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!"!! # Prof. Dr. Heinz Zimmermann. Optionspreistheorie. Zusammenfassung zur Vorlesung $ % & '%()*!

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1 !"!! # Prof. Dr. Heinz Zimmermann Optionspreistheorie Zusammenfassung zur Vorlesung $ % & '%()*!

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3 Einleitung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

4 B %& & 6% #&# 7#)& && % #&&!)& Klassifikation ) &!!7" # :! G, &).#, &).H9&! &,% G& &>;H. Handelbarkeit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ayoffs " " &, &) & #, &).#>.!, &).& 9#, &)."&!7#! 9, %#7 9& "&& Q#& 6 %! F &, ) A,! #) MQ#& -:#& 7 B * & #& &!, #) 9 )#) :. #) %# ) $M&"#& O!)& :, #! 7) % %# ) G) & 7#! : &H /

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ausalität : ;64 %! 7% # & 6,))% 9> : > #& $ 9>, # : >!#),),!, & <!#)& ##)#9& *" ) #F)!$ 9>, # : > B"! <!#)& 6,))% "%9)& B, #),7" & B#7"! & 4%, 6% &7 # & ## & &.).! # #&7! & B Q#& 4%7#" ) Q#& 4% 3

9 .3 Modifikationen.& ##,!#) )!& $ 9> : > 6 9& & " ) )!) ;"#7 $ 9> : G]H> ]& & & # 7, & 6% # CB&7 #> 9& & & #) )!), & D #7 # " ) & & ), & # & &! % & & #) )) " & %9)& $ r rt F, e Dte & & 7#) & t ;&. #! &! 7" "!) #% E E 7 $ #!,!! M) % 9%F, & )7& %O#7 & #7 $ 9> : GX#.H> # M) %.!!. & ;! 8 && 9& #& M) #)) " "&$ 7 % #! 7 & 7#, 4! " & " & 9"! #& 4% # "&9 &% 7#:!#!% & #) ) #& %#" & M), &,& 7#& 6,! #)) ) M ) ;! 8 &!&,# E4%" & :)% E& E &!.E.4 Abgrenzung Futures vs. Forwards +!7 ) 9&& "&+*.7#, # & ## %#)! +*., 9" & %, & %#&! #%#G)! 7 4# H ) & ) )!%&9 ),!& 7 ## %% )! : &#!& & & 6% %# G" & 6% %# ) 9 &!, 9" & # 9) %#) H+B, 7 ## 9 & #!& % + &#!&)! : ) & 6% %# :,#! "% 7# F ) % %, & #!7# # ##" 9 )& ## F & "& 9" % ) )9)& #) % 6)# B& *), 67% 9&!&#!&! 4&,),& " & #&& 7# 7"&#&## 5

10 %F 97# : # 9>%% #&4)## " ) % # ## #& "& %F #! &! MQ#& #" >7 G& " ) H & #! &! %,7# 9&"&#&## )!& " 6)#!, ) ) & 6 $ H B# " #) % 7"! 6 #& ##$;G^49^HY#)6% 9&WY H && <!% # 6,"!#)% 9" G&$" H^!! F & 6,"!#) & & 7 ^,)), & <%) "!)$7 % % 77"! #&W 9" %7 9&) & %! 4 #& &) &#!!)G& ) "&!) &) H 3 Hedging mit Futures ## " & " & 9##!"%#) 7# # 9& ## #),# &) "&9 & & #)%. & : #" B6) &!!F)!9 & &) 7#) 9& &.& *% 7 G #)% W 7! H #7" & + * % ## #+7 9& ##B&7 G&! &7"! #&B& *"& >!%)<%, 7! H97" "!%!& B& *##!% 7#7#)#& ) & B& *G&! &7"! B& *#&B& *## "&%) H <%% B& *## &) ^: ;!,,)9, &)) B& *##!# 5 B& *## ;G^:9^WHY ^W % >!%)<% ; B _5? B& * ^B, F)! : ) 9& 7& ^7#, #)$ min var( H ) MVH n H + n F * cov(, F *) 7#$ n* F F β var * ( ) F

11 6#&, %9&! &))&<%)! &) 9,, < %,)$ σ ε σ corr, F* 57"! ## #&G&, & # 9& )!" # ) ) % #H # ) &) G4H! <% --Z< %9&!!,!, & &))## $ - MQ#&& ## % %#) ) & #&7# 7 #) G%PH % B&7 " & :4B, - :,& `, & 6,! #)7 #!) 9& ) & `!" )6#) & &) &" &)9# &# B# #)7#! - :"&#!& ## &!# &9& &) )!, 4 Interest Rate Markets & waps > %# ##!!!& $ 9> : GX<H > : > > GX < > H +!& ) 9" ) $% &I#!!7 &#% M#7 I+!7 ) 9&!&, # :< & G#& < & # &H 4. Yields, Yield und pot Curve O " & ;#&! & M#7 >$ C F PCoupon + t + R R ( ) ( ) t t +, ;& ;#, )#&&O " & & E! E #& > #!# & # )) %#,! ) ), &4& 8 &4#.G< & # H.4&."& #!! 7#)) ), 9& C F PCoupon + t :#&8 &;# t ( + ytm) ( + ytm) :;# +! & &9&&.% & * ;# )9!#!#& #% >, 7 +%F #.#! &! )F M#7,! #& # ;# > 6,))% & M#7 #) ) " & +?.. # & 8 &;# 9& < & #%#

12 &%6#)#&& #%) & 8 &;# ) " 6 $& &"&,4#.) #&;#%F 7#. " & #%& :;# ))7#& 8 &;# 9 &)& G B& H& ;#&& 6#))#% #&< & &,!!!& $ Face Face PZero #& ( + R ) R P Zero :;# ), & 8 &;# 9" 9" & ;#!9! #) 7#!%% 9& & " ) " & %F ) % %, ;#&!:& %# 9 ), " && M#7!7# B& * & ;#& ) M#7 9 ),, G!#) & H& > &) &! & ;#,&&!#&G",7# % ;# #, 7" & H9& C + Face C + Face P Coupon $ <. + R + ytm < & &) &!) &. &#.O! & 67!#& < &, & #&& G4%,,! H& & < & ) & %,! 4!&, & )4 & )), ; 9 ; 9 <. < 9& $ P C C + F + Coupon + R + ", < & 7), % 9&$ R ( ) C + F R 6) $ C PCoupon + R C + F R C PCoupon t t ( + Rt ) : :< M#7 :< && " #) 4. Zinstermingeschäfte: waps und FRAs 4... FRAs %! )!&<6G"&< 6) H+B " D &# &)), #! ) )" & 6#6,) )& #) $

13 t t ( ) ( ) ( ) K K + R K + Rt + Ft, ) 6) : ) & > 7 9> )&$ ( + R ) t ( + R ) F, t t t 6&& : G!& )4 &, H!,,) "&<,! 4.. Zinsswaps +"&,#)7", & 6##!, GM6>H #&* GBJH7#) B& < ) "&&O!) #! * 7"&:"< < >, 7! + " &) 6 & & & )% & E+"#) & #%#EG *!.H$ + [ < > \ 9> )#& aq# 7+) : ) ") &!. #&<! :"9",,. :"& ) BJ7#&M6> #&, <! :"& ) BJ #&M6> 7 > ), 7!#& * >!! *, :"% 9" )<! ) &.! a!", "&##!, :", +F#)& 4%" O# +#) 9&7#)$ GM6>HGBJH!& :, % & O7#! 9 " & & %% #& & &#!&, &,) %79$ dt + R ( ) t t " #). :"! && :# & &% 7#) #M6> & 7#) # < V! 9 V! 9 V! V& :# $ < V! 9 V! 9 V! V& PV FLOA Face F t d BJ$ % & % < V! 9 V! 9 V! V& > V! V! V& > < & & "! ( ) t, t+ t+

14 & 7#) # < > V! < > V! V& < > V! < > V! V& < > V! < > V! V& > < > V! < > V! V& > 6#GM6>HGBJH)$ R Ft, t+ t t d t d t+ :# $ PV ( FIX ) Face R d t & " #) :"!+F#)&) )#&7!)!9 &)&& M6>#&BJ! )!9& )$. :"$ G. HGM6>HGBJH <! :"$ G<! HGBJHGM6>H & ) 9"&&. :" 4%" #" 9& <! :" ) 4%" R#) % 9" & % B& *#!& ) #) 9"!#&,,! #%#:"%& :%#, $ + R R t R t d t 5 Handelsstrategien & verteilungsfreie Eigenschaften 5. Verteilungsfreie Eigenschaften von Optionen 5.. Wertkomponenten und Put-Call-Parität #) +)!! % 6, &!! #) & &.) %!# # #!# t #! 6% & & 7#) 7!#7" #& 7" % 7# $&! G& H & #&& " 9",! & " " & # # # #&!# # #& 77"! :% #&4% )) 6% %# - EB.E9" :UJ - E.E9" :J - E#.E9" :YJ -

15 !#,!!$ ;$!# *G:JRH #$!# *GJ:RH!!) & &, "!& " & " & < #7 +% &! &, # # ;& 9" & 6%, +*.) %# " & # 9&,7#+*.& & :% %) ) " & %) % )# #! 9" && G&& & H6% ),#& ;$ JGJHJJ >! #$ GJHJJ > J & "!) +)!!# B ) 77# "&!&#%! :,!% $ B 9& )"&9%&#!# # "& <%#! #& # # &#& #,!% & B ).! ); ) &9#& # 9& & : & #) 9) & &! #)" & );! # &$ ;B X% X! #) ;:JXJ > X ;:J > X #)& + P C + PV (X ) 5.. Preisobergrenzen einer Option #7#7!7#;#&##!#! & " & 7"! %!#& #! #! %! ; ;b: ;b: # bj > bj 7" &)#)%, #! #&#!,! " & 9"! #), " & % 6& & %! # & &)#)! )9% 9& #7 ) #7#, / E<!9 :! 7#%# 9 & :!,E E<!9 :! 7# %# 9 & :% E 7 ) 6#,#) # : W J,

16 5..3 Preisuntergrenzen einer Option #! %! ; ;c*[: J > 9\ ;c*[: J9\ # c*[j > : 9\ ;c*[j: 9\ $ : > J5 /Z ; E7#,)EG6#,#)" $5H GJH 6,), #$ # +*. # 3 5 < %$ :# +% 6,) #),#" & $ # &, ) 6 $);#& 7 & ) 6% $ ) :# $ 3/ G6,) )"H 5..4 Kontraktschutz bei technischen Kurskorrekturen!&& & )!7&9 ) & & 7#) &,!#), 7) " & G, % <! # & & 7#) H& # ) 7 & ),!&$ %!$ ;c: J > GH cgjhxgh: #!$ ;c*[: GJHGHR\ c*[gjhxgh: R\ GH& " & & & 7#) #%& & & 7#)7# #%& 7#),&% 6% ) ) " & # & %% #!) + " & 7# 6% $) G 6% # dh #)! # : 9# & :% J5 : : J59!: :L JL59L?

17 5. Grundlegende radingstrategien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

18 CM - CM / M)#. )#. J M ); #: & J 4 ); J ; )'"#5 $#X)# :% $#:% J M 9)#:% J J M YJ 4% "#)$ & # : &%#!; " & 4!)& %% ),9, G % H: && 4F)!% 96,) )",7#!F $ :% $ G;#! &! :% 9, )! +*.H J 5 ;GJ H? J ;GJ H/ J ;GJ H : & # )# %! 4!) +" & ;GJ H7# # & ;GJ H7#,), 6,) F)!%, % : &G %#& 7# # #&#& 7#, ) 6 H$., # % : &G;GJ H9);GJ HH ;GJ H X? );GJ H / " ,) )"XG!%!)#)& " C<ZH 6,) )"!"& &9" & 7& ; )!& % & 7& :% 9" )$ e;gj H;GJ HeYeJ J e,7"$ e;gj H;GJ HeYeGJ J He #!%!)#)& " ) :"#5 6#!& #.: &, ##;& ###9 &)" & - %, F)9##.7# 7 ) :5 #&:% $);:% J M 9 ;:% J 4 9);:% J J M YJ 4 YJ 4% "#)$#&) G) ) H #.%#!%7 " & 9 ", && E:7 E!# " 3

19 4& #.: &! ) #&) ) + #&) #7# )7, :%.9 $ :% $ G;#! &! :% 9, )! +*.H J 5 ;GJ H? J ;GJ H ;GJ H 7# # )#. J ;GJ H., # M)#.G6,) H );GJ H? ;GJ H X - );GJ H " 8 #.! 6) 9& #, : >. 9!4!& #&) G: :!#.H& #6) & 6,) & 7#) " 9#;GJ HY3/ #9" 3/&! 4 #&?& #)9& 7" ) ), & G,7"&, ) 7 H & B, & <,,! " ) " *#9& & ;:% J "& 4%7#3/) & 9& G#)#&& " H ) " 6,!)9 &! % * #%#& ), ) J#) $ C X > 6 Binomiale Bewertung 6. Bewertung von Arrow-Debreu Anlagen 4& #& #., " #)) " +%!#) #6) G#&) H, " #.: & ) &!7" 7 9&!) 7& #& ),$ #.$ ;GJ H;GJ H;GJ HX;GJ H ;GJ H;GJ H[;GJ H;GJ H\ ^; ^;? 3/ - ;J 4% 5,) ;GJ H 5

20 ^G^;H B, $ J 5 ;GJ H? ^; 3 J ;GJ H3 ^G^;H ^; J ;GJ H 4& 9& & #.: &G, &% 6% %# H # % 9! 7#&,)) 9., " & :%, 7) 9 ),!$ J ; ^; ^G^;H 3 / 5 5 3/ - / / #& / / 6. Annahmen und Grundlagen : <& % : # #V: : & &V: : ## #V#V: : #& #V&V: : &# &V#V: : && &V&V: 6, ) +)! 7 % 6 7#:!%& ) # O #"&& 6 #&!%! ) $& ) ), <& % 7 )! ##%# G!,) H 6 $ H#9&&% H %!!% ) #,)) & ) & < & 7 7 E% &!E #&) 7# " #) 7# G! H< %& B) & "&! < % # + ;# GH6%, " " & % 7, ) </Z 6% %# # 9 %,, & " & # ) & #3,% G#9&3H :% & ;# #J < %, &)#)# 9&&.& ;, & #B $

21 [ ] u + B( + R) [ ] d + B( + R) C u C d +$ ^ & 676% 9& & < %" &)& #9& & G6% H : & 6% %# # & )9& &) )" & # < &!, & + ),!!#). 7", % G^9H9&& ;! < ) 7#F C u + R B [ ] ( ) [ ] u d ( + R) ( + R) ( + R) C d C u [ ] ( + R) C[ d] ( + R) u ( + R) d ( + R) B, $ u d u d C[ u] C[ d] ( + R) ( + R) u u C[ d] d C[ u] ( + R) d ( + R) (.) (.8) (. ) (.8 ) (..5) (.8.5).5 [ ] C[ d] C u u u u d C[ d] d C[ u] ( + R) d ( + R) 8 B ) %, && < % # 7 & & +)& < ) 9&&!#& &! +) % ),9#& &)G,7", F)!H7# 7 G&7# &) H #< %;" & /6% ) %##& &F 5-3#) +) %, &$ /VX5-3/5/ 6% & & &&)!, #&#!)! 9&.;[#\ #&;[&\9 ),!$ 3 (.) (.8)

22 B (. 3) (.8 ) (..5) (.8.5) #< %#" & /6% G H %##&7#7! ) &) F 3/-) ) +) %, &$ /VX3/-- :% ) 7 )" & 9& ; &7 6% & ^: #& # &7 ) &) 6% :";" #& &7 6) 9&, M + %#" M 4& &7 #) B ) $ L C 76.% ) $ L P 87.5% 5 B :";" #& &7 6) P 6.3 Risikoneutrale Bewertung +!, % " 9&7#!#)&,) % 6, " &)" 6#) 7#% 7<#&7#& % # #& & &! &9 # < %,) 7#, #) 6% %# % " & " 7#%) 6% %# G+"#)" H #) " & ), &!!%,7"!& " 6% %#& #%#, 9 & &,&% & #) 6% %# ), ) #) &!6 )! 9" & #) 6% %#4%,,! " & % & ) 9"! "!#)% πˆ,7" πˆ ) "" & 9#) ),, % #9&& #) 6% %#: 7# %,!!G!) ), H$ <% #!!% : V# +G: H $GX<H V& u u #& πˆ ( πˆ ) : # : & d d & "!#)% 7# 9"&&.! & #) 6% %##) #&!πˆ #) F

23 + R ˆ π ( ˆ π ) ˆ π u + ( ˆ π ) ˆ π u + d + R + R ˆ π u + ( ˆ π ) d + R + R ˆ π d ( R) u + ( ˆ π ) ( u d ) + d d :&$ ˆ π + u d," & #!!% 9 πˆ %!!% 9 & "!#)% +), &!!! 7#)7#!!!% G #!7#9&!#) )& # E#) % E+"#)" H6#& #&"& πˆ#! % #!!% & 7!! &, 7! & +"#)" 9 &! # & "!#)% ),9% # +"#)" G+G: HH % +"#)" )%#%) )& % 7#), & #) # 4!, & 7<% #9" & +"#)" & % GX<H,) 79&# <% 7! "&9"# <% #F)! #!# &!) )" & 9&&!<% #& B&&# # "&+7)& "!#)% "#& # & 6 & % 6,&% #) 4& < % )!#&& ) ), &.)% G&,) H, " +!7 ) 9&$ C u C [ ] ˆ π + C[ d]( ˆ π ) ( + R) & " #)! #&! + "!!% +&7#& +"#)" #&&% & <%, ) ",! ), B G, & & #,,!, 4%" : H# & " #)% 9) &&.) # * #&,!,% :#,# G!H#&<G<% H&#! πˆ #& < G% 7H +! &% ) #& % #, " " & 9" # &&.)),7# & G &% H& > #& G&H!& P 6.4 Preiseigenschaften binomial bewerteter Optionen 6.4. Veränderung des Aktienkurses d 6#))" $ u, d,8 X R,5

24 6#))#%,& &, %, #?&, & 6#))" &, % ;#& #$ Call Put C 5,954,5 && 6% %##:L/ F#& & F, 9 ),!$ Call Put C 9,538 9,75 6 )& # :#:L& ; # G#&& #,)H D &!& )& ;) ) & 6 )& 6% %# 9 )$ C %& ; # 6% %# & #) ) 9%& M + %GE, EH, 7 " & $ C HEBEL C, $ & 6 ): )#!& 6% ^< % #& *& 7#!%7# %, 7! G #!, & %M " # H 6.4. Veränderung des risikolosen Zinssatzes +6 )& 7, ;&7#9&& " & & < % % &! +) % 7# < %# ) 9 #&& )#!& ; R5% Call Put C 5,954,5 ) % "&& #,) 9" & & ) &) < %, Veränderung der Volatilität B& )!& & % #9&"& %#.! ".!) ) 9, & #) & % + %#& u., d Call Put C 5,954,5 R% Call Put C 6,88 7,5 u.3, d.7 Call Put C, 6,6667 #, % 9&& E!) E9& &!! #, %#&!,,!,B 4% -

25 6.4.4 Veränderung der Restlaufzeit & #! ; & + % ) < #7 %$ & ) G " & F % & & H9 "&#!& " & ; )6#!& %$&& # & ; &), % G, && 6% %# E#E9 " & #,H9" & ) ) 7, & %! & ; & #) # #! #& + %!% 7"#! 7#9& ",,!%G #74*#& :% H %, )$& # & ##) " 9, G# 7! H6% %# %#&&G 7! H &7#!%, % & %! )9& ) %!! ) % %#7 + % M#7 ) #)!)! ", #" ;F & 6.5 Rekursive Bewertung und dynamische Replikation 6.5. Binomiale Optionsbewertung über mehrere Perioden "#& #, &, " " #)"& %, &, " " & 9& #! #"&) ), & #) 6% %#9& % #&&! ) &!& %# " #) 7" # $ BH BH #)& 6% %# &! & : #)& ", #&&! & : & 4)!!%, # $ #, " #! ;, & N?4 #) 6% %#:, ) 9& :% J9& % &#9 &3 /

26 BH #)& 6% %# > > > > V#V : ### 3 V#V : ## -- V#V : # : ##& : #&# : &## / : : #& : &# 5? : & : &&# : #&& : &#& V&V3 3?3 : && V&V3?- : V&V3 &&& / 6% %#7 #%!! BH #)& ", #&&! & : & 4)!!% B 7 #%, & & #!# ;& ; > *G: > JRH & "&!!%,! 9#) & & 7 #% # " & & 4)!!%, $ ( R) d ˆ π + u d +7#,! 9&< #&,?4 G & H)) ) ) " & &$ X<WGX<H > X<W/ / ˆ π. 567 #&..8 ˆ π #& ", #&& 4) %#& #) &,! " & 9& :!& & & #%#& ) "7#!%)! "& )! 9#& & & )) 7#! G#!H# $ & ## ),!7# $?

27 [ ] ˆ π + C[ d]( ˆ π ) ( + R) C u C > > > > + πˆ +?3??-3 $GX<WH πˆ +- $GX<WH πˆ 3? + πˆ + πˆ πˆ +/ -35 $GX<WH 3/- $GX<WH + + πˆ πˆ πˆ /?/ + $GX<WH + πˆ + πˆ $GX<WH + πˆ + + B & ) &! :, & 6#,#)" ++ &,% < 9,!# %! & #! >.&, & 6#,#)" +, &! )9 9 & %! ;7 )#7#, "#& ) 7 )9& &#!,6% #& ) &,7" & 7 " & % 6.5. Dynamische Replikation " ^9.! < % ^ # 9 # " ) ^ # 9 # : ## : #& : && &) & < %!9"!& ##, " ), &!, &!%9 % 6)7 #% % & < % ) 9" G 7" & H& F)! +&7#& 9, #7" &, F G^9H % < %7#! 9#& < % & & ) " & 4 & #!9& &.) 7#!% )9!#&,# "& #& #!, #& # &! < % 9& 7" & M#7 9 ),!& ) & < %$ : #R&3 </9> J ;/95/ < % ;?95 ^ ;

28 !& 6% %#!, "!% 9 &!&< %$ ^/ ^L93 9-?6% N%# &#-/#!% -? &! &"& *% )& &! 6% " #)!% G%# PH4!&, & :,7 #) )!& &.! < % & 6% %#& & % 9"&& Q#& Vorzeitige Ausübung + 9;#&& & 6% 7 )#7#, #& ) & & $ - & &#& #),#&,7# - & 6% %#,7# 9" & # #)) 9&& ; F! & - " & B & "7 ) 9% & ; %# ) ), % 9##&& & 6% 7 )#7#, : & # &G:_9JH$ -, ) 6#,#)%f " & - & "%! )F " & 9&& 6% %#!# : % - & &9&& B, 6#,#) 9% 7!) )" & - %& 6% %#! &,#&C& )& 9% 7 ) 6#,#) 7 Binomiale Konvergenz 7. Binomialprozess B & ) & "#& & 7#)#& ) & 6% %#, <& %7 ) 6+& & G &!) H & % & #7" #! &! #& & 7 )! $,& #7# )#&&& #) % 97#)! #" #) % +%& +"#)" #&& 7& 7,! " & R& ;% #)& +)! ) #)#& ) < & 7# &!& 6!!!% &! "& G, H< & 7 $ : ## :V G#H G##HG# HG#H g : # :V G#H # G#H : : #& :V : & :V G&H & G&H : && :V G&H G&&HG& HG&H 3

29 & 9& #E! E!!!% +!#+"#)" #&7& < &! &, $ E[ ~ r n ] n E[ r~ ] n [ π ln( u) + ( π ) ln( d )] var[ ~ ] n var[ ~ r ] n π ( π ) ln[ u] r n +#) $ E[ ~ r n ] µ µ n t var ~ σ σ n #& [ ] r n + ),!7"!#) &, % & )&%C #7#7!) "" & +),7" 67 9#& & )&7# " $ H ;<<67$#C& G!;*9<9<#, 955H,H +h67$+q#,,.67$ggghi 6& : "&##& ;<< ) )) 7. CRR-Ansatz und -Approximation +"&& ) & 7#7! 6 ) $ #C& )$ # [#\#& & [&\)&#$ [#\[&\ < &,# "&.! # &!#) +"#)" #&7!#! &&!#). # +"&& &))#C&& ) 7+ ),!$ n ln[ u] ( π ) n µ t n π π ln u n σ ( ) ( [ ]) t &&!#)Q#& #&7#7" && 9) &#& *% MF#) & $ u e d e π + µ t + σ t µ t + σ t µ t µ t + σ t 5

30 !#) &!#"&)+"&&,& )! $ #! ) ^ G! ^H9",& > Q#&! & *" )+ ),!$ u e σ t σ t e σ t d e σ e t µ π + σ t B& +"#)" *%9& 7 &!#!*!) 7.3 Übergang vom Binomial- zu stetigen Prozessen #&7!)& " #) & )! 4# $& F)! : " &,! G "&,#) H9& : " & ) "! #&& ) "! "&,&% #!& " &#)4) :!!!% &! # % # " #) ( R) d B&% )$ ˆ π + u d e r t d #& ) $ πˆ u d & & % & #& " MF#) ) 79 ),!$ ˆ π r t µ t + σ t e e µ t + σ t µ t + σ t e e & O7#! 9"& s µ t + σ t) 7+)$ r t s e e πˆ s s e e 6# & 4 % #& < H,%9 &! & +* #% >. "!% $ aylor n x x 3 e + x + x + x +... n n! 6 "&! & Q#&! &,),! 6*H9&$

31 + r t s + s ˆ π s + s s + s ˆ π + r σ s t!)$&!#) 7&,) 9" ^UU9", & B! &,)!#)# ) 7, &)#) & 9"!, &! 67, & #) 7#&! & :! && : 7%) & 7, &,,) # +"#)" j^#& 7k > 9,"%& : 7%#& &)! ) 7& 4 7#& +# & 67!F)!9& % 4 G+"#)" #&H& % # 7 *%# ) ), k7#%, #&7&,) " #)#!7# +"#)" #&7# <% #)$ [ r ] n E[ r ] n r σ t r σ Eˆ ~ n ˆ ~ vâr ~ n vâr ~ r n σ t σ r n [ ] [ ] A, ))&! & % #, "%, & 4& #)& 6% %# >& +"#)" GHj7#ik 9 " &&, & 7 &! 4 & 7" 7 % ) 7 ) " & 9 & & % # #)7# O #)+"#)" ik #&7k % ) 9 & & & B# 7# < & #), ) #7 #)," " & 9 & +"#)" &#! & % 7#&& & ) < &!% "& +"#)" % &&# <% 7,))9 ik & "& % 7 #! &,,!, 4% & G 7! 6 & 4& H, <% 7, & " #) % < 9 >, 7! & <% #,& 7!#)E% # E& E 7 E " #)

32 7.4 tochastischer Aktienkursprozess 7.4. Geometrischer Wiener Prozess! " & 7" #%,#$#&9&)$ ri s i s ~ i e ~ r ln ~ s ln s i i i [ ] [ ] "! #& ) ) 7 #! 9&#)#&& 7 7" 7 )$ logjv^9k V^H ) 7# :&& #) ),!$ [ ~ s ] ln µ t ~ z ~ N(,) σ t +!!! 7 ) 9& )! 7! 7 # $ ~ µ ~ d ln[ s ] dt + σ z dt 7 & ) & +)! $ H 7 )G% :) H H <& %G&9") #F)!H H #"! & H 4 & Exkurs: Ito's Lemma B"! BM )!! #% $ f f ( W, t),!! #%9) # ) 7 9& )$ dw α dt + β dz t ( ) +$ GH #, G#HGH j#&k # G#HGH#&GHGH&#,))YY# + >. "!%#) $ f f f df dw + dt + ( α dt + β dz ) +... W t W

33 6 > #&! : G& Q#&! > "&##7 H) ) ) O##&%F ) " & 9,#& 7 > G&H & 7& 7 & >. "!%#) ) 7#&& 9 ),!& BM,% 6#&#!%$ f f β f f BM $ df dx dt W W W t β + α + + B) 7 && d#&`%+)!)&, ) < ##& % +!, 7 ) 9 &&< ##!&!% )) tochastischer Lognormalprozess B# ), " #)"&#&7 ) &!! 7 " & $ d µ + σ dt + σ dz!! )!#)9& MF#)!!& ) "! 7 $ ~ ~ s t s e µ t+ σ t z ( ) ", GH) B& % # #& +"#)" %) " & $ α µ + σ #& µ r σ $ α r!! 7!!# <% #7# ds s r dt + s σ dz <% # #&!! #) πˆ π k k πˆ d r C e C( ) µˆ µ ˆ µ r σ G% # " #)H

34 8 Das Black-choles-Merton Modell 8. Grundlagen 8.. 4& 9" %#7) "&9"#& D 5#,7 +, #& % # " #)7! & %,) 7 " 7#%) ;"$ & +"#)" r ~ ;$ C e E[ ( X )] ˆ max ; r ~ P e Eˆ max ; X #$ [ ( )] +G: > Je: > UJH & #& ;,! 9!,) %& +"#)" #&!% $ r C e Eˆ [ X > X ] G: HXGiVk H GJH #&, 7) #& ) #): > $ r r C e Eˆ [ > X ] e Eˆ [ X > X ] ) F )!!&, & % 4%7 ) 9&$ ˆ r E[ > X ] F N( z ) e N( z) ln ( ) r σ + $ z Xe σ +&!#& % # " 6% %#, 9# & &)#) & 6#,#) 6#&#!% 7 ) & " +) & )! 7" +"#)" %# " & $ Eˆ [ X > X ] X N( z ) ( ln r ) σ z Xe z σ σ + &! # & 6#,#) #7 & % #!!% & #,#)6& $ 6#&#!%7 )& " & )! -

35 7 #&7 R& &OG7 H #&OG7 H, /R&, & O #),! &7"! /#&9 " )9#& &7"! ; # $ r Call N z X e N ( ) ( ) 8.. Putoption z 6#)#&& 7 )" & 9& r + Put X, Xe Call X, ( ) ( ) + & 4& )&$ r Put N z X e N z [ ( ) ] [ ( ) ] 8. Implizite Volatilität B!%:! 4& & #%& 6% %# :9& :% J9 & ) 9% 7 9& k#&& M#7 >#k& F & %4%,7"%,,!,+) ) & 4& 7 & B #, % "#) & &#),) B Q#& 4%" & # & ) 4% &,,!,+%##& 4% k ) " & 9&& % k"&7, 7! 6) # & 7 9& 7! " #)& H " & " & #9&&! & 4%, 7 & & 4&,)), &!#)& 7 4& % 8.3 Grenzen des Black-choles 4& 6& #) & 6% %#7 #&&, " % +"#&, M# & & 4& " #) #& "!% 9& " ) % 6 4&!) ) $ - %! 6# $&& & ;9" & 7 ) 6#,#) % 4& & % && 6 #) ), 9#& )#& ) &!! 7 & " & + /

36 %! )! 7 " & " & 9& % ) 7 G ), % #&7 :),7"M!% #7 H, 4 #& B) & 4& "!% 9 &) *7 4& #) & :) " &) -!! 7!) 4&!! 7 9& &,! && $ dσ κ( σ σ ) dt + σ dt ~ z L σ +m& 6#) & & )) k M 9k k & & #& σ dt ~ z,!! 7 7 &!! & )! MF#)& - :!! 7 & 4& %) 7#) ), & %, &! 6 9 " 7& #),& G %#7 HM#7 6)! %!"% 6, & ) #! 9, )) G7; 9", & ) :!% & & &7# %H #&, G) # & H 6% & * & 6 % 7!!) - >%%, & < % 7 6 4& # $E &, F) 4 ) +) %9#& 7 & 7# E & 7 67#%& " #) B ), # &!!#)& 7 & " &)9 # &! >%% & + % 7#, #) 9), & : ) $ H & 6#)& ) & 4!6,# * G9"!& & %# "), %H9 H & 6#) ) ) #, " )#) G", & F)! " & #9!%# #F) 6#)H & H & 6#) ))&, " )#) 9", " & #& 4F)!%, 97"! 7 #& ) 7 & 4& #)& 7#" ) 7 7" #!&, < # 9,! >!%)+, #&&!#) % *GBn ;!##H+4& )& 7 "#& M & 53/ "!% σ 8.4 Anwendungen des Black-choles Modells 8.4. Dividendenzahlende Aktie #! %!& 6% %##&,&% & & %) " & $?

37 :W:GH &)#)& & #, 7" & 9G7#,, B&7 #& h#&& & H9,! & 6*, & &#!!! & & & G ) && &. &H 6* &)#& )#9" & & & 7#) ")!) ##& " )!,, & F & & & &$ D δ ln + ]) &,) 7& $ :W:V ]G>H & ),!&$ δ t r t C e N z Xe N ( ) ( ) ( ) ( ) δ ( t ) z e ln ( ) + σ r t X e z σ 67"#& 7# 4 5)!) 4!4 && & Currency / Foreign Exchange 67 )& && & 7 & 6% "&&.)9"& ) 9, # #&! ) &) W9", & ) & & & & &!$ ]W Futures ###,7"> %% & &9"&&.)! * & Q#&G7, %% #&;& H!% 5?&, & ) & 6" &#) $ " #) #> %% G> %%&.)H9" & %! * 9#& # )!9&, " ) & > %#97 Q#& 6% & *B& " #) G,7" ) H & # B, & & &.)& & #,))&9#"&!) #, 7 &&, % "&!& :%##) F9 ),!$ ( r r* )( t ) F e +) 7& $

38 ( r r* )( t ) ( r* )( t ) r ( t ) e N( z ) Xe N( z ) C F e z 9 Greek Letters 9. Überblick r ( t ) F e F ln ( ) σ + r t ln σ X e + X σ σ & <% 7#!7 9 " & < <% " & " & )!! #!,,) %79&, E %M E )+' ":; '' 6' C ) & : &, 7)!& 6% %# Γ C )& : &, 7)! & 6% %# > Θ C ) & : & t, 7)!& ) % C ) & : & σ, 7)!& < Ρ C ) & : & r!!& 7 ) Ω C ) & 7 # : & C!!& 7 # & #)& 6% %# & %M &!# 6, #) & +! &%F #& ) + % 7 & #)G!,#H& # ) 7#)F +"!)7#, % 9&# 99> #& :! 4& % &$& :4"#& % #&% & #)& F *& 4& )) )!7#) 9.. Delta!& 6% ) & < %G& )! 4& $ ;: VOG7 H & +!7 ) 9& ^OG7 H 3

39 !#))9,":7 #&7 %!, 9 OG7 H#&OG7 H:#&,)) ) +)!&,7 : ) 9.. Gamma & O!,7" *& C ; * Γ N' ( z ) σ "!), - - %# heta > ),9#"!& & 9" & ) ) 9 &!& 6% %#G& & #))F H & > & *& " &#) ",!9" #! &! ),$ C Θ < t, & " #)7 #%+)&Y9!& > &!& ; +")!", &, & < #7 $ C Θ > >9& < #7 τ 4),&& & %7#)& < #7 G6 D H #&, %! :% #), 7# 9..4 Vega & )# $ Vega N' ( z ) σ ),!9& ) ), & G#&!,# H & #) #7#" R&7##&,) && " & $ Vega Vega * σ, ) 9& # )7"! & #&& )7#,! $ Vega Γ σ U Y : 5

40 %! & ##)$ & & F9 & F!!,##!& )9&& G,!& H& 9..5 Omega (Leverage) " &7 6) R & & &! +) % # #, %$ & #) & )!)!7 #! & +) %#&& & )& $ Ω dc C d dc d C Underlying Eigenkapital h# &.)C+) %"&M 7! #) 7" 7 &7 #))&& $ Ω 9..6 Call vs. Put Eigenkapitaleinsatz Aktiengehalt Fremdfinanzierung EFG +) 7 #))& FFG &7 #))& Ω Aktiengehalt %M 4& A,!;#&#$ ; # N C ( z ) N' ( z ) > ΓP ΓC ΓC σ σ r σ ΘC N '( z ) rxe N( z ) Θ P N' z Vega C N' z σ Vega P VegaC ) ( ) P C r ( ) + rxe [ N( z )] 9. Fundamentale partielle Differentialgleichung FPDE +"&& & ),& $ C C C dc( ~, t) d + dt + σ s dt t dc( ~, t) d + Θdt + Γσ s dt %BM, %9& -

41 d µ + σ dt + σ dt ~ z % # " #)77 9& dc Eˆ r dt C && &; ) 7#&#) 9 ),!$ r + Θ + Γ σ C r #)& #& )!#)+$ ( C) r + Γ + Θ σ!#) ) " #) & : 7 ) # & & # )7"! ^9o#&p# :!7 ) 9&" &* "&9&> #% "&+ F *!#&#! #% " %# 9.3 Risikokomponenten der Option und ihre Bewertung ""!) B%& +9&!& <%% # #&& <%%, " " & %F +! #)& + $ σ C + Θ + Γ r r & +*# $ - #& 6% %#) 6% ) G^H - #& )& M#7 GpH - #& *)o +*# & " 4% $ - & 4% & 6% )!& 6% %#G:H - & 4%!C σ - & 4% & *! r -

42 Exotische Optionen B& 7% # 7 )! 9&!& ) #&&, G:&& 9 #.!H %#! & :, *! %, & & &#% & 6) #97# 9 4,, )#)! 6 &!) *!!" )9" " & #! Q#& 4% G>;H& )% 4% #& #E!! E4% ),+*!!& $ - %&% - &,)) - 4 %. Kontraktmodifikationen "&, )%, 7#&#&9" & & ) # &)#)," & 9" & )+ #% ),!, & % &#9 & & )!#& F %& 6#,#)" & - #& : & " %! #& #! : %F # 7##) " #% &, #) " & " )#), " & - ) B 6#,#)"& * &, )#, 7B! &7# ) "F! & 6#,#)"!&,))9" %& & ) -. & & B, & &<!96#,#) #, M#7 #& 6#,#) 9& & 6% %# 7 #%!97#, 7. Pfadabhängige Optionen &,)) & 6#,#)"!##& ) 7 #%,))9& ) E&E9& & # & +",& &#!! - 6! G6 )! H 6#,#)" & "&#)#&& &#!!! 6% %# " &, &# 6! & 7# 7# 6,! #) #),7".! #) " &, & " #)&! )& < ), G4 ;H :# - 6 ) :% "&& 6#,#) &, G %H, 9 #& 7" #)#& & &#!!! 6% %#,, & - M%,!% 6#! "&& 6#,#),, 9#&7""& 6% %#" && M#7 6#,#) ) 9 -

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