Inverse und implizite Funktionen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Inverse und implizite Funktionen"

Transkript

1 Kapitel 8 Inverse und implizite Funktionen Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 8 Inverse und implizite Funktionen 1 / 21 Inverse Funktion Sei f : D f R n W f R m, x y f(x). Eine Funktion f 1 : W f D f, y x f 1 (y) heißt inverse Funktion zu f, falls f 1 f f f 1 id id ist die Einheitsfunktion oder identische Funktion: id(x) x f 1 (f(x)) f 1 (y) x und f(f 1 (y)) f(x) y f 1 existiert genau dann, wenn f bijektiv ist. Wir erhalten f 1 (y) als eindeutige Lösung x der Gleichung y f(x). Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 8 Inverse und implizite Funktionen 2 / 21 Lineare Funktion Sei f : R R, x y f (x) a x + b. y a x + b a x y b x 1 a y b a Also: f 1 (y) a 1 y a 1 b Vorausgesetzt: a 0 [ a f (x) ] Beachte: ( f 1 ) (y) a 1 1 a 1 f (x) Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 8 Inverse und implizite Funktionen 3 / 21

2 Lineare Funktion Sei f : R n R m, x y f(x) A x + b mit m n-matrix A. y A x + b x A 1 y A 1 b Also: f 1 (y) A 1 y A 1 b Vorausgesetzt: A ist invertierbar. [ A Df(x) ] (Insbesondere: n m) Beachte: D(f 1 )(y) A 1 (Df(x)) 1 Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 8 Inverse und implizite Funktionen 4 / 21 Lokal invertierbare Funktion Die Funktion ist nicht bijektiv: f : R [0, ), x f (x) x 2 lokal invertierbar f 1 existiert daher nicht global. Für manche x 0 gibt es ein offenes Intervall (x 0 ε, x 0 + ε) über dem y f (x) eindeutig nach x auflösbar ist. Wir sagen: f ist um x 0 lokal invertierbar. Für manche x 0 gibt kein derartiges (noch so kleines) Intervall. y nicht lokal invertierbar x ε x x + ε Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 8 Inverse und implizite Funktionen 5 / 21 Existenz und Ableitung 1. Für welche x 0 ist f lokal invertierbar? 2. Wie lautet die Ableitung von f 1 an der Stelle y 0 f(x 0 ). lokal invertierbar Idee: Ersetze f durch das Differential: f(x 0 + h) f(x 0 ) + Df(x 0 ) h x 0 Daher: 1. Df(x 0 ) muss invertierbar sein. 2. D(f 1 )(y 0 ) (Df(x 0 )) 1 nicht lokal invertierbar Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 8 Inverse und implizite Funktionen 6 / 21

3 Satz über inverse Funktionen Sei f : D f R R eine Funktion und x 0 ein Punkt mit f (x 0 ) 0. Dann existiert ein Intervall U um x 0, sodass f U bijektiv in ein Intervall V um y 0 f (x 0 ) abbildet. Es existiert daher die inverse Funktion f 1 : V U. Für die Ableitung gilt: ( f 1 ) (y 0 ) ( f (x 0 )) 1 Seien f : R R, x y f (x) x 2 und x 0 3, y 0 f (x 0 ) 9. Da f (x 0 ) 6 0, ist f um x 0 3 lokal invertierbar und es gilt ( f 1 ) (9) 1 f (3) 1 6 Für x 0 0 liefert dieser Satz keine Aussage, da f (0) 0. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 8 Inverse und implizite Funktionen 7 / 21 Satz über inverse Funktionen II Seien f : R n R n und x 0 ein Punkt mit Df(x 0 ) 0. Dann existiert ein Rechteck U um x 0, sodass f U bijektiv in ein Rechteck V um y 0 f(x 0 ) abbildet. Es existiert daher in V die inverse Funktion f 1 : V U. Für die Ableitung gilt: D(f 1 )(y 0 ) (Df(x 0 )) 1 Die Determinante der Jacobischen Matrix wird auch als Funktionaldeterminate bezeichnet. Notation: ( f 1,..., f n ) (x 1,..., x n ) Df(x 0) Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 8 Inverse und implizite Funktionen 8 / 21 Beispiel Sei f : R 2 R 2, x f(x) x1 2 x2 2 x 1 x 2. Dann gilt: 2x 1 2x 2 Df(x) x 2 x 1 ( f 1, f 2 ) (x 1, x 2 ) 2x 1 2x 2 x 2 x 1 2x x2 2 0 für alle x 0. f ist um alle x 0 0 lokal invertierbar. 1 D(f 1 )(f(1,1)) (Df(1,1)) f ist jedoch nicht bijektiv: f(1,1) f( 1, 1) 1 ( ) Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 8 Inverse und implizite Funktionen 9 / 21

4 Explizite und implizite Funktion Der Zusammenhang zwischen zwei Variablen x und y kann gegeben werden durch eine explizite Funktion: y f (x) Beispiel: y x 2 existiert nicht implizite Funktion: F(x, y) 0 Beispiel: y x 2 0 x 2 + y Fragen: Wann kann man eine implizite Funktion (lokal) auch als explizite Funktion darstellen? Wie lautet die Ableitung von y nach der Variable x? Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 8 Inverse und implizite Funktionen 10 / 21 Fall: Lineare Funktion Im Falle einer linearen Funktion F(x, y) ax + by sind beide Fragen leicht zu beantworten: ax + by 0 y a b x (falls b 0) dx a b F x Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 8 Inverse und implizite Funktionen 11 / 21 Fall: Allgemeine Funktion Sei F(x, y) eine Funktion und (x 0, y 0 ) ein Punkt mit F(x 0, y 0 ) 0. Wenn F nicht linear ist, dann können wir die Ableitung dx im Punkt x 0 berechnen, indem wir die Funktion lokal durch das totale Differential von F ersetzen. Daraus erhalten wir df F x dx + d0 0 dx F x Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 8 Inverse und implizite Funktionen 12 / 21

5 Beispiel Gesucht ist die implizite Ableitung dx von F(x, y) x 2 + y dx F x 2x 2y x y Wir können auch die Ableitung von x nach der Variable y ausrechnen: dx F x 2y 2x y x Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 8 Inverse und implizite Funktionen 13 / 21 Lokale Existenz einer expliziten Funktion explizite Funktion existiert lokal explizite Funktion existiert nicht y (x 0, y 0 ) x y f (x) existiert lokal, wenn 0. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 8 Inverse und implizite Funktionen 14 / 21 Satz über implizite Funktionen Sei F : R 2 R und sei (x 0, y 0 ) ein Punkt mit F(x 0, y 0 ) 0 und (x 0, y 0 ) 0. Dann existiert ein Rechteck um (x 0, y 0 ), sodass gilt: F(x, y) 0 hat dort eine eindeutige Lösung y f (x), und dx F x Sei F(x, y) x 2 + y 2 8 und (x 0, y 0 ) (2,2). Da F(x 0, y 0 ) 0 und (x 0, y 0 ) 2 y 0 4 0, lässt sich y lokal als Funktion von x darstellen und dx (x 0) F x(x 0,y 0 ) (x 0,y 0 ) 2x 0 2y 0 1. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 8 Inverse und implizite Funktionen 15 / 21

6 Satz über implizite Funktionen II Sei F : R n+1 R, (x, y) F(x, y) F(x 1,..., x n, y), und sei (x 0, y) ein Punkt mit F(x 0, y 0 ) 0 und (x 0, y 0 ) 0. Dann existiert ein Rechteck um (x 0, y 0 ), sodass gilt: F(x, y) 0 hat dort eine eindeutige Lösung y f (x), wobei f : R n R, und x i F x i y ist die von uns ausgewählte Variable und muss nicht notwendigerweise an letzter Position stehen. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 8 Inverse und implizite Funktionen 16 / 21 Beispiel Gesucht ist x 2 x der impliziten Funktion 3 F(x 1, x 2, x 3, x 4 ) x x 2 x 3 + x 2 3 x 3 x an der Stelle (x 1, x 2, x 3, x 4 ) (1,0,1,1). Da F(1,0,1,1) 0 und F x2 (1,0,1,1) 1 0 können wir x 2 lokal als Funktion von (x 1, x 3, x 4 ) darstellen: x 2 f (x 1, x 3, x 4 ). Für die partielle Ableitung nach x 3 erhalten wir x 2 x 3 F x 3 F x2 x x 3 x 4 x 3 1 An den Stellen (1,1,1,1) und (1,1,0,1) kann der Satz über implizite Funktionen nicht für x 2 angewendet werden: F(1,1,1,1) 0 und F x2 (1,1,0,1) 0. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 8 Inverse und implizite Funktionen 17 / 21 Jacobische Matrix Sei dann heißt F 1 (x 1,..., x n, y 1,..., y m ) F(x, y). 0 F m (x 1,..., x n, y 1,..., y m ) (x, y) m m m m Jacobische Matrix von F(x, y) bezüglich y. Analog: (x,y) x Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 8 Inverse und implizite Funktionen 18 / 21

7 Satz über implizite Funktionen III Sei F : R n+m R m, F 1 (x 1,..., x n, y 1,..., y m ) (x, y) F(x, y). F m (x 1,..., x n, y 1,..., y m ) und sei (x 0, y 0 ) ein Punkt mit F(x 0, y 0 ) 0 und (x, y) 0 für (x, y) (x 0, y 0 ). Dann existiert ein Rechteck um (x 0, y 0 ), sodass gilt: F(x, y) 0 hat dort eine eindeutige Lösung y f(x), wobei f : R n R m, und 1 x x Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 8 Inverse und implizite Funktionen 19 / 21 Beispiel ( ) ( F 1 (x 1, x 2, y 1, y 2 ) x1 2 Sei F(x, y) + x2 2 y2 1 y2 2 + ) 3 F 2 (x 1, x 2, y 1, y 2 ) x1 3 + x3 2 + y3 1 + y und (x 0, y 0 ) (1,1, 1,2). x ( 1 1 x 1 x x 1 x 2 ( ) 2x 1 2x 2 3x1 2 3x2 2 ) 2y1 2y 2 3y 2 1 3y (1,1, 1,2) x (1,1, 1,2) 3 12 Da F(1,1, 1,2) 0 und (x,y) 12 0 können wir den Satz über implizite Funktionen anwenden und es gilt 1 x x Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 8 Inverse und implizite Funktionen 20 / 21 Zusammenfassung Lokale Existenz einer inversen Funktion Ableitung einer inversen Funktion Explizite und implizite Funktionen Lokale explizite Darstellung einer impliziten Funktion Ableitung einer impliziten Funktion Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 8 Inverse und implizite Funktionen 21 / 21

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 9.. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 Die Grundfrage bei der Anwendung des Satzes über implizite Funktionen betrifft immer die folgende Situation: Wir haben eine Funktion f : V W und eine Stelle x

Mehr

Lösungen zum 3. Aufgabenblatt

Lösungen zum 3. Aufgabenblatt SS, Lineare Algebra Die Lösungen wurden erstellt von: Isabel Voigt, Vanessa Lamm und Matthias Rehder Hinweis: Eine Liste der zur Bearbeitung verwendeten Literatur ist unter www.mathematiwelt.com aufrufbar.

Mehr

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Aufgabe 35: Thema: Singulärwertzerlegung und assoziierte Unterräume Sei A eine m n Matrix mit Rang r und A = UDV T ihre Singulärwertzerlegung.

Mehr

Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen

Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen Als bekannt setzen wir die folgenden Umformungen voraus: e ln(f(x)) = f(x) e f(x)+c = e f(x) e c e ln(f(x)) +c = f(x) e c = f(x) c f ( g(x) ) g (x)

Mehr

Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen

Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Prof. Dr. Volker Schulz Universität Trier / FB IV / Abt. Mathematik 8. November 2010 http://www.mathematik.uni-trier.de/ schulz/elan-ws1011.html

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Sei K ein Körper, a ij K für 1 i m, 1 j n. Weiters seien b 1,..., b m K. Dann heißt a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2... a m1

Mehr

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Wintersemester 3/4 (.3.4). (a) Für z = + i und z = 3 4i berechne man z z und z z. Die Ergebnisse sind in kartesischer Form anzugeben.

Mehr

Z = 60! 29!31! 1,1 1017.

Z = 60! 29!31! 1,1 1017. Aufgabe : Eine Hochzeitsgesellschaft besteht aus 60 Personen. a Wieviele verschiedene Möglichkeiten für Sitzordnungen gibt es? b Nehmen Sie nun an, dass 9 Gäste aus dem Familien- und Freundeskreis der

Mehr

Charakteristikenmethode im Beispiel

Charakteristikenmethode im Beispiel Charakteristikenmethode im Wir betrachten die PDE in drei Variablen xu x + yu y + (x + y )u z = 0. Das charakteristische System lautet dann ẋ = x ẏ = y ż = x + y und besitzt die allgemeine Lösung x(t)

Mehr

Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme

Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme Übung Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme Diese Übung beschäftigt sich mit Grundbegriffen der linearen Algebra. Im Speziellen werden lineare Abbildungen, sowie

Mehr

Grundzüge der VWL A. Mathematik

Grundzüge der VWL A. Mathematik Grundzüge der VWL A. Mathematik Max Albert, Henrik Egbert, Vanessa Mertins & Birgit E. Will WS 05/06 1 Mathematische Voraussetzungen Vorlesung und Übung setzen den Stoff der Veranstaltung Mathematik A

Mehr

Matrizennorm. Definition 1. Sei A M r,s (R). Dann heißt A := sup die Matrixnorm. Wir wissen zunächst nicht, ob A eine reelle Zahl ist.

Matrizennorm. Definition 1. Sei A M r,s (R). Dann heißt A := sup die Matrixnorm. Wir wissen zunächst nicht, ob A eine reelle Zahl ist. Matrizennorm Es seien r,s N Mit M r,s (R bezeichnen wir die Menge der reellen r s- Matrizen (also der linearen Abbildungen R s R r, und setze M s (R := M s,s (R (also die Menge der linearen Abbildungen

Mehr

Modulabschlussklausur Analysis II

Modulabschlussklausur Analysis II Modulabschlussklausur Analysis II. Juli 015 Bearbeitungszeit: 150 min Aufgabe 1 [5/10 Punkte] Es sei a R und f a : R 3 R mit f a (x, y, z) = x cos(y) + z 3 sin(y) + a 3 + (z + ay a y) cos(x) a) Bestimmen

Mehr

Elemente der Analysis II

Elemente der Analysis II Elemente der Analysis II Kapitel 3: Lineare Abbildungen und Gleichungssysteme Informationen zur Vorlesung: http://www.mathematik.uni-trier.de/ wengenroth/ J. Wengenroth () 15. Mai 2009 1 / 35 3.1 Beispiel

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der

Mehr

7 Die Determinante einer Matrix

7 Die Determinante einer Matrix 7 Die Determinante einer Matrix ( ) a11 a Die Determinante einer 2 2 Matrix A = 12 ist erklärt als a 21 a 22 det A := a 11 a 22 a 12 a 21 Es ist S 2 = { id, τ}, τ = (1, 2) und sign (id) = 1, sign (τ) =

Mehr

Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen

Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen Dr. Nico Düvelmeyer Freitag, 1. Juli 2011 1: 1 [1,1] Inhaltsübersicht für heute 1 Einführung und Wiederholung Beispiel

Mehr

Definition 3.1: Ein Differentialgleichungssystem 1. Ordnung

Definition 3.1: Ein Differentialgleichungssystem 1. Ordnung Kapitel 3 Dynamische Systeme Definition 31: Ein Differentialgleichungssystem 1 Ordnung = f(t, y) ; y R N ; f : R R N R N heißt namisches System auf dem Phasenraum R N Der Parameter t wird die Zeit genannt

Mehr

Die Verbindung von Linearer Programmierung und Graphentheorie

Die Verbindung von Linearer Programmierung und Graphentheorie Die Verbindung von Linearer Programmierung und Graphentheorie Definition 5.9. Ein kombinatorisches Optimierungsproblem entspricht einem LP, bei dem statt der Vorzeichenbedingungen x i 0 Bedingungen der

Mehr

EigenMath Howto. Beispiele: Was erhält man, wenn man 100 mal die Zahl 2 mit sich multipliziert? Antwort 1267650600228229401496703205376

EigenMath Howto. Beispiele: Was erhält man, wenn man 100 mal die Zahl 2 mit sich multipliziert? Antwort 1267650600228229401496703205376 EigenMath Howto EigenMath ist ein kleines Programm, das als 'Taschenrechner' für die Mathematik der Oberstufe verwendet werden kann. Es ist viel weniger mächtig als die großen Brüder Sage, Maxima, Axiom

Mehr

Mathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011

Mathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011 Mathematik für Informatiker II Christoph Eisinger Sommersemester 211 Beispiellösungen zur Probeklausur Aufgabe 1 Gegeben sind die Polynome f, g, h K[x]. Zu zeigen: Es gibt genau dann Polynome h 1 und h

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Eines der am häufigsten auftretenden Standardprobleme der angewandten Mathematik ist das Lösen linearer Gleichungssysteme, etwa zur Netzwerkberechnung in der Elektrotechnik oder

Mehr

Mathematik 1. Lösungsvorschläge zum 2. Übungsblatt

Mathematik 1. Lösungsvorschläge zum 2. Übungsblatt Hochschule Regensburg Fakultät Informatik/Mathematik Christoph Böhm Wintersemester 0/0 Wirtschaftsinformatik Bachelor IW Informatik Bachelor IN Vorlesung Mathematik Mathematik Lösungsvorschläge zum Übungsblatt

Mehr

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2013/14 Hochschule Augsburg : Gliederung 1 Aussagenlogik 2 Lineare Algebra 3 Lineare Programme 4 Folgen

Mehr

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 MATHEMATIK Dipl.-Math. Kevin Everard Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14 Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mehr

Kleiner Satz von Fermat

Kleiner Satz von Fermat Kleiner Satz von Fermat Satz Kleiner Satz von Fermat Sei p P. Dann gilt a p a mo p für alle a Z. Wir führen zunächst eine Inuktion für a 0 urch. IA a = 0: 0 p 0 mo p. IS a a+1: Nach vorigem Lemma gilt

Mehr

Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. z(t) = at + b

Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. z(t) = at + b Aufgabe 1: Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. (a) Nehmen Sie lineares Wachstum gemäß z(t) = at + b an, wobei z die Einwohnerzahl ist und

Mehr

Vorkurs Mathematik Übungen zu Polynomgleichungen

Vorkurs Mathematik Übungen zu Polynomgleichungen Vorkurs Mathematik Übungen zu en 1 Aufgaben Lineare Gleichungen Aufgabe 1.1 Ein Freund von Ihnen möchte einen neuen Mobilfunkvertrag abschließen. Es gibt zwei verschiedene Angebote: Anbieter 1: monatl.

Mehr

2 3 x3 17. x k dx = x k x k+1 k +1. Mit jeder weiteren partiellen Integration reduziert sich der Grad des Faktors x n, induktiv erhalten wir also

2 3 x3 17. x k dx = x k x k+1 k +1. Mit jeder weiteren partiellen Integration reduziert sich der Grad des Faktors x n, induktiv erhalten wir also Universität Konstanz Fachbereich Mathematik und Statistik Repetitorium Analysis 0 Dr DK Huynh Blatt 8 Aufgabe 6 Bestimmen Sie (a) (x + x 7x+)dx (c) (f) x n exp(x)dx (n N fest) sin (x)dx (g) (b) (d) ln(x)dx

Mehr

6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen

6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag. $Id: quadrat.tex,v.5 9//5 ::59 hk Exp $ $Id: orthogonal.tex,v.4 9// ::54 hk Exp $ $Id: fourier.tex,v. 9// :: hk Exp $ Symmetrische Matrizen und quadratische

Mehr

Übungen lineare Gleichungssysteme - Lösungen 1. Bestimme die Lösungsmenge und führe eine Probe durch! a)

Übungen lineare Gleichungssysteme - Lösungen 1. Bestimme die Lösungsmenge und führe eine Probe durch! a) Übungen lineare Gleichungssysteme - Lösungen. Bestimme die Lösungsmenge und führe eine Probe durch! a) b) c) 2x5y=23 2x 3y= 6x0y=64 6x 2y=6 2x3y=20 5x y=33 2x5y=23 2x 3y= 2x5y=23 2x3y= 8y=24 : 8 y=3 6x0y=64

Mehr

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN GRUNDBEGRIFFE Differentialgleichung Eine Gleichung, in der Ableitungen einer unbekannten Funktion y = y(x) bis zur n-ten Ordnung auftreten, heisst gewöhnliche Differentialgleichung

Mehr

Gleichungen und Ungleichungen

Gleichungen und Ungleichungen Gleichungen Ungleichungen. Lineare Gleichungen Sei die Gleichung ax = b gegeben, wobei x die Unbekannte ist a, b reelle Zahlen sind. Diese Gleichung hat als Lösung die einzige reelle Zahl x = b, falls

Mehr

Simulation elektrischer Schaltungen

Simulation elektrischer Schaltungen Simulation elektrischer Schaltungen mittels Modizierter Knotenanalyse Teilnehmer: Artur Stephan Andreas Dietrich Thomas Schoppe Maximilian Gruber Jacob Zschuppe Sven Wittig Gruppenleiter: René Lamour Heinrich-Hertz-Oberschule,

Mehr

Kapitel 15: Differentialgleichungen

Kapitel 15: Differentialgleichungen FernUNI Hagen WS 00/03 Kapitel 15: Differentialgleichungen Differentialgleichungen = Gleichungen die Beziehungen zwischen einer Funktion und mindestens einer ihrer Ableitungen herstellen. Kommen bei vielen

Mehr

Umgekehrte Kurvendiskussion

Umgekehrte Kurvendiskussion Umgekehrte Kurvendiskussion Bei einer Kurvendiskussion haben wir eine Funktionsgleichung vorgegeben und versuchen ihre 'Besonderheiten' herauszufinden: Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte, Polstellen

Mehr

Optimalitätskriterien

Optimalitätskriterien Kapitel 4 Optimalitätskriterien Als Optimalitätskriterien bezeichnet man notwendige oder hinreichende Bedingungen dafür, dass ein x 0 Ω R n Lösung eines Optimierungsproblems ist. Diese Kriterien besitzen

Mehr

Skalare Differentialgleichungen

Skalare Differentialgleichungen Kapitel 2 Skalare Differentialgleichungen 2.1 Skalare lineare Differentialgleichungen 2.2 Bernoulli und Riccati Differentialgleichungen 2.3 Differentialgleichungen mit getrennten Variablen 2.4 Exakte Differentialgleichungen

Mehr

Dr. Jürgen Roth. Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik. Elemente der Algebra. Dr. Jürgen Roth 3.1

Dr. Jürgen Roth. Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik. Elemente der Algebra. Dr. Jürgen Roth 3.1 .1 Dr. Jürgen Roth Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik Elemente der Algebra . Inhaltsverzeichnis Elemente der Algebra & Argumentationsgrundlagen, Gleichungen und Gleichungssysteme Quadratische

Mehr

3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung

3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung 3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung Definition und Lemma 3.3.1. Sei V ein K-Vektorraum, φ End K (V ), λ K. Wir defnieren den zu λ gehörigen Eigenraum von φ als Dies ist ein Unterraum von V.

Mehr

Mathematische Ökologie

Mathematische Ökologie Mathematische Ökologie Eine Zusammenfassung von Bernhard Kabelka zur Vorlesung von Prof. Länger im WS 2002/03 Version 1.04, 15. März 2004 Es sei ausdrücklich betont, dass (1) dieses Essay ohne das Wissen

Mehr

Didaktik der Algebra Jürgen Roth Didaktik der Algebra 4.1

Didaktik der Algebra Jürgen Roth Didaktik der Algebra 4.1 Didaktik der Algebra 4.1 Didaktik der Algebra Didaktik der Algebra 4.2 Inhalte Didaktik der Algebra 1 Ziele und Inhalte 2 Terme 3 Funktionen 4 Gleichungen Didaktik der Algebra 4.3 Didaktik der Algebra

Mehr

Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15

Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Linearkombinationen, Basen, Lineare Abbildungen 2.1 Lineare Unabhängigkeit Sind die folgenden Vektoren linear unabhängig? (a) 1, 2, 3 im Q Vektorraum R (b)

Mehr

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg : Gliederung 7 Folgen und Reihen 8 Finanzmathematik 9 Reelle Funktionen 10 Differenzieren 1 11 Differenzieren 2 12 Integration

Mehr

Lösungen zu Kapitel 7

Lösungen zu Kapitel 7 Lösungen zu Kapitel 7 Lösung zu Aufgabe 1: Nach Definition 7.1 ist eine Verknüpfung auf der Menge H durch eine Abbildung : H H H definiert. Gilt H = {a 1,..., a m }, so wird eine Verknüpfung auch vollständig

Mehr

(λ Ri I A+BR)v Ri = 0. Lässt sich umstellen zu

(λ Ri I A+BR)v Ri = 0. Lässt sich umstellen zu Herleitung der oppenecker-formel (Wiederholung) Für ein System ẋ Ax + Bu (B habe Höchstrang) wird eine Zustandsregelung u x angesetzt. Der geschlossene egelkreis gehorcht der Zustands-Dgl. ẋ (A B)x. Die

Mehr

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema 2x 4 + x 3 + x + 3 div x 2 + x 1 = 2x 2 x + 3 (2x 4 + 2x 3 2x 2 ) x 3 + 2x 2 + x + 3 ( x

Mehr

Die Laufzeit muss nun ebenfalls in Monaten gerechnet werden und beträgt 25 12 = 300 Monate. Damit liefert die Sparkassenformel (zweiter Teil):

Die Laufzeit muss nun ebenfalls in Monaten gerechnet werden und beträgt 25 12 = 300 Monate. Damit liefert die Sparkassenformel (zweiter Teil): Lösungen zur Mathematikklausur WS 2004/2005 (Versuch 1) 1.1. Hier ist die Rentenformel für gemischte Verzinsung (nachschüssig) zu verwenden: K n = r(12 + 5, 5i p ) qn 1 q 1 = 100(12 + 5, 5 0, 03)1, 0325

Mehr

3. Grundlagen der Linearen Programmierung

3. Grundlagen der Linearen Programmierung 3. Grundlagen der linearen Programmierung Inhalt 3. Grundlagen der Linearen Programmierung Lineares Programm Grafische Lösung linearer Programme Normalform Geometrie linearer Programme Basislösungen Operations

Mehr

OPERATIONS-RESEARCH (OR)

OPERATIONS-RESEARCH (OR) OPERATIONS-RESEARCH (OR) Man versteht darunter die Anwendung mathematischer Methoden und Modelle zur Vorbereitung optimaler Entscheidungen bei einem Unternehmen. Andere deutsche und englische Bezeichnungen:

Mehr

Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen

Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen 1. Quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen lassen sich immer auf die sog. normierte Form x 2 + px + = 0 bringen, in

Mehr

A Matrix-Algebra. A.1 Definition und elementare Operationen

A Matrix-Algebra. A.1 Definition und elementare Operationen A Matrix-Algebra In diesem Anhang geben wir eine kompakte Einführung in die Matrizenrechnung bzw Matrix-Algebra Eine leicht lesbare Einführung mit sehr vielen Beispielen bietet die Einführung in die Moderne

Mehr

0, v 6 = 2 2. 1, v 4 = 1. 2. span(v 1, v 5, v 6 ) = span(v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 ) 4. span(v 1, v 2, v 4 ) = span(v 2, v 3, v 5, v 6 )

0, v 6 = 2 2. 1, v 4 = 1. 2. span(v 1, v 5, v 6 ) = span(v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 ) 4. span(v 1, v 2, v 4 ) = span(v 2, v 3, v 5, v 6 ) Aufgabe 65. Ganz schön span(n)end. Gegeben sei folgende Menge M von 6 Vektoren v, v,..., v 6 R 4 aus Aufgabe P 6: M = v =, v =, v =, v 4 =, v 5 =, v 6 = Welche der folgenden Aussagen sind wahr? span(v,

Mehr

u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. 0 V + v = v + 0 V = v v + u = u + v = 0 V. t (u + v) = t u + t v, (t + s) u = t u + s u.

u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. 0 V + v = v + 0 V = v v + u = u + v = 0 V. t (u + v) = t u + t v, (t + s) u = t u + s u. Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik Prof. Dr. C. Hesse PD Dr. P. H. Lesky Dipl. Math. D. Zimmermann Msc. J. Köllner FAQ 3 Höhere Mathematik I 4..03 el, kyb, mecha, phys Vektorräume Vektorräume

Mehr

1 Aussagenlogik und Mengenlehre

1 Aussagenlogik und Mengenlehre 1 Aussagenlogik und engenlehre 1.1 engenlehre Definition (Georg Cantor): nter einer enge verstehen wir jede Zusammenfassung von bestimmten wohl unterschiedenen Objekten (m) unserer Anschauung oder unseres

Mehr

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Übungsaufgaben

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Übungsaufgaben Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Übungsaufgaben an der Fachhochschule Heilbronn im Wintersemester 2002/2003 Dr. Matthias Fischer Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg Lehrstuhl für

Mehr

Gleichungen Aufgaben und Lösungen

Gleichungen Aufgaben und Lösungen Gleichungen Aufgaben und Lösungen http://www.fersch.de Klemens Fersch 6. Januar 3 Inhaltsverzeichnis Lineare Gleichung. a x + b = c....................................................... Aufgaben....................................................

Mehr

Serie 13: Online Test

Serie 13: Online Test D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 3 Dr. Ana Cannas Serie 3: Online Test Einsendeschluss: 3. Januar 4 Bei allen Aufgaben ist genau eine Antwort richtig. Lösens des Tests eine Formelsammlung verwenden.

Mehr

8.2 Thermodynamische Gleichgewichte, insbesondere Gleichgewichte in Mehrkomponentensystemen Mechanisches und thermisches Gleichgewicht

8.2 Thermodynamische Gleichgewichte, insbesondere Gleichgewichte in Mehrkomponentensystemen Mechanisches und thermisches Gleichgewicht 8.2 Thermodynamische Gleichgewichte, insbesondere Gleichgewichte in Mehrkomponentensystemen Mechanisches und thermisches Gleichgewicht 8.2-1 Stoffliches Gleichgewicht Beispiel Stickstoff Sauerstoff: Desweiteren

Mehr

Download. Mathematik üben Klasse 8 Terme und Gleichungen. Differenzierte Materialien für das ganze Schuljahr. Jens Conrad, Hardy Seifert

Download. Mathematik üben Klasse 8 Terme und Gleichungen. Differenzierte Materialien für das ganze Schuljahr. Jens Conrad, Hardy Seifert Download Jens Conrad, Hardy Seifert Mathematik üben Klasse 8 Terme und Gleichungen Differenzierte Materialien für das ganze Schuljahr Downloadauszug aus dem Originaltitel: Mathematik üben Klasse 8 Terme

Mehr

LINEARE ALGEBRA Ferienkurs. Hanna Schäfer Philipp Gadow

LINEARE ALGEBRA Ferienkurs. Hanna Schäfer Philipp Gadow LINEARE ALGERA Ferienkurs Hanna Schäfer Philipp Gadow INHALT Eigenwerte und Eigenvektoren. asiswechsel.2 Eigenwertgleichung 2.3 Diagonalisierbarkeit 5.4 Trigonalisierung 8.5 Zusatzmaterial 8 Aufgaben 9

Mehr

Hauptprüfung Abiturprüfung 2014 (ohne CAS) Baden-Württemberg

Hauptprüfung Abiturprüfung 2014 (ohne CAS) Baden-Württemberg Baden-Württemberg: Abitur 04 Pflichtteil www.mathe-aufgaben.com Hauptprüfung Abiturprüfung 04 (ohne CAS) Baden-Württemberg Pflichtteil Hilfsmittel: keine allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com

Mehr

Lineare Gleichungssysteme I (Matrixgleichungen)

Lineare Gleichungssysteme I (Matrixgleichungen) Lineare Gleichungssysteme I (Matrigleichungen) Eine lineare Gleichung mit einer Variable hat bei Zahlen a, b, die Form a b. Falls hierbei der Kehrwert von a gebildet werden darf (a 0), kann eindeutig aufgelöst

Mehr

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s Nachtrag zur allgemeinen Vektorraum-Theorie. 1.5.15. Direkte Summen. Sei V ein Vektorraum, seien U 1,..., U t Unterräume, wir schreiben V = U 1 U 2 U t = t i=1 U i falls die folgenden beiden Bedingungen

Mehr

Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium

Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden (FH) Fachbereich Informatik/Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengänge Informatik Medieninformatik Wirtschaftsinformatik Wirtschaftsingenieurwesen

Mehr

13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen.

13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen. 13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen. Sie heißt linear, wenn sie die Form y (n) + a n 1 y (n 1)

Mehr

Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie

Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie Der binäre Rang, der symplektische Graph, die Spektralzerlegung und rationale Funktionen Vortrag am 24.01.2012 Heike Farkas 0410052 Inhaltsverzeichnis

Mehr

Hamilton-Formalismus

Hamilton-Formalismus KAPITEL IV Hamilton-Formalismus Einleitung! IV.1 Hamilton sche Bewegungsgleichungen IV.1.1 Kanonisch konjugierter Impuls Sei ein mechanisches System mit s Freiheitsgraden. Im Rahmen des in Kap. II eingeführten

Mehr

Extrema von Funktionen in zwei Variablen

Extrema von Funktionen in zwei Variablen Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Extrema von Funktionen in zwei Variablen Literatur: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen,

Mehr

Höhere Mathematik 3. Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr. Wintersemester 2015/16. FB Mathematik

Höhere Mathematik 3. Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr. Wintersemester 2015/16. FB Mathematik Höhere Mathematik 3 Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr FB Mathematik Wintersemester 2015/16 4. Homogene lineare Dierentialgleichungen 4.1. Grundbegrie 4.1.1. Denition. Es sei J R ein Intervall und a 0 ; : :

Mehr

Induktive Limiten. Arpad Pinter, Tobias Wöhrer. 30. Jänner 2010

Induktive Limiten. Arpad Pinter, Tobias Wöhrer. 30. Jänner 2010 Induktive Limiten Arpad Pinter, Tobias Wöhrer 30. Jänner 2010 1 Inhaltsverzeichnis 1 Induktiver Limes von Mengen 2 2 Induktiver Limes von Vektorräumen 4 3 Lokalkonvexe topologische Vektorräumen 7 4 Induktiver

Mehr

Optimale Steuerung. Sequentielle Quadratische Programmierung. Kevin Sieg. 14. Juli 2010. Fachbereich für Mathematik und Statistik Universität Konstanz

Optimale Steuerung. Sequentielle Quadratische Programmierung. Kevin Sieg. 14. Juli 2010. Fachbereich für Mathematik und Statistik Universität Konstanz Optimale Steuerung Kevin Sieg Fachbereich für Mathematik und Statistik Universität Konstanz 14. Juli 2010 1 / 29 Aufgabenstellung 1 Aufgabenstellung Aufgabenstellung 2 Die zusammengesetzte Trapezregel

Mehr

2: Zahlentheorie / Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik

2: Zahlentheorie / Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 57 2: Zahlentheorie / Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik Uhr: Stunden mod 24, Minuten mod 60, Sekunden mod 60,... Rechnerarithmetik: mod 2 w, w {8, 16, 32,

Mehr

Übungsaufgaben LAAG I. für Lehramtsstudenten GS, MS, BS

Übungsaufgaben LAAG I. für Lehramtsstudenten GS, MS, BS Doz.Dr. Norbert Koksch TU DRESDEN Fachrichtung Mathematik, Institut für Analysis Übungsaufgaben LAAG I für Lehramtsstudenten GS, MS, BS Logik: Übungsaufgabe 1. Begründen Sie, ob es sich um eine Aussage

Mehr

Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen

Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Das Eigenwertproblem Sei A eine quadratische Matrix vom Typ m,m. Die Aufgabe, eine Zahl λ und einen dazugehörigen Vektor x zu finden, damit Ax = λx ist, nennt

Mehr

Einführung in die Algebra

Einführung in die Algebra Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 13 Einheiten Definition 13.1. Ein Element u in einem Ring R heißt Einheit, wenn es ein Element v R gibt mit uv = vu = 1. DasElementv

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Einheit 3: Alphabete (und Relationen, Funktionen, Aussagenlogik) Thomas Worsch Universität Karlsruhe, Fakultät für Informatik Oktober 2008 1/18 Überblick Alphabete ASCII Unicode

Mehr

Kongruenzrechnung. 2 Kongruenzrechnung 7 2.1 Rechnenregeln Addition und Multiplikation... 7 2.2 Rechenregeln bzgl. verschiedener Moduln...

Kongruenzrechnung. 2 Kongruenzrechnung 7 2.1 Rechnenregeln Addition und Multiplikation... 7 2.2 Rechenregeln bzgl. verschiedener Moduln... Kongruenzrechnung Inhaltsverzeichnis 1 Einführung und Definitionen 2 1.1 Einige Beispiele aus dem Alltag..................... 2 1.2 Kongruenzrechnung im Alltag und Rechenproben........... 3 1.3 Kongruenzen

Mehr

Bestimmung einer ersten

Bestimmung einer ersten Kapitel 6 Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung Ein Problem, was man für die Durchführung der Simplexmethode lösen muss, ist die Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung. Wie gut das geht,

Mehr

Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung.

Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung. Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Die Grundform der linearen Gleichung mit einer Unbekannten x lautet A x = a Dabei sind A, a reelle Zahlen. Die Gleichung lösen heißt, alle reellen Zahlen anzugeben,

Mehr

8. Quadratische Reste. Reziprozitätsgesetz

8. Quadratische Reste. Reziprozitätsgesetz O Forster: Prizahlen 8 Quadratische Reste Rezirozitätsgesetz 81 Definition Sei eine natürliche Zahl 2 Eine ganze Zahl a heißt uadratischer Rest odulo (Abkürzung QR, falls die Kongruenz x 2 a od eine Lösung

Mehr

8.2 Thermodynamische Gleichgewichte, insbesondere Gleichgewichte in Mehrkomponentensystemen Mechanisches und thermisches Gleichgewicht

8.2 Thermodynamische Gleichgewichte, insbesondere Gleichgewichte in Mehrkomponentensystemen Mechanisches und thermisches Gleichgewicht 8.2 Thermodynamische Gleichgewichte, insbesondere Gleichgewichte in Mehrkomponentensystemen Mechanisches und thermisches Gleichgewicht 8.2-1 Stoffliches Gleichgewicht Beispiel Stickstoff Sauerstoff: Desweiteren

Mehr

Mathematik-Klausur vom 05.10.2011 Finanzmathematik-Klausur vom 26.09.2011

Mathematik-Klausur vom 05.10.2011 Finanzmathematik-Klausur vom 26.09.2011 Mathematik-Klausur vom 05.10.2011 Finanzmathematik-Klausur vom 26.09.2011 Studiengang BWL DPO 2003: Aufgaben 2,3,4 Dauer der Klausur: 60 Min Studiengang B&FI DPO 2003: Aufgaben 2,3,4 Dauer der Klausur:

Mehr

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt - 17 - Die Frage ist hier also: Für welche x R gilt x = x + 1? Das ist eine quadratische Gleichung für x. Es gilt x = x + 1 x x 3 = 0, und man kann quadratische Ergänzung machen:... ( ) ( ) x x + = 3 +

Mehr

Korrelation (II) Korrelation und Kausalität

Korrelation (II) Korrelation und Kausalität Korrelation (II) Korrelation und Kausalität Situation: Seien X, Y zwei metrisch skalierte Merkmale mit Ausprägungen (x 1, x 2,..., x n ) bzw. (y 1, y 2,..., y n ). D.h. für jede i = 1, 2,..., n bezeichnen

Mehr

Lösen von linearen Gleichungssystemen mit zwei Unbekannten:

Lösen von linearen Gleichungssystemen mit zwei Unbekannten: Lösen von linearen Gleichungssystemen mit zwei Unbekannten: 1. Additions- und Subtraktionsverfahren 3x = 7y 55 + 5x 3x = 7y 55 7y 5x + 2y = 4 3 5 werden, dass die Variablen links und die Zahl rechts vom

Mehr

e d m m = D d (E e (m)) D d E e m f c = f(m) m m m 1 f(m 1 ) = c m m 1 m c = f(m) c m c m b b 0, 1 b r f(b, r) f f(b, r) := y b r 2 n, n = pq ggt (p, q) = 1 p q y n f K f(x + y) = f(x) + f(y) f(x y) =

Mehr

Lösungsmethoden gewöhnlicher Differentialgleichungen (Dgl.)

Lösungsmethoden gewöhnlicher Differentialgleichungen (Dgl.) Lösungsmethoden gewöhnlicher Dierentialgleichungen Dgl) Allgemeine und partikuläre Lösung einer gewöhnlichen Dierentialgleichung Eine Dierentialgleichung ist eine Gleichung! Zum Unterschied von den gewöhnlichen

Mehr

Extremwertaufgaben. 3. Beziehung zwischen den Variablen in Form einer Gleichung aufstellen (Nebenbedingung),

Extremwertaufgaben. 3. Beziehung zwischen den Variablen in Form einer Gleichung aufstellen (Nebenbedingung), Extremwertaufgaben x. Ein Landwirt will an einer Mauer einen rechteckigen Hühnerhof mit Maschendraht abgrenzen. 0 Meter Maschendraht stehen zur Verfügung. Wie groß müssen die Rechteckseiten gewählt werden,

Mehr

Optimierung für Nichtmathematiker

Optimierung für Nichtmathematiker Optimierung für Nichtmathematiker Typische Prüfungsfragen Die folgenden Fragen dienen lediglich der Orientierung und müssen nicht den tatsächlichen Prüfungsfragen entsprechen. Auch Erkenntnisse aus den

Mehr

Integral-Iterationsverfahren und die exakten Lösungen der partiellen Differentialgleichungen

Integral-Iterationsverfahren und die exakten Lösungen der partiellen Differentialgleichungen Integral-Iterationsverfahren und die exakten Lösungen der partiellen Differentialgleichungen Dr. rer. nat. Kuang-lai Chao Göttingen, den 16. Juni 2007 Abstract The integral iterative ethod and exact solutions

Mehr

2. Universelle Algebra

2. Universelle Algebra 2. Universelle Algebra Die Theorie der universellen Algebra verallgemeinert die Theorien der klassischen Algebren. Obwohl ursprünglich nur eine Sorte betrachtet wurde, werden wir hier gleich den mehrsortigen

Mehr

ax 2 + bx + c = 0, (4.1)

ax 2 + bx + c = 0, (4.1) Kapitel 4 Komplexe Zahlen Wenn wir uns auf die reellen Zahlen beschränken, ist die Operation des Wurzelziehens (also die Umkehrung der Potenzierung) nicht immer möglich. Zum Beispiel können wir nicht die

Mehr

Funktionen (linear, quadratisch)

Funktionen (linear, quadratisch) Funktionen (linear, quadratisch) 1. Definitionsbereich Bestimme den Definitionsbereich der Funktion f(x) = 16 x 2 2x + 4 2. Umkehrfunktionen Wie lauten die Umkehrfunktionen der folgenden Funktionen? (a)

Mehr

Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V

Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V ist die Menge A = Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V ist die Menge A = mit einer Abbildung + : A V A,

Mehr

Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler

Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler 1 Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Lösungsvorschläge zur Klausur am 01.08.2003. Bitte unbedingt beachten: a) Verlangt und gewertet werden alle vier gestellten Aufgaben. Alle Aufgaben sind gleichwertig.

Mehr

Vorlesung Analysis I / Lehramt

Vorlesung Analysis I / Lehramt Vorlesung Analysis I / Lehramt TU Dortmund, Wintersemester 2012/ 13 Winfried Kaballo Die Vorlesung Analysis I für Lehramtsstudiengänge im Wintersemester 2012/13 an der TU Dortmund basiert auf meinem Buch

Mehr

Nullserie zur Prüfungsvorbereitung

Nullserie zur Prüfungsvorbereitung Nullserie zur Prüfungsvorbereitung Die folgenden Hilfsmittel und Bedingungen sind an der Prüfung zu beachten. Erlaubte Hilfsmittel Beliebiger Taschenrechner (Der Einsatz von Lösungs- und Hilfsprogrammen

Mehr

6 Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme

6 Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme 6 Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme Jörn Loviscach Versionsstand:. März 04, :07 Die nummerierten Felder sind absichtlich leer, zum Ausfüllen beim Ansehen der Videos: http://www.jl7h.de/videos.html

Mehr

Kevin Caldwell. 18.April 2012

Kevin Caldwell. 18.April 2012 im Rahmen des Proseminars Numerische Lineare Algebra von Prof.Dr.Sven Beuchler 18.April 2012 Gliederung 1 2 3 Mathematische Beschreibung von naturwissenschaftlich-technischen Problemstellungen führt häufig

Mehr