7.2 Die adjungierte Abbildung

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1 7.2 Die adjungierte Abbildung Definition Eine lineare Abbildung f : V K heißt lineares Funktional oder Linearform. (Diese Definition gilt für beliebige K-Vektorräume, nicht nur für innere Produkträume.) In inneren Produkträumen kann man Linearformen leicht angeben: Die Abbildungen v (v w) für ein fest gewähltes w sind Linearformen. Im endlichdimensionalen Fall gilt sogar noch mehr: Satz Sei V ein endlichdimensionaler Euklidischer oder unitärer K-Vektorraum. Ist f : V K eine Linearform, dann gibt es genau ein w V so, dass f(v) = (v w) für alle v V gilt. Beweis Wir können w konkret angeben. Dazu sei (b 1,..., b n ) eine Orthonormalbasis von V. Wir setzen w := n i=1 f(b i)b i. Dann gilt (b j w) = i (b j f(b i )b i ) = f(b j ), also (v w) = f(v). Wenn es ein weiteres w gäbe mit (v w) = (v w ) für alle v V, so wäre (v w w ) = 0 für alle v, was aber nur für w w = 0 geht (wegen (IP4)). Definition 7.2. Sei T ein linearer Operator auf einem Euklidischen oder unitären Vektorraum V. Wenn es einen linearen Operator T gibt mit (T(v) w) = (v T (w)) für alle v, w V, so nennen wir T den zu T adjungierten Operator. Bemerkung Es gibt höchstens einen adjungierten Operator, denn angenommen (v T (w)) = (v S(w)) gilt für alle v, w V, dann (v (T S)(w)) = 0 für alle v, w V. Das geht aber nur, wenn (T S)(w) = 0 für alle w, also T = S gilt. Im Fall endlichdimensionaler Vektorräume können wir mehr aussagen: Satz Sei V ein endlichdimensionaler Euklidischer ider unitärer Vektorraum. Dann gibt es zu T Hom(V, V ) genau einen adjungierten Operator T. Beweis Die Abbildung v (T(v) w) ist für jedes feste w linear. Also gibt es ein w mit (T(v) w) = (v w ) für alle v. Wir definieren T nun durch T (w) := w. Man rechnet nach (Vorlesung), dass T linear ist. 109

2 Der folgende Satz beantwortet die naheliegende Frage, wie denn die (eine) Darstellungsmatrix von T aussieht. Satz Wenn B eine Orthonormalbasis eines endlich-dimensionalen inneren Produktraums V ist, so gilt ([T] B B ) = [T ] B B. Beweis Vorlesung. Beachten Sie, dass auf der linken Seite durch den Operator eine Matrix komplex-konjugiert und transponiert wird, auf der rechten Seite bedeutet den Übergang zur adjungierten Abbildung. Beachten Sie bitte, dass dieser Satz nicht richtig ist, wenn Sie T bezüglich beliebiger Basen darstellen! Die Zuordnung T T hat einige interessante Eigenschaften: Satz Seien T und U lineare Operatoren auf einem endlich-dimensionalen inneren Produktraum. Dann gilt: (a.) (T + U) = T + U. (b.) (Tγ) = T γ für alle γ R oder C. (c.) (TU) = U T. (d.) (T ) = T. Beweis Man führt die Aussagen auf die entsprechenden Aussagen für die Darstellungsmatrizen bzgl. einer Orthonormalbasis zurück! Wir können jeden Operator T wie folgt schreiben: Dabei gilt T = 1 2 (T + T ) + i( 1 2 i (T T )). (T + T ) = T + T sowie ( 1 2 i (T T )) = 1 2 i (T T) = 1 2 i (T T ). Wir können T also in zwei lineare Operatoren U 1 und U 2 zerlegen, die die Eigenschaft U 1 = U 1 und U 2 = U 2 haben. Solche Operatoren nennen wir hermit sch: Definition Ein linearer Operator T heißt hermit sch oder selbstadjungiert, wenn T = T gilt. 110

3 Bemerkung Ist T ein selbstadjungierter Operator, so ist eine Darstellungsmatrix bezüglich einer Orthonormalbasis hermit sch. Ist umgekehrt die Darstellungsmatrix eines Operators hermit sch bezüglich einer Orthonormalbasis, so ist dieser Operator selbstadjungiert. Die Darstellungsmatrix eines reellen selbstadjungierten Operators bezüglich einer Orthonormalbasis ist symmetrisch. Das Hauptergebnis in diesem Kapitel wird sein, dass selbstadjungierte Operatoren (sowohl reell als auch komplex) stets diagonalisierbar sind. Dazu benötigen wir noch einige Ergebnisse über unitäre Operatoren. Das sind diejenigen Vektorraumisomorphismen, die das innere Produkt respektieren. 7. Unitäre Operatoren Definition 7..1 Seien V und W Euklidische oder unitäre Vektorräume. Eine bijektive lineare Abbildung T : V W heißt eine Isometrie, wenn (T(v) T(w)) = (v w) für alle v, w V gilt. Wir nennen die beiden Räume in dem Fall isomorph. Beachten Sie, dass nicht jede bijektive lineare Abbildung eine Isometrie ist! Wenn wir zwei innere Produkträume isomorph nennen, dann meinen wir damit, dass es eine Isometrie zwischen ihnen gibt. Ist T eine Isometrie zwischen zwei inneren Produkträumen, so ist auch T 1 eine solche. Wir wissen, dass es bis auf Isomorphie genau einen K-Vektorraum der Dimension n gibt. Dieser Beweis kann nicht einfach auf innere Produkträume übertragen werden, weil eine Isometrie auch das innere Produkt respektieren muss. Es ist zunächst auch denkbar, dass ein n-dimensionaler Vektorraum verschiedene innere Produkte zulässt. Man kann aber zeigen, dass die Dimension eindeutig den Isometrietyp bestimmt: Satz 7..2 V und W seien innere Produkträume, dim V = dim W <. Ferner sei T : V W eine lineare Abbildung. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: (i) (T(v) T(w)) = (v w) für alle v, w V. (ii) T ist eine Isometrie. (iii) T bildet eine gegebene Orthonormalbasis von V auf eine Orthonormalbasis von W ab. 111

4 (iv) T bildet jede Orthonormalbasis von V auf eine Orthonormalbasis von W ab. Beweis (i) (ii) Das ist gerade die Definition von Isometrien, zusammen mit der Beobachtung, dass aus (i) Kern(T) = {0} folgt (wenn T(v) = 0, so gilt (T(v) T(v)) = (v v) = 0, also v = 0 wegen (IP4)). (iv) (iii) Banal, denn wenn jede Orthonormalbasis auf eine Orthonormalbasis abgebildet wird, dann natürlich auch eine! (i) (iii), (i) (iv) Ist B = (b 1,..., b n ) eine Orthonormalbasis, so muss (T(b 1 ),..., T(b n )) ebenfalls eine Orthonormalbasis sein, weil T innere Produkte respektiert. (iii) (i) Sei B = (b 1,..., b n ) eine Orthonormalbasis von V und C = (c 1,... c n ) sei das Bild von B unter T, d.h. c i = T(b i ). C sei auch eine Orthonormalbasis von W. Es sei v = n i=1 b iβ i, w = n i=1 b iγ i. Dann ist (T(v) T(w)) = ( n i=1 c iβ i n i=1 c iγ i ) = n i=1 β iγ i = (v w). Korollar 7.. Zwei endlichdimensionale innere Produkträume sind genau dann isomorph, wenn sie dieselbe Dimension haben. Definition 7..4 Eine Isometrie T auf einem inneren Produktraum V heißt unitär (d.h. T ist eine Isometrie V V ). Eine Matrix heißt unitär, wenn U = U 1 ist. Satz 7..5 Die unitären Operatoren bilden mit der Verknüpfung eine Gruppe. Satz 7..6 Ein Operator U auf V ist genau dann unitär, wenn es ein U gibt mit UU = U U = id V (beachten Sie, dass U immer existiert und sogar eindeutig ist, wenn V endlichdimensional ist, siehe Satz 7.2.5). Beweis Ist U unitär, so gibt es U 1 und (U(v) w) = (U(v) UU 1 (w)) = (v U 1 (w)), weil U das innere Produkt respektiert. Das zeigt U 1 = U. Wir nehmen nun umgekehrt an, dass U existiert und UU = U U = id V Dann ist also U = U 1 und gilt. (U(v) U(w)) = (v U U(w)) = (v w), also respektiert U das innere Produkt, ist also ein unitärer Operator. Für Matrizen erhalten wir folgendes Korollar: 112

5 Korollar 7..7 Sei B eine Orthonormalbasis eines endlichdimensionalen Euklidischen oder unitären Vektorraums. Dann gilt: U unitär [U] B B ist unitär Beweis [U ] B B = ([U]B B ) nach Satz Wichtig ist hier, ähnlich wie im Fall von Satz 7.2.6, dass T bezüglich einer Orthonormalbasis dargestellt wird. Definition 7..8 Eine Matrix A heißt orthogonal, wenn A A = A A = I ist. Für reelle Matrizen ist orthogonal ( dasselbe ) wie unitär, nicht jedoch für komplexe 2 i Matrizen, denn z.b. ist i 2 orthogonal, aber nicht unitär. 7.4 Unitäre Diagonalisierbarkeit Definition Wir nennen einen Operator T auf einem Euklidischen oder unitären Vektorraum V unitär diagonalisierbar, wenn es eine Orthonormalbasis gibt, bzgl. der T in Diagonalgestalt dargestellt werden kann. Ist V ein (reeller) Euklidischer Vektorraum, so nennen wir solche Operatoren orthogonal diagonalisierbar. Was bedeutet unitäre Diagonalisierbarkeit für Darstellungsmatrizen? Wir nehmen an, T wird bzgl. einer Orthonormalbasis B dargestellt. Dann gilt [T] B B = ([id V ] B B ) 1 [T] B B [id V ] B B Wir definieren eine lineare Abbildung U : V V durch U(b i ) = b i, wobei b i (bzw. b i ) der i-te Vektor von B (bzw. B ) ist. Es gilt also ist [id V ] B B = [U]B B, [T] B B =: S [T] B B S weil U unitär ist: U bildet die Orthonormalbasis B auf die Orthonormalbasis B ab. Die Darstellungsmatrix eines solchen unitären Operators bzgl. einer Orthonormalbasis ist unitär! 11

6 Definition Zwei Matrizen T und T heißen unitär äquivalent wenn es eine unitäre Matrix S gibt mit T = S TS. Unitär äquivalente Matrizen beschreiben bzgl. geeigneter Orthonormalbasen identische lineare Abbildungen! Satz 7.4. Ein linearer Operator T sei bzgl. einer Orthonormalbasis B dargestellt. Dann ist T genau dann unitär diagonalisierbar, wenn [T] B B unitär äquivalent zu einer Diagonalmatrix ist. Lemma Wenn ein Operator T unitär diagonalisierbar ist, so gilt T T = T T. Beweis Wir stellen T und T bzgl einer Orthonormalbasis B dar. Angenommen, [T] B B ist eine Diagonalmatrix. Dann gibt es also eine unitäre Matrix S derart, dass S [T] B B S eine Diagonalmatrix D ist. Es gilt D = S [T] B B S D = S [T ] B B S Offenbar gilt D D = DD (weil dies zwei Diagonalmatrizen sind), also [T] B B [T ] B B = [T ] B B [T]B B, d.h. T T = T T. Dieses Argument zeigt auch: Lemma Ein linearer Operator T auf einem reellen inneren Produktraum, der orthogonal diagonalisierbar ist, muss selbstadjungiert sein. Insbesondere muss die Darstellungsmatrix [T] B B bzgl. einer Orthonormalbasis B symmetrisch sein. Beweis Wir stellen T bzgl. einer Orthonormalbasis in Diagonalgestalt dar. Weil diese Matrix als reelle Matrix symmetrisch, also selbstadjungiert ist, muss auch T selbstadjungiert sein. Im komplexen Fall gibt es mehr unitär diagonalisierbare Operatoren als nur die selbstadjungierten: Beispiel Die (reelle) Matrix T :=

7 beschreibt eine lineare Abbildung, die unitär diagonalisierbar ist. Man erhält als charakteristisches Polynom x x 2 + x 2. Die Eigenwerte sind 1 2, i, i mit den zugehörigen (bereits normierten) Eigenvektoren 1 1 1, i , 2 i i i Man rechnet nach P 1 T P = i , 2 i wobei P = i i i i Also ist T unitär diagonalisierbar, aber nicht selbstadjungiert! Die Matrix T aus diesem Beispiel hat die interessante Eigenschaft, normal zu sein: Definition Ein linearer Operator T heißt normal, wenn T T = T T gilt. Entsprechend nennen wir eine Matrix S normal, wenn S S = SS gilt. Beispiele normaler Operatoren sind die selbstadjungierten und die unitären Operatoren über C sowie die orthogonalen Operatoren über R. Unser Ziel ist es zu zeigen, dass normale Operatoren über C unitär diagonalisierbar sind. Für selbstadjungierte Operatoren gilt das sogar schon über R, wie wir zunächst zeigen wollen. Beachten Sie, dass wir bereits wissen, dass höchstens die selbstadjungierten Operatoren über R orthogonal diagonalisierbar sind. Satz Sei V ein innerer Produktraum, und sei T selbstadjungiert. Dann ist jeder Eigenwert von T reell, und Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal. 115

8 Beweis Sei T(v) = γv, v 0. Dann gilt γ(v v) = (γv v) = (T(v) v) = (v T (v)) = (v T (v)) = (v γv) = γ(v v), also γ = γ. Sei nun T(w) = µw mit µ γ, w 0, d.h. µ ist ein anderer Eigenwert von T als γ. Wir erhalten γ(v w) = (T(v) w) = (v T(w)) = (v µw) = µ(v w) = µ(v w), weil µ reell sein muss (siehe oben), also (v w) = 0. Definition Sei V ein endlichdimensionaler innerer Produktraum, U V. Dann heißt U := {v V : (u v) = 0 für alle u U} das orthogonale Komplement von U. Lemma Sei V ein endlichdimensionaler Euklidischer oder unitärer Vektorraum, und sei U ein Unterraum von V. Jeder Vektor v V lässt sich schreiben als Summe v = u + u mit u U und u U. Diese Darstellung ist eindeutig. Beweis Offensichtlich ist U U = {0}, denn wenn v U U dann gilt (v v) = 0, also v = 0. Das zeigt dim(u + U ) = dim U + dim U dim V. (7.) Wähle nun eine Orthonormalbasis (b 1,..., b n ), die eine Basis (b 1,..., b s ) von U enthält. Dann ist (b s+1,..., b n ) eine linear unabhängige Menge in U, wegen (7.) also eine Basis. Daraus folgt auch unmittelbar die Eindeutigkeit der Darstellung. Bemerkung Wenn wir einen Vektorraum V in der Form V = W W k mit W i V schreiben können, und wenn zusätzlich jeder Vektor eindeutig als Summe von Vektoren in W i geschrieben werden kann, sprechen wir von einer direkten Summe. Ein Beispiel einer solchen Zerlegung haben wir bereits kennengelernt, nämlich die Zerlegung in Eigenräume eines diagonalisierbaren Operators. Hier haben wir nun eine weitere Zerlegung, nämlich in einen Unterraum und sein orthogonales Komplement, kennengelernt. Man schreibt im Falle einer direkten Summe auch V = W 1... W k. Wir werden uns später intensiver mit Zerlegungen eines Vektorraums in T - invariante Unterräume beschäftigen. 116

9 Korollar dim U + dim U = dim V. Lemma Ist U ein T-invarianter Unterraum, so ist U ein T -invarianter Unterraum. Beweis Sei w U. Dann gilt (v w) = 0 für alle v U, also auch (T(v) w) = (v T (w)) = 0 für alle v U. Das bedeutet T (w) U, was zu beweisen war. Satz Sei V ein endlichdimensionaler innerer Produktraum. Wenn T selbstadjungiert ist, so hat T einen Eigenwert. Beweis Sei B eine Orthonormalbasis von V, und sei A = [T] B B. Wir betrachten den durch A definierten linearen Operator C n C n, also x 1 x 1 T(.. ) = A... x n x n Weil A = A gilt, beschreibt A einen selbstadjungierten Operator auf C n. Das charakteristische Polynom hat eine Nullstelle γ C, weil in C jedes Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Es gibt also ein v C n mit Av = γv. Wegen Satz ist γ reell. Wenn V ein reeller (also ein Euklidischer) Vektorraum ist, so können wir v R n wählen, weil A γi eine reelle singuläre Matrix ist. Also hat T in jedem Fall einen Eigenwert γ. Im reellen Fall konnten wir hier nicht einfach so tun, als ob T über C definiert ist. Deshalb der kleine Kunstgriff, die zu einer Darstellungsmatrix gehörende lineare Abbildung auf C n zu betrachten. Satz Sei V ein endlichdimensionaler Euklidischer oder unitärer Vektorraum, und sei T ein selbstadjungierter Operator auf V. Dann gibt es eine Orthonormalbasis von V, die aus Eigenvektoren von T besteht, d.h. T ist unitär diagonalisierbar. Beweis Wir wissen, dass T einen Eigenwert γ R hat. Sei v ein zugehöriger Eigenvektor mit v = 1. Sei W = v der von v aufgespannte Vektorraum. Das orthogonale Komplement von W ist T -invariant, also auch T-invariant. Nun ist W ebenfalls ein innerer Produktraum mit dim W = dim V 1. Wir setzen U := T W. Dann hat W mit Induktion eine Orthonormalbasis, die aus Eigenvektoren von U besteht. Korollar Ist A eine reelle symmetrische Matrix, so gibt es eine reelle orthogonale Matrix P so, dass P AP eine Diagonalmatrix ist. Ist umgekehrt P AP eine Diagonalmatrix und P orthogonal ist, so muss A symmetrisch sein (benutze (P AP) = P A P, also A = A, weil P invertierbar), siehe auch Lemma

10 Für lineare Operatoren fassen wir noch einmal zusammen: Korollar Ein Operator in einem endlichdimensionalen Euklidischen Vektorraum wird genau dann bzgl. einer Orthonormalbasis in Diagonalgestalt dargestellt, wenn er selbstadjungiert ist. Im komplexen Fall gilt für Matrizen: Korollar Ist A eine hermit sche Matrix, so gibt es eine unitäre Matrix P so, dass P AP eine Diagonalmatrix ist. Wir können nicht sagen, dass über C nur die selbstadjungierten Operatoren unitär diagonalisierbar sind, weil Lemma nur für reelle Vektorräume gilt! Aber auch für den allgemeinen Fall unitärer Vektorräume gibt es eine schöne Charakterisierung der unitär diagonalisierbaren Operatoren: Lemma Sei V ein endlichdimensionaler unitärer Vektorraum, und sei T ein normaler Operator auf V. Dann gilt: v ist Eigenvektor von T zum Eigenwert γ genau dann wenn v ein Eigenvektor von T zum Eigenwert γ ist. Beweis Für normale Operatoren U gilt (Uv Uv) = (v U Uv) = (v UU v) = (U v U v) (beachte (U ) = U, siehe Satz 7.2.7). Ist γ ein Skalar, so ist T γid V normal (nachrechnen). Also gilt (T γid V )(v) = (T γid V )(v). Das zeigt: v ist Eigenvektor zum Eigenwert γ von T genau dann, wenn v Eigenvektor von T zum Eigenwert γ ist. Wir halten folgendes nützliche Korollar fest: Korollar Die Eigenwerte unitärer Abbildungen haben den Betrag 1. Satz Sei T ein normaler Operator auf einem inneren Produktraum V. Wenn B = (b 1,..., b n ) eine Orthonormalbasis ist, so dass A := [T] B B eine obere Dreiecksmatrix ist, dann ist T genau dann normal, wenn A eine Diagonalmatrix ist. Beweis Weil B orthonormal ist, ist A = [T ] B B. Wenn A eine Diagonalmatrix ist, so ist A eine normale Matrix, also ist T ein normaler Operator. Sei nun umgekehrt T normal. Weil A = (α i,j ) = [T] B B eine obere Dreiecksmatrix ist, so gilt T(b 1 ) = α 1,1 b 1. Damit ist (Lemma ) b 1 auch ein Eigenvektor von T zum Eigenwert α 1,1. Wir können T (b 1 ) auch konkret ausrechnen: T (b 1 ) = n α 1,j b j j=1 118

11 (die α 1,j bilden die erste Spalte von T ). Das zeigt α 1,j = 0 für j > 1, insbesondere α 1,2 = 0, also T(b 2 ) = α 2,2 b 2, weil A eine obere Dreiecksmatrix ist. Das zeigt T (b 2 ) = α 2,2 b 2, also hat die zweite Spalte von T nur höchstens einen Eintrag 0, nämlich α 2,2. Die zweite Spalte von T ist aber die zweite Zeile von T. Fahre so fort. Satz Ist V ein endlichdimensionaler unitärer Vektorraum, so kann jeder lineare Operator T auf V bzgl. einer Orthonormalbasis als obere Dreiecksmatrix dargestellt werden. Beweis Der Operator T hat mindestens einen Eigenwert γ mit Eigenvektor v, weil das charakteristische Polynom von T mindestens eine Nullstelle hat. Wir betrachten das orthogonale Komplement W von v. Dieses ist T-invariant, siehe Lemma Mit Induktion können wir annehmen, dass die Einschränkung von T auf W bzgl. einer Orthonormalbasis (b 1,... b n 1 ) in einer oberen Dreiecksmatrix dargestellt werden. Bezüglich der Orthonormalbasis (b 1,..., b n 1, v) hat T eine obere Dreiecksmatrix als Darstellungsmatrix (beachten Sie, dass v kein Eigenvektor von T sein muss, weil T nicht normal sein muss, vgl. Lemma ). Bemerkung Wir werden später sehen, dass eine lineare Abbildung genau dann durch eine obere Dreiecksmatrix dargestellt werden kann, wenn ihr charakteristisches Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Das ist für C-Vektorräume ja der Fall. Unser Satz ist aber stärker, weil wir hier zeigen, dass der Operator bzgl. einer Orthonormalbasis in Dreiecksgestalt dargestellt werden kann. Wir wollen dies an einem Beispiel erläutern: Beispiel Sei Man rechnet nach sowie T := + 2 i 4 + i 1 i i 6 + i 1 + i χ T = (x i) Eig(T, i) = 1 1, 1 also ist T nicht diagonalisierbar. Wir berechnen nun einen Eigenwert von T. Nach Normierung erhalten wir einen Eigenvektor (zum Eigenwert i, aber das ist unerheblich) =: b. 119

12 Das orthogonale Komplement W von b wird beispielsweise von den beiden normierten Vektoren a 1 := und a 2 := erzeugt. Diese beiden Vektoren sind eine Orthonormalbasis B von W, und eine Darstellungsmatrix von T W bezüglich dieser Basis ist ( [T W ] B B = 1 + i ) i Wir könnten jetzt einfach einen Eigenvektor von T W und einen dazu in W orthogonalen Vektor suchen. Wir wollen aber statt dessen das Verfahren aus dem Beweis von Satz noch einmal anwenden. Wir suchen also einen Eigenvektor von (T W ). Weil wir für B eine Orthonormalbasis gewählt haben, können wir jetzt einfach die Eigenvektoren der komplex-konjugiert transponierten Darstellungsmatrix ausrechnen. Das wäre nicht so einfach gegangen, wenn wir eine andere Basis genommen hätten! Wir erhalten als Eigenvektor Vektor ist, bzgl. der kanonischen Basis, Ein Vektor orthogonal zu 2a 1 + a 2 = ( ) ( 2 wäre 2 1 ), also 1 a 1 + 2a 2 = 1 1 1, 2 1 ( 2 1 ). Dieser Normierung liefert b 2 := und b := Wenn man als P die Matrix mit den Spalten b 1, b 2 und b nimmt (also P = [id] B C mit C als kanonischer Basis), so ist P unitär und i P 6 6 i TP = 4 0 i 0 0 i 120

13 Korollar Ein linearer Operator auf einem endlichdimensionalen unitären Vektorraum ist genau dann unitär diagonalisierbar, wenn er normal ist. Beweis Lemma 7.4.4, Satz , Beachten Sie, dass der Operator aus Beispiel nicht normal ist! Warnung: Über den reellen Zahlen sind genau die reellen symmetrischen Matrizen orthogonal diagonalisierbar. Es gibt aber reelle Matrizen, die nicht symmetrisch, aber normal sind, z.b. orthogonale Matrizen ( ) cos(ϕ) sin(ϕ) T :=. sin(ϕ) cos(ϕ) Eine solche Matrix ist über den reellen Zahlen nicht diagonalisierbar, wohl aber über den komplexen Zahlen: ( ) ( ) cos(ϕ) + i sin(ϕ) 0 e iϕ 0 D := = 0 cos(ϕ) i sin(ϕ) 0 e iϕ. Die unitäre Matrix U mit U TU ist U := 1 ( ) i i Beachten Sie, dass T normal und U unitär ist. Wir wollen die wichtigen Ergebnisse dieses Abschnitts noch einmal zusammenfassen: Über R sind alle symmetrischen Matrizen orthogonal diagonalisierbar. Wenn eine reelle Matrix orthogonal diagonalisierbar ist, dann muss sie symmetrisch sein. Über C sind alle selbstadjungierten Matrizen unitär diagonalisierbar. Über C sind genau die normalen Matrizen unitär diagonalisierbar. Unitäre Matrizen sind normal, deshalb sind sie unitär diagonalisierbar. Insbesondere sind reelle orthogonale Matrizen über C diagonalisierbar, in der Regel aber nicht über R. Wir werden für orthogonale Abbildungen in Satz eine Normalform herstellen. Über C sind alle Matrizen unitär äquivalent zu einer oberen Dreiecksmatrix. Im nächsten Satz geht es nun darum, orthogonale Abbildungen über R zu normalisieren. Dazu bezeichen wir die Drehmatrizen ( ) cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ 121

14 mit U ϕ, wobei 0 ϕ < 2π. Beachten Sie, dass U ϕ orthogonal ist, und die Matrix ist selbstadjungiert genau dann wenn ϕ = 0 oder ϕ = π. Im ersten Fall ist U 0 = I, im zweiten Fall U π = I. Zunächst einmal wollen wir alle zweidimensionalen orthogonalen Matrizen charakterisieren. Zum Beweis verweisen wir auf die Vorlesung: Lemma Sei A R (2,2) eine orthogonale Matrix. Wenn det A = 1, so gibt es ein ϕ mit 0 ϕ < 2π und ( ) cos ϕ sin ϕ A =. sin ϕ cos ϕ Ist det A = 1, so gibt es ein entsprechendes ϕ mit ( ) cos ϕ sin ϕ A =. sin ϕ cos ϕ Im ersten Fall hat A für ϕ 0, π keine Eigenwerte, im zweiten Fall ist A stets diagonalisierbar! Achtung: Dieses Lemma sagt nicht nur, dass jede orthogonale Abbildung zu einer dieser Matrizen orthogonal äquivalent ist, sondern jede orthogonale Abbildung muss diese Form haben! Satz Sei T ein reeller orthogonaler Operator auf einem endlichdimensionalen Euklidischen Vektorraum. Dann gibt es eine Orthonormalbasis B so, dass [T] B B =... 1 U ϕ1... U ϕk gilt. Die übrigen Einträge in dieser Matrix sind 0, ferner ist 0 ϕ i < 2π, ϕ i 0, π, für i = 1,..., k. Wenn wir mit r die Anzahl der 1-en und mit s die Anzahl der 1-en bezeichnen, gilt also r + s + 2k = dim V. Für den Beweis benutzen wir folgendes Lemma: Lemma Ist T ein orthogonaler Operator auf einem reellen Euklidischen Vektorraum der Dimension 1, so gibt es stets einen T-invarianten Unterraum W mit 1 dim W 2 122

15 Beweis Wir betrachten den reellen selbstadjungierten Operator T + T, der einen reellen Eigenwert γ mit zugehörigem reellen Eigenvektor v hat. Dann rechnet man leicht nach, dass v, T(v) die gewünschte Eigenschaft hat: Beachte dazu (T + T )(v) = γv, also T 2 (v) = γt(v) v, weil T = T 1 ist. Beweis (von Satz ) Der Beweis erfolgt wie im selbstadjungierten Fall mit Induktion über die Dimension. Im Induktionsschritt kann man allerdings nicht die Existenz eines Eigenvektors voraussetzen, sondern nur die Existenz eines (höchstens) zweidimensionalen invarianten Unterraums W. Der Operator T W ist orthogonal, und das orthogonale Komplement W ist ebenfalls T- invariant: Aus (T(v) w) = (v T (w)) = (v T 1 (w)) folgt für v W und w W sofort T(v) W (weil T 1 (W ) = W ). Es genügt jetzt also, den Satz für orthogonale Operatoren auf ein- und zweidimensionalen Vektorräumen W zu zeigen. Im eindimensionalen Fall ist die Darstellungsmatrix eines orthogonalen Operators die 1 1-Matrix (1) oder ( 1), im zweidimensionalen Fall (nach Wahl einer Orthonormalbasis B) U ϕ für einen geeigneten Winkel ϕ. Beispiel Die Matrix M := ist orthogonal. Das charakteristische Polynom ist x 11 5 x x + 1 mit einer reellen Nullstelle 1 und zwei komplexen Nullstellen 5 ± 4 5 i. Wir sehen, dass alle Eigenwerte den Betrag 1 haben, und dass die Matrix über C diagonalisierbar ist. Um die Matrix jetzt in Normalform gemäß Satz zu transformieren, suchen wir zunächst einen normierten Eigenvektor zum Eigenwert 1. Wir erhalten b 1 := Sei W = b 1. Eine Orthonormalbasis des orthogonalen Komplements W ist z.b. b 2 = , b :=

16 Man erhält diese Basis, indem man erst eine beliebige Basis von W bestimmt (Lösungen des linearen Gleichungssystems x 2 2 y 6 6 z = 0, dessen Koeffizienten gerade die Koeffizienten von b 1 sind). Danach: Gram-Schmidt sches Orthonormalisierungsverfahren. Wir erhalten so die orthogonale Matrix P = = [id R ] B C, wobei B = (b 1, b 2, b ) und C die kanonische Basis ist. Das ergibt P M P = Es gilt also ϕ = arccos