2 1 + z 2 2 + + z 2 n

(2) (x 2 1 + x 2 2 + + x 2 n)(y 2 1 + y 2 2 + + y 2 n) = z 2 1 + z 2 2 + + z 2 n Über die Komposition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variablen 1. (Nachrichten von der k. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-physikalische Klasse, 1898, S. 309 316.)

Mehr

Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme

Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Wir befassen uns nun mit der Lösung im allgemeinen nichthomogener linearer Gleichungssysteme in zweifacher Hinsicht. Wir studieren

Mehr

1. Methode der Finiten Elemente

1. Methode der Finiten Elemente 1. Methode der Finiten Elemente 1.1 Innenraumprobleme 1.2 Außenraumprobleme 1.3 Analysen 1.4 Bewertung Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-1 1.1 Innenraumprobleme 1.1.1 Schwache Formulierung

Mehr

6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen

6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag. $Id: quadrat.tex,v.5 9//5 ::59 hk Exp $ $Id: orthogonal.tex,v.4 9// ::54 hk Exp $ $Id: fourier.tex,v. 9// :: hk Exp $ Symmetrische Matrizen und quadratische

Mehr

Klassenarbeit zu linearen Gleichungssystemen

Klassenarbeit zu linearen Gleichungssystemen Klassenarbeit zu linearen Gleichungssystemen Aufgabe : Bestimme die Lösungsmenge der Gleichungssysteme mit Hilfe des Additionsverfahrens: x + 4y = 8 5x y = x y = x y = Aufgabe : Bestimme die Lösungsmenge

Mehr

Wolfgang Kohn Riza Öztürk. Mathematik für Ökonomen. Ökonomische Anwendungen der linearen. Algebra und Analysis mit Scilab

Wolfgang Kohn Riza Öztürk. Mathematik für Ökonomen. Ökonomische Anwendungen der linearen. Algebra und Analysis mit Scilab Wolfgang Kohn Riza Öztürk Mathematik für Ökonomen Ökonomische Anwendungen der linearen Algebra und Analysis mit Scilab 3., erweiterte und überarbeitete Auflage ^ Springer Gabler Inhaltsverzeichnis Teil

Mehr

Aufgabe 1 (Excel) Anwendungssoftware 1 / 11 Semesterschlussprüfung 21.06.2004

Aufgabe 1 (Excel) Anwendungssoftware 1 / 11 Semesterschlussprüfung 21.06.2004 Anwendungssoftware 1 / 11 Dauer der Prüfung: 90 Minuten. Es sind alle fünf Aufgaben mit allen Teilaufgaben zu lösen. Versuchen Sie, Ihre Lösungen soweit wie möglich direkt auf diese Aufgabenblätter zu

Mehr

Vorkurs Mathematik Übungen zu Polynomgleichungen

Vorkurs Mathematik Übungen zu Polynomgleichungen Vorkurs Mathematik Übungen zu en 1 Aufgaben Lineare Gleichungen Aufgabe 1.1 Ein Freund von Ihnen möchte einen neuen Mobilfunkvertrag abschließen. Es gibt zwei verschiedene Angebote: Anbieter 1: monatl.

Mehr

MATHEMATIK. Fachabiturprüfung 2009 zum Erwerb der Fachhochschulreife an. Fachoberschulen und Berufsoberschulen. Ausbildungsrichtung Technik

MATHEMATIK. Fachabiturprüfung 2009 zum Erwerb der Fachhochschulreife an. Fachoberschulen und Berufsoberschulen. Ausbildungsrichtung Technik Fachabiturprüfung 2009 zum Erwerb der Fachhochschulreife an Fachoberschulen und Berufsoberschulen MATHEMATIK Ausbildungsrichtung Technik Freitag, 29. Mai 2009, 9.00-12.00 Uhr Die Schülerinnen und Schüler

Mehr

Hauptprüfung Abiturprüfung 2014 (ohne CAS) Baden-Württemberg

Hauptprüfung Abiturprüfung 2014 (ohne CAS) Baden-Württemberg Baden-Württemberg: Abitur 04 Pflichtteil www.mathe-aufgaben.com Hauptprüfung Abiturprüfung 04 (ohne CAS) Baden-Württemberg Pflichtteil Hilfsmittel: keine allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com

Mehr

2.1 Codes: einige Grundbegriffe

2.1 Codes: einige Grundbegriffe Gitter und Codes c Rudolf Scharlau 2. Mai 2009 51 2.1 Codes: einige Grundbegriffe Wir stellen die wichtigsten Grundbegriffe für Codes über dem Alphabet F q, also über einem endlichen Körper mit q Elementen

Mehr

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Gewöhnliche Differentialgleichungen Notizen zur Vorlesung Gewöhnliche Differentialgleichungen G Sweers Wintersemester 08/09 ii Inhaltsverzeichnis Einführung Modelle 2 Explizite Lösungen 4 2 Trennbar 5 22 Linear erster Ordnung 6 23 Homogen

Mehr

u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. 0 V + v = v + 0 V = v v + u = u + v = 0 V. t (u + v) = t u + t v, (t + s) u = t u + s u.

u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. 0 V + v = v + 0 V = v v + u = u + v = 0 V. t (u + v) = t u + t v, (t + s) u = t u + s u. Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik Prof. Dr. C. Hesse PD Dr. P. H. Lesky Dipl. Math. D. Zimmermann Msc. J. Köllner FAQ 3 Höhere Mathematik I 4..03 el, kyb, mecha, phys Vektorräume Vektorräume

Mehr

Statische Optimierung unter Gleichungsrestriktionen (Lagrange)

Statische Optimierung unter Gleichungsrestriktionen (Lagrange) Kapitel 2 Statische Optimierung unter Gleichungsrestriktionen (Lagrange) 21 Einleitung/Ziel/Bedeutung/Übersicht Viele ökonomischen Fragestellungen bestehen im Kern zwar aus einem statischen Optimierungsproblem,

Mehr

UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2009

UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2009 UNIVERSIÄ KARLSRUHE Institut für Anlysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmnn Dipl.-Mth. M. Uhl Sommersemester 9 Höhere Mthemti II für die Fchrichtungen Eletroingenieurwesen, Physi und Geodäsie inlusive Komplexe Anlysis

Mehr

Darstellungsformen einer Funktion

Darstellungsformen einer Funktion http://www.flickr.com/photos/sigfrid/348144517/ Darstellungsformen einer Funktion 9 Analytische Darstellung: Eplizite Darstellung Funktionen werden nach Möglichkeit eplizit dargestellt, das heißt, die

Mehr

6.2 Scan-Konvertierung (Scan Conversion)

6.2 Scan-Konvertierung (Scan Conversion) 6.2 Scan-Konvertierung (Scan Conversion) Scan-Konvertierung ist die Rasterung von einfachen Objekten (Geraden, Kreisen, Kurven). Als Ausgabemedium dient meist der Bildschirm, der aus einem Pixelraster

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Eines der am häufigsten auftretenden Standardprobleme der angewandten Mathematik ist das Lösen linearer Gleichungssysteme, etwa zur Netzwerkberechnung in der Elektrotechnik oder

Mehr

Kapitel 15: Differentialgleichungen

Kapitel 15: Differentialgleichungen FernUNI Hagen WS 00/03 Kapitel 15: Differentialgleichungen Differentialgleichungen = Gleichungen die Beziehungen zwischen einer Funktion und mindestens einer ihrer Ableitungen herstellen. Kommen bei vielen

Mehr

Ingenieurmathematik für Maschinenbau, Blatt 1

Ingenieurmathematik für Maschinenbau, Blatt 1 Ingenieurmathematik für Maschinenbau, Blatt 1 Probeklausur Ingenieurmathematik für Maschinenbau Studiengang Prüfungsfach Prüfer Prüfungstermin Prüfungsdauer Prüfungsunterlagen Hilfsmittel Maschinenbau

Mehr

Tangentengleichung. Wie lautet die Geradengleichung für die Tangente, y T =? Antwort:

Tangentengleichung. Wie lautet die Geradengleichung für die Tangente, y T =? Antwort: Tangentengleichung Wie Sie wissen, gibt die erste Ableitung einer Funktion deren Steigung an. Betrachtet man eine fest vorgegebene Stelle, gibt f ( ) also die Steigung der Kurve und somit auch die Steigung

Mehr

6 Allgemeine Theorie des elektromagnetischen Feldes im Vakuum

6 Allgemeine Theorie des elektromagnetischen Feldes im Vakuum 6 ALLGEMEINE THEORIE DES ELEKTROMAGNETISCHEN FELDES IM VAKUUM 25 Vorlesung 060503 6 Allgemeine Theorie des elektromagnetischen Feldes im Vakuum 6.1 Grundaufgabe der Elektrodynamik Gegeben: Ladungsdichte

Mehr

Schleswig-Holsteinische Ergänzung der Musteraufgaben für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015

Schleswig-Holsteinische Ergänzung der Musteraufgaben für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015 ische Ergänzung der für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015 Ministerium für ildung und Wissenschaft des Landes Juni 2013 1 Inhaltsverzeichnis Vorbemerkungen

Mehr

q = 1 p = 0.8 0.2 k 0.8 10 k k = 0, 1,..., 10 1 1 0.8 2 + 10 0.2 0.8 + 10 9 1 2 0.22 1 = 0.8 8 [0.64 + 1.6 + 1.8] = 0.678

q = 1 p = 0.8 0.2 k 0.8 10 k k = 0, 1,..., 10 1 1 0.8 2 + 10 0.2 0.8 + 10 9 1 2 0.22 1 = 0.8 8 [0.64 + 1.6 + 1.8] = 0.678 Lösungsvorschläge zu Blatt 8 X binomialverteilt mit p = 0. und n = 10: a PX = = 10 q = 1 p = 0.8 0. 0.8 10 = 0, 1,..., 10 PX = PX = 0 + PX = 1 + PX = 10 10 = 0. 0 0.8 10 + 0. 1 0.8 9 + 0 1 10 = 0.8 8 [

Mehr

Mathematik für ChemikerInnen I

Mathematik für ChemikerInnen I Mathematik für ChemikerInnen I Prof. Dr. Ansgar Jüngel Institut für Mathematik Johannes Gutenberg-Universität Mainz Winter 26 unkorrigiertes Vorlesungsskript Inhaltsverzeichnis Motivation 3 2 Grundbegriffe

Mehr

12. Bivariate Datenanalyse. In den Kapiteln 4-11 wurden univariate Daten betrachtet:

12. Bivariate Datenanalyse. In den Kapiteln 4-11 wurden univariate Daten betrachtet: 12. Bivariate Datenanalyse Während einer nur Zahlen im Kopf hat, kann er nicht auf den Kausalzusammenhang kommen Anonymus In den Kapiteln 4-11 wurden univariate Daten betrachtet: Von univariaten Daten

Mehr

Grundzüge der VWL A. Mathematik

Grundzüge der VWL A. Mathematik Grundzüge der VWL A. Mathematik Max Albert, Henrik Egbert, Vanessa Mertins & Birgit E. Will WS 05/06 1 Mathematische Voraussetzungen Vorlesung und Übung setzen den Stoff der Veranstaltung Mathematik A

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der

Mehr