Eine interessante Eigenschaft unseres Schreibpapiers

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1 September 2011 Eine interessnte Eigenschft unseres Schreibppiers ichel Schmitz Zusmmenfssung ällt mn von einer Ecke eines I 4 lttes ds Lot uf die igonle durch die benchbrten Eckpunkte, so schneidet ds Lot die gegenüberliegende echteckseite in ihrem ittelpunkt. iese interessnte Eigenschft ist der usgngspunkt für die Überlegungen in dieser kleinen etrchtung. bei wird gezeigt, dss diese Eigenschft nur für echtecke gilt, die zum I 4 ltt ähnlich sind. ei unseren Überlegungen lernen wir uch einen riefumschlg zu flten und finden eine öglichkeit ein I 4 ltt durch lten sowohl längs ls uch quer zu dritteln. 2 ild 1 * * * ild 1b etrchten wir ein echteck mit den Seitenlängen und 2, z.. ein I 4 ltt (vgl. [1]). Zuerst flten wir in dieses echteck die igonle (ild 1). nschließend flten wir so uf, dss die ltlinie durch geht (ild 1b). iese ltlinie steht ntürlich senkrecht uf und sie schneidet die echteckseite im Punkt, bezeichnet dbei den zugehörigen Lotfußpunkt uf. lten wir uf, so stellen wir fest, dss der ittelpunkt von sein könnte. Wir überlegen uns nun, dss diese Vermutung richtig ist. zu drehen wir um mit einem rehwinkel von 90 0 im mthemtisch positiven rehsinn und erhlten ds echteck mit der igonlen (ild 2).Wegen der rehung durch 90 0 und wegen ist. un verschieben wir so, dss nch geht und erhlten ds echteck. etrchten wir die beiden übereinnder liegenden echtecke und ls ein großes ild 2 echteck, so ist in diesem echteck ds Seitenverhältnis : = 2 = 2, lso 2 z.. ein I 3 ltt. ist ntürlich zu ähnlich. iese beiden echtecke liegen uch so, dss die igonlen und zueinnder prllel sind. uch prllel zu ist, ergibt sich. un erkennen wir im ild 2 eine Strhlenstzfigur mit dem Scheitel bei, den beiden von usgehenden Strhlen + und + und den beiden Prllelen und. die itte von ist, muss wegen des Strhlenstzes uch die itte von sein. nsere ehuptung ist dmit bewiesen.

2 die Ähnlichkeit zwischen einem echteck und dessen Hälfte nur für echtecke mit dem Seitenverhältnis 2 (lso solchen, die zu einem I 4 ltt ähnlich sind) erfüllt ist, ergibt sich us unserer Überlegung, dss unsere Vermutung uch nur für solche echtecke richtig ist. Es ergibt sich dmit: Genu dnn, wenn ein echteck ds Seitenverhältnis 2 ht, gilt: s Lot von einer Ecke des echtecks uf die igonle durch die benchbrten Ecken schneidet die Gegenseite in ihrem ittelpunkt. ies ist eine interessnte Eigenschft eines I 4 lttes. Wir geben noch einen zweiten eweis für diesen Stz n. zu betrchten wir jetzt ein echteck mit den Seitenlängen und b (ild 3). Es sei = u, = v, = α und = δ. nn gilt tnα = u b und tnδ = b. u v ild 3 b Weil α = 90 0 δ ist, gilt tn(90 0 δ) = u b. ber tn(900 δ) = sin(90 0 δ) cos(90 0 δ) worus u = b2 = cosδ sinδ = 1 tnδ folgt. ist, ergibt sich tnα = 1 tnδ, bzw. u b = 1, b edenken wir noch, dss v = u = b2 = 2 b 2 ist, so ergibt sich für u = v sofort b2 = 2 b 2. rus erhlten wir ber b = 2. mit ist ber ein echteck, ds zu einem I 4 ltt ähnlich ist und unser Stz ist noch einml beweisen. Wir flten, usgehend von ild 1b, weiter die Senkrechte von uf, die in ihrem ittelpunkt (ild 4) schneidet wie wir inzwischen wissen. 2 S S ild 4 ild 4b S ild 4c S S ild 4d ild 4e it bezeichnen wir den zugehörigen Lotfußpunkt uf. Wir flten uf (ild 4b). ie entstehende ltlinie schneidet in S, ist dort senkrecht und S ist der ittelpunkt von. ufgrund des Strhlenstzes ergibt sich, dss diese ltlinie durch geht und die Seite im ittelpunkt schneidet. lten wir noch uf (ild 4c), so schneidet die entstehende ltlinie in S und steht dort senkrecht. S ist ntürlich der ittelpunkt von und wegen des Strhlenstzes geht die ltlinie durch. Weiterhin schneidet diese ltlinie in, dem ittelpunkt von. mit ist = und = ußerdem ist = lten wir nun und uf, so ergibt sich = her können wir uf flten, so dss die ltlinie durch geht (ild 4d). iese ltlinie schneidet in S und ist dort senkrecht. Weiterhin schneidet diese ltlinie in. ufgrund des Strhlenstzes (Zentrum ) ergibt sich = 1 4. ild 4e zeigt die Sitution nchdem die drei reiecke umgefltet wurden. un betrchten wir noch einml ild 4c. ort erkennen wir mit Hilfe des Strhlenstzes (Zentrum ), dss der ittelpunkt von Seite 2

3 ist. Ebenso folgt mit dem Strhlenstz (Zentrum ), dss der ittelpunkt von ist. olglich gilt = =, d.h., und teilen in drei gleich große Strecken ein. her geht beim mflten von um S der Punkt uf (ild 4f) und es entsteht ein neues echteck S. S ild 4f ls nächstes berechnen wir die Seitenlängen dieses echtecks. zu betrchten wir ds entfltete echteck mit llen ltlinien (ild 4g). ergibt sich mit Hilfe des Stzes des Pythgors im rechtwinkligen reieck, in dem = 1 2 und = ist. Es gilt = ( 1 2 )2 + ( 1 4 2) 2 = 4. beim mflten von und uf die igonle doppelt übereinnder liegt, gilt S = 1 2 = ( 2) 2 = 2 3. mit sind ber die Längen der Seiten des echtecks S berechnet. S un bestimmen wir ds Verhältnis der Seitenlängen dieses echtecks. S Wir berechnen S = = 2. mit ist dieses echteck ber S S zum usgngsrechteck ähnlich. uch dies ist eine interessnte Eigenschft des I 4 lttes. ild 4g s zusmmengefltete echteck S knn ls rief (ild 5) verwendet werden, wenn mn vorher die Innenseite beschrieben ht und die drei, über zusmmentreffenden Ecken des usgngsrechtecks z.. mit Siegellck, einem ufkleber mit der bsenderdresse oder gnz einfch nur mit einem Klebepunkt fixiert. ild 5 etrchten wir ild 4g noch einml, so sehen wir, dss ds echteck S durch die ltlinien in vier kleinere echtecke zerlegt wird. Wir wollen nun noch die Seitenlängen und Seitenverhältnisse dieser echtecke bestimmen. zu bezeichnen wir noch den Schnittpunkt von und mit S. Wir beginnen mit dem echteck S : = 1 3 = ( 2) 2 = 3 S = S = 2 ( 1 2 ) 2 = ( 1 2 )2 ( ) 2 = und S = 3 3 = 2. mit ist ber S zu ähnlich. un betrchten wir S S : S = 1 2 = 1 2 = = S = und Seite 3

4 S S = 3 = 2. mit ist ber uch S S zu ähnlich. ls nächstes echteck betrchten wir S S : S = S = S = S = 4 S S = 3 12 = 12 und = 2. mit ist ber uch S S zu ähnlich. Zum bschluss betrchten wir S S : S S = 3 S = 12 und S S S = = 2 2. mit ist keine Ähnlichkeit von S S zu vorhnden. ber wir bemerken, dss S S = 3 3 = 2 3 = 2 S ist. olglich können wir ds echteck S S in zwei echtecke, die zu S S kongruent sind, zerlegen. S S S S ild ild b ußerdem bemerken wir, dss S = = 2 12 = 2 S ist, womit sich uch S S in zwei, zu S S kongruente echtecke, zerlegen lässt. mit können wir ber uch S in vier solche kleine echtecke zerlegen. durch wird S insgesmt in neun, zu S S kongruente echtecke zerlegt, wie es im ild gezeigt ist. Ergänzen wir die igur durch weitere pssende ltlinien, so erhlten wir eine Einteilung des usgngsrechtecks in kleine, zu S S kongruente echtecke und eststücke, die sich prweise zu solchen kleinen echtecken ergänzen (ild b). urch bzählen finden wir, dss für die lächeninhlte S S = 1 24 gilt. mit ergibt sich für die läche unseres riefumschlges S = 9 24 = 3 8 < 1 2. Wenn unser usgngsrechteck ein I 4 ltt wr, dnn ist der gefltete riefumschlg lso etws kleiner ls ein I 5 ltt. ild 7 Greifen wir nun noch einml die Eigenschft der Punkte und uf (ild 4g) uf. Wir htten oben festgestellt, dss diese beiden Punkte die Strecke in drei kongruente Teile teilen. lten wir nun durch und jeweils die Prllelen zu bzw. (ild 7), so ergibt sich ufgrund des Strhlenstzes, dss diese ltlinien ds echteck sowohl prllel zur lngen, ls uch prllel zur kurzen echteckseite dritteln. iese ufgbenstellung hben wir uch schon in [2] behndelt. Eine weitere interessnte Eigenschft unseres Schreibppiers wird in [3] erläutert: Schneidet mn von einem echteck, ds zu einem I 4-Ppier ähnlich ist, ds Qudrt über einer kurzen Seite und nschließend vom übrig gebliebenen echteck ebenflls ds Qudrt über einer kurzen Seite b, so erhält mn ein echteck, welches zum usgngsrechteck ähnlich ist. rus ergibt sich ein eweis für die Irrtionlität von 2, sowie eine Kettenbruchdrstellung dieser Zhl. uch eine mkehrung zur oben gennnten Eigenschft wird in [3] untersucht: Schneidet mn von einem Qudrt ein echteck b, dessen eine Seite mit einer Qudrtseite übereinstimmt und ds zu einem I 4-Ppier ähnlich ist, bleibt ein echteck übrig. ieses echteck lässt sich in zwei zueinnder kongruente Qudrte und ein echteck, welches zu einem I 4-Ppier ähnlich ist, einteilen. Seite 4

5 rus ergibt sich dnn die öglichkeit ein regelmäßiges chteck us einem qudrtischen Ppier zu flten. Litertur [1] Schmitz, ichel: nser Schreibppier ein ltt us der I 4-eihe. thegmi, September, [2] Schmitz, ichel: rittelung eines I 4-lttes. thegmi, Juni, [3] Schmitz, ichel: Qudrte. thegmi, ezember, Schlussbemerkung ie hier gezeigten ltbeispiele sollen nregungen geben, im themtikunterricht unserer Schulen ds lten von Ppier zu nutzen, um mthemtische Inhlte entdecken zu lssen, einzuführen oder zu üben. ie öglichkeiten dzu sind vielfältig. uf der Internetseite findet mn weitere eispiele. Ich würde mich freuen, von Ihnen Hinweise, nregungen oder Erfhrungsberichte zu dieser Themtik zu erhlten. Schreiben Sie mir eine E-il (michel.schmitz@uni-jen.de) oder benutzen Sie ds orum uf der oben gennnten Internetseite. Seite 5