15 Grundlagen der Idealtheorie

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1 15 Grundlagen der Idealtheorie Definition und Lemma Sei R ein Ring, S R. x R nennt man eine R-Linearkombination von Elementen in) S falls n N 0, s 1,..., s n S, λ 1,..., λ n R mit x = n i=1 λ is i. Wir definieren S) := {alle R-Linearkombination von S} = { n i=1 λ is i n N 0, λ i R, s i S} Wir definieren ferner ) := {0}. S) ist ein Ideal in R, genannt das von S erzeugte Ideal. Falls S = {a 1,..., a n }, so schreibt man kurz a 1,..., a n ) statt {a 1,..., a n }). Insbesondere gilt für 1-elementiges S = {a}: S) = a) = Ra, das von a erzeugte Hauptideal. Ist I R ein Ideal, dann wird jede Teilmenge S R mit S) = I ein Erzeugendensystem von I genannt. Ein Ring R heißt Hauptidealring HIR) falls gilt: i) R ist Integritätsbereich, und ii) Jedes Ideal in R ist ein Hauptideal. Bemerkung ) Sei I R ein Ideal. Dann gilt I = I). Wir sind oft daran interessiert, Erzeugendensysteme mit möglichst wenigen Elementen zu finden. 2) = S, T R. Dann gilt: S) T ) S T ). Insbesondere also: S) = T ) S T ) und T S). 3) Für x, y R gilt: u R mit x = uy = x) = y). Die Umkehrung gilt, falls R ein Integritätsbereich ist. Beispiel. 1) Die Ideale in Z sind genau die nz = n), n N 0. Also ist Z ein HIR. 2) Wir zeigen später: K Körper = K[X] ist HIR. 3) Wir wissen Übung): 2, X) Z[X] ist kein Hauptideal. Also ist Z[X] zwar ein Integritätsbereich aber kein HIR. 4) In Z[X]: 2, X) = 2, X + 2X 2 ) = 6, 4 + X, 2X) =.... 1

2 Lemma Sei R ein Ring, I 1,..., I n Ideale in R. Dann sind I 1 + I I n = n i=1 I i = { n i=1 a i a i I i } I 1 I 2... I n = n i=1 I i I 1 I 2 I n = n i=1 I i = { m i=1 a i1 a in m N 0, a ij I j } Ideale in R, und es gilt: n n I i I i i=1 i=1 n I i. i=1 Bemerkung. Für a 1,..., a n R gilt: a 1 ) a n ) = a 1,..., a n ) und a 1 ) a n ) = n i=1 a i). Satz und Definition Sei R ein Ring, I R ein Ideal. a) Folgende Aussagen sind äquivalent: i) I R und a, b R gilt: ab I = a I oder b I; ii) R/I ist ein Integritätsbereich. Falls I eine und damit beide) der obigen Bedingungen erfüllt, so nennt man I ein Primideal in R oder sagt: I ist prim in R). b) Folgende Aussagen sind äquivalent: i) I R und falls J R ein Ideal ist mit I J, so ist J = I oder J = R. ii) R/I ist ein Körper. Falls I eine und damit beide) der obigen Bedingungen erfüllt, so nennt man I ein maximales Ideal in R. Korollar Sei R ein Ring, I R ein Ideal. Dann gilt: I ist maximal = I ist prim. Beispiel. In Z: die Ideale sind genau die n) = nz mit n N 0. Indem man untersucht, wann Z/nZ ein Integritätsbereich bzw. Körper ist, sieht man leicht: n) ist prim n = 0 oder n ist Primzahl; n) ist maximal n ist Primzahl. 2

3 Beispiel. Betrachte ev 0 : Z[X] Z : a 0 + a 1 X +... a 0. Man hat: ev 0 ist surjektiv mit Kern X). Also Z[X]/X) = Z. Da Z Integritätsbereich aber kein Körper ist, so ist X) prim aber nicht maximal. Sei π 2 : Z Z/2Z : a a mod 2 und sei ϕ := π 2 ev 0 : Z[X] Z/2Z : a 0 + a 1 X +... a 0 mod 2. Man hat: ϕ ist surjektiv mit Kern 2, X). Also Z[X]/2, X) = Z/2Z. Da Z/2Z Körper ist, so ist 2, X) maximal. Ähnlich zeigt man: p, X) ist maximal für jede Primzahl p. Man hat also eine aufsteigende Kette von Primidealen das letzte in der Kette sogar maximal): 0) X) p, X). Korollar Seien R, S Ringe, f : R S ein Ringhomomorphismus, I S ein Ideal. Dann gilt: 1) I prim in S = f 1 I) prim in R; 2) I maximal in S und f surjektiv = f 1 I) maximal in R. Satz Sei R ein Ring, I R ein Ideal. Dann existiert ein maximales Ideal M in R mit I M R. Dies beweisen wir nicht in der Vorlesung. Der Beweis benötigt einen Satz aus der axiomatischen Mengenlehre genannt Zorns Lemma. Bemerkung. In Situationen, in denen R explizit gegeben ist und ebenfalls ein Ideal I R explizit gegeben ist, ist es oft nicht leicht, ein maximales Ideal M zu finden, welches I enthält. Man weiß aber, dass es existiert. Definition Sei R ein Ring, I, J R Ideale. I und J heißen relativ prim oder koprim, oder prim zueinander), falls I + J = R, d.h. also falls a I, b J : a + b = 1. Lemma Sei R ein Ring, I, J R relativ prime Ideale. Dann gilt IJ = I J. Beispiel. In Z: nz = n) und mz = m) n, m N) sind prim zueinander ggtn, m) = 1. Lemma Seien R, S Ringe. i) R S zusammen mit der Addition a, b) + a, b ) := a + a, b + b ) und der Multiplikation a, b)a, b ) := aa, bb ) zu einem Ring mit 0 R S = 0 R, 0 S ), 1 R S = 1 R, 1 S ), und es gilt R S = R S. 3

4 ii) R = S als Ringe) = R = S als multiplikative Gruppen). Satz Chinesischer Restsatz). Sei R ein Ring und seien I 1,..., I n R Ideale, die paarweise relativ prim sind also I i + I j = R falls i j). Dann ist die Abbildung R/I 1 I n R/I 1... R/I n a mod I 1 I n a mod I 1,..., a mod I n ) ein wohldefinierter) Ringisomorphismus. Insbesondere also R/I 1 I n = R/I1... R/I n. Beispiel. Die Ideale 4) = 4Z, 3) = 3Z, 25) = 25Z in Z sind paarweise relativ prim und es gilt 4)3)25) = 300) = 300Z nach dem Chinesischen Restsatz gilt Z/300Z = Z/4Z Z/3Z Z/25Z. Der Satz sagt präziser aus, dass zu allen a, b, c Z ein d Z existiert mit d a mod 4, d b mod 3, d c mod 25, und dass dieses d modulo 300 eindeutig bestimmt ist. Der Beweis des Satzes gibt auch einen Weg vor, dieses d zu bestimmen. Man finde z.b.) zunächst ein d Z mit d a mod 4, d b mod 3. Dieses ist modulo 12 eindeutig bestimmt. Dann finde man d Z mit d d mod 12 und d c mod 25. Dieses d liefert den gewünschten Wert. Hier eine Beispielrechnung für a = 1, b = 2, c = 3: Bestimmung von d : Schreibe 1 = u + v mit u 4Z, v 3Z. Z.B. u = 4, v = 3. Setze nun d := av+bu = 1 3)+2 4 = 5. Man sieht: 5 1 mod 4, 5 2 mod 3. Bestimmung von d: Schreibe 1 = x + y mit x 12Z, y 25Z. Z.B. x = 24, y = 25. Setze nun d = d y + cx = ) = 53. Man sieht: 53 5 mod 12 und 53 3 mod 25, insgesamt also 53 1 mod 4, 53 2 mod 3, 53 3 mod 25. Korollar Seien n, m N, ggtm, n) = 1. Dann gilt C mn = Cm C n. Dies folgt natürlich auch aus dem Hauptsatz über die Struktur endlicher abelscher Gruppen siehe auch das Beispiel am Ende von 12), oder auch mittels Aufgabe 2.4c). Korollar Mit den Voraussetzungen aus dem Chinesischen Restsatz 15.11: R/I1 I n = R/I1... R/In. 4

5 Beispiel. Z/300Z = Z/4Z Z/3Z Z/25Z. Man rechnet leicht nach, dass die rechten Faktoren alle zyklisch sind: Z/4Z = 3 mod 4 = C 2 Z/3Z = 2 mod 3 = C 2 Z/25Z = 2 mod 25 = C 20 = C4 C 5 Damit: Z/300Z = C2 C 2 C 4 C 5. Definition Die Eulersche ϕ-funktion ist definiert als ϕ : N N mit ϕn) := {a N 1 a n, ggta, n) = 1} = Z/nZ. Satz Sei ϕ : N N die Eulersche ϕ-funktion. i) Sei p eine Primzahl, n N. Dann gilt: ϕp n ) = p n p n 1 = p n 1 p 1). ii) Falls m, n N mit ggtm, n) = 1, so gilt ϕmn) = ϕm)ϕn). 5