Simulation und Verfahren des Data Mining

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1 Simulation und Verfahren des Data Mining Approximation des Verhaltens von Materialflussmodellen durch ein Künstliches Neuronales Netz PPI - Informatik Dr. Prautsch & Partner Curiestr Stuttgart Tel: +49 (0) 711 / Fax: +49 (0) 711 / Version / Status : 1.0 Autor : Bernd Allmendinger Stand :

2 Inhaltsverzeichnis 1 EINFÜHRUNG ERLÄUTERUNG AM BEISPIEL EINER PUFFERDIMENSIONIERUNG PRODUKTIONSABLAUF MODELLBESCHREIBUNG ZIEL DES SIMULATIONSMODELLS SCHRITTE DES VERFAHREN AUSWERTEVERFAHREN DES KNN RELEVANZANALYSE BERECHNUNG OPTIMALER MODELLPARAMETER ABLEITEN VON REGELN REALES PROJEKTBEISPIEL RANDBEDINGUNGEN FÜR EINE ERFOLGREICHE APPROXIMATION by PPI-Informatik Stuttgart. Alle Rechte und Änderungen vorbehalten. Alle verwendeten Marken- und Produktnamen sind Warenzeichen oder eingetragene Warenzeichen ihrer jeweiligen Inhaber.

3 Künstliche neuronale Netze und Simulation 1 Einführung Simulieren heißt probieren. Bei real existierenden Systemen wie z.b. Fertigungslinien kann man jedoch aus naheliegenden Gründen nur sehr eingeschränkt "probieren". Und bei Systemen im Planungsstadium geht das erst recht nicht. Hier bietet die Simulation den Ausweg: Man erstellt zunächst ein realistisches Modell des zu untersuchenden Systems mit dem man dann systematisch experimentieren kann. Simulationsmodelle werden eingesetzt, um z.b. in komplexen Systemen Engpässe zu erkennen, Grenzkapazitäten zu ermitteln oder um Zielgrößen wie den Durchsatz zu optimieren. Dabei werden die Modellparameter vorgegeben, systematisch variiert und die Auswirkungen dieser Variationen auf das Verhalten des Simulationsmodells mit Hilfe geeigneter Kenngrößen untersucht. Ziel ist es, aus den einzelnen Experimenten den Zusammenhang zwischen den vorgegebenen Modellparametern und den daraus resultierenden Zielgrößen des simulierten Modellprozesses abzuleiten. In der Praxis führt das jedoch aufgrund der meist sehr großen Anzahl sinnvoller Variationen der Modellparameter auf eine entsprechend große Anzahl von Modellexperimenten, wenn man die wesentlichen Kombinationen untersuchen will. Außerdem führen die Experimente auf u.u. extrem große Datenmengen, die sich einer Auswertung mit klassischen Methoden entziehen. Hier setzt die Einbeziehung von Verfahren des Data Mining ein, denn die Untersuchung großer Datenmengen hinsichtlich der darin enthaltenen Regeln und Muster ist eine klassische Anwendung des Data Mining. Beispielsweise im Bank- und Versicherungswesen oder in der Telekommunikation ist das Data Mining längst etabliert und wird u.a. für Churn Management (Ermitteln der Wahrscheinlichkeit für den Wechsel eines Kunden zur Konkurrenz), Cross-Selling, Fraud Detection (Betrugsaufdeckung) und Aufgaben des Direct Marketing eingesetzt. Die Anwendung der KNN ist aber in keiner Weise beschränkt. Jedes Modell eines realen Systems oder Prozesses, in dem funktionale Zusammenhänge zwischen den Eingangs- und den Ausgangsvariablen bestimmt werden sollen, kann durch den Einsatz eines geeigneten KNN wirksam unterstützt werden. Dabei ermöglichen sie auf elegante Weise insbesondere die Abbildung nicht-linearer dynamischer Prozesse und deren spezifischer Eigenschaften. Künstliche neuronale Netze orientieren sich am Aufbau und der Funktionsweise des menschlichen Gehirns. Das Grundkonzept besteht darin, unterschiedliche Elemente - wie z.b. Modellvariable - die einfache nicht-lineare Funktionen realisieren, so miteinander zu verknüpfen, daß sich auch sehr komplexe Funktionen nachbilden lassen. Das erfordert zunächst - wie beim Gehirn auch - eine Lernphase, bei der durch spezielle Trainingsalgorithmen eine Adaption der nachzubildenden Funktionen erfolgt. Anschließend zeigt das KNN aber das selbe Verhalten wie z.b. ein Modellsystem, kann also anstelle des 1 Siehe VDI 3633

4 Modells benutzt werden, um die Beziehungen untersuchen. Kompetenter Partner zwischen den Modellvariablen zu In der praktischen Anwendung wird das KNN mit den für das Modellverhalten relevanten Daten (Trainingsdaten) aus einem vorhandenen und validen Simulationsmodell trainiert. Dazu werden die Modellparameter des Simulationsmodells als Eingangsparameter an die erste Neuronen-Schicht angelegt. Dieses Training erfolgt iterativ, wobei ein spezieller Algorithmus die Gewichte so einstellt, daß die Ausgangsschicht möglichst genau dem aus den Modellexperimenten schon bekannten Ergebnissen entspricht. Der dabei auftretende Fehler (Differenz zwischen berechneten Ausgangsparametern und vorgegebenen Ausgangsparametern) wird dazu verwendet, die Gewichte neu zu berechnen. Sobald der Fehler hinreichend klein geworden ist, sind die Gewichte bestimmt und das KNN ist funktionsfähig. Die Stärke der KNN liegt darin, dass sie auf das vorhandene Datenmaterial aufsetzen und kein umfangreiches theoretisches Modellwissen nötig ist. Die Anzahl der Eingangsparameter ist nahezu unbeschränkt und hoch komplexe Zusammenhänge sind kein Problem, sofern die Datenmenge und deren Güte für das Training ausreicht. Die Daten, um das KNN zu trainieren werden mit dem Simulationsmodell erzeugt. Dazu werden mehrere Simulationsexperimente durchgeführt. Die Parameter der Simulationsexperimente, die dem KNN als Eingabewerte dienen, werden zufällig aus einem vorgegeben Bereich gewürfelt, oder stammen von einer Modelloptimierung wobei jede vom Optimierer erzeugte Lösung erfasst und protokolliert wird. Die sich daraus ergebenden Simulationsergebnisse (Modellkenngrößen) dienen dem KNN als Zielwerte für das Training. Ergebnis: Ein komplexes Simulationsmodell wird durch eine mathematische Formel ersetzt! Vorteile einer Approximation des Modellverhaltens durch ein KNN: Einsatz im Online Betrieb, mit einem KNN können Läufe in Echtzeit durchgeführt werden. Es kann somit eine große Anzahl Varianten in kurzer Zeit durchgespielt werden. Nach einem einmaligen Trainingsaufwand (trainieren des Netzes mit Daten aus dem Simulationsmodell) sind im Online-Betrieb anstelle rechenintensiver Simulationsläufe nur noch einfache Berechnungen auszuführen. Mittels eines KNN können die relevanten Eingangsparameter bestimmt und quantifiziert werden. Optimierung des Modells (Verändern der Eingangsparameter bis die Ausgangsvariablen ein Maximum/Minimum erreichen). Das KNN eignet sich besser zur Optimierung als ein Simulationsmodell, da 1. der Rechenaufwand für einen Lauf gering ist (Auswerten einer Formel) und 2. die stochastischen Einflüsse aus dem Simulationsmodell automatisch geglättet werden. Aus dem KNN können Regeln abgeleitet werden. Ein Simulationsmodell gibt keine Information über die innere Dynamik des Modells preis. Um einem Simulationsmodell diese versteckten Informationen zu entlocken, müssen mehrere Läufe mit 2 Im Trainingsprozess lernt das KNN die funktionalen Zusammenhänge zwischen Eingangsparameter (Simulationsparameter) und Ergebniswerte (Simulationsergebnis).

5 Kompetenter Partner unterschiedlichen Eingangsparametern durchgeführt und manuell analysiert und interpretiert werden. Dabei werden die Eingangsparameter mit den Simulationsergebnissen auf Regelmäßigkeiten untersucht. Diese Läufe könnten mittels Verfahren aus dem Data Mining (KNN, Decision Tree usw.) analysiert werden. Beispiel einer Regel, die aus dem adaptierten KNN erzeugt wurde: WENN Berechnung der Eingabeparameter für vorgegebene Ausgabeparameter (Rückwärtsoptimierung). Die KNN-Software kann auf Knopfdruck Excel-VBA, Javascript oder C++ Code erzeugen. Das KNN kann so sehr schnell in beliebige Anwendungen integriert (Sourcecode) werden. Es werden keine Schnittstellen benötigt. Das Modell kann somit im Inter- oder Intranet jedem Anwender zur Online-Berechnung zur Verfügung gestellt werden. Neben der Zielgröße (Erwartungswert, im Beispiel der Durchsatz) kann für vorgegebene Eingabeparameter (Modellparameter des Simulationsmodells) auch die Verteilung der Zielgröße mittels spezieller MDN-KKNs (Mixture Density Networks) prognostiziert werden. Somit können im Vorfeld statistische Kenngrößen der prognostizierten Lösung berechnet und in den Auswahlprozess mit einbezogen werden. 2 Erläuterung am Beispiel einer Pufferdimensionierung Anhand eines kleinen Beispiels soll hier die Vorgehensweise verdeutlicht werden. 2.1 Produktionsablauf In einer Produktionsanlage sind die Arbeitsfolgen AFO80, AFO100 und AFO120 taktentkoppelt über Puffer miteinander verbunden um Erzeugnisses gemäß einer vorgegebener Struktur zu erzeugen. Für die Arbeitsfolgen sind Verfügbarkeiten und mittlere Stördauern vorhanden. Bewertet wird die Anlage anhand der Anzahl gefertigter Teile pro Tag (Durchsatz). Bei vorgegebenem Takt und Bearbeitungszeiten hängt der Durchsatz unmittelbar von den Kapazitäten der Puffer ab. Im Beispiel wird gezeigt, wie diese funktionalen Zusammenhänge ermittelt und zur Dimensionierung der Puffer verwendet werden können. 2.2 Modellbeschreibung Im Modell werden die Arbeitsfolgen AFO80, AFO100 und AFO120 als Einzelplätze mit einer jeweils konstanten Bearbeitungszeit und einer vorgegebenen Verfügbarkeit abgebildet. Diese Werte werden bei den Experimenten nicht verändert. Vor den Bearbeitungsstationen AFO100 und AFO120 befindet sich jeweils ein Puffer. Die Kapazität wird über die Variablen KapPuffer100 und KapPuffer120 vergeben.

6 Als Quelle wird der Grundbaustein Quelle mit einem konstanten Takt von 1:30 verwendet. Die Senke vernichtet die Teile ohne Zeitverlust. Quellen- und Senkentakt werden bei den Experimenten nicht verändert. 2.3 Ziel des Simulationsmodells Die Kapazität der Puffer soll so eingestellt werden, dass ein Durchsatz von 900 Teilen pro Tag (24 h) erreicht wird.!" 2.4 Schritte des Verfahren 1. Durchführen der Simulationsexperimente Über einen Experimentverwalter werden Zufallswerte im Bereich zwischen 1 und 15 für die Modellparameter PufferAFO100 und PufferAFO120 generiert. Jedes so definierte Experiment wird nun (im Beispiel) 20 mal mit verschiedenen Zufallszahlenströmen simuliert und das Ergebnis der Simulation (Durchsatz) gemittelt. Das mehrmalige Simulieren mit gleichen Modellparametern und unterschiedlichen Zufallszahlenströmen ist notwendig, da durch den stochastischen Einfluss der Störungen der Stationen nur so eine statistisch abgesicherte Aussage über den mittleren Durchsatz möglich ist. Da nur zwei Modellparameter zu variieren sind, wurde die Anzahl der Simulationsexperimente im Beispiel auf 128 abgeschätzt. Die Abschätzung richtet sich nach der Güte der Approximationsgenauigkeit des Simulationsmodells durch das KNN. Wird diese im ersten Versuch nicht erreicht, können über die Simulation weitere Datensätze (Simulationsexperimente) generiert werden. Im allgemeinen gilt: je mehr Datensätze desto höher die Genauigkeit der Approximation. Insgesamt wurden also 128 verschiedene Modellparameter für PufferAFO100 und PufferAFO120 simuliert. Dafür waren 128*20= 2560 Simulationsläufe notwendig. 2. Aufbereiten der Daten für die KNN-Software

7 Die Modellparameter und das Ergebnis des Simulationslaufes ( der simulierte Durchsatz ) werden durch einen Experimentverwalter gesammelt und liegen in folgender Form vor: Puffer AFO100 [Anzahl Plätze] Eingangsparameter Puffer AFO120 [Anzahl Plätze] Zielgröße mittlerer Durchsatz [Teile/Tag] , , , , , , , Datensätze aus der Simulation. Die Modellparameter der Simulation werden als Eingangsparameter für das KNN verwendet, der simulierte Durchsatz (Simulationsziel) als Zielgröße (Ausgabe). 3. Trainieren des KNN Zum Trainieren des KNN wird nur ein Teil der von der Simulation erzeugten Datensätze (Experimente) verwendet. Der andere Teil dient zur Überprüfung der Qualität des trainierten KNNs. Im Beispiel wurden 78 der 128 Datensätze für das Training, die restlichen 50 Experimente zum Überprüfen der Qualität gewählt. Die Auswahl der Datensätze erfolgte zufällig. Im Diagram sind die 50 Test-Experimente zu sehen. Die blaue Kurve stellt den von der Simulation berechneten mittleren Durchsatz dar, die rote Kurve ist der vom KNN prognostizierte mittlere Durchsatz. Ideal wäre eine Deckungsgleichheit beider Kurven, in diesem Fall würde das KNN das Simulationsmodell ohne Fehler approximieren.

8 Der mittlere relative Fehler zwischen simuliertem und vom KNN berechnetem Durchsatz beträgt im Beispiel 3.9%. Auswerten des trainierten KNN Mit dem trainierten KNN liegt das Simulationsmodell in mathematischer Form vor. Es stellt einen funktionalen Zusammenhang zwischen den Modellparametern (Puffer100 und PufferAFO120) und dem mittleren Durchsatz her. Die von PPI entwickelte KNN Software NeuroPredict ermöglicht nicht nur das Training und die Experimente mit einem KNN, sondern auch das Generieren der Formel(n), welche die gesuchten funktionalen Zusammenhänge beschreiben. Für das Beispiel exportiert die KNN-Software automatisch folgende Formel: MITTELDURCHSATZ = ((tanh( *tanh( *((PUFFERAFO100-1)/8 1)+0.168*((PUFFERAFO120-1)/7 1)) *tanh( *((PUFFERAFO100-1)/8 1)+0.191*((PUFFERAFO120-1)/7 1)) *tanh( *((PUFFERAFO100-1)/8 1)-0.114*((PUFFERAFO120-1)/7 1)) ) +1)/(2))* (184.65) Auf diese Formel können nun alle bekannten mathematischen Methoden zur Analyse angewendet werden. Simulation Modell z.b. em-plant Experimentverwalter Durchführen der Simulationsexperiment Ergebnisse der Simulation Künstliches Neuronales Netz KNN PPI-NeuroPredict trainieren des KNN Export der Funktion Überprüfen der gefunden Lösung Visualisierung und Berechnung Excel KNN auswerten Übersicht über das Verfahren Sensitivitätsanalyse Regelgenerator Relevanzanalyse Parameteroptimierung

9 Dabei sind bei der Gestaltung von Produktionssystemen die Verfahren der Relevanzanalyse und die Sensitivitätsanalyse besonders wichtig. Eine Relevanzanalyse ermöglicht es, den Einfluss der Modellparameter zu bestimmen. Mittels der Sensitivitätsanalyse kann der quantitative Einfluss der Modellparameter berechnet und visualisiert werden. Alle Auswertungen der Verfahren werden von der KNN-Software NeuroPredict bzw. durch die von NeuroPredict automatisch erzeugten VBA-Routinen in Excel unterstützt. 5. Überprüfen der Ergebnisse am Simulationsmodell Für die aus dem KNN ermittelten optimalen Modellparameter werden Simulationsläufe durchgeführt, um die Ergebnisse zu überprüfen und abzusichern. 3 Auswerteverfahren des KNN 3.1 Relevanzanalyse Über eine Relevanzanalyse des KNNs kann der Einfluss der beiden Eingangsparameter (PufferAFO100 und PufferAFO120) auf den mittleren Durchsatz bestimmt werden. Die Relevanzen werden von der KNN- Software automatisch berechnet. Jedem Eingangsparameter wird eine Zahl zugeordnet die seinem prozentualen Einfluss auf die Ausgabe (mittleren Durchsatz) entspricht. Die Summe aller Relevanzen ergibt 100 %. Der geringe Einfluss des Modellparameters PufferAFO120 deutet darauf hin, dass der mittlere Durchsatz hauptsächlich durch den Parameter PufferAFO100 bestimmt wird. Änderungen dieses Parameters haben also einen starken Einfluss auf die Zielgröße mittlerer Durchsatz. Sensitivitätsanalyse Werden Simulationsläufe auf herkömmliche Weise ausgewertet, so stehen nur einzelne nicht zusammenhängende Ergebnisse (eingestellte Modellparameter und das Ergebnis der Simulation) zur Verfügung. Durch das KNN kann der quantitative Einfluss der Modellparameter berechnet und visualisiert werden. Über diese Visualisierung kann der charakteristische Verlauf der Modellparameter erkannt und abgeschätzt werden.

10 Aus dem Diagramm ist zu erkennen, dass der mittlere Durchsatz stark ansteigt bis der Parameter PufferAFO100 einen Wert von 11 Plätzen erreicht. Für Werte größer 11 Plätze wächst der mittlere Durchsatz nur noch schwach (Sättigungsbereich). Jede weiter Vergrößerung des Puffers bewirkt daher nur noch einen schwachen Anstieg des Durchsatzes. Werden Modelle mit mehr als 2 Parameter ausgewertet, werden jeweils zwei Parameter variiert und visualisiert. Die anderen Parameter werden jeweils auf einen konstanten Wert (Mittelwert, Maximalwert..) gesetzt. 3.2 Berechnung optimaler Modellparameter Um aus einem vorgegebenen mittleren Durchsatz die minimalen Pufferkapazitäten zu errechnen, wird ein Verfahren angewendet, welches das KNN invertiert. Um eine einfache Handhabung zu gewährleisten, wurde eine Excel-Tabelle entwickelt, in der durch Vorgabe des gewünschten Zielwertes (im Beispiel der mittlere Durchsatz) die optimalen Modellparameter berechnet werden. Gibt man im Beispiel einen mittleren Durchsatz von 900 Teilen als Zielgröße vor, berechnen sich die Modellparameter PufferAFO100 zu 9 Plätze und PufferAFO120 zu 2 Plätze. Mit dieser Dimensionierung erhält man einen mittleren Durchsatz von 901,4 Teilen. Dimensioniert man den PufferAFO120 auf einen Platz, anstatt auf zwei Plätze, erhält man nur einen nur geringfügig kleineren mittleren Durchsatz von 898,3 Teilen.

11 Da die Simulation nun als Funktion in einem herkömmlichen Excel-Tabellenblatt vorliegt, kann sehr schnell untersucht werden, wie sich der Durchsatz bei der gefundenen Lösung verhält, wenn für den Parameter PufferAFO120 beispielsweise die Werte 1, 2 oder 3 Plätze verwendet werden. Für alle drei Parameterwerte liegen die Kurven sehr dicht beieinander, was wiederum zeigt, dass der Parameter PufferAFO120 einen sehr geringen Einfluss auf die Zielgröße mittlerer Durchsatz hat.

12 Werden sogenannte MDN-KKNs (Mixture Density Networks) verwendet, kann neben der Zielgröße (Erwartungswert, im Beispiel der Durchsatz) für vorgegebene Eingabeparameter (Modellparameter des Simulationsmodells) auch die Verteilung der Zielgröße prognostiziert werden. Dies ermöglicht bereits im Vorfelds, statistische Kenngrößen der prognostizierten Lösung zu berechnet und in den Auswahlprozess bei der Planung mit einzubeziehen. Im Diagramm unten wurde ein MDN-KNN mit den Experimenten des Beispieles zur Pufferdimensionierung trainiert. Dargestellt ist die Ausgabe des KNNs für die Eingabeparameter PUFFERAFO100 = 9 Plätze und PUFFERAFO120 = 2 Plätze. Neben der Zielgröße (Erwartungswert) mittlerer Durchsatz von Teilen pro Tag kann aus der prognostizierten Dichtefunktion die Häufigkeitsverteilung auf die einzelnen Durchsätze untersucht werden. Das Diagramm zeigt, dass der Durchsatz symmetrisch um den Mittelwert schwankt. Ein Durchsatz kleiner als 869 Teile kommt nur in 1% aller Fälle vor. Im Mittel wird bei einer Pufferkapazität von PUFFERAFO100 = 9 Plätze und PUFFERAFO120 = 2 Plätze in 27.9% aller Tage ein Durchsatz von weniger als 895 Teile pro Tag vorkommen. Im folgenden Diagramm werden die Dichten bei konstanter Kapazität des Puffers100 und variablen Kapazitäten (1,2 und 3) des Puffers 120 verglichen.

13 3.3 Ableiten von Regeln Über Entscheidungsbäume können aus den Experimentdaten oder dem KNN Regeln abgeleitet werden. Nicht relevante Modellparameter werden erkannt und extrahiert. #$ % #$ Regel 1 besagt, das die Zielgröße mittlere Durchsatz immer kleiner oder gleich 900 ist, wenn der Parameter PUFFERAFO100 < 4.84 also kleiner als 5 ist, unabhängig vom Wert der Variablen PUFFERAFO120. Entsprechend ist die Zielgröße mittlere Durchsatz immer größer als 900, wenn der Parameter PUFFERAFO100 > also größer oder gleich 10 ist. 4 Reales Projektbeispiel Im folgenden wird die Approximation eines Modells an einem realen Industrieprojekt kurz skizziert. Das Beispiel ist Teil eines PPI-Projektes, bei dem die Anlagenplanung in der Aggregatfertigung eines PKW-Herstellers unterstützt wurde. Neben Untersuchungen zum Vergleich unterschiedlicher Layoutvarianten und Anlagenkonfigurationen war die Pufferdimensionierung eine wesentliche Aufgabenstellung im Projekt. Kenngrößen: Anzahl Arbeitsfolgen : 20 Anzahl zu dimensionierende Puffer : 13 Ergebnisse der Auswertung: Die Grafik zeigt deutlich, dass die Zielgröße Durchsatz des Systems wesentlich von der Kapazität der Puffer vor AFO03 und AFO02 bestimmt wird. Daher macht es Sinn, die Konfiguration (Anzahl Plätze) dieser beiden Puffer genau zu untersuchen.

14 Die nebenstehende Grafik zeigt, dass der Durchsatz bei einer Erhöhung der Plätze im PufferAFO3 von 1 auf 2 oder 3 Plätze stark ansteigt. Eine Anzahl von 4 Plätzen im Puffer bringt keine weiter Erhöhung des Durchsatzes (Sättigungsgrad ist erreicht). Der höchste Punkt der Fläche gibt an, welches die optimale Kombination darstellt. Um eine solche Darstellungen durch die Simulation zu erzeugen ist eine Vielzahl von Experimenten erforderlich die aus Zeitgründen nicht möglich sind. 5 Randbedingungen für eine erfolgreiche Approximation Das KNN muss das Simulationsmodell mit einer hinreichenden Genauigkeit approximieren. Dies läßt sich beim Training des KNN anhand der Prognosegüte feststellen. Dabei werden die tatsächlichen Ergebniswerte der Testdatensätze mit dem prognostizierten Ergebnissen des KNN verglichen. Die Anzahl der erforderlichen Trainingsdatensätze, also der Aufwand für das Durchführen der Simulationen, hängt von der Anzahl Eingangsparameter und der Stochastik (Verwendung von Zufallsverteilungen/Zahlen) im Modell ab. Es sollten jedoch mindestens 100 Trainingsdatensätze für das KNN erzeugt werden, um statistisch relevante Aussagen über die Güte der Approximation treffen zu können. D.h. mindestens 100 Simulationsexperimente (multipliziert mit der Anzahl der erforderlichen Läufe, um die Mittelung der Daten vorzunehmen) müssen durchgeführt werden. Ansonsten gilt: Die Anzahl der Trainingsdatensätze steigt mit der Anzahl der Eingangsparameter und der Stochastik im Modell. Die Läufe können jedoch automatisiert über Nacht verteilt auf mehreren Rechnern durchgeführt werden, so dass hier der Zeitbedarf relativiert wird. Die Güte der Approximation kann mit weiteren Simulationsläufen überprüft werden, indem die Ergebnisse der Simulation wiederum mit den Ergebnissen des trainierten KNN verglichen werden.