Dreieckssätze. Pythagoras und Co. W.Seyboldt SFZ 14/15

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1 Dreieckssätze Pythagoras und Co 1

2 Pythagoras 300 v.chr.: Elemente des Euklid, Stoicheia unterteilt in 15 Bücher (Kapitel) I bis XV wobei die beiden letzten erst später dazu kamen, deshalb redet man oft von den 13 Büchern des Euklid. Alexandria, 33 von Alexander gegründet, war 500 Jahre lang Zentrum der Wissenschaft und Kultur Die Elemente sind sehr trocken, undidaktisch im heutigen Sinn, waren über Jahrhunderte das Lehrbuch. Internet auf Englisch Band 1: Proposition 47: Satz des Pythagoras Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der dem rechten Winkel gegenüber liegenden Seite gleich den Quadraten über den Seiten zusammen, die ihn einschließen. hier findet man 111 Beweise. Klassischer Beweis (proof 1):

3 Chinesischer Beweis (00 v.chr) / Variante siehe, (Proof 9) Mit binomischer Formel und vier Dreiecken 1 4 c a b ab Variante siehe, (Proof 10) a ab b ab a b 3

4 Höhensatz / Kathetensatz c p q a b p q h p h q p pq q h pq 4

5 Reziproker Pythagoras Seien a und b die Katheten, h die Höhe über c Beweis: Multipliziere die Seiten des Dreiecks a, b, c mit 1/ab. Jetzt sind die Seitenlängen a = 1/b, b =1/a und c =c/ab Ursprüngliche Dreiecksfläche auf zwei Arten berechnen Halbes Produkt der Katheten: Halbes Produkt der Höhe mal Grundseite: Ergibt nach Umformung: Pythagoras für a b h a ' b' c ' 5 c = 1 ab h ab liefert nun ch b a h

6 Satz von Höhn 000 In einem gleichschenkligen Dreieck sei c die Länge der Schenkelseiten. Wir zeichnen eine Strecke der Länge a von der Dreiecksseite zur Basisseite, sodass diese in Abschnitte der Längen b und d unterteilt wird, siehe (a) Dann gilt c a bd Beweis: Die Höhe h unterteilt die Stecke d in y und x, siehe (b) zweimal Pythagoras: a h y c h x ) auflösen nach h und Einsetzen in 1) c a x y a x y x y a bd 6

7 Satz von Eddy 1991 Die innere Winkelhalbierende des rechten Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck teilt das Quadrat über der Hypothenuse in seiner Mitte. Beweis: Ergänze die Skizze (a) durch drei Dreiecke zu (b) Die Diagonale geht durch die Mitte des äußeren und inneren Vierecks. 7

8 Ein simpler Beweis des Pythagoras In einem rechtwinkligen Dreieck mit der Höhe h sind die beiden Teildreiecke kongruent zum ursprünglichen. Also gilt: a c p a b c q a Oder a pc b qc Und damit a b pc qc p q c c 8

9 Ein trickreicher Beweis des Pythagoras Polya: Mathematik und plausibles Schließen, S. 38ff a b c 9 Werden drei ähnliche Polygone auf den drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks errichtet, so ist das auf der Hypotenuse errichtete an Fläche gleich der Summe der beiden anderen. Es genügt, dies für Dreiecke, für rechtwinklige Dreiecke zu zeigen.

10 Inkreis eines rechtwinkligen Dreiecks In jedem Dreieck gilt: Alle drei Winkelhalbierenden schneiden sich in einem Punkt. Dieser Punkt hat von allen Seiten denselben Abstand. (Jeder Punkt der Winkelhalbierenden hat von den beiden Schenkeln denselben Abstand) Der Kreis mit dem Radius r = (Abstand von den Seiten) berührt alle drei Seiten. Bez: Im rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse c gilt: r a b c Dreiecksfläche s abc und A r ab a b c oder rs und s c r Aufgabe: Zeige dass die letzten beiden Gleichungen äquivalent sind. 10

11 Beweis der beiden Formel der letzten Folie Der Abbildung rechts entnehmen wir c a b r a b c oder aufgelöst nach r: r Die zweite Formel entnehmen wir den folgenden beiden Abbildungen: Die obere Abb. (c) besteht aus zwei Dreiecken (b). Die untere Abb. setzt sich aus den Teildreiecken der Abb. darüber zusammen. Die beiden Flächen sind also gleich, d.h. 1 ab r a b c (also A ab rs ) 11 Lösen wir nach r auf, erhalten wir: r ab a b c

12 Fläche Dreieck und Inkreis Die Fläche A eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich dem Produkt aus den Längen der Hypotenusenabschnitte, die durch den Berührungspunkt des Inkreises definiert sind. Beweis: Siehe die beiden folgenden Skizzen Aufgabe Nutze x = a-r und y = b-r, um die Aufgabe mit den Formeln der Folie 8 zu beweisen. 1

13 Höhe und Inkreisradien Sei ABC ein rechtwinkliges Dreieck mit Inkreisradius r und es sei h die Länge der Höhe CD über der Hypotenuse. Außerdem seien r und r die Inkreisradien zu den Dreiecken ACD und BCD. Dann gilt: r r ' r '' h Der Kathetensatz liefert Wenden wir die Gleichung Dreiecke an, erhalten wir. 13 b AD c a b c r und BD a c auf jedes der drei 1 b a r r ' r '' a b c h b h a c c 1 a b c h c h

14 Verallgemeinerung des Pythagoras Pythagoras Proof 1: Bei 3 sind die Dreiecke links und rechts kon gruent zum Dreieck. kruent Flächenformel von Pappus: Es seien ABC ein beliebiges Dreieck und ABDE und ACFG beliebige Parallelogramme über den Seiten AB und AC. Man verlängere DE und GF bis zum Schnittpunkt H. Von den Punkten B und C des Dreiecks zeichne man die BL und CM parallel und gleichlang zu HA. Dann gilt für die Fläche: BCML = ABDE+ADFG 14

15 Mittelwerte AM = Arithmetischer Mittelwert: x arith x x x n 1... n GM = Geometrischer Mittelwert: x n geom x... 1 x x n HM = Harmonisches Mittel (Parallelschaltung von Widerständen nur mit 1/) x harm n x1 x xn QM = RMS =Quadratisches Mittel x quad x x x n 1... n Median: Mittlerer Wert der sortierten Folge (bei einer geraden Anzahl von Gliedern: Mittelwert der beiden mittleren Folgenglieder 15

16 Wofür benutzt man die unterschiedlichen Mittelwerte? AM (arithmetisches Mittel), z.b. für die Durchschnittsgeschwindigkeit, wenn man immer gleiche Zeiten mit einer Geschwindigkeit fährt m so, dass v n v v v 1... n GM (geometrisches Mittel), z.b. wenn man den mittleren Wachstumsfaktor bestimmen möchte m so, dass n k k... 1k k n HM (harmonisches Mittel = arithmetisches Mittel der Kehrwerte), z.b. für die Durchschnittsgeschwindigkeit, wenn man immer gleiche Strecken mit einer Geschwindigkeit fährt m so, dass n v v v v 1 QM = RMS (root Mean Square) zur Fehlerrechnung n Zeige, dass die Summe eines Bruchs und seines Kehrwertes mindestens beträgt. 16

17 Vergleich der Mittelwerte und Dreiecke Es gilt: Das arithmetische Mittel ist größer als geometrische ab a b Beweis: Betrachte einfach das Dreieck: Übrigens: Gleichheit gilt genau dann, wenn ab 0 oder a = b 17

18 HM GM AM RMS Es gilt 1 ab a b a b ab a b a b a b Zeichne einen Kreis um A mit Radius r zeichne M im Abstand und errichte über AM einen Thaleskreis durch Punkt G. HM<GM<AM<QM (falls a<>b) Wegen a c b ab ist die Länge der Strecke GM = ab Vergleichen die Seiten im Dreieck oben, dann unten. d a b a b a b a ab ab p Der Kathetensatz liefert: c a b a b Gleichheit gilt genau dann wenn a = b, d.h. der Kreis zum Punkt wird. 18

19 Mengoli s Ungleichung Zeige, dass die Summe eines Bruchs und seines Kehrwertes mindestens beträgt. Da das harmonische Mittel der Zahlen 1 HM = = 1 x 1+x+1 x x1 x1 x und 1 x 1 x+1 ist, gilt wegen HM < AM (verschieden!) oder 1 a b a b 1 b a b a 1 1 x x 1 x Damit gilt x 1 x x 1 x (Mengoli s Ungleichung) Daraus folgt die Konvergenz der harmonischen Reihe H H 19

20 Winkelhalbierende In einem Dreieck teilt die Winkelhalbierende die gegenüberliegende Seite im Verhältnis der anliegenden Seiten. Beweis: Zeichne Senkrechten zur Winkelhalbierenden durch A und B und suche ähnliche Dreiecke. Die Dreiecke AIC und HBC sind ähnlich (Winkelhalbierende) Also a:b = j:k Strahlensatz (Zentrum G) ergibt j:k = u:v 0

21 Umfangswinkelsatz Sehnentangentenwinkelsatz Die Strecke MC erzeugt zwei gleichschenklige Dreiecke mit den Basiswinkeln β 1 und β. Im Zentrum gilt: 360 (180 ) (180 ) Der Basiswinkel des unteren gleichseitigen Dreiecks: Die Tangente steht senkrecht auf dem Radius. 1 1 Umkehrung: Alle Punkte, von denen eine Strecke unter einem gleichen Winkel erscheint, liegen auf einem Kreis

22 Sehnen- Sekanten- Sekantentangentensatz Schneiden sich zwei Sehnen (innerhalb oder außerhalb), so gilt SASB SC SD im Grenzfall ist SASB ST Es gilt auch die Umkehrung. Bew.: Die Winkel DAB und DCB sind aufgrund des Sehnensatzes gleich. Also sind die Dreiecke DAS und SBC ähnlich. Also gilt SA SD SC SB

23 Sehnenviereck Ein Rechteck besitzt genau dann einen Umkreis, wenn gegenüberliegende Winkel zusammen 180 ergeben. (Beweis: Umfangswinkelsatz) Satz von Ptolemäus Heronsche Flächenformel AB CD BC DA AC BD A s a s b s c s d 1 s a b c d 3

24 Inkreis und Formel von Heron Bezeichnungen beim Inkreis: Inkreisradius = r (Umkreisradius = R) s x y z x s a U 1 A U r x y zr s r Letzte Gleichung gilt, weil das Gesamtdreieck in 3 Teildreiecke zerlegt werden kann, die jeweils die Höhe r haben. 4

25 Lemma für Formel von Heron Lemma: xyz r x y z r s Beweis: siehe Skizze unten Das Rechteck links besteht aus vier gestreckten Dreiecken der rechten Skizze. Bezeichnung w r x D1 mit dem Faktor yz // D mit dem Faktor wz D3 mit dem Faktor r(x+y) // Das kleine D1 mit dem Faktor rz Da α+β+γ = 90 (Winkelsumme im Dreieck) und die Winkelsumme der drei zusammenstoßenden Ecken rechts oben 180 (halber Vollkreis) sind, ist die Figur links ein Rechteck. Damit ist die linke und die rechte Seitelänge gleich. 5

26 Formel von Heron (10-75 n.chr) Fläche eines Dreiecks: U a b c mit s A s s as bs c Beweis: Die Formel der vorletzten Folie und die der letzten xyz r s nach Multiplikation mit s ergeben A s r s xyz s s a s b s c A s r Mit der Formel von Heron kann man die Fläche eines Dreiecks ganz einfach bestimmen, wenn die Seiten gegeben sind. Man benötigt keine Höhe, keinen Winkel! Die Fläche des Dreiecks a=3, b=4, c=5 ist A

27 Aufgaben Alsina S. 104 Nr. 5.5 Alsina S. 104 Nr. 5., 5.3 Zeichne ein Dreieck von dem die drei Seitenhalbierende gegeben sind Alsina S. 105 Nr

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