1 wenn Erfolg im j-ten Versuch

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1 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 5.1 Binomialverteilung - Alternative Darstellung n Versuche mit 2 möglichen Ausgängen. Setze Y j = 1 wenn Erfolg im j-ten Versuch 0 wenn kein Erfolg im j-ten Versuch Y 1,..., Y n sind 0-1-Zufallsgrößen (oder Bernoulli-verteilte Zufallsgrößen) X = n j=1 Y j = Anzahl der Erfolge in n Versuchen Versuche unabhängig und identisch Y 1,..., Y n u.i.v. mit X ist B(n, p)-verteilt Ws(Y j = 1) = p, Ws(Y j = 0) = 1 p

2 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 5.2 Beispiele: i) n Personen mit Kopfschmerzen erhalten neues Medikament Y j = 1 wirkt beim j-ten Patienten 0 wirkt nicht beim j-ten Patienten p = Ws(Y j = 1) Wirkungswahrscheinlichkeit p = 0, 9 wirkt in 9 von 10 Fällen X = n j=1 Y j ist B(n, p)-verteilt. n = 20, X = 15. Ist dann p = 0.9 noch glaubhaft?

3 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 5.3 Für n = 20, p = 0.9 : Ws(X 15) = 15 k=0 ( 20) 0.9 k (1 0.9) 20 k Tabelle 1 = 0, 0432 = 4, 32% k ii) n junge Kraftfahrer im 1. Jahr nach Führerscheinerwerb Y j = 1 j-ter Fahrer unfallfrei (Erfolg) 0 j-ter Fahrer nicht unfallfrei (kein Erfolg) p = Ws(Y j = 1) = Ws( unfallfrei )

4 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 5.4 iii) Umfrage unter Unternehmern: Rechnen Sie 2012 mit einer besseren, gleichbleibenden oder schlechteren Geschäftslage als 2011? Ende 2012 Rückfrage: Y j = 1 j-ter Unternehmer schätzte Entwicklung richtig ein 0 j-ter Unternehmer schätzte Entwicklung falsch ein p = Ws ( korrekte Vorhersage der Geschäftsentwicklung ) = Ws(Y j = 1) X = n j=1 Y j = Anzahl korrekter Einschätzungen ist B(n, p)-verteilt.

5 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 5.5 Spezialfall: Stichprobenziehen mit Zurücklegen Population von N Objekten oder Personen M davon haben bestimmtes Merkmal. Wie groß ist der Anteil p = M N der Objekte mit dem Merkmal? Wähle nacheinander n Objekte, wobei bereits gewählte wieder gewählt werden können Stichprobe X = Anzahl der Objekte in der Stichprobe, die das Merkmal besitzen ist B(n, p)-verteilt: n Versuche = n Auswahlen von Objekten Erfolg = Auswahl eines Objekts mit Merkmal.

6 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 5.6 Wahrscheinlichkeitsgewichte der Binomialverteilung mit n = 10, p = 0.5: Ws(X = k) = ( ) n k p k (1 p) n k, k = 0,..., n

7 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 5.7 n = 10, p = 0.1

8 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 5.8 n = 100, p = 0.5

9 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 5.9 n = 100, p = 0.1

10 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 5.10 Modell: X ist B(n, p)-verteilt. p =? Schätzer für p : ˆp = X n Beispiel: Wahlumfrage n = 2000 Personen werden nach Wahlabsicht befragt, X = 118 wollen ihre Stimme der ABC- Partei geben. Stimmanteil p in der Gesamtwählerschaft? Einzelversuch: Wähle Person rein zufällig aus Wählerschaft aus: Erfolg: ABC-Wähler Misserfolg: kein ABC-Wähler p = Ws(Erfolg) = Wahrscheinlichkeit, dass es ABC-Wähler ist. ˆp = = 5, 8%

11 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 5.11 Konfidenzintervalle für Wahrscheinlichkeiten Beispiel: Wahlumfrage ABC-Partei erhält ˆp = 5, 8% Stimmen. Aussagekräftiger: Stimmanteil liegt ziemlich sicher im Intervall [5,2%, 6,3%]. Konfidenzintervalle für allgemeine Verteilungsparameter Modell: Die Daten X 1,..., X N sind unabhängig voneinander und besitzen dieselbe Verteilungsfunktion Ws(X j t) = F ϑ (t) F ϑ bekannt bis auf den reellwertigen Parameter ϑ Θ R. ϑ =? Beispiele: a) B(n, p), ϑ = p Θ = [0, 1] b) N (µ, σ 2 ), ϑ = µ Θ = (, )

12 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 5.12 X 1,..., X N u.i.v. mit Ws(X j t) = F ϑ (t) Definition: Vorgegeben: 0 < α 1 (typisch: 0, 05, 0, 01,...) Ein Konfidenzintervall zum (Sicherheits-) Niveau 1 α (kurz: (1 α)-konfidenzintervall) für ϑ ist ein zufälliges Intervall [T 1, T 2 ] mit Grenzen T i = g i (X 1,..., X N ), i = 1, 2, für das gilt: Ws ϑ ([T 1, T 2 ] ϑ) 1 α für alle ϑ Θ Gleich, was der wahre Wert ϑ des Parameters ist: der Intervallschätzer [T 1, T 2 ] überdeckt ihn mit hoher Wahrscheinlichkeit ( 1 α).

13 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 5.13 n = 10, p = 0.5 Bessere Approximation: Ws(X k) Φ ( k np) npq

14 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 5.14 n = 10, p = 0.5

15 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 5.15 n = 30, p = 0.5

16 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 5.16 n = 30, p = 0.5

17 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 5.17 n = 100, p = 0.5

18 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 5.18 n = 100, p = 0.5

19 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 5.19 n = 100, p = 0.1

20 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 5.20 n = 100, p = 0.1

21 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 5.21 n = 10, p = 0.1

22 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 5.22 n = 10, p = 0.1

23 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 5.23 Für α = 0, 05, (1 α 2 )-Quantil von N (0, 1) = ˆp 2 ˆp(1 ˆp) n, ˆp + 2 ˆp(1 ˆp) ist ein approximatives 0,95-Konfidenzintervall für den Parameter p der Binomialverteilung. n Anwendung: Wahlprognose, Stimmanteil bei 6% d.h. ˆp = 0, 06. Sicher über die 5%-Hürde? n = ,95 - Konfidenzintervall: 0, 06 ± 2 0, 06 0, = [0, 494, 0, 706]

24 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler Binomial- und Vorzeichentest Modell: X binomialverteilt mit Parameter (n, p) n groß, 0 p 1, so dass B(n, p) N (np, npq), q = 1 p Approximativer Binomialtest mit Teststatistik (q 0 = 1 p 0 ) X 0 = X n p 0 n p0 q 0 N (0, 1) wenn p = p 0 Hypothese Alternative H 0 verwerfen, wenn H 0 : p = p 0 H 1 : p > p 0 X 0 > c 1 α = (1 α)-quantil von N (0, 1) p p 0 H 0 : p = p 0 H 1 : p < p 0 X 0 < c 1 α p p 0 H 0 : p = p 0 H 1 : p p 0 X 0 > c 1 α 2

25 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 5.25 Für kleine n exakter Binomialtest: b n,p,α = α-quantil von B(n, p) (Tabelle 1 von innen nach außen ) Tabelle 1 Verteilungsfunktion F n,p (k) = Ws n,p (X k). Suche zu α ein k mit F n,p (k) α k b n,p,α Hypothese Alternative H 0 verwerfen, wenn H 0 : p = p 0 H 1 : p > p 0 X > b n,p0,1 α p p 0 H 0 : p = p 0 H 1 : p < p 0 X < b n,p0,α p p 0 H 0 : p = p 0 H 1 : p p 0 X > b n,p0,1 α 2 oder X < b n,p 0, α 2

26 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 5.26 Tabelle 1: Verteilungsfunktion der Binomialverteilungen für ausgewählte Werte von (n, p) X sei B(n, p)-verteilt. Die Tabelle enthält dann die Werte F n,p (k) = Ws(X k) für k = 0,..., n. n=9 p k

27 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 5.27 n=9 p k α = 0, 05, n = 9, p = 0, 5: F n,p (1) = 0, , 05 b n,p,α 1 oder: Ersetze α durch α = 0, 0195 b n,p, α = 1

28 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 5.28 n=9 p k α = 0, 95, n = 9, p = 0, 7: F n,p (8) = 0, , 95 b n,p,α 8 oder: Ersetze α durch α = 0, 9596 b n,p, α = 8

29 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 5.29 Anwendung des Binomialtests: Vorzeichentest Neues Rezept für Tomatensuppe aus der Dose 8 Geschmackstester bewerten blind altes und neues Rezept (mit 0-10 Punkten) Tester Bewertung Differenz Vorzeichen alt neu alt neu A B C D E F G H Vereinfachung: Entferne Teilexperimente mit Vorzeichen 0 (Bindungen) aus der Stichprobe.

30 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 5.30 Alternative H 1 : neu besser als alt Hypothese H 0 : neu nicht besser als alt, d.h. Ws(+) 0.5 Modell + = Erfolg, n unabhängige, identische Versuche n = Stichprobenumfang (nach Entfernen von Vorzeichen 0) X = Anzahl der positiven Vorzeichen + ist B(n, p)-verteilt. Hypothese: H 0 : p = Ws(+) p 0 = 2 1 Alternative: H 1 : p = Ws(+) < p 0 = 2 1 Beobachtet X = 2, n = 7 Tabelle: b 7,0.5, = 1 X 1 akzeptiere H 0 auf Niveau 6,25%

31 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 5.31 Vergleich zweier Wahrscheinlichkeiten/Anteile (Skript S. 92) Zwei Populationen, deren Mitglieder ein bestimmtes Merkmal haben können. Sind die beiden Anteile an Merkmalsinhabern gleich? Beispiel: ABC-Wähler unter den männlichen bzw. unter den weiblichen Wahlberechtigten Modell: X, Z unabhängig und jeweils binomialverteilt mit Parameter (n, p 1 ) bzw. (m, p 2 ) Schätzer für p 1, p 2 : ˆp 1 = X n, Hilfsgröße: ˆp 2 = Z m ˆp = X + Z n + m

32 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 5.32 ˆp 1 = X n, ˆp 2 = Z m, ˆp = X + Z n + m Unter der Hypothese H 0 : p 1 = p 2 = p schätzen ˆp 1, ˆp 2, ˆp alle den gemeinsamen Anteil p der Merkmalsinhaber in beiden Populationen. n, m groß, 0 p 1, p 2 1, so dass B(n, p 1 ), B(m, p 2 ) mit der Normalverteilung approximiert werden können. Dann: Zweistichproben-Binomialtest mit Teststatistik (ˆq = 1 ˆp) = ˆp 1 ˆp 2 n+m n m ˆpˆq N (0, 1) wenn p 1 = p 2 Intuition: ˆp 1 ˆp 2 0 H 0 annehmen

33 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 5.33 Hypothese Alternative H 0 verwerfen, wenn H 0 : p 1 = p 2 H 1 : p 1 > p 2 > c 1 α = (1 α)-quantil von N (0, 1) p 1 p 2 H 0 : p 1 = p 2 H 1 : p 1 < p 2 < c 1 α p 1 p 2 H 0 : p 1 = p 2 H 1 : p 1 p 2 > c 1 α 2 Beispiel: Haben Angestellte und Angehörige der Geschäftsleitung unterschiedliche Einstellungen zu ethischem Verhalten im Geschäftsleben? Frage in einer Studie: Die Angst, erwischt zu werden und den Arbeitsplatz zu verlieren, hat einen großen Einfluss auf ethisches Verhalten im Beruf - Ja oder Nein?

34 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 5.34 Die Angst, erwischt zu werden und den Arbeitsplatz zu verlieren, hat einen großen Einfluss auf ethisches Verhalten im Beruf - Ja oder Nein? Angestellte (n=755): 57 % Ja Geschäftsleitung (m=616): 50 % Ja Schätzer ˆp 1 = 0, 57 > ˆp 2 = 0, 50 signifikant oder zufällig? Beobachtungen X = nˆp (gerundet), Z = mˆp 2 = 308 ˆp = = 0, 538 Teststatistik: = H 0 : p 1 p 2 ver- > 2, 326 = 99%-Quantil von N (0, 1) werfen auf Niveau 1% 0, 57 0, , 538 0, 462 = 2, 586 > 2, 326