Dr. Maike M. Burda. Welchen Einfluss hat die Körperhöhe auf das Körpergewicht? Eine Regressionsanalyse. HU Berlin, Econ Bootcamp

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1 Dr. Maike M. Burda Welchen Einfluss hat die Körperhöhe auf das Körpergewicht? Eine Regressionsanalyse. HU Berlin, Econ Bootcamp Januar 2010

2 BOOTDATA.GDT: 250 Beobachtungen für die Variablen... cm: Körpergrösse in cm (stetige Variable); kg: Körperhöhe in kg (stetige Variable); bin: Geschlecht (1=Mann, 0=Frau); (nominale Variable); alt: Alter in Jahren (stetige Variable). davon Beobachtungen für Frauen (bin=0); 132 Beobachtungen für Männer (bin=1).

3 Skalierung von Variablen nach Merkmalsausprägung: Quantitative Variable: braucht keine physikalische Einheit. nominale Variable: Ausprägung vorhanden/nicht vorhanden messbar. ordinale Variable: Intensität der Ausprägung messbar(rangfolge).

4 Qualitative Variable: braucht physikalische Einheit; Verhältnis der Ausprägungen zueinander messbar. diskrete Variable: Werte entstehen durch Zählprozess; stetige Variable: Werte entstehen durch Messprozess. Berechnung von Mittelwert, Varianz, Standardabweichung, Kovarianz und Korrelation ist nur für qualitative Variable sinnvoll!

5 GRETL: VIEW SUMMARY STATISTICS Variable Mittelw. Median Minimum Maximum Stand.abw. cm kg alt Sei X eine qualitative Variable mit den n Beobachtungen x 1,...,x n : Mittelwert x: kennzeichnet den Schwerpunkt der Verteilung. x = 1 n ni=1 x i.

6 Median (x med ): Sortiere die Beobachtungen x 1,...,x n der Grösse nach aufsteigend. n ungerade: x med = x [(n+1)/2] ; n gerade: x med = 0.5 (x [n/2] + x [n/2+1] ). Links und rechts vom Median liegen gleich viele Beobachtungen. Standardabweichung: misst die Streuung um den Mittelwert. Varianz: s 2 x = 1 n 1 ni=1 (x i x) 2. Standardabweichung: s x = s 2 x.

7 GRETL: VARIABLE FREQUENCY PLOT Stetige Variable: Histogramm; diskrete Variable: Stabdiagramm. Rechteckige Fläche im Histogramm gibt an, wie viel Prozent der Beobachtungen in die zugehörige Klasse fallen. Bei gleichen Klassenbreiten ist Höhe des Histogramms proportional zur Fläche.

8 Histogramm der Körpergrösse (Min=125, Breite=10): Relative frequency cm

9 Histogramm des Körpergewichts (Min=25, Breite=10): Relative frequency kg

10 Histogramm des Alters (Min=8, Breite=8): Relative frequency alt

11 GRETL: VIEW GRAPH SPECIFIED VARS XY -Scatterplots: erlauben visuelle Inspektion, ob ein linearer/nicht-linearer/kein Zusammenhang zwischen 2 Variablen besteht. Korrelation: misst, ob ein linearer Zusammenhang zwischen 2 Variablen besteht. positive (negative) Korrelation: hohe Werte der einen Variable treten tendenziell zusammen mit hohen (niedrigen) Werten der anderen Variable auf.

12 Scatterplot Körpergewicht (Y), Körpergrösse (X): 110 kg versus cm kg cm

13 Scatterplot Körpergewicht (Y), Alter (X): 110 kg versus alt kg alt

14 Berechnung der Korrelation: Schritt 1: Varianz von X und Y berechnen. s 2 x = 1 n (x n 1 i x) 2, i=1 s 2 y = 1 n (y n 1 i ȳ) 2. i=1 Schritt 2: Kovarianz berechnen. s xy = 1 n (x n 1 i x)(y i ȳ). i=1 Varianzen sind immer positiv, aber die Kovarianz kann negativ sein.

15 Schritt 3: Korrelationskoeffizient berechnen. mit ρ xy = s xy s x s y 1 ρ xy +1. Spezialfälle: ρ xy = +1: perfekte positive lineare Abhängigkeit. ρ xy = 1: perfekte negative lineare Abhängigkeit. ρ xy = 0: keine lineare Abhängigkeit.

16 GRETL: VIEW CORRELATION MATRIX Correlation coefficients, using the observations % critical value (two-tailed) = for n = 250 cm kg alt cm kg alt Körpergewicht und Körpergrösse sind positiv korreliert.

17 Theoretisches Regressionsmodell: Sei y das Körpergewicht und x die Körpergrösse, dann soll gelten: y = β 0 + β 1 x + u = E(y x) + u. Kausalrichtung: x (Körpergrösse) beeinflusst y (Körpergewicht). x = erklärende Variable, y = zu erklärende Variable. Andere, unberücksichtigte Einflüsse auf y (Alter, Geschlecht, Bildung) stecken in dem Fehlerterm u. u ist eine Zufallsvariable mit E(u x) = 0. Im Mittel heben sich die unberücksichtigten Einflüsse auf.

18 Das Regressionsmodell kann nicht jede einzelne Beobachtung beschreiben, sondern nur einen zu erwartenden Zusammenhang: E(y x) = β 0 + β 1 x. theoretische Regressionsgerade. Die Parameter β 0 und β 1 sind feste, unbekannte Werte. β 1 misst, um wieviel Einheiten sich y im Durchschnitt ändert, wenn sich x um eine Einheit ändert. β 0 ist nicht immer sinnvoll interpretierbar, aber wichtig für die Annahme, dass E(u x) = 0 ist.

19 Schätzung der Regressionsgerade: Methode der kleinsten Quadrate (OLS) Finde Schätzfunktionen b 0,b 1 für β 0,β 1, die die Summe der quadrierten Fehlerterme minimieren: Min S(β 0,β 1 ) = n i=1 u 2 i! b 1 = ni=1 (x i x)(y i ȳ) ni=1 (x i x) 2 und b 0 = ȳ b 1 x

20 Anwendung der Schätzfunktion auf die Daten (Stichprobe) ergibt die Schätzwerte b 0,b 1 sowie die geschätzte Regressionsgerade: ŷ i = b 0 + b 1 x i. Die Differenz zwischen den beobachteten Werten y i und den geschätzten Werten auf der Regressionsgerade ŷ i sind die geschätzten Fehlerterme û i : y i = b 0 + b 1 x i + û i = ŷ i + û i.

21 GRETL: Plot der geschätzten Regressionsgerade Y = X kg versus cm (with least squares fit) kg cm

22 Schätzung der Regressionsgerade in GRETL: kg = (10.55) (0.06) cm, R2 = Die geschätzte Regressionsgerade läuft stets durch die Mittelwerte (ȳ, x), sofern eine Konstante mitgeschätzt wird. im Mittel sind die geschätzten Fehlerterme Null. Interpretation: Im Mittel gilt, dass ein zusätzlicher Zentimeter an Körpergrösse das Gewicht um 0.94 kg steigert.

23 Sich anschließende Fragen: Ist der Schätzwert signifikant von Null verschieden? Verteilungsannahme, Hypothesentest Wie viel Prozent der Streuung in den beobachteten Daten kann durch das Regressionsmodell erklärt werden? Bestimmtheitsmaß R 2 berechnen; 0 R 2 1. GRETL Schätzung: R 2 = Prozent der Streuung in den beoachteten Daten wird durch das Regressionsmodell erklärt.

24 Wie verlässlich ist die Schätzung? Eigenschaften der Schätzmethode und Aussagen der Hypothesentests werden auf Basis von Annahmen abgeleitet und gelten deshalb nur, wenn alle getroffenen Annahmen wahr sind. Annahme: Daten sollen eine Zufallsstichprobe sein! Qualität der Daten (Selektionsproblem, Messfehler) ist sehr wichtig.

25 Multiple Regression: 2 erklärende Variable. y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + u und E(y x 1,x 2,x 3 ) = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2. Statt einer Geraden wird eine Regressionsebene geschätzt. gleicher Schätzansatz liefert andere Schätzformeln. β 1 misst, um wie viel Einheiten sich im Durchschnitt y ändert bei gleichen Werten von x 2 (ceteris paribus), wenn sich x 1 um eine Einheit ändert.

26 Schätzung in GRETL: kg = cm alt (9.62) (0.056) (0.0346) Interpretation: Bei 1 cm mehr Körpergrösse wiegt eine Person im Durchschnitt ceteris paribus 0.93 kg mehr. Eine Person von 20 Jahren und 175 cm Körpergrösse wiegt im Durchschnitt kg. Ein weiteres Jahr erhöht i.d.c.p. das Körpergewicht um 0.25 kg.

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