Brückenkurs über Mengen

Transkript

1 Fachhochschule Köln Fakultät für Wirtschafts- und Rechtswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 221, Tel homepage: Brückenkurs über Mengen Unter einer Menge A wird eine Gesamtheit von bestimmten unterschiedlichen Objekten verstanden. A = {7, 1, 3} ist eine Menge B = {7, 1, 3, 3} ist keine Menge Die Objekte werden Elemente der Menge genannt. Für jedes Objekt kann entschieden werden, ob es ein Element der Menge ist oder nicht. Wir schreiben: a A für a ist Element von A a / A für a ist kein Element von A 7 {7, 1, 3} 4 / {7, 1, 3} Zwei Mengen A und B heißen gleich (in Zeichen A = B) genau dann, wenn jedes Element von A auch Element von B und umgekehrt jedes Element von B auch Element von A ist. Eine Menge A heißt Teilmenge einer Menge B (in Zeichen A B) genau dann, wenn jedes Element von A auch Element von B ist. Die Menge B heißt dann auch Obermenge von A. Fassen wir zwei Mengen A und B so zusammen, dass nur die gemeinsamen, in beiden Mengen enthaltenen Elemente zählen, so heißt die zusammengefasste Menge der Durchschnitt von A und B, kurz A B. A = {7, 1, 3} B = {2, 3} A B = {3} A B Zwei Mengen heißen disjunkt, wenn ihr Durchschnitt leer ist. A B 1

2 A = {7, 1, 3} B = {2, 4} A B = Fassen wir zwei Mengen A und B so zusammen, dass jedes Element zählt, das zumindest in einer der beiden Mengen enthalten ist, so heißt die zusammengefasste Menge die Vereinigung von A und B, kurz A B. A B A = {7, 1, 3} B = {2, 3} A B = {1, 2, 3, 7} Die Menge aller Elemente, die zu einer Menge A, aber nicht zu B gehören, heißt Differenzmenge oder Differenz von A und B, kurz A\B (lies: A ohne B). A = {7, 1, 3} B = {2, 3} A\B = {7, 1} A B Ist die Menge M eine Obermenge von A, dann heißt die Menge M\A auch Komplementärmenge oder Komplement von A, kurz A. M A M = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A = {7, 1, 3} M\A = A = {2, 4, 5, 6, 8, 9, 10} Wichtig ist es, dass Sie Umgangssprache in Mengen-Schreibweise übertragen können. M ist die Menge aller Kunden 2

3 A ist die Menge aller Kunden, die Produkt A kaufen B ist die Menge aller Kunden, die Produkt B kaufen Dann gilt Folgendes: Die Menge der Kunden, die sowohl Produkt A als auch Produkt B kaufen, ist A B. Die Menge der Kunden, die mindestens eines der beiden Produkte A,B kaufen, ist A B. Die Menge der Kunden, die höchstens eines der beiden Produkte A,B kaufen, ist M\(A B) oder A B. Die Menge der Kunden, die weder Produkt A noch Produkt B kaufen, ist A B oder M\(A B). Die Menge der Kunden, die zwar Produkt A, jedoch nicht Produkt B kaufen, ist A B oder A\B. Wichtige Mengen IN = {1, 2, 3, 4,...} = Menge der natürlichen Zahlen IN 0 = {0, 1, 2, 3, 4,...} ZZ = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} = Menge der ganzen Zahlen IQ = {q q = a, a, b, ZZ, b 0} = Menge der rationalen Zahlen (Brüche) b IR = Menge der reellen Zahlen IR + = {x IR x > 0} = Menge der positiven reellen Zahlen IR + 0 = {x IR x 0} = Menge der nichtnegativen reellen Zahlen Intervalle Um Intervalle zu beschreiben, benutzen wir eckige und runde Klammern, die jeweils eine unterschiedliche Bedeutung haben. Die eckige Klammer gibt an, dass die Intervallgrenze noch zu dieser Menge gehört. Die runde Klammer gibt an, dass die Intervallgrenze nicht mehr zu dieser Menge gehört. abgeschlossenes Intervall [5; 7] eckige Klammern das sind alle reellen Zahlen zwischen 5 und 7, einschließlich der Zahl 5 und einschließlich der Zahl 7 offenes Intervall halboffenes Intervall (5; 7) runde Klammern das sind alle reellen Zahlen zwischen 5 und 7, ausschließlich der Zahl 5 und ausschließlich der Zahl 7 [5; 7) eckige und runde Klammer das sind alle reellen Zahlen zwischen 5 und 7, einschließlich der Zahl 5 und ausschließlich der Zahl 7 Intervall mit unendlich [5; ) = {x IR x 5} das sind alle reellen Zahlen, die mindestens so groß sind wie die Zahl 5 Zwischen dem Intervall [5;7] und der Menge {5, 7} besteht folgender Unterschied: die Menge {5, 7} enthält genau zwei Elemente, während das Intervall [5,7] mehr als zwei Zahlen enthält 6 [5; 7] aber 6 / {5; 7} 6,4 [5; 7] aber 6,4 / {5, 7} 3

4 Zusammenfassung A = {1, 2, 3} B = {1, 2, 3, 7} M = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} Operation A B A B = {2, 3} A B = {1, 2, 3, 7} Sprechweise A Teilmenge von B Durchschnitt von A und B Vereinigung von A und B M\A = A Komplementärmenge von A = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 4

5 Fachhochschule Köln Fakultät für Wirtschafts- und Rechtswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 221, Tel homepage: Brückenkurs über Mengen Arbeitsblatt Aufgabe In der Menge M aller Studierenden der Fakultät 04 der FH Köln betrachten wir die folgenden zwei Mengen: P 1 = Menge aller Gäste der Erstsemesterparty im WS 09/10 P 2 = Menge aller Gäste der Semesterabschlussparty im WS 09/10 Stellen Sie folgende Mengen in Mengenschreibweise dar: Die Menge aller Studierenden der Fakultät 04 der FH Köln, a) die beide Partys besucht haben. b) die mindestens eine der beiden Partys besucht haben. c) die keine der beiden Partys besucht haben. d) die zwar die Erstsemesterparty besucht haben, jedoch nicht die Semesterabschlussparty. e) die zwar die Semesterabschlussparty besucht haben, jedoch nicht die Erstsemesterparty. f) die genau eine der beiden Partys besucht haben. g) höchstens eine der beiden Partys besucht haben. 1

6 a) P 1 P 2 b) P 1 P 2 c) P 1 P 2 bzw. M\(P 1 P 2 ) d) P 1 P 2 bzw. P 1 \P 2 e) P 1 P 2 bzw. P 2 \P 1 f) (P 1 P 2 ) (P 1 P 2 ) bzw. (P 1 \P 2 ) (P 2 \P 1 ) bzw. (P 1 P 2 )\(P 1 P 2 ) g) M\(P 1 P 2 ) bzw. P 1 P 2 2

7 Fachhochschule Köln Fakultät für Wirtschafts- und Rechtswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 221, Tel homepage: Brückenkurs Übungsaufgaben über Mengen Aufgabe M.1 Gehen Sie ins Internet zu meinem Projekt web.neuestatistik.de/inhalte web/content/start.html 1. auf Medien Galerie klicken 2. auf Wahrscheinlichkeitsrechnung klicken 3. auf Applet zum Venn-Diagramm I klicken Bearbeiten Sie die Aufgabe interaktiv, indem Sie die Anzahl der Flächen einstellen auf Anzahl der Fläche = 1 Anzahl der Fläche = 2 Anzahl der Fläche = 3 (Hinweis: A bedeutet A) Aufgabe M.2 Geben Sie die nachfolgenden Mengen M 1,..., M 5 in aufzählender Form an: M 1 = Menge aller natürlichen Zahlen, die nicht größer als 10 sind M 2 = Menge aller ganzzahligen Teiler von 12 M 3 = Menge aller natürlichen Zahlen x mit 3x 13 M 4 = Menge aller ganzen Zahlen im Intervall ( 2; 3] M 5 = Menge aller reellen Lösungen der Gleichung x 2 3x 10 = 0 Aufgabe M.3 Gegeben sind folgende Mengen: A = {x IR 3x 12 0} B = {x IR x 2 3x 4 = 0} C = {x IN x 5} Bestimmen Sie: A B (A B) C A C A (B C) B C (A B) C B A A (B C) A B (A B) (A C) A C A (B C) B C (A B) (A C) B A A (B C) 1

8 Aufgabe M.4 Die Werbeabteilung eines Unternehmens hat ein neues Inserat entwickelt, das in überregionalen Zeitschriften verbreitet werden soll. Das Inserat ist nach Inhalt und Gestaltung so angelegt, dass es nicht darauf ankommt, die Leserinnen und Leser möglichst oft, sondern möglichst viele verschiedene Leserinnen und Leser mindestens einmal zu erreichen. Um das Beispiel übersichtlich zu halten, setzen wir voraus, dass überhaupt nur drei Zeitschriften (die wir Pilot und Flugzeug, Handelsblatt und Börsen-Zeitung nennen) in Frage kommen. Aus finanziellen Gründen kann das Inserat aber nur in zwei Zeitschriften aufgegeben werden. Die Frage ist: In welchen beiden Zeitschriften soll das Inserat aufgegeben werden, damit möglichst viele verschiedene Leserinnen und Leser erreicht werden? Die Werbeabteilung verfügt weder über die finanziellen Mittel noch über die Zeit, zur Beantwortung dieser Frage eine eigene Erhebung durchzuführen. Sie muss daher mit den Informationen vorlieb nehmen, die von den Zeitschriften selbst zur Verfügung gestellt werden. Die Zeitschrift Handelsblatt hat im Zuge eines Preisausschreibens eine umfassende Leseranalyse vorgenommen: von den 2,5 Mio. Handelsblatt-Lesern lesen 0,9 Mio. ausschließlich Handelsblatt, 0,8 Mio. nur Handelsblatt und Pilot und Flugzeug, 0,7 Mio. nur Handelsblatt und Börsen-Zeitung und 0,1 Mio. lesen alle drei Zeitschriften. Die Zeitschrift Pilot und Flugzeug wirbt mit einem Leserkreis von 2,3 Mio. und betont, dass davon 1,1 Mio. keine andere Zeitschrift lesen. Die Zeitschrift Börsen-Zeitung kann außer der Größe des Leserkreises von 2,1 Mio. Lesern keine Informationen liefern. Stellen Sie die Mengen mit Hilfe von Venndiagrammen dar. Tragen Sie anschließend die Mächtigkeiten der einzelnen Mengen ins Venndiagramm ein und beantworten Sie abschließend die obige Frage. Aufgabe M.5 Gehen Sie ins Internet und loggen sich unter http: // math.uww.edu / faculty / mcfarlat / auf der Homepage von Prof. McFarland s an der Fakultät Mathematical and Computer Sciences der University Wisconsin Whitewater ein. Dort angekommen rufen Sie das Skript Math 143 auf. Unter Venn Diagramms stehen drei interaktive Aufgaben, die Sie bearbeiten können: 1. Making Venn Diagrams 2. PCs and Macs 3. Country and Western Songs Sie können sich auch gleich einloggen unter: http: // math.uww.edu / faculty / mcfarlat / 143.htm Aufgabe M.6 Wir haben drei Mengen: M = Menge aller Studierenden der FH Köln 2

9 I = Menge aller Studierenden der FH Köln, die ein ipod besitzen H = Menge aller Studierenden der FH Köln, die ein Handy besitzen Geben Sie für die folgenden Mengen die Mengentheoretische Schreibweise an: Die Menge der Studierenden der FH Köln, die a) sowohl ein Handy als auch ein ipod besitzen. b) mindestens eines der beiden Geräte besitzen c) genau eines der beiden Geräte besitzen d) höchstens eines der beiden Geräte besitzen e) nur ein Handy, aber kein ipod besitzen f) weder ein Handy noch ein ipod besitzen g) kein ipod besitzen 3

10 Lösungen: Lösung von Aufgabe M.2 M 1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} M 2 = {1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 6, 6, 12, 12} M 3 = {1, 2, 3, 4} M 4 = { 1, 0, 1, 2, 3} M 5 = { 2, 5} Lösung von Aufgabe M.3 A = ( ; 4] B = { 1, 4} C = {1, 2, 3, 4, 5} A B = { 1, 4} A C = {1, 2, 3, 4} B C = {4} B A = A B A B = A ; da B A A C = ( ; 4] {5} B C = { 1, 1, 2, 3, 4, 5} B A = A B (A B) C = { 1, 4} C = {4} A (B C) = A {4} = {4} (A B) C = ( ; 4] {5} A (B C) = ( ; 4] {5} (A B) (A C) = { 1, 4} {1, 2, 3, 4} = { 1, 1, 2, 3, 4} A (B C) = A { 1, 1, 2, 3, 4, 5} = { 1, 1, 2, 3, 4} (A B) (A C) = ( ; 4] ( ( ; 4] {5} ) = ( ; 4] A (B C) = A {4} = A Lösung von Aufgabe M.4 Um die Aufgabe zu lösen, tragen wir die Anzahlen ins Venn-Diagramm ein. H B 0,9 0,7 1 0,1 0,8 0,3 1,1 P Die Anzahl der Leser, die mindestens eine der beiden Zeitungen Handelsblatt und Pilot und Flugzeug lesen, beträgt 3,9 Mio. Die Anzahl der Leser, die mindestens eine der beiden Zeitungen Handelsblatt und Börsen-Zeitung lesen, beträgt 3,8 Mio. Die Anzahl der Leser, die mindestens eine der beiden Zeitungen Pilot und Flugzeug und Börsen-Zeitung lesen, 4

11 beträgt 4,0 Mio. Lösung von Aufgabe M.6 a) I H b) I H c) (I H) (I H) d) I H e) H I f) H I g) I 5