Kapitel 5.2: Kollektiventscheidungen 1

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1 1 Diese Folien dienen der Ergänzung des Vorlesungsstoffes im Rahmen der Vorund Nachbereitung. Sie stellen kein Skript dar; es wird keine Gewähr für Richtigkeit und/oder Vollständigkeit übernommen. Kapitel 5.2: Kollektiventscheidungen 1 Dr. Jörg Franke Technische Universität Dortmund Sommersemester 2010

2 3. Der Unmöglichkeitssatz von Arrows (1950) Ziel: Ermittlung einer konsisten Präferenzordnung aus individuellen Präferenzen mit Hilfe einer Aggregationsregel A. Konsumenten (Präferenzen): u 1, u 2,..., u n Aggregationsregel A Soziale Präferenz, bzw. Wohlfahrtsfunktion W (u 1... u n ) 1 / 21

3 Axiomatische Forderungen an Aggregationsregel A: 1. Transitivität und Vollständigkeit: Aus A resultierende soziale Präferenz sollte vollständig und transitiv sein, d.h. für alle möglichen Alternativen x X sollte gelten: Falls x x und x x dann x x. 2. Universalität: A sollte universal anwendbar sein, d.h. für alle möglichen individuellen Nutzenfunktionen u 1,..., u n eine soziale Präferenz ableiten können. 3. Pareto: A sollte Pareto-Optimalität im folgenden Sinne erfüllen: Falls u i (x) > u i (x ) für alle i N, dann x x. 4. Kein Diktator: A sollte nicht dazu führen, daß die individuellen Präferenzen eines Individuums die soziale Präferenz bestimmen. 5. Unabhängigkeit: A sollte Anordnung von zwei Alternativen unabhängig von anderen irrelevanten Alternative vornehmen. 2 / 21

4 Satz (Unmöglichkeitssatz von Arrows) Es gibt keine Aggregationsregel A die alle Forderungen 1-5 erfüllt. Satz (Alternative Version) Jede Aggregationsregel A, die die Forderungen 1-3 & 5 erfüllt, muss diktatorisch sein. Direkte Implikation: Diktator erfüllt Forderungen 1-3 & 5! Welche Forderungen erfüllt die Mehrheitsregel? Forderung 1 ist offensichtlich nicht erfüllt: Condorcet-Zykel sind intransitiv! Alle anderen Forderungen 2-5 sind erfüllt. 3 / 21

5 Fazit: Unmöglichkeitssatz von Arrows impliziert, daß keine Aggregationsregel existiert, die bestimmte als notwendig angesehene Eigenschaften aufweist und universell gültig ist. Ausweg: Einschränkung der Universalität: Zulassung bestimmter ( realistischer ) Präferenzen, die Aggregation unter Berücksichtigung der anderen Forderungen ermöglicht. Konkretes Beispiel einer Aggregationsregel: verletzt Transitivitätsanforderung: Zykel jetzt: Beschränkung auf spezifische individuelle Präferenzen (Verletzung der Universalitätsanforderung) Durch welche individuellen Präferenzeigenschaften wird transitiv? 4 / 21

6 Präferenzen: u 1,..., u n Ū Ū = {U U erfüllt zusätzliche Bedingungen} Transitive Soziale Präferenz M Beispiel: Demokratische Familie Gibt es Restriktionen für Präferenzen der Familienmitglieder, so daß es nie zu Zykeln kommen kann? 5 / 21

7 Restriktion der Universalität: Eingipflige Präferenzen Erläuterung: Präferenzen sind eingipflig, wenn von der bevorzugten Alternative weiter entfernte Allokation weniger präferiert werden. Voraussetzung: Alternativen können sinnvoll auf einer eindimensionalen Achse geordnet werden. Beispiel für eingipflige Präferenz: u i (B) > u i (A) > u i (C) u i A B C Alternative 6 / 21

8 Beispiel: Demokratische Familie mit Condorcet-Zykel Vater V : MS V S V B Mutter M: B M MS M S Kind K: S K B K MS Bemerkung: Nicht-eingipflige Präferenzen induzieren Condorcet-Zykel. u i u i M K K V V M MS S B Alt. B MS S Alt. Fazit: Unabhängig von der Reihung der Alternativen ist mind. eine Präferenz nicht eingipflig. 7 / 21

9 Behauptung: Existiert Reihung der Alternativen, so daß alle Präferenzen eingipflig, so tritt bei Mehrheitsabstimmungen kein Condorcet-Zykel auf (damit auch keine Intransivität). Beispiel: Vater V : Mutter M: Kind K: MS V S V B B M S M MS S K B K MS u i M K V MS S B Alt. Für Reihung MS, S, B sind alle Präferenzen eingipflig. 8 / 21

10 Mehrheitsabstimmung: Familienentscheidung durch paarweise Abstimmungen: MS vs. S 1:2 S MS S vs. B 2:1 S B B vs. MS 2:1 B MS Resultat: Transitive soziale Präferenzordnung: S B MS Theorem (Black 1948) Sei n = N ungerade. Falls Alternativen so geordnet werden können, daß alle individuellen Präferenzen eingipflig sind, so ist das transitiv. Implikation: Bei eingipfligen Präferenzen und n ungerade erfüllt die Forderungen 1,3-5 aus Arrows Unmöglichkeitssatz. 9 / 21

11 Frage: Was passiert wenn n gerade? Für n gerade ist soziale Präferenz quasi-transitiv, d.h. Zykel sind ausgeschlossen. Beispiel: Demokratische Familie ohne Kind Vater V : Mutter M: MS V S V B B M MS M S u i V M B MS S Alt. 10 / 21

12 Paarweise Abstimmungen: MS vs. S 2:0 MS S S vs. B 1:1 B S B vs. MS 1:1 B MS Fazit: Soziale Präferenzordnung ist nicht strikt transitiv. Aber es existieren Alternativen (MS und B), die gegen keine andere Alternative verlieren. Bemerkungen: Für n ungerade, gibt es genau eine Alternative, die gegen keine andere verliert. Im Beispiel Festlegung der Raumtemperatur (Abstimmungen über öffentliches Gut) sind Präferenzen eingipflig Vom Medianwähler präferierte Alternative gewinnt gegen alle anderen Alternativen. 11 / 21

13 Politische Relevanz Blacks Resultat verlangt Eingipfeligkeit auf eindimensionaler Skala! Interpretation aus Perspektive der politischen Theorie: Wähler haben Präferenzen auf rechts-links-spektrum, d.h. Präferenzen sind eingipflig. Blacks Resultat: Es existiert eine Alternative, die bei Anwendung des s gegen alle anderen Alternativen gewinnt. Diese Alternative ist die vom Medianwähler präferierte Alternative. Alle Parteien haben Anreiz, sich entsprechend dieser Alternative ( in der Mitte des politischen Spektrums) zu positionieren. Evidenz: Parteien behaupten in Mitte der Gesellschaft zu sein ( Neue Mitte ), bzw. stellen andere Parteien als extrem bzw. randlastig dar! 12 / 21

14 Frage: Was passiert bei mehrdimensionalen pol. Spektrum? Politisches Beispiel: Gründung der Grünen erweitert politisches Spektrum um Dimension Ökologie. Ideologie einer Partei P (G, S, C) beschrieben durch zweidimensionalen Vektor (x P, y P ), wobei: x P [0, 1] ökologisches Spektrum, y P [0, 1] traditionelles links-rechts Spektrum. Bemerkung: Konzept der Eingipfeligkeit problemlos übertragbar auf zwei Dimensionen: Von der bevorzugten Alternative weiter entfernte Allokation werden weniger präferiert. 13 / 21

15 Wählerpräferenzen im zweidimensionalen pol. Spektrum: x G S C y Beachte: (G, S, C) entspricht Präferenzen des jeweiligen Parteimitglieds, d.h. Parteien sind entsprechend ihren Mitgliederpräferenzen im pol. Spektrum positioniert. Vereinfachende Annahmen: Präferenzen der Bevölkerung zu gleichen Teilen auf 3 Parteien aufgeteilt. 14 / 21

16 Wahl zwischen Alternativen A, B, C x G A S B C y Für diese Konstellation gilt folgende Präferenzrelation: C C B C A B S A S C A G B G C 15 / 21

17 Paarweise Mehrheitswahl ergibt: A vs. B 1:2 B A B vs. C 2:1 B C A vs. C 2:1 A C Fazit: In diesem Fall ist resultierende soziale Präferenzordnung strikt transitiv: B A C. Grund: Für Alternativen A, B, C sind Voraussetzungen aus Blacks Theorem erfüllt. Schnitt entlang Gerade erlaubt eindimensionale und eingipflige Repräsentation der Wählerpräferenzen. 16 / 21

18 Beobachtung: Ind. Präferenzen eindimensional darstellbar: C C B C A B S A S C A G B G C u i G C S A B C Alt. Fazit: Präferenzen über A, B, C sind eingipflig. Frage: Gilt dies auch für alle möglichen Alternativen? 17 / 21

19 Wahl zwischen Alternativen A, B, C x G A S C B C y Für diese Konstellation gilt folgende Präferenzrelation: B C C C A C S A S B A G B G C 18 / 21

20 Paarweise Mehrheitswahl ergibt: A vs. B 2:1 A B B vs. C 2:1 B C C vs. A 2:1 C A Fazit: In diesem Fall ist resultierende soziale Präferenzordnung intransitiv: A B C A. Trotz Eingipfeligkeit treten im zweidimensionalen Spektrum Condorcet-Zykel auf! Resultat: Blacks Resultat gilt nur im eindimensionalen Spektrum! 19 / 21

21 Zusammenfassung Kapitel 5: Kollektiventscheidungen Bei Vorliegen von Externalitäten bzw. öffentlichen Gütern ist private (dezentrale) Bereitstellung über den Markt nicht effizient. Öffentliche Bereitstellung verlangt Entscheidung über Ausmaß der Bereitstellung, d.h. Aggregation individueller Präferenzen zu sozialer Präferenzordnung Arrows Unmöglichkeitsresultat: Es existiert keine befriedigende Aggregationsregel, die als notwendig erachtete Anforderungen an solche Regeln erfüllen. 20 / 21

22 Beispiel für Relevanz des Unmöglichkeitsresultats: Condorcet-Zykel bei paarweiser Mehrheitswahl Resultierende soziale Präferenzordnung ist intransitiv, Ergebnis der paarweisen Mehrheitswahl ist arbiträr, d.h. abhängig von Abstimmungsreihenfolge. Ausweg: Restriktion der zugelassenen Präferenzen Eingipflige Präferenzen auf eindimensionaler Skala führen zu transitiver sozialer Präferenz: Sozial bevorzugte Alternative entspricht derjenigen des Medianwählers. Beschränkung der Anforderung der Universalität führt zu Möglichkeitsresultat. 21 / 21