Monte-Carlo Tests. Diplomarbeit. Wiebke Werft. Mathematisches Institut der Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf

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1 Monte-Carlo Tests Diplomarbeit Wiebke Werft Mathematisches Institut der Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf Düsseldorf im Dezember 2003 Betreuung: Prof. Dr. Arnold Janssen

2 Inhaltsverzeichnis Einleitung 1 1 Grundlagen Orderstatistiken Suffizienz und Vollständigkeit Monte-Carlo Tests Formulierung des Testproblems Definition des Monte-Carlo Tests Die Schärfe des Monte-Carlo Tests Die Schärfefunktion Die Schärfe des Monte-Carlo Tests in Abhängigkeit des Simulationsstichprobenumfangs m Der Monte-Carlo Test als bedingter Test Theorie bedingter Tests Darstellung des Monte-Carlo Tests als bedingter Test Optimalitätsaussagen über Monte-Carlo Tests als bedingten Tests 33 4 p-werte des Monte-Carlo Tests Definition des p-wertes Schätzen der Güte Schätzen der Güte eines Tests mit exakt berechenbarem p-wert Schätzen der Güte eines Monte-Carlo Tests I

3 II Wie wird die Anzahl I der simulierten Datensätze gewählt? Methoden zur Verbesserung bzw. Vereinfachung der Schätzung der Güte Extrapolationsmethode Ermittlung der Stützstellen für die Extrapolationsmethode, falls nur I = I 1 Datensätze simuliert werden Zusammenfassung 56 A Rechtsstetige inverse Verteilungsfunktion 58 Symbol- und Abkürzungsverzeichnis 62 Abbildungsverzeichnis 65 Literaturverzeichnis 66 Erklärung 68

4 Einleitung Die statistische Testtheorie ist eine der am weitesten ausgebauten Theorien der Statistik. In der empirischen Forschung ist das statistische Absichern von Hypothesen durch Signifikanztests nicht mehr wegzudenken. Dabei ist die Kenntnis der Verteilung der Teststatistik unter der Nullhypothese, der sogenannten Prüfverteilung, für die Entscheidungsfindung von großer Bedeutung. Mit der Prüfverteilung wird der kritische Wert des Testproblems bestimmt, der den Ablehnungs- bzw. Annahmebereich definiert. Falls nun die exakte Verteilung der Teststatistik unter der Nullhypothese nicht bekannt oder nicht mit vertretbarem Rechenaufwand bestimmbar ist, tritt die grundlegende Problematik der Statistik auf: Wie erhält man Kenntnisse über die unbekannte Verteilung einer Zufallsvariablen X. Häufig befindet sich der Statistiker in der Lage, die Auswahl direkt auf eine parametrische Familie P = {P ϑ : ϑ Θ} von Verteilungen eingrenzen zu können. Doch die Kenntnis der Prüfverteilung bleibt das Nadelöhr, durch das der Statistiker hindurch muss. Bedingt durch die immer weiter verbreitete Verwendung von Simulationsmethoden stammen unabhängig voneinander zwei Vorschläge von Dwass [6] 1957 und Barnard [1] 1963, dieses Problem mit Monte-Carlo Methoden zu lösen. Die Idee des sogenannten Monte-Carlo Tests besteht darin, mit Hilfe eines Simulationsexperiments stochastisch unabhängige Realisierungen der Teststatistik unter der Nullhypothese zu erzeugen. Die Nullhypothese wird dann verworfen, wenn der Wert der Teststatistik des ursprünglichen Beobachtungsmaterials in einem ganz bestimmten Sinn nicht mehr mit den durch Monte-Carlo Methoden erzeugten 1

5 Einleitung 2 Stichproben in Beziehung gesetzt werden kann. Dieses Verfahren muss zwar für jeden neu vorliegenden Datensatz erneut durchgeführt werden, aber der Monte- Carlo Test hält unter bestimmten Voraussetzungen das vorgegebene Signifikanzniveau immer ein. In der vorliegenden Diplomarbeit wird der Fall einer stetigen Prüfverteilung betrachtet, da bereits Jöckel [12] gezeigt hat, dass sich der diskrete Fall auf den stetigen Fall zurückführen lässt. Sie ist in vier Kapitel gegliedert. Da im Rahmen der Untersuchung von Monte-Carlo Tests im großen Maße auf den Bereich der Orderstatistiken sowie die Eigenschaften der Suffizienz und Vollständigkeit zurückgegriffen wird, werden in Kapitel 1 die verwendeten Notationen sowie relevante Aussagen zu diesen Begriffen kurz vorgestellt. In Kapitel 2 wird zunächst das allgemeine Wesen von Testproblemen dargelegt. Im Anschluss daran wird der Monte-Carlo Test vorgestellt, der Anwendung findet, falls die Prüfverteilung des zu Grunde liegenden Testproblems nicht bekannt ist. Der Test basiert auf m zusätzlich unter der Nullhypothese simulierten Datensätze, der kritische Wert wird dann aus der k-ten Orderstatistik der m simulierten Daten geschätzt. Darüber hinaus wird in diesem Kapitel die Schärfe des Monte- Carlo Tests berechnet und eine Aussage darüber getroffen, wie sich die Schärfe mit wachsendem Simulationsstichprobenumfang verhält. Hauptsächliche Thematik des dritten Kapitels ist die Darstellung des Monte- Carlo Tests als bedingter Test. Nach einer kurzen Präsentation der Theorie der Tests mit Neyman-Struktur wird zunächst der Monte-Carlo Test so umformuliert, dass die Darstellung als bedingter Test sofort erkennbar ist. Die für die Konstruktion notwendige suffiziente Statistik ist in diesem Fall die Orderstatistik. Daraufhin werden Optimalitätsaussagen für den Monte-Carlo Test basierend auf der Darstellung als bedingter Test getroffen. Abschließend wird ein anderer Zugang als im Kapitel 2 herausgearbeitet, wie man den Schärfezuwachs mit größer werdendem Simulationsstichprobenumfang begründen kann. In Kapitel 4 wird der Monte-Carlo Test mit Hilfe von p-werten dargestellt. Dazu wird im ersten Teil die Definition des p-wertes eingeführt und eine vom p-wert abhängige Darstellung des Monte-Carlo Tests gegeben. Im zweiten Teil wird ein

6 Einleitung 3 Schätzverfahren für die Güte eines Tests mit p-wert Gestalt vorgestellt, welches auf Boos und Zhang [4] basiert. Diese Schätzung erfolgt für zwei Fälle. Zunächst wird ein Test betrachtet, für den der p-wert als bekannt vorausgesetzt wird. Die Güte wird durch ein Monte-Carlo Verfahren geschätzt, welches auf O Simulationen beruht. Im zweiten Fall ist der p-wert unbekannt. Der Schätzung der Güte wird eine Schätzung des p-wertes wiederum durch Monte-Carlo Verfahren vorangestellt, welches nun auf I Simulationen beruht. Tests, die einen geschätzten p-wert zu Grunde legen, werden allgemein als Monte-Carlo Tests bezeichnet. Für die Schätzung der Güte eines Monte-Carlo Tests benötigt man dementsprechend ein verschachteltes Monte-Carlo Verahren mit insgesamt O I generierten Datensätzen. Zum Abschluss dieses Kapitels wird eine Methode vorgestellt, wie man diese Schätzung der Güte für den Monte-Carlo Test verbessern kann. Sie beruht darauf, die vorangestellte Schätzung des p-wertes zu verbessern. Die dafür benutzte Extrapolationsmethode wird explizit an einem Beispiel diskutiert. Eine Überprüfungsmöglichkeit dieser Methode wird mit Hilfe der hypergeometrischen Verteilung vorgestellt. Da in dieser Diplomarbeit die Nullhypothese verworfen wird, falls der Wert der Teststatistik niedrig ausfällt, benötigt man für die Bestimmung des kritischen Wertes die rechtsstetige inverse Verteilungsfunktion. Aufgrund der Tatsache, dass in der Literatur vorwiegend mit der linksstetigen inversen Verteilungsfunktion gearbeitet wird, ist der Umgang mit der rechtsstetigen etwas ungewohnt. Daher beinhaltet der Anhang eine kurze Zusammenfassung der Darstellung sowie Eigenschaften dieser speziellen inversen Verteilungsfunktion, die an zentralen Stellen dieser Arbeit verwendet wird. Die in dieser Arbeit eingebundenen Abbildungen wurden mit Matlab (Version , Release 12.1) bzw. Latex erstellt.