Aufgaben zu Kapitel 7

Transkript

1 7.1 G W A B zu 7.1 zu Ajznzmtrix: G : W : : A : B : : A, B, A, B, A, B, G, W, G, W, G, W, s ist niht möglih, n Grphn ürshniungsfri zihnn. 7.3 Di Isomorphiilung ist ggn urh usw. G G f f 7.4 G nthält inn infhn Kris r Läng 3, G joh niht. 7.5 Mit Knotn (Prsonn) un Kntn (frunt) formulirt: In jm Grph git s zwi Knotn vom sln Gr. Angnommn, s gä inn Grph G mit n Knotn, in m ll Knotn untrshilihn Gr hättn. Dis ist offnr nur möglih, wnn i Knotn i Gr 0, 1, 2,, n 1 hn. s müsst lso inn Knotn vom Gr n 1 gn, r mzufolg mit jm nrn Knotn vrunn ist. Dnn knn s joh kinn Knotn vom Gr 0 gn. Vorusgstzt ntürlih, ss sih nimn ls sin ignr Frun zihnt!

2 mk m k utt: m Missionr un k Knniln links, m Missionr un k Knniln rhts. In r orn Rih fint sih s Boot uf r linkn Sit, in r untrn uf r rhtn Sit Hmiltonkris: lu Linin; ulrkris: nummrirt. Bim rittn Grphn knn mn z. ulrkris fst nihts flsh mhn, infh rufloslufn! ulrsh j nin j nin hmiltonsh j j j nin 7.8 Dr vollstänig Grph K n ist ulrsh für ll n mit n 0 or n 1 (mo 4), nn nn ist n r Trm ( n+ 1) gr. Jr vollstänig Grph ist slstvrstänlih hmiltonsh s gilt: χ( K n ) = n. Aus m Vir-Frn-Stz folgt nn, ss i Grphn K n mit n > 4 niht plnr sin.

3 χ = 3 χ = 2 χ = 3 χ = K χ( n ) = 2, für gr n un χ( n ) = 3, für ungr n ) niht krisfri ) niht zusmmnhängn ) ntwr zusmmnhängn un krisfri or niht zusmmnhängn un niht krisfri 7.15 B muss minstns i Höh 6 hn s git ntürlih vil Möglihkitn. in von: ) in Binärum mit n innrn Knotn ht n+1 Blättr. ) in Trnärum mit n innrn Knotn ht 2n+1 Blättr. ) in -ärum mit n innrn Knotn ht ( 1)n + 1 Blättr. Bwis pr Inuktion nh n: n = 0: in -ärum mit 0 innrn Knotn stht nur us inm inzign Bltt un ( 1)0+ 1 = 1. Di Bhuptung glt für n. Si nun B in -ärum mit n+1 innrn Knotn. s muss minstns inn innrn Knotn k gn, ssn Nhfolgr ll Blttknotn sin, nn sonst gä s unnlih vil innr Knotn. Wir ntfrnn is Blttknotn (i Nhfolgr von k). Dr rrt gstutzt Bum B ht inn innrn Knotn (nämlih k) un 1 Blttknotn wnigr ls B. B ht nh Inuktionsvorusstzung ( 1)n + 1 Blättr, i Anzhl r Blättr von B trägt hr

4 36 ( 1)n = ( 1) ( n + 1) + 1, un s ntspriht gnu r Inuktionshuptung ) in inärr Bum r Höh h ht minstns h + 1 Blättr un minstns 2h + 1 Knotn. ) in Bum mit Blättrn ht höhstns i Höh Dr Grph ht ri Zusmmnhngskomponntn: {,, g, i}, {, }, {, f, h} i g j i g j h f h f ) Grüst mit Tifnsuh ) Grüst mit Britnsuh 7.22 ) gh, g, g, h, g, f, f ) ssl wi )

5 niht iprtit niht iprtit iprtit iprtit 7.24 rstr Bwis (konstruktiv): Si strtn mit inm liign Knotn un färn isn shwrz. Dnn färn Si ll zu ism nhrtn Knotn wiß. Dnh färn Si ll zu n zultzt gfärtn Knotn wir shwrz usw. solng is ll Knotn gfärt sin. Di knn ni in Konflikt uftrtn, nn sonst hätt r Grph inn Kris, r nn wär r kin Bum. Zwitr Bwis (mit Inuktion): Di Bhuptung gilt offnr für inn Bum mit inm Knotn. Si nun B in Bum mit n+1 Knotn. Dr Bum B ht notwnigrwis minstns inn Blttknotn k (.h. inn Knotn vom Gr 1), nn sonst hätt r ntwr unnlih vil Knotn or inn Kris. Wir ntfrnn k un i zughörig Knt kk un rhltn inn Bum B mit n Knotn. Für B gilt i Inuktionsvorusstzung, s hißt, B ist iprtit un lässt sih hr mit zwi Frn (shwrz un wiß) färn. Anshlißn hängn wir k wir n sin lt Stll zurük un färn k in r ntggngstztn Fr wi k. Dmit ist B nflls shwrz-wiß gfärt in Kris ungrr Läng ist niht mit zwi Frn färr Dr Buuntrnhmr knn ll Stlln stzn: M Z I B

6 kin vollstänigs Mthing kin vollstänigs Mthing 7.28 { A, B,, Df, h, Gg} A B D F G f g h s knn kin vollstänigs Mthing gn, nn L( B,, D,, F) = {,, f, h}.