Kapitel 1 Die natürlichen und die ganze Zahlen

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1 Kapitel 1 Die natürlichen und die ganze Zahlen Inhalt Vollständige Induktion z.b. z.b n = n(n+1)/ Die Die Peano-Axiome Ein Ein Axiomensystem für für die die natürlichen Zahlen Die Die ganzen Zahlen Z = {{...,...,-3, -3,-2, -2,-1, -1, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3,......}, }, Abzählbarkeit Eigenschaften der der ganzen Zahlen Teiler, Division mit mit Rest, ggt, ggt, Seite 2

2 1.1 Vollständige Induktion Prinzip der der vollständigen Induktion. Sei Sei A eine eine Aussage oder oder eine eine Eigenschaft, die die von von einer einer natürlichen Zahl Zahl n abhängt. Wir Wir schreiben auch auch A(n). A(n). Wenn wir wir wissen, daß daßfolgendes gilt: gilt: (1) (1) Induktionsbasis (Induktionsverankerung): Die Die Aussage A gilt gilt im im Fall Fall n = 1 (das (das heißt, es es gilt gilt A(1)), (2) (2) Induktionsschritt: Für Für jede jede natürliche Zahl Zahl n 1 folgt folgt aus aus A(n) A(n) die die Aussage A(n+1), dann dann gilt gilt die die Aussage A für für alle alle natürlichen Zahlen Seite 3 Erläuterung Bedeutung der der vollständigen Induktion: Um Um eine eine Aussage für für alle alle natürlichen Zahlen (also (also über über unendlich viele viele Objekte!) nachzuweisen, muss man man nur nur zwei zwei Aussagen beweisen: Induktionsbasis: A(1) A(1) Induktionsschritt: A(n) A(n) A(n+1) Man Man nennt A(n) A(n) auch auch die dieinduktionsvoraussetzung. Die Die hinter diesem Prinzip stehende Philosophie ist ist die, die, dass dass man man in in objektiv kontrollierbarer Weise über über eine eine Unendlichkeit ( alle natürlichen Zahlen) sprechen kann. Die Die Bedeutung dieses Prinzips, wurde zwischen und und u.a. u.a. von von Moritz Pasch (Professor in in Gießen) und und Giuseppe Peano (Professor in in Turin) entdeckt. Seite 4

3 1. 1. Anwendung: Summe der ersten n Zahlen Problem (C.F. (C.F. Gauß): =?????? Satz. Für Für jede jede nat natürliche Zahl Zahl n 1 gilt: gilt: n = n(n+1)/2. In In Worten: Die Die Summe der der ersten n positiven ganzen Zahlen ist ist gleich (n+1)n/2. Konsequenz: Man Man kann kann die die Summe n ganz ganz einfach ausrechnen, und und es es passieren kaum Rechenfehler. Seite 5 Beweis durch vollständige Induktion Beweis durch Induktion nach nach n. n. Die Die Aussage A(n) A(n) sei sei die die Aussage des des Satzes, also: also: A(n): A(n): n = n(n+1)/2. Sowohl bei bei der der Induktionsbasis als als auch auch beim beim Induktionsschritt zeigen wir, wir, dass dass in in der der entsprechenden Gleichung links links und und rechts das das Gleiche steht. Induktionsbasis: Sei Sei n = Dann steht steht auf auf der der linken Seite Seite nur nur der der Summand 1, 1, und und auf auf der der rechten Seite Seite steht steht 2 1/2, also also ebenfalls Also Also gilt gilt A(1) A(1) Seite 6

4 Induktionsschritt Induktionsschritt: Sei Sei n eine eine natürliche Zahl Zahl 1, 1, und und sei sei die die Aussage richtig für für n. n. Wir Wir müssen A(n+1) beweisen, das das heißt, die die Summe (n 1) + n + (n+1) berechnen. Wir Wir spalten wir wir diese Summe auf: auf: (n 1) + n + (n+1) = [ (n 1) + n] n] + (n+1) = n(n+1)/2 + (n+1) (nach Induktion) = [n(n+1) + 2(n+1)]/2 = (n+2)(n+1)/2. Insgesamt haben wir wir die die Aussage A(n+1) bewiesen. Somit gilt gilt der der Satz. Seite Anwendung: Summe der ungeraden Zahlen Satz. Für Für jede jede nat natürliche Zahl Zahl n 1 gilt: gilt: (2n 1) = n In In Worten: Die Die Summe der der ersten n ungeraden Zahlen ist ist gleich der der n-ten n-tenquadratzahl. Beispiele: (a) (a) = 9 (b) (b) = Seite 8

5 Beweis mit vollständiger Induktion Beweis durch Induktion nach nach n. n. Induktionsbasis: Sei Sei n = Dann steht steht auf auf der der linken Seite Seite nur nur der der Summand 1, 1, und und auf auf der der rechten Seite Seite steht steht = Somit gilt gilt A(1). A(1). Induktionsschritt: Sei Sei n eine eine natürliche Zahl Zahl mit mit n 1, 1, und und es es gelte gelte A(n). A(n). Wir Wir müssen A(n+1) nachweisen. Wir Wir beginnen mit mit der der linken Seite Seite von von A(n+1) und und formen diese so so lange um, um, bis bis wir wir die die rechte Seite Seite von von A(n+1) erhalten: (2n 1) + (2n+1) = [ (2n 1)] + (2n+1) = n (2n+1) (nach Induktion) = n n 2n + 1 = (n+1) Somit gilt gilt A(n+1), und und damit ist ist die die Aussage bewiesen. Seite Die Peano-Axiome Erinnerung: Die Dienatürlichen Zahlen sind sind die die Zahlen 0, 0, 1, 1, 2, 2,...;...; die die Menge der der natürlichen Zahlen wird wird mit mit N bezeichnet. Zur Zur Bedeutung der der natürlichen Zahlen schreibt L. L. Kronecker ( ): Die Die ganzen Zahlen (in (in unserem Sprachgebrauch: die die natürlichen Zahlen) hat hat der der liebe liebe Gott Gott gemacht, alles alles andere ist ist Menschenwerk. Giuseppe Peano ( ) hat hat die die natürlichen Zahlen zum zum erstem Mal Mal mathematisch präzise beschrieben. Er Er hat hat ein ein System von von fünf fünf Axiomen (Grundsätzen) aufgestellt, um um die die natürlichen Zahlen zu zu charakterisieren. Seite 10

6 Das Axiomensystem von Peano Die Die Peano-Axiome für für die die natürlichen Zahlen lauten: (P1) (P1) 0 ist ist eine eine natürliche Zahl. Zahl. (P2) (P2) Zu Zu jeder jeder natürlichen Zahl Zahl n gibt gibt es es einen eindeutig bestimmten Nachfolger n n.. (P3) (P3) 0 ist ist kein kein Nachfolger. (P4) (P4) Verschiedene natürliche Zahlen haben verschiedene Nachfolger. (P5) (P5) Induktionsaxiom: Wenn M eine eine Teilmenge der der nat natürlichen Zahlen ist, ist, die die 0 enthält und und mit mit jeder jeder nat natürlichen Zahl Zahl n auch auch ihren ihren Nachfolger n n enthält, dann dann ist ist M = N. N. Seite 11 Definition der natürlichen Zahlen Mit Mit den den Peano-Axiomen kann kann man man die die nat natürlichen Zahlen definieren: 1 := := 0 0 (= (= Nachfolger von von 0) 0) 2 := := 1 1 (= (= 0 ) 0 ) 3 := := 2 2 (= (= 1 1 = 0 ) 0 ) Auch Auch die die Operation + + kann kann man man definieren, z.b.: z.b.: n + 1 := := n n n + 2 := := n n Seite 12

7 1.3 Die ganzen Zahlen Die Die natürlichen Zahlen N sind sind abgeschlossen bzgl. bzgl. Summenbildung. D.h. D.h. für für je je zwei zwei natürliche Zahlen n, n, m ist ist auch auch die die Summe n + m immer eine eine nat natürliche Zahl. Zahl. Die Die Differenz zweier natürlicher Zahlen muß mußjedoch keine natürliche Zahl Zahl sein sein (z.b. (z.b N). N). Um Um eine eine Menge zu zu erhalten, die die auch auch bzgl. bzgl. Differenzbildung abgeschlossen ist, ist, müssen wir wir N erweitern. Wir Wir definieren die die Menge der der ganzen Zahlen wie wie folgt: folgt: Z := := N {{-n-n n N }. }. Dabei ist ist -n -ndas bzgl. bzgl. der der Addition inverse Element ( negatives Element ) von von n, n, d.h. d.h. es es gilt gilt -n -n + n = Seite 13 Rechengesetze in in Z Um Um mit mit den den ganzen Zahlen rechnen zu zu können, müssen wir wir auf auf der der Menge Z noch noch Rechenregeln definieren. Wir Wir definieren (wie (wie üblich) für für n, n, m N: N: (-n) (-n) + (-m) (-m) = --(n (n + m) m) (-n) (-n) (-m) (-m) = n m usw. usw. Warum definieren wir wir die die Rechenregeln gerade so? so? Mit Mit diesen Regeln gelten die die üblichen Gesetze (Beweis als als Übung): Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz, Seite 14

8 Wie viele ganze Zahlen gibt es? Klar: Klar: Es Es gibt gibt unendlich viele vieleganze Zahlen. Denn schon N enthält unendliche viele viele Zahlen. Nicht ganz ganz so so klar: klar: Gibt Gibt es es mehr ganze als als natürliche Zahlen? Antwort: Ja, Ja, denn denn N ist ist eine eine echte Teilmenge von von Z. Z Antwort: Nein, denn denn die die Mengen N und und Z sind sind gleichmächtig. Definition. Zwei Zwei Mengen A und und B heißen gleichmächtig, wenn es es eine eine bijektive Abbildung von von A nach nach B gibt. gibt. Wie Wie könnte diese bijektive Abbildung von von N nach nach Z aussehen? Seite 15 N und Z sind gleichmächtig Satz. Die Die Mengen N und und Z sind sind gleichmächtig. Beweis. Wir Wir definieren eine eine Abbildung f f von von N nach nach Z wie wie folgt: folgt: f(0) f(0) = 0, 0, f(1) f(1) = 1, 1, f(2) f(2) = -1, -1, f(3) f(3) = 2, 2, f(4) f(4) = -2, -2, f(5) f(5) = 3, 3, f(6) f(6) = -3, -3,... Damit wir wir jeder jeder nat natürlichen Zahl Zahl genau eine eine ganze Zahl Zahl zugeordnet. Umgekehrt wird wird auch auch jeder jeder ganzen Zahl Zahl z genau eine eine natürliche zugeordnet: Der Der ganzen Zahl Zahl z>0 z>0 wird wird 2z-1 2z-1 N zugeordnet, z<0 z<0 wird wird -2z -2z N zugeordnet, und und z = 0 wird wird 0 zugeordnet. Also Also ist ist f f surjektiv. Da Da aus aus f(n) f(n) = f(m) f(m) offensichtlich n = m folgt, folgt, ist ist f f auch auch injektiv. Also Also ist ist f f bijektiv, also also sind sind N und und Z gleichmächtig. Seite 16

9 Abzählbarkeit Definition. Eine Eine Menge, die die gleichmächtig zu zu N ist, ist, heißt abzählbar. Mit Mit anderen Worten: Abzählbare Mengen kann kann man man mit mit den den natürlichen Zahlen numerieren. Satz Satz kann kann man man dann dann auch auch wie wie folgt folgt ausdrücken: Folgerung. Die Die Menge Z der der ganzen Zahlen ist ist abzählbar. Seite Eigenschaften der ganzen Zahlen Wir Wir wiederholen einige Eigenschaften der der ganzen Zahlen. Seien a und und b ganze Zahlen. Wir Wir sagen a a teilt teilt b b (geschrieben a b), b), falls falls es es eine eine ganze Zahl Zahl z gibt gibt mit mit b = z a. z a. Man Man nennt a einen Teiler von von b, b, und und b ein ein Vielfaches von von a. a. Beispiele. Es Es gelten die die folgenden Aussagen: 2 10, 10, , 21, 8 16, 16, , Seite 18

10 Division mit Rest Division mit mit Rest. Seien a und und b ganze Zahlen (b (b 0). 0). Dann gibt gibt es es eindeutig bestimmte ganze Zahlen q und und r r mit mit a = bq bq + r r und und 0 r r b 1. Beispiele. a = 13, 13, b = = (q (q = 3, 3, r r = 1) 1) a = 13, 13, b = = (q (q = 4, 4, r r = 3) 3) a = 13, 13, b = = (q (q = 3, 3, r r = 1) 1) a = 13, 13, b = = (q (q = 4, 4, r r = 3). 3). Bemerkung: Die Die Eindeutigkeit kommt erst erst durch beide Eigenschaften (a (a = bq bq + r r und und 0 r r b 1) b 1) zustande. Seite 19 Gemeinsame Teiler Seien a und und b ganze Zahlen. Eine Eine natürliche Zahl Zahl d heißt heißt gemeinsamer Teiler von von a und und b, b, falls falls sowohl d a als als auch auch d b gilt. gilt. Beispiele: (a) (a) Gemeinsame Teiler von von 6 und und 10: 10: 1 und und (b) (b) Gemeinsame Teiler von von und und 42: 42: 1, 1, 2, 2, 3 und und (c) (c) Gemeinsame Teiler von von 0 und und 20: 20: 1, 1, 2, 2, 4, 4, 5, 5, 10, 10, Bemerkungen. (a) (a) Gemeinsame Teiler sind sind immer positiv. (b) (b) Im Im allgemeinen gibt gibt es es mehr mehr als als einen gemeinsamen Teiler. Seite 20

11 Teilerfremde Zahlen Beobachtung: Je Je zwei zwei ganze Zahlen haben mindestens einen gemeinsamen Teiler, nämlich die die Zahl Zahl Wir Wir nennen zwei zwei ganze Zahlen teilerfremd, wenn sie sie nur nur einen gemeinsamen Teiler haben. M.a.W.: Zwei Zwei Zahlen sind sind teilerfremd, wenn ihr ihr einziger gemeinsamer Teiler die die Zahl Zahl 1 ist. ist. Achtung: Teilerfremd bedeutet nicht, dass dass die die Zahlen keinen gemeinsamen Teiler haben! Beispiele: und und 13, 13, und und 333, 333, und und sind sind teilerfremd. Seite 21 Größter gemeinsamer Teiler Seien a und und b ganze Zahlen, die die nicht nicht beide gleich Null Null sind. sind. Der Dergrößte gemeinsame Teiler von von a und und b ist ist die die größte ganze Zahl Zahl unter unter den den gemeinsamen Teilern von von a und und b. b. Beispiele. (a) (a) 6 ist ist größter gemeinsamer Teiler von von und und 18, 18, denn denn die die gemeinsamen Teiler sind sind 1, 1, 2, 2, 3, 3, 6; 6; unter unter diesen ist ist 6 ist ist größte Zahl. Zahl. (b) (b) Zwei Zwei Zahlen a und und b sind sind teilerfremd, falls falls ihr ihr größter gemeinsamer Teiler gleich 1 ist. ist. Seite 22

12 Der ggt Tatsache/Definition: Zu Zu je je zwei zwei ganzen Zahlen a und und b, b, die die nicht nicht beide gleich Null Null sind, sind, existiert stets stets ein ein größter gemeinsamer Teiler; dieser ist ist eindeutig bestimmt. Er Er wird wird mit mit ggt(a, b) b) bezeichnet. Beispiele. (a) (a) ggt(12, 18) 18) = (b) (b) ggt(1001, 2001) = (Denn: Jeder gemeinsame Teiler t t von von und und teilt teilt auch auch = Also Also teilt teilt t t auch auch = 1.) 1.) (c) (c) ggt( 15, 21) 21) = (d) (d) Für Für jede jede natürliche Zahl Zahl a gilt: gilt: ggt(a, 0) 0) = a. a. (Klar: a ist ist der der größte Teiler von von a. a. Da Da a auch auch die die Zahl Zahl 0 teilt, teilt, ist ist a = ggt(a, 0).) 0).) Seite 23 Berechnung des ggt Satz. Seien a und und b ganze Zahlen mit mit 0 < b < a. a. Seien q und und r r diejenigen ganzen Zahlen mit mit a = q b q b + r r und und 0 r r < b. b. Dann gilt gilt ggt(a, b) b) = ggt(b, r). r). Ist Ist dies dies ein ein guter Satz? Ja, Ja, denn denn er er führt führt die die Berechnung des des ggt ggt großer Zahlen (a, (a, b) b) auf auf die die Berechnung des des ggt ggt kleinerer Zahlen (b, (b, r) r) zurück. Eventuell muss man man den den Prozess wiederholen. Beispiel: ggt(2001, 1001) =? = , = ; 1; also also ggt(2001, 1001) = ggt(1001, 1000) = ggt(1000, 1) 1) = Seite 24

13 Beispiel ggt(4711, 1024) =? = ggt(4711, 1024) = ggt(1024, 615) 615) = = ggt(1024, 615) 615) = ggt(615, 409) 409) = ggt(615, 409) 409) = ggt(409, 206) 206) = ggt(409, 206) 206) = ggt(206, 203) 203) = ggt(206, 203) 203) = ggt(203, 3) 3) = ggt(203, 3) 3) = ggt(3, 2) 2) 3 = ggt(3, 2) 2) = ggt(2, 1) 1) = Seite 25

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