= Ortsd. x ih. (stetige WF)

Transkript

1 Produte vo Operatore. Kommutator 6 Wohe 17./ Def.: ( )  ( )  (5.10) Im Allgemee sd Operatore ht vertaushbar. De Dffere [ Â, ] :   (5.11) wrd Kommutator der Operatore  ud geat. [ ] x h h x h x x h x 1 x h xˆ,pˆ x Ortsd. omplexe Zahl, 0 (stetge WF) x, x x x x δ Ortsd. δ xˆ,pˆ also [ ] h δ (5.1) Bem.: Verglehe mt fudametale Posso-Klammer. Kompoete des Bahdrehmpulses Drehmpuls L r p Korrespode prp Lˆ rˆ pˆ Orts darst. h r Für de Kommutator der Operatore der Kompoete des Drehmpulses erhalte wr [ Lˆ,Lˆ ] [ y pˆ pˆ, pˆ x pˆ ] [ y pˆ, pˆ ] [ ypˆ,x pˆ ] [ pˆ, pˆ ] [ pˆ,x pˆ ] x ypˆ x y [ pˆ,] xpˆ y [,pˆ ] h(xpˆ y ypˆ x ) h Lˆ 13 h y 13 h x x 1443 Null y x 1443 Null y 1

2 [ Lˆ,Lˆ ] ε Lˆ h (5.13) pˆ Für de Hamlto-Operator Ĥ U(r) ees mt be Bewegug U(r) st m h [ Ĥ, xˆ ] pˆ ud [ Ĥ,pˆ ] m U U(r), h h (5.14) Matrxelemete vo  ( )   1ˆ  A B  (5.15) Matremultplato Beahte de Relatoe () [ Â,Ĉ] Â[,Ĉ] [ Â,Ĉ]   1 () e e [ Â, ] [ Â, [ Â, ]]... wobe der Ausdru! Baer-Hausdorff-Idettät   e durh de Poterehe e :  defert st. 0! 1

3 Sat: Zwe leare Operatore habe geau da ee gemesame VONS vo EF, we se ommutere. Bewes: ( ) Ageomme,  ud habe ee gemesame VONS vo EF { }, d.h.  a ud b. Da glt für alle H  Vollst.    b b  b a bw. Â... a b. Also st   0, für belebge, de de EW sd als.a. omplexe Zahle belebg vertaushbar. ( ) Se [ Â, ] 0. Da st mt auh also EF vo Â, de  ( )  a a ( ). Lösug des EWP  a, Ageomme, der EW a st ht etartet. Da etsprht hm (bs auf Multplato mt eer (Normerugs)Kostate) geau ee EF ost : b., es muss also Das bedeutet, st auh EF vo (um EW b ). 3

4 Im Fall a etartet wrd der Bewes etwas aufwedger, da da ost möglh st: (1) () Ageomme, der EW a st -fah etartet ud {,... } vo  u desem a. We obe geegt, sd alle () de { } etwelbar () (*). () ee Bass m Egeraum, () 1,..., auh EF u Â, d.h. ah Wr behaupte, es gbt EF vo, de passede Learombatoe der () ud damt auh EF vo  sd: Wr suhe also φ derart, dass glt φ b φ ud φ. () Wr habe φ () () b ud φ () () (*) ( ) also. ( ) () () b ud shleßlh b δ 0 Das führt auf das EWP ( b δ ) 0 für de Matrx : 11 b 1 1 b Es hat Lösuge; dese sd reell, we e hermtesher Operator st (s.u). Beahte, dass alle () φ () ( ) derselbe EW a bgl. Â, aber.a. utershedlhe EW b () bgl. etsprehe. 4

5 Adugerte ud selbstadugerte Operatore. f * Im Zusammehag mt Operatore m Salarprodut φ d x φ (x) (x) defere wr de adugerte Operator. Def.: st der u adugerte Operator, we für belebge Kets φ ud glt φ φ, φ, H (5.16) Def.: heßt selbstadugert oder hermtesh, we. (5.17) Egeshafte: () ( ) *, ( λ ) λ ( λ C) () Mt  ud st auh α  β, α, β C e selbstadugerter Operator. () de (  )  φ (  ) ( ) φ Â( φ) φ  φ Â. Also st das Produt weer vertaushbarer hermtesher Operatore hermtesh (  )   Â. Da eder Operator mt sh selbst ommutert, st der Operator f (Â) hermtesh, we  hermtesh st ud de Futo f als Poterehe (Taylor-Rehe) darstellbar st. (v) [ Â, ] [ ],  de [, ] (Â, ) (,Â)   [,  ] Â. 5

6 Folglh st der Kommutator aus we hermteshe Operatore  ud athermtesh [ Â, ] [, ] [, ] [ Â, ]. Dagege st der Operator [ Â, ] hermtesh, we  ud hermtesh sd. h Bewese Se, dass pˆ h ud Ĥ U(r) m hermteshe Operatore sd. Z.B. h d r (r) m φ(r) 3 * d r (r) m 3 * h φ(r), wemal partell tegrere uter der Voraussetug, dass (r) ud φ(r) m Uedlhe vershwde. Egewerte ud Egefutoe hermtesher Operatore st Egefuto ( Egevetor, Egeustad) des Operators um Egewert we glt Egewertglehug. (5.18) Sat: EW hermtesher Operatore sd reell. Bewes: 0 ( * ) ) * Da 0 folgt * (für dsretes ud otuerlhes Spetrum). 6

7 Sat: EF hermtesher Operatore u utershedlhe EW sd orthogoal. Bewes: See de EW ud m des etsprehed ud ht etartet. Wr habe m m m m m * m m m * m m. m m Daraus folgt 0 ( bw. 0 für m. m) m m Auh we mehrere EF u eem EW gehöre, also m Fall der Etartug, öe de EF ees hermteshe Operators mmer so gewählt werde, dass de Orthogoaltätsrelatoe erfüllt sd ( Hlbert-Shmdt-Verfahre, vgl. S. 4). 5.5 Füf Postulate 1. Postulat: Zustad ees uatemehashe Systems (ms) Alle physalshe Egeshafte ees ms ur Zet t sd m Zustadsvetor (ZV) (t) odert. Alle möglhe Zustäde blde ee leare Raum, de Zustadsraum H. Beahte: 1. Da H lear, ergebe Learombatoe vo ZV eue ZV Superpostosprp.. Postulat: Physalshe Größe Jede Observable 1) Q wrd durh ee m Zustadsraum H wrede leare hermteshe Operator beshrebe. Folge: EF vo blde VONS, also ee Bass H, ud EW vo reell. 7

8 Fat: QM beshrebt de Zustad ees Systems durh ee Vetor (t), de Observable, also de beobahtbare (messbare) physalshe Größe (Eerge, Ort, Impuls, Drehmpuls, usw.), durh hermteshe Operatore m H. Messug physalsher Größe 3. Postulat: Messwerte, Zustadsreduto Wrd ee Observable Q m Zustad gemesse, so a das Messergebs ur eer der EW des ugeordete Operators se. Zusat: Umttelbar ah der Messug befdet sh das ms dem um EW gehörede Egeustad vo (etsprehed ). Also: Messe Q m Zustad I.Postulat bedeutet Zuordug Q ud II.Postulat Messwerte Zus tad umttelbar ah der Messug. Dass de EW vo de möglhe Messwerte vo Q sd st eer der Grüde, de Observable hermteshe Operatore uuorde. Be dsretem Spetrum vo sd de möglhe Messergebsse "uatsert". Beahte: Messug ädert de Zustad! Messug vo Q mt Ergebs Zustadsreduto Ee (umttelbar) ashleßede wete Messug trfft ms u.u. berets eem adere Zustad a. 8

9 Welher der möglhe Messwerte wrd tatsählh gemesse? De Atwort auf dese Frage st abhägg vo Systemustad ud statstsher Natur. 4. Postulat: Messwahrshelhete Wrd de Observable Q ees ms m (ormerte) Zustad gemesse, so st de Wahrshelhet, dass das Ergebs der (htetartete) EW des daugehörge (hermteshe) Operators st, gleh Pr ob( ),. (5.19) Aders formulert: Der Zustad, dem de Observable Q gemesse werde soll (er se beat) st als Superposto der EF Bass H) vo darstellbar (da, bldet { } ee,. De Wahrshelhet der Messergebsse st durh das Betragsuadrat der Etwlugsoeffete gegebe. Be etartetem Spetrum glt g Pr ob( ). (5.0) 1 1 Dabe st g der Etartugsgrad des EW ud { } de m Egeraum H um EW vo ee Bass blde. das System orthoormerter Vetore, Beahte: Für de bedgte Wahrshelhet Prob( m ) glt 9

10 Pr ob( 1, m m ) δm (5.1) 0, m Ee "etahe" ereute Messug vo Q ergbt mt Sherhet weder. Offeshtlh shert de Zustadsreduto de Reproduerbaret der Messug: Für ee Theore, de Aspruh auf de Beshrebug vo Expermete erhebt, st de Reproduerbaret eer Messug uverhtbar. Fat: Sher st ( 3. Postulat), dass ee Messug vo Q m Zustad ( 1. Postulat) ee Egewert aus dem Spetrum des repräseterede Operators (. Postulat) ergbt. Welher der Egewerte tatsählh gemesse wrd, a ur mt eer Wahrshelhet vorhergesagt werde ( 4. Postulat). Quatemehasher Erwartugswert (meww) eer Observable Q m Zustad. Wr habe Prob( ) (5.) * 144 1ˆ 43 4 EWG. Deser (darstellugsuabhägge) Ausdru für de meww verallgemeert de us aus der Shrödger she Wellemeha beate Relato 3 * d r (r) (r) 10

11 Proetosoperator ud Messug De Wahrshelhet, mt der gemesse wrd, st Prob( ) Pˆ, also gleh dem meww des Proetors EW vo gemesse wrd, muss gelte Pˆ Pˆ. Da mt Sherhet eer der 1 Prob( ) 1. (vgl. 4. Postulat) Das st de darstellugsuabhägge Formulerug der Normerugsbedgug, de wr der Shrödgershe Wellemeha der Form 3 d r * (r) (r) 1 berets ee gelert habe ( statstshe Iterpretato der Wellefuto). Außerdem lässt sh der meww der Form also Pˆ Sp ( Pˆ ) darstelle. 11

12 5. Postulat: Zetlhe Etwlug des Zustades De etlhe Etwlug des ZV wrd durh h (t) Ĥ (t) Shrödger-Glehug (5.3) t mt dem (hermteshe) Hamlto-Operator des ms beshrebe. Bem.: Gemet st de etlhe Etwlug des Zustad wshe we Messuge; asoste Zustadsreduto. 1