MATHEMATIK-WETTBEWERB 2016/2017 DES LANDES HESSEN

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1 MATHEMATIK-WETTBEWERB 206/207 DES LANDES HESSEN 3. RUNDE LÖSUNGEN AUFGABENGRUPPE A. a) L { 2; ; 0; ;...}, denn b) L Z G, denn. Fall: 3 (x 7) (x 3)(x 7) x 7 oder 3 x 3 x 7 oder x 6 2. Fall: 3 (x 7) < (x 3)(x 7) x 7 > 0 und 3 < x 3 oder x 7 < 0 und 3 > x 3 x > 7 und x > 6 oder x < 7 und x < 6 x > 7 oder x < 6 5 c) L {4; 5; 6; 8; 9; 0;...}, denn (x 7) 2 > 0 gilt immer für x 7. x + 3 > 0 und x 2 9 > 0 oder x + 3 < 0 und x 2 9 < 0 x > 3 und x 2 9 > 0 oder x < 3 und x 2 9 < 0 x > 3 d) L { 7; 6; 5; 4, 3}, denn (x 7) 2 > (x 7) 2 (x + 7) (x + 3) für x > 7 gilt: > (x + 7) (x + 3) 2. a) Dreieck ACD it gleichchenklig, alo it α al Außenwinkel gleich der Summe 2δ der Baiwinkel. ɛ β : 2 analog b) Hinweie zur Kontruktion de Dreieck ABC: Strecke DE a + b + c mit Kennzeichnung der Punkte D und E. α : 2 2 an D β : 2 33 an E Schnitt der freien Schenkel in C Antragen von α : 2 2 in C (oder m DC ) chneidet Strecke DE in A Antragen von β : 2 33 in C (oder m CE ) chneidet Strecke DE in B c) () Hinweie zur Kontruktion eine Dreieck ABC: Kontruktion eine möglichen Punkte C z. B. al Umkreimittelpunkt de Dreieck ABC (2) Alle weiteren möglichen Punkte C liegen auf einem Fakreibogen um M durch A, B, C. Kontruktion de Umkreimittelpunkte M de Dreieck ABC 3. a) Zeichnung Rechteck Nach Thale liegt über jedem Durchmeer ein rechter Winkel. Jede Viereck mit vier rechten Winkeln it ein Rechteck. b) () Kontruktion de Dreieck

2 Kontruktion dreier Thalekreie (2) In einem pitzwinkligen Dreieck liegt z. B. der Höhenfußpunkt H a auf der Seite a. Da Dreieck AH a C it rechtwinklig. Somit it H a der Schnittpunkt de Thalekreie über AC mit a. (für die anderen Schnittpunkte analog) (3) In einem tumpfwinkligen Dreieck chneiden ich je zwei Thalekreie in einem Höhenfußpunkt, der auf der Verlängerung der Dreieckeite liegt. (4) In einem rechtwinkligen Dreieck chneiden ich alle Höhenfußpunkte in der Ecke, die den Scheitel de rechten Winkel bildet. Alo chneiden ich dort auch alle drei Thalekreie. c) Die Diagonalen müen enkrecht tehen. Man etzt vier rechtwinklige Dreiecke entlang der Katheten zuammen. d) E müten ich fünf rechte Winkel mit gemeinamem Scheitel zu 360 ergänzen. 4. a) (.) t RF ,57 v R 20m t R v F t F v RF 7 m 3 v RF t RF (.2) t RF v rf (2) t F R 60 t F R 20 m 20m v F R b) t L ,3 t LR + t R t L m 20m 3 7m 60 7 v R + v F + t R t F t L t LRt R t R t LR v F v R t Rt L t R + t L t F t R t Rt F t R + t F t Rt F t R t F 5. a) () a (oder a 2) (2) a 2 (oder a 22) (3) a 0 b) () y (20 + x) (2) Äquivalenz von (20 + ( 20 x)) (( 20 x) : x) 20 + x gezeigt (20 + ( 20 x)) (( 20 x) : x) x ( 20 : x ) c) () Die Werte 00 + x y ind Quadratzahlen. (2) algebraiche Herleitung und Begründung (20 + a) a : x y 20a + a 2 xy a + a xy (0 + a) xy (0 + a) 2 ergibt für jede ganze Zahl a eine Quadratzahl. 6. a) () E ind 80 Zuchauer. 0,4n + + 0,5n ,025n + 2 n 0,925n + 6 n 0,075n 6 (2) Der Anteil der Schüler teigt um ca. 2,4 Prozentpunkte.

3 , ,974 0,95 0,024 b) () Der Anteil der Schüler inkt auf ca. 92,3 %. Vor der Halbierung ind e 20 Schüler und 5 Lehrer. Der Anteil der Schüler nach der Halbierung beträgt S (2) 2 0,48n S 2 + L 0,48n + 0,04n 0,52 0, S S + L 0,96n 0,96n + 0,04n (S: urprüngl. Anzahl der Schüler, L: Anzahl der Lehrer) 7. a) () x 7 0 P ( ja ) 2 3 x + ( x) x x x 7 30 (2) x 0 3 P ( ja ) 3 x + 2 ( x) x x x 3 30 (3) Einetzen von p 2 ergibt die unwahre Auage b) P ( ja ) 2 x + ( 2 ) w 2 x + 2 w 2 x w 2 x 2w

4 MATHEMATIK-WETTBEWERB 206/207 DES LANDES HESSEN 3. RUNDE LÖSUNGEN/BEWERTUNGEN AUFGABENGRUPPE B Für jede Aufgabe it die angegebene Geamtpunktzahl owie die Verteilung auf die Teilfragen verbindlich. Die angegebenen Teillöungen ind lediglich al Beipiele anzuehen. Für Teillöungen und Löunganätze ind Punkte zu gewähren. Bei Folgefehlern erfolgt kein erneuter Punktabzug. Von jeder Schülerin/jedem Schüler werden vier Aufgaben gewertet.. a) () L {... ; 3; 2; } 5x [4x 0 5x] 4 5x 4x x 4 6x x 6 x (2) L {3} oder x 3 (x 3)(x + 3) x 2 x 6 x 2 9 x 2 x 6 9 x 6 3 x b) 2 kg Mandeln und 8 kg Walnüe z. B. 20x + 5(0 x) 60 20x x 60 5x 0 x 2 2. a) () Hinweie zur Kontruktion de Sehnenviereck ABCD mit Bechriftung Krei mit r 4 cm, A markieren. AB 3,5 cm. DA 5 cm. Antragen von δ in D. Schnittpunkt der Halbgeraden c mit Krei it C. (2) Hinweie zur Kontruktion de Sehnenviereck ABCD mit Bechriftung Krei mit r 4 cm, A markieren. AB 4 cm BC 4 cm CD 4 cm b) AC 2 r Durchmeer de Kreie β δ 90 (Satz de Thale) α + γ c) (3) und (4) bei mehr al zwei Löungen 3. a) () / falche Auage (alo keine pythagoräichen Tripel) (2) / wahre Auage (alo pythagoräiche Tripel) Teilpunkte Punkte

5 (3) / wahre Auage (alo pythagoräiche Tripel) (b) () Da Zahlentripel lautet ( ) a b c (2) m 2; n (3) z. B. m 5; n 4: (9 40 4) (4) Bewei (m 2 n 2 ) 2 + (2mn) 2 (m 2 + n 2 ) 2 (m 2 ) 2 2m 2 n 2 + (n 2 ) 2 + 4m 2 n 2 (m 2 ) 2 + 2m 2 n 2 + (n 2 ) 2 4. a) () 4 cm (2) 72 Würfel 64 Würfel 8 Würfel b) a 5 cm Volumen de großen Würfel: (2 cm) cm 3 Volumen eine Würfel mit Kantenlänge 9 cm: (9 cm) cm 3 Volumen de Retkörper: 729 cm 3 cm cm 3 Volumen der acht kleinen Würfel: 728 cm cm cm 3 Volumen eine kleinen Würfel: 000 cm 3 : 8 25 cm 3 c) a 5 cm Oberfläche de großen Würfel: 6 (0 cm) cm 2 ichtbare Flächen beider Würfel: 5 (0 cm) a 2 Anatz zur Löung (z. B. Gleichung): 600 cm cm a 2 5. a) () 949 Mio. Euro 00 % (5 % + 2 %) 73 % 00 % entprechen 300 Mio. Euro. % entpricht 3 Mio. Euro. (2) rund 929 Mio. Euro 300 Mio. Euro entprechen 40 % : ,57... (3) Rita hat nicht recht. E ind mehr al 3 Wochen. 360,5 540 Stunden 540 : 24 22,5 Tage 22,5 : 7 3 Wochen und,5 Tage alternativ: 365,5 547,5 547,5 : 24 22,8 (4) Nachwei für rund 8 min: 90 Minuten entprechen 0 % : 0 8,8... Minuten b) () 5 % 0,6 : 4 oder 0,6 0,25 (2) (A) 6. a) 832 e 2600 kwh 32 Cent/kWh

6 83200 Cent b) 3800 kwh 940 e : 0,25 e/kwh 3760 kwh c) () Der Jahretrombedarf hat ich um 26 % verringert kwh 2600 kwh 900 kwh 900 kwh von 3500 kwh 25,7 % (2) Kim hat nicht recht. mit Begründung. 00 % 26 % 74 % 74 % von 970 e 77,80 e ( 790 e) alternativ 790 : % d) Der Stromverbrauch it gut. mit Begründung : 6 : kwh/jahr/peron 7. a) () dreitufige Baumdiagramm mit Wahrcheinlichkeiten. Die Wahrcheinlichkeit jede Ate it 0,5. (2.) 2 oder 8 (2.2) 3 2 oder 3 8 (2.3) 4 ( 2 oder ) oder 8 2 (2.4) oder 8 oder 7 8 b) oder 64 oder 63 64

7 MATHEMATIK-WETTBEWERB 206/207 DES LANDES HESSEN 3. RUNDE LÖSUNGEN/BEWERTUNGEN AUFGABENGRUPPE C Für jede Aufgabe it die angegebene Geamtpunktzahl owie die Verteilung auf die Teilfragen verbindlich. Die angegebenen Teillöungen ind lediglich al Beipiele anzuehen. Für Teillöungen und Löunganätze ind Punkte zu gewähren. Bei Folgefehlern erfolgt kein erneuter Punktabzug. Von jeder Schülerin/jedem Schüler werden vier Aufgaben gewertet.. a) () x 2, x x x 8 0x 24 (2) x 28 6,5x 2,5 2, + 2,4 + 6,4x 6,5x 2,5 0,3 + 6,4x 0,x 2,5 0,3 0,x 2,8 b) a) Antwort Frau Förter hat nicht recht. mit Rechnung Neuer Tarif : ct ct ct 870 e 870 e + 95,40 e 965,40 e b) 82 m 3 5, e 2 6,32 e 93, 34 e 6,32 e 32,02 e 32,02 e :,6 e/m 3 c) 475,60 e 00 % entprechen 240 e. % entpricht 2,40 e. 9 % entpricht 235,60 e. 3. a) Antwort Die Behauptung it falch. mit Rechnung z. B Peronen 400 Peronen Peronen Peronen Peronen alternativ: : b) Einwohner Einwohner : Einwohner Einwohner 7 Teilpunkte Punkte

8 Einwohner c) Peronen 00 % entprechen Peronen. % entpricht 550 Peronen. 2,6 % entprechen 4030 Peronen. d) niedrigte Einwohnerzahl: höchte Einwohnerzahl: a) () korrekte Planfigur (2) Kontruktion de Dreieck ABC mit Bechriftung Zeichnen der Seite a und β 40 Antragen von γ 60 b) Antwort Tina hat recht. mit Begründung z. B. Die Seite c mu kürzer al die Summe von a und b ein. c) Berechnung von h 5 cm A c 2 h 2 A c h 30 cm 2 6 cm h Kontruktion de Dreieck ABC mit Bechriftung Zeichnen der Seite c und Halbierung Vorhergehende und Zeichnen der Höhe h 5. a) h,5 cm b) A 8 cm 2. Reihe: A 2 cm,5 cm 3 cm 2 2. Reihe: Länge a 6 cm 2 cm 4 cm A 2 4 cm,5 cm 6 cm 2 3. Reihe: A 3 6 cm,5 cm 9 cm 2 c) korrekte Übertragen der gegebenen Figur korrekte Ergänzung einer vierten Reihe mit der Länge 8 cm d) A 69 cm 2 A 23 3 cm 2 e) 7 Rechtecke Eine Löungtrategie mu erkennbar ein. z. B. ( ) cm 2 84 cm 2 6. a) () 44 m 2 A Quadrat 4 m 4 m A Quadrat 6 m 2 A Dreieck 4 m 3,5 m 2 A Dreieck 7 m m 2 28 m 2 28 m m 2 (2) 534,40 e 44 m m m m m m 2 2,80 e/m 2

9 b) () Antwort: E paen 8 Iomatten in ein Zelt. z. B. 4 m : 0,5 m 8 4 m :,75 m 2, In den Ret (0,5 m 4 m) paen noch 2 Iomatten. (2) frei bleibender Ret: 0,5 m 0,5 m 0,25 m 2 7. a) 6 und 2 b) 8 c) p 36 d) p Möglichkeiten e) Runde : Runde: 8 36 f) 36 Simon kann nicht gewinnen. Toni mu mindeten 6 Punkte würfeln. Möglichkeiten g)