MATHEMATIK 3 STUNDEN

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Gert Holst
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1 EUROPÄISCHES ABITUR 2013 MATHEMATIK 3 STUNDEN DATUM : 10. Juni 2013, Vormittag DAUER DER PRÜFUNG: 2 Stunden (120 Minuten) ERLAUBTES HILFSMITTEL Prüfung mit technologischem Hilfsmittel 1/6 DE

2 AUFGABE B1 ANALYSIS Seite 1/5 Punkte Gegeben sind die Funktionen f und g durch 3 2 f( x) 2x 3x 2x = + und 2 gx ( ) x 2x =. a) Ermitteln Sie die x-werte der Schnittpunkte der Schaubilder von f und g, und geben Sie den Bereich der x-werte an, für die gilt f( x) gx ( ). b) Zeigen Sie, dass die Schaubilder von f und g eine gemeinsame Tangente im Punkt mit x = 0 besitzen. Bestimmen Sie eine Gleichung dieser Tangente. 0 c) Berechnen Sie ( f ( x) g( x)) dx. 2 Geben Sie eine geometrische Interpretation des Ergebnisses. 2/6

3 AUFGABE B2 ANALYSIS Seite 2/5 Punkte Auf einer Insel, wo es bisher keine Eichhörnchen gab, werden einige Eichhörnchen ausgesetzt. In einem mathematischen Modell kann die Population der Eichhörnchen auf der Insel beschrieben werden durch die Funktion f mit 1320 ( ) =. 1 + e f x 5,1 0,66 x Dabei steht x für die Zeit in Jahren nach dem Aussetzen der Eichhörnchen. a) Wie viele Eichhörnchen wurden auf der Insel ausgesetzt? b) Wie viele Eichhörnchen leben auf der Insel nach 6 Jahren? c) Wann werden 720 Eichhörnchen auf der Insel leben? d) In diesem Modell tritt die Zahl 1320 auf. Was bedeutet diese Zahl für die Population der Eichhörnchen? e) Ein anderes Modell beschreibt die Population der Eichhörnchen durch die Funktion g mit 2 gx ( ) = 18,5x 59x+ 8. Kommentieren Sie die beiden Modelle. Welches Modell würden Sie verwenden? Begründen Sie Ihre Antwort. 3/6

4 AUFGABE B3 WAHRSCHEINLICHKEIT Seite 3/5 Punkte In einer Studie wird eine Personenmenge in zwei Gruppen A und B eingeteilt. Der Ruhepuls, gemessen in Pulsschlägen pro Minute, ist bei der Gruppe A normalverteilt mit einem Mittelwert von 80 und einer Standardabweichung von 10. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine aus der Gruppe A zufällig ausgewählte Person einen Ruhepuls zwischen 70 und 100 besitzt. Geben Sie Ihr Ergebnis auf 3 Dezimalstellen an. b) Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig aus der Gruppe A ausgewählte Person einen Ruhepuls besitzt, der kleiner als k ist, beträgt 0,16. Berechnen Sie k. Der Ruhepuls, gemessen in Pulsschlägen pro Minute, ist bei der Gruppe B normalverteilt mit einem Mittelwert von % der Gruppe B haben einen Ruhepuls zwischen 40 und 60. c) Berechnen Sie die Standardabweichung für die Gruppe B. 98% der untersuchten Personen sind in der Gruppe A, die restlichen sind in der Gruppe B. d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig aus der untersuchten Personenmenge ausgewählte Person einen Ruhepuls besitzt, der kleiner als 55 ist. Verwenden Sie bei Ihrer Rechnung den Wert σ = 5 für die Standardabweichung in der Gruppe B. 2 Punkte e) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person zur Gruppe B gehört, wenn bekannt ist, dass diese Person einen Ruhepuls besitzt, der kleiner als 55 ist. 2 Punkte 4/6

5 AUFGABE B4 STATISTIK Seite 4/5 Punkte Die folgende Tabelle zeigt die Ergebnisse von Messungen für den Blutdruck y von 8 Männern zusammen mit ihrem Alter x in Jahren. Alter x Blutdruck y a) Bestimmen Sie eine Gleichung für die Regressionsgerade mit y in Abhängigkeit von x. b) Bestimmen Sie den linearen Korrelationskoeffizienten zwischen x und y. 2 Punkte c) Bestimmen Sie für die gegebenen Daten eine Gleichung für die Gerade von Mayer. 5/6

6 AUFGABE B5 STATISTIK Seite 5/5 Punkte In der folgenden Tabelle sind für ein bestimmtes Land die Einnahmen aus dem Tourismus y in Millionen aufgeführt, wobei x die Zahl der Jahre nach 2005 angibt: Jahr x Tourismus-Einnahmen y Die Funktion f mit der Gleichung f( x) = e 10,13 + 0,07 x dient als Modell für die gegebenen Daten, das heißt f( x ) schätzt die Tourismus- Einnahmen in Millionen für die Jahre x. a) Verwenden Sie dieses Modell und berechnen Sie die Tourismus-Einnahmen für b) Verwenden Sie dieses Modell und bestimmen Sie das Jahr, in dem die Tourismus-Einnahmen den Wert von Millionen überschreitet. c) Bestimmen Sie eine Gleichung für die exponentielle Regression mit y als Funktion von x unter Verwendung der gegebenen Daten. Vergleichen Sie diese Gleichung mit y = f( x). 6/6

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