7. Mathematik Olympiade 2. Stufe (Kreisolympiade) Klasse 9 Saison 1967/1968 Aufgaben und Lösungen

Transkript

1 7. Mthemtik Olympide. Stufe (Kreisolympide) Klsse 9 Sison 1967/1968 Aufgben und Lösungen 1

2 OJM 7. Mthemtik-Olympide. Stufe (Kreisolympide) Klsse 9 Aufgben Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen und Nebenrechnungen soll deutlich erkennbr in logisch und grmmtiklisch einwndfreien Sätzen drgestellt werden. Zur Lösungsgewinnung herngezogene Aussgen sind zu beweisen. Nur wenn eine so zu verwendende Aussge us dem Schulunterricht oder us Arbeitsgemeinschften beknnt ist, genügt es ohne Beweisngbe, sie ls beknnten Schverhlt nzuführen. Aufgbe 07091: Mn ermittle die Anzhl ller Pre zweistelliger ntürlicher Zhlen (m, n), für die m + n = 111 gilt. Aufgbe 0709: Für zwei rtionle Zhlen und b gelten die vier Ungleichungen + b ; b 10; b 5; : b 18, 75. Die Zhlen ; 10; 5 und 18,75 stimmen jedoch (in nderer Reihenfolge) mit je einer der Zhlen + b, b, b und : b überein. Ermitteln Sie die Zhlen und b! Aufgbe 0709: In einer lten Denksportufgbe soll mn einen Grben, der überll gleich breit ist und einen rechtwinkligen Knick mcht, mit Hilfe von zwei Bohlen überqueren, die genu so lng sind, wie der Grben breit ist. Die gesuchte Lösung (ohne Berücksichtigung der Breite der Bretter) ist die in der Abbildung gezeichnete.... ) Zeigen Sie durch eine Rechnung, dß diese Lösung richtig ist! b) Die Breite des Grbens und die Länge der Bohlen sei, die Breite der Bohlen sei b. Welchen Wert ht ds Verhältnis b :, wenn die Bretter die in der Abbildung gezeigte Lge hben? (Ein Durchbiegen der Bohlen und eine bedingte Trgfähigkeit des Grbenrndes sollen nicht berücksichtigt werden.) Aufgbe 07094: Einem regelmäßigen Okteder ist eine Kugel umschrieben. Berechnen Sie ds Verhältnis der Oberflächeninhlte beider Figuren!...

3 OJM 7. Mthemtik-Olympide. Stufe (Kreisolympide) Klsse 9 Lösungen Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen und Nebenrechnungen soll deutlich erkennbr in logisch und grmmtiklisch einwndfreien Sätzen drgestellt werden. Zur Lösungsgewinnung herngezogene Aussgen sind zu beweisen. Nur wenn eine so zu verwendende Aussge us dem Schulunterricht oder us Arbeitsgemeinschften beknnt ist, genügt es ohne Beweisngbe, sie ls beknnten Schverhlt nzuführen. Lösung 07091: Zunächst soll die Vrible m mit dem größten zweistelligen Wert, nämlich der Zhl 99 belegt werden. In diesem speziellen Fll müsste der Wert der Vriblen n = 1 betrgen, um die Bedingung der gestellten Aufgbe zu erfüllen, d = 1 gilt. Jetzt soll der Vrible n der größte zweistellige Wert, lso die Zhl 99 zugewiesen werden. Nun muss der Wert der Vriblen m = 1 sein, um der Forderung der Aufgbenstellung gerecht zu werden. Zwischen diesen beiden Grenzwerten für (m, n), nämlich (99, 1) und (1, 99), sind lle zweistelligen ntürlichen Zhlenpre (m, n) möglich, solnge m im Intervll 99 m 1 bleibt und demnch für die Bildung von n die Gleichung n = 111 m verwendet wird. Dekrementiert mn die Vrible m um einen bestimmten Wert und inkrementiert gleichzeitig die Vrible n um den gleichen Wert, bleibt uch der Betrg der Summe m + n konstnt bei 111. Zur Bestimmung der Anzhl der möglichen Pre (m, n) genügt es lso, die Anzhl der möglichen verschiedenen Werte für die Vrible m im Bereich 99 m 1 zu ermitteln. D die Vrible m uch die beiden Grenzwerte des Bereiches zwischen 1 und 99 nnehmen knn, berechnet sich sie Anzhl der möglichen Vriblenwerte us der Differenz des oberen und des unteren Grenzwertes des Bereiches zuzüglich der Ziffer eins. Wir erhlten lso =88 verschiedene Möglichkeiten für m. Dher gibt es uch genu 88 Pre zweistelliger ntürlicher Zhlen (m, n) für die m + n = 111 gilt. Aufgeschrieben von Stefn Knott Quelle: (0) Lösung 0709: gegeben: gesucht: + b b 10 b 5 : b 18, 75, b R, b Lösung: Wir bilden zunächst ds Produkt us den linken Seiten der Ungleichungen b und : b. Somit ergibt sich: ( b) ( : b) = b b = = (1) Demnch müssen bei den vorgegebenen Werten, 10, 5 und 18,75 mindestens Zhlen existieren, deren Produkt eine solche Qudrtzhl ergibt, dss deren Wurzel eine rtionle Zhl drstellt.

4 Bei zwei Fktoren (k) und vier möglichen Werten (n) gibt es genu Möglichkeiten zur Bildung dieses Produktes. n! (n k)! = 4! (4 )! = 1 Berücksichtigt mn nun noch die Ttsche, dss die Fktoren eines Produktes vertuscht werden können (Kommuttivgesetz), so bleiben demnch noch 1 = 6 verschiedene Möglichkeiten zur Produktbildung übrig. Diese sind in der nchfolgenden Tbelle ufgeführt: Möglichkeit Fktor 1 Fktor Produkt ( ) Qudrtwurzel us Produkt () nicht rtionl 10 0 nicht rtionl 18,75 56,5 7,5 bzw. -7, nicht rtionl ,75 9,75 nicht rtionl ,75 187,5 nicht rtionl Wie us der oben stehenden Tbelle ersichtlich, ist nur bei der Möglichkeit drei ds gebildete Produkt ein Qudrt us einer rtionlen Zhl. Alle nderen Möglichkeiten erfüllen diese Bedingung nicht und entfllen somit. Dher bleibt für nur ds Produkt 56,5 übrig, mithin ergibt sich für : = 56, 5 Die Vrible besitzt lso zwei Lösungen, nämlich: Betrchten wir nun nochmls die Gleichung (1). Wegen ( b) ( : b) = und = 56, 5 = 18, 75 gilt: 1 = 7, 5 = 7, 5 () ( b) ( : b) = 18, 75 () Dmit bestehen nun für die beiden Fktoren ( b) und ( : b) folgende zwei Möglichkeiten: 1. Fll: ( b) = ; ( : b) = 18, 75 In diesem ersten Fll ergeben sich wegen b = bzw. b = unter Berücksichtigung von () folgende Lösungen: 18, 75 für die Vrible b b 1 = = 1 7, 5 = 0, 4 b = = = 0, 4 (4) 7, 5. Fll: ( b) = 18, 75 ; ( : b) = 18, 75 Im zweiten Fll ergeben sich wegen b = Berücksichtigung von () folgende Lösungen: bzw. b = für die Vrible b unter b 1 = Die Fllunterscheidung ist dmit vollständig. 18, 75 18, 75 = 1 7, 5 =, 5 b 18, 75 18, 75 = = =, 5 (5) 7, 5 Wir hben nun bis zu diesem Zeitpunkt für die Vriblen und b vier mögliche Zhlenpre gefunden. Diese luten: 4

5 Möglichkeit Vrible Vrible b Summe + b 1 7,5 0,4 7,9-7,5-0,4-7,9 7,5,5 10,0 4-7,5 -,5-10,0 Um nun die vier verbleibenden Möglichkeiten weiter einzugrenzen, bilden wir schließlich noch die Summe + b und ergänzen die oben stehende Tbelle entsprechend (siehe Splte 4). Nur die Summe der dritten Möglichkeit stimmt mit einer der vorgegebenen Zhlen (; 5; 10; 18,75) überein. Wir hben demnch genu die Lösung der Aufgbenstellung gefunden. Sie lutet = 7, 5 und b =, 5. Abschließend kontrollieren wir noch, ob die gefundenen Werte lle Bedingungen der gestellten Aufgbe erfüllen. Dzu setzen wir die ermittelten Vriblenwerte entsprechend ein: 7, 5+, 5 7, 5, , 5, 5 5 7, 5 :, 5 18, 75 7, 5+, 5 = 10 7, 5, 5 = 5 7, 5, 5 = 18, 75 7, 5 :, 5 = D wir nch dem Einsetzen nur whre Aussgen erhlten hben, wurde die gefundene Lösung bestätigt. Aufgeschrieben von Stefn Knott Quelle: (0) Lösung 0709: Plnfigur Aufgbenteil : Plnfigur Aufgbenteil b: Aufgbenteil : Skizzen nicht mßstbsgerecht! 5

6 Zunächst ermitteln wir die mximle Entfernung, die durch die beiden Bretter mit der Länge überbrückt werden knn. Dzu setzten wir lut Aufgbenstellung vorus, dss die Breite der Bretter unberücksichtigt bleibt und ds diese so wie uf der Abbildung drgestellt, im rechten Winkel zueinnder liegen (rote durchgehenden Linien in der linken Plnfigur). Mithin gilt: AB = LY = (1) AL = BL = () Demnch ist ds Dreieck ABC rechtwinklig mit der Strecke CL ls Höhe. Nch dem Höhenstz gilt: ( CL ) = AL BL () Aus () und () folgt somit: ( ) CL = AL = BL = (4) ( CL ) = ( ) rdizieren (5) CL = (6) Wegen () und (6) ist dmit ber uch: AL = BL = CL = (7) Dmit beträgt die Länge der mximl überbrückbren Strecke mit Brettern: + = (8) Berechnen wir nun die Entfernung der beiden Grbenecken (Punkte X und Y ). Lut Aufgbenstellung stellt ds Viereck XU Y V ein Qudrt mit der Seitenlänge dr, die Strecke XY entspricht genu der Digonlen dieses Qudrtes. Für die Digonle d eines Qudrtes gilt: In unseren speziellen Fll bedeutet dies: d = (9) XY = (10) Vergleichen wir nun die mximl überbrückbre Strecke (8) mit der Entfernung der beiden Grbenecken (10): (11) D die Vrible in jeden der beiden Terme (8) und (10) vorkommt, können diese zur Vereinfchung des Vergleiches noch jeweils durch dividiert werden: : : (1) (1) 6

7 Somit genügt es nun die beiden reellen Zhlen und miteinnder zu vergleichen. Es gilt >, dher knn der Grben mit Hilfe der beiden Bretter überquert werden. Aufgbenteil b: Die nchfolgenden Betrchtungen beziehen sich uf die rechte der beiden oben stehenden Plnfiguren. Wie bereits im Aufgbenteil gezeigt, beträgt die Länge der Strecke XY : XY = (14) Weiterhin ist lut den Bedingungen der Aufgbenstellung ds Dreieck ZEX rechtwinklig und gleichschenklig. In einem solchen Dreieck beträgt die Winkelgröße eines Bsiswinkels genu 45, so ntürlich uch der Bsiswinkel ZEX im Dreieck ZEX. Die Winkel ZEX und DEF sind Scheitelwinkel, dher hben diese die gleiche Größe. Außerdem hndelt es sich bei den verwendeten Bohlen um rechteckige Bretter, dher ist ds Dreieck DEF ebenflls gleichschenklig und rechtwinklig. Mithin ist die Dreieckseite DF eben dieses Dreieckes die Breite b der verwendeten Bretter, dher gilt: DF = EF = b (15) Ein weiteres gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck ist ds Dreieck XEL, somit ist: XL = EL (16) Die Strecke F L besteht us den Teilbschnitten EF und EL, entsprechend den gestellten Vorussetzungen beträgt ihre Länge (siehe uch ()), demnch ist: = F L = EF + EL (17) Aus (15), (16) und (17) ergibt sich durch Substitution von EF und EL : = EF + EL EF = b (18) = b + EL EL = XL (19) = b + XL b (0) XL = b (1) Ds Dreieck GY H ist ebenflls gleichschenklig und rechtwinklig (rechter Winkel bei Punkt H). Außerdem entspricht, wie us der Plnfigur ersichtlich, die Länge der Kthete GH der hlben Breite eines Brettes. Es ist: GH = Y H = b () Die Länge der Strecke LY ergibt sich nun us der Differenz der Strecken LH und Y H, wobei j LH der Gesmtlänge eines Brettes entspricht: LY = LH Y H = Y H () 7

8 Y H ersetzen wir noch durch den Term () und erhlten somit für LY : LY = Y H Y H = b (4) LY = b (5) Betrchten wir schließlich wieder die Strecke XY. Diese setzt sich us den Teilstrecken XL und LY zusmmen, somit ist: XY = XL + LY (6) Die Substitution der Teilstrecken XL und LY durch die Terme (1) und (5) ergibt: XY = XL + LY XL = b (7) XY = XY = ( ) b + LY LY = b (8) ( ) ( b + b ) Klmmern uflösen (9) XY = b + b zusmmenfssen (0) XY = b usklmmern (1) XY = ( b) () Wir hben nun zwei verschiedene Möglichkeiten erhlten, die Länge der Strecke XY zu berechnen, nämlich mit den beiden Gleichungen (14) und (). 8

9 Um schließlich ds gesuchte Verhältnis b : zu ermitteln, setzen wir wie folgt fort: XY = siehe (14) () XY = ( b) siehe (), XY = XY (4) = ( b) Bruch erweitern (5) = ( b) = b usklmmern (7) ( = 1 b ) : (8) = 1 b + b b + = 1 (40) b = 1 Produkt ls Bruch schreiben (41) b : = 1 (4) Ds Verhältnis b : ht den Wert von 1 gezeigte Lge hben., wenn die Bretter die in der Abbildung (6) (9) Aufgeschrieben von Stefn Knott Quelle: (0) Lösung 07094: gegeben: regelmäßiges Okteder mit Kugel umschrieben gesucht: Lösung: Verhältnis Oberflächeninhlt Okteder A Okt zum Oberflächeninhlt Kugel A Kugel, lso A Okt : A Kugel Um ds Verhältnis der Oberflächeninhlte der beiden Figuren zu bestimmen, müssen diese Flächen zunächst beknnt sein. Der Oberflächeninhlt einer Kugel A Kugel lässt sich leicht mit der llgemein gültigen Formel bestimmen. A Kugel = 4 π r (1) 9

10 Die Formel zur Berechnung des Oberflächeninhltes eines regelmäßigen Okteders lutet: A Okt = () Nun müssen wir noch einem Zusmmenhng zwischen dem Rdius r der Kugel und der Kntenlänge des Okteders herstellen. Hlbiert mn den Okteder genu zwischen den beiden Spitzen, so erhält mn ls Schnittfläche ein Qudrt mit der Seitenlänge, die j uch gleichzeitig der Kntenlänge des vorgegebenen Okteders entspricht. Für die Länge d der Digonle eines Qudrtes in Abhängigkeit seiner Seitenlänge gilt: d = = () Der Rdius r der umschreibenden Kugel entspricht nun genu der Hälfte der Länge der Digonlen dieses Schnittflächenqudrtes. Unter Berücksichtigung von () ist dher: r = (4) Wir ersetzen nun in der Gleichung (1) zur Bestimmung des Oberflächeninhltes der Kugel den Rdius r durch den Term (4) und erhlten somit für die Oberfläche der Kugel: A Kugel = 4 π r r = (5) ( ) A Kugel = 4 π Potenz bilden (6) ( ) A Kugel = 4 π 4 kürzen (7) ( ) A Kugel = 4 π ls Bruch schreiben (8) A Kugel = 4 π kürzen (9) A Kugel = π (10) Schlussendlich sind wir nun in der Lge, ds gesuchte Verhältnis zu bilden, in dem wir die Gleichungen zur Ermittlung der entsprechenden Flächen () und (10) zueinnder ins Verhältnis setzen: A Okt = A Kugel π kürzen (11) A Okt = A Kugel π Verhältnis mit Dezimlpunkt schreiben (1) A Okt : A Kugel = : π (1) Abschließend knn lso gesgt werden: Der Oberflächeninhlt des regelmäßigen Okteders verhält sich zum Oberflächeninhlt der umschreibenden Kugel wie zu π. Aufgeschrieben von Stefn Knott Quelle: (0) 10

11 Quellenverzeichnis (0) Unbeknnt 11