Proximitätsmaße Strategieoptionen unter Missing Values

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1 Protätaße Strategeoptonen unter ng Value Dpl.-Wrtch.-Ing. attha Runte Unvertät Kel, Lehrtuhl für arketng Wetrng 45, 4098 Kel Tel 043/ Eal: URL:

2 attha Runte: Protätaße Strategeoptonen unter ng Value Sete II Inhaltverzechn Tabellenverzechn...III Abblungverzechn...III Übercht... Protätaße.... Egenchaften von Protätaßen.... Entelung von Protätaßen... 3 Protätaße unter ng Value ng Value Aufberetung er Datenba Unterchelche Überlappungzahlen Vorberetene Strategen zur Protätberechnung Parwe Avalable Cae Elnaton Parwe Iputaton Coplete Iputaton Korrgerte Protätaße unter ng Value Korrgerte nkowk-etrk Korrgerter Q-Korrelatonkoeffzent Korrgerte abgeletete Protätaße Zuaenfaung... 5 Quellenverzechn...6 Anhang... A Egenchaften von Protätaßen... A. Drekte un nrekte Erhebung von Protäten... A. Tranforatonen von Ähnlchketen un Dtanzen... A.3 Skalennveau er erkale... A.4 ttelwertzentrerung un Stanarerung... A.5 Skalennvaranz un Tranlatonnvaranz...v A.6 Allgeene nkowk-etrk...v A.7 Korrelatonkoeffzenten...v A.8 ahalanob-dtanz...v A.9 Zur Verzerrung von Protätfunktonen unter V...v B Abblungen...

3 attha Runte: Protätaße Strategeoptonen unter ng Value Sete III Tabellenverzechn Tabelle Strategeoptonen zur Aufberetung er Datenba: Bepel... 5 Tabelle Korrekturtere K für L -etrken... Tabelle 3 - Spezelle L -Dtanzaße... v Abblungverzechn Abblung Korrekturtere für L-etrken ()... Abblung Relatve Erwartungwerte für korrgerte L-etrken ()... Abblung 3 Korrekturtere K für en abgeletete Ähnlchketaß... Abblung 4 - Relatve Erwartungwerte für en korrgerte Ähnlchketaß... Abkürzungverzechn V ng Value() Sybolverzechn f K N r X Dtanz zwchen Obekt un Partalfunkton Korrekturter für Dtanz- un Ähnlchketaße Anzahl erkale Anzahl Obekte Eponent er nkowk--etrk Korrelaton zwchen en Vektoren un Ähnlchket zwchen Obekt un Datenatr Auprägungvektor ene Obekte Auprägung e erkal n Obekt

4 attha Runte: Protätaße Strategeoptonen unter ng Value Sete Übercht In er Betrebwrtchaftlehre un nbeonere arketng t e oft notweng, e Ähnlchket oer Vercheenhet von Obekten zu beten un zu uantfzeren. De Betung von Ähnlchketen kann unterchelche Grüne un Anwenungen haben. Bepelhaft een e Cluteranalye un neuerng a Collaboratve Flterng genannt. Zur Ähnlchketbetung kot ene Rehe unterchelcher Protätaße n Frage. Deren Egenchaften untercheen ch telwee eutlch vonenaner. In Abchntt. wr aher zunächt auf enge wchtge Defntonen un Egenchaften von Protätaßen engegangen. Daran anchleßen weren n Abchntt. enge gebräuchlche Protätaße un hre Egenchaften argetellt. Oft legen zur Betung er Ähnlchket zwchen Obekten eoch kene volltängen Daten vor. Be Vorlegen von ng Value n vele Protätaße ncht ehr unengechränkt anwenbar, ohne aß e zu Verzerrungen oer nhaltlchen Probleen kot. Auf zu beachtene Beonerheten unter ng Value un öglche Löunganätze wr n Abchntt 3 ff. engegangen. Protätaße. Egenchaften von Protätaßen { N Für e nachfolgenen Betrachtungen t e hlfrech, ene enge I I,..., I } von Obekten zu untertellen, welche über ene Anzahl von erkalen verfügt. Weterhn untertellen wr e Etenz ener atr X, eren Zelen n e Obektvektoren un eren Spalten e erkale.. repräentert. X wr al Datenatr bezechnet. Protätaße een e Ähnlchket oer Unähnlchket zwchen zwe Obekten, ne e Unterchee n en erkalen unterucht weren. an untercheet Ähnlchketun Dtanzaße (auch Unähnlchketaße genannt,. Bacher 994, S. 98). De aße untercheen ch nhaltlch aurch, aß er Wert e Ähnlchket- bzw. Dtanzaße u o größer t, e ähnlcher bzw. unähnlcher e Obekte n. Zur Inhaltvaltät von eßntruenten. Schnell/Hll/Eer (998, S. 5).

5 attha Runte: Protätaße Strategeoptonen unter ng Value Sete Ähnlchketaße n efnert al ene Funkton (, ) e Kreuzproukte ener enge I I,..., I } von Obekten auf e enge er reellen Zahlen, wobe un { N < für,,...,n (Fahreer/Haerle 996, S. 440). Zuätzlch läßt ch forern, aß 0 un. De t aber ncht zwngen erforerlch. Dtanzaße hngegen n efnert al ene Funkton, ) e Kreuzproukte ( ener enge I I,..., I } von Obekten auf e enge er reellen Zahlen R, wobe 0, { N un 0 für ewel,,...,n (a.a.o.). etrche Dtanzaße blen ene Unterenge er Dtanzaße. Se n efnert al Dtanzaße, welche e Egenchaft + erfüllen. Se eröglchen unter betten k k Utänen ene räulche Vortellung er Dtanz. In eer Arbet weren nur nrekt berechnete Protäten betrachtet, be enen e Dtanzen bzw. Ähnlchketen au er Datenatr berechnet weren. Zur rekten Erhebung von Protäten. Anhang A.. Dtanz- un Ähnlchketaße können nenaner überführt weren. Gängge Tranforatonen n Anhang A. aufgeführt. Dee Arbet bezeht ch auchleßlch auf uanttatve erkale. Für Dtanzaße recht n er Regel e Untertellung von ntervallkalerten erkalen au, für Korrelatonkoeffzenten t eoch e Verhältnkalerung erforerlch. Generell können e erkale aber auch en anere Skalennveau betzen (Anhang A.3). Über wetere grunlegene Begrffe we ttelwertzentrerung, Stanarerung owe Skalen- un Tranlatonnvaranz geben Anhang A.4 un A.5 Aukunft.. Entelung von Protätaßen Nach Bacher (994, S. 98 f.) laen ch Ähnlchket- un Unähnlchketaße für Obekte t etrchen erkalen n ver Gruppen entelen:. Korrelatonkoeffzenten al Ähnlchketaße, auch al Aozaton- oer Zuaenhangaße bezechnet.. Dtanzaße, berechnet auf Ba er nkowk-l -etrk. 3. Au. oer. urch onotone Tranforaton abgeletete Protätaße. 4. Anere Protätaße für pezfche Fragetellungen un eßnveau.

6 attha Runte: Protätaße Strategeoptonen unter ng Value Sete 3 Dee Grupperung fnet ch n ähnlcher For auch n aneren Quellen (Backhau 994, S. 64). Se t geprägt urch e Benennung er been Grunaße (Korrelatonaße un L - Dtanzen) un betet ene überchtlche un klare Strukturerung unterchelcher Protätaße. Au ee Grune orentert ch e Dartellung von Protätaßen n eer Arbet ebenfall weentlchen an eer Untertelung. De Grunaße weren Anhang A.6 un A.7 kurz argetellt. U e Grunaße an pezelle Anforerungen un Stuatonen anzupaen, laen ch belebge Varatonen eer Grunaße urch onotone Tranforatonen entwckeln. In er Lteratur fnet ch ene Velzahl unterchelcher Varanten (Gower 985). Zu en abgeleteten Protätaße gehört z.b. e Klae er telfferenzbaerten Ähnlchketaße (. Abchntt 5.3). Ene wetere Klae er abgeleteten etrchen Dtanzfunktonen blen e uaratchen Dtanzfunktonen (Stenhauer/Langer 997, S. 6). Den pronenteten Vertreter eer Protätaße blet e ahalanob-dtanz, auf welche an eer Stelle ncht weter engegangen weren kann. De Defnton un Bechrebung enger Egenchaften fnen ch Anhang A.6. 3 Protätaße unter ng Value 3. ng Value We n en vorangehenen Abchntten argetellt, een Protätaße e Ähnlchket oer Unähnlchket zwchen zwe Vektoren er Datenatr X. Je nach Anwenung un Datenba kann e nun vorkoen, aß X ncht volltäng t. De fehlenen Daten weren al ng Value (V) oer Lücken bezechnet. Der Antel fehlener Werte n er Datenatr kann e nach Anwenung tark vareren. In en eten Anwenungen treten ng Value nur verenzelt auf (Santo 98, S. 7, n: Schnell 986, S. 7). Hngegen t n engen Verfahren e Ncht-Etenz von Werten ogar e Regel, we bepelwee e Collaboratve Flterng (Balabanovc/Shoha 997, Kontan et al. 997) oer velen Data-nng-Anwenungen. Da n velen er von V betroffenen Verfahren auch Protätaße ene Rolle pelen, t e notweng, ch t en Auwrkungen von V auf Protätaße zu bechäftgen. Zur allgeenen Behanlung von ng Value läßt ch ene Velzahl von Anätzen un Verfahren untercheen (Runte 999). De n eer Arbet verfolgte Entelung er Pro-

7 attha Runte: Protätaße Strategeoptonen unter ng Value Sete 4 täteung unter ng Value baert auf ene zwetufgen Verfahren. E berückchtgt abe e weentlchen au er Lteratur bekannten V-Strategen (Bankhofer 995). De her vorgechlagenen Verfahren er Protätberechnung unter ng Value laen ch ewel n zwe Schrtte untertelen:. Fetlegung ener Stratege zur Aufberetung er Datenatr X.. Korrektur e Protätaße zu Auglech unterchelcher Überlappungzahlen. De Schrtte un weren n en been nachfolgenen Abchntten kurz anhan ene Bepel erläutert. 3. Aufberetung er Datenba De been wchtgten Verfahrenklaen zur Behanlung von V blen e Elnerungverfahren un Iputatonverfahren. Se blen e Ba er n eer Arbet verfolgten Aufberetung-Strategen er Datenatr. Au en verfolgten Strategen letet ch vor allen Dngen ab, wevele un welche erkale n e anchleßene Protätberechnung enfleßen. Wr untercheen re Aufberetungverfahren:. Parwe avalable cae analy. Parwe putaton analy 3. Coplete putaton analy Tabelle vereutlcht e Auwrkungen er unterchelchen Aufberetungverfahren auf e Datenatr bzw. e Obektvektoren un. De been Augangvektoren ufaen fünf erkale t ewel zwe ng Value, welche al Punkt ( ) argetellt n. Da erte (5;6) un letzte (;4) erkal legen n been Vektoren paarwee vor. Wr bezechnen e folgenen al Überlappung. Be er parwe avalable cae analy weren nur e ewel paarwee verfügbaren Werte er Datenatr zur Protätberechnung herangezogen. Be ee Verfahren hanelt e ch alo u en Elnerungverfahren. Be er parwe putaton analy weren fehlene Werte vor er Protätberechnung putert (argetellt al ), fall e erkalauprägung aneren Vektor vorlegt (erkale n, erkal 4 n ). Paarwee fehlene Werte weren be er Protät eoch ncht berückchtgt (erkal 3).

8 attha Runte: Protätaße Strategeoptonen unter ng Value Sete 5 Be er coplete putaton analy weren zunächt volltänge Vektoren erzeugt, bevor e Protätberechnung urchgeführt wr. Dat weren alle erkale berückchtgt, auch wenn bee erkalwerte fehlen. In Abchntt 4 weren e unterchelchen Strategen Detal behanelt. Strategeopton zur Aufberetung er Datenba Augangvektoren Parwe Avalable Parwe Iputaton Coplete Iputaton Tabelle Strategeoptonen zur Aufberetung er Datenba: Bepel 3.3 Unterchelche Überlappungzahlen Prnzpell laen ch unter ng Value ähnlche Protätaße we für volltänge Datenatrzen verwenen. Dabe n eoch enge Beonerheten zu beachten, we e folgenen Überlegungen zegen. In alle Protätfunktonen fleßen e erkalvektoren un er Obekte I un I en. De Berechnung er Protät läßt ch n er Regel urch Kobnatonen von Partalfunktonen f (, ) artellen. In f geht a Auprägungpaar ( ; ) e erkal er Vektoren un en. Dtanz- un Ähnlchketfunktonen laen ch at n er Regel artellen al ),...,, ( f f f bzw. ),...,, ( f f f. Bepelwee wäre Falle er L -etrk f efnert al f. Für e euklche Dtanz ergäbe ch f t f. Betrachten wr nun en Enfluß von ng Value auf e Partalfunkton. Offenchtlch läßt ch en Tel er Partalfunktonen f ncht ehr berechnen, a e unabhänggen Varablen un ncht oer ncht paarwee zur Verfügung tehen. Da erkal uß ann be er Berechnung er Protät elnert, oer e fehlenen Werte üen putert

9 attha Runte: Protätaße Strategeoptonen unter ng Value Sete 6 weren. I Falle er Elnerung oer er unvolltängen Iputaton (.h. ncht alle V weren putert) verklenert ch e Datenba zur Protätberechnung Verglech zu Fall ohne ng Value. Da ng Value n er Regel unregeläßg über e Datenatr vertelt n, t e Anzahl fehlener Werte un at er Überlappungen zwchen unterchelchen Obektpaaren et ncht kontant. Je nach Protätaß kann e Anzahl er Überlappungen eoch en Faktor en, er e Protät tark beenflußt. De Überlappunganzahl t aher be er Berechnung e nach Protätaß zu berückchtgen (. Abchntt 5). 4 Vorberetene Strategen zur Protätberechnung 4. Parwe Avalable Cae Elnaton Elnerungverfahren laen ch n e Verfahrenklaen coplete cae analy un avalable cae analy untertelen (Schwab 99, S. 4). Für bee Klaen eteren e Varanten er erkal- un Obektelnerung (Bankhofer/Praarer 998, S. 9; Runte 999). Protätaße een e Ähnlchket zwchen Obekten. I Falle er Obektelnerung würen alle Obektvektoren t ng Value au er Analye augechloen weren. Da e offenchtlch ncht nnvoll t, cheet enach e Obektelnerung prnzpell au. E verblebt e erkalelnerung, alo er Auchluß enzelner erkale au er Analye. Be er coplete cae analy t erkalelnerung wr a geate erkal au er Datenatr elnert, obal en oer ehr Werte n ee erkal fehlen. Da Verfahren kann at erten n Fällen von verglechwee wengen ng Value angewenet weren oer zweten, wenn ch e ng Value auf enge wenge erkale konzentreren. Der weentlche Nachtel er coplete cae analy t eoch er telwee hohe Inforatonverlut urch e Elnerung. Er vernert a öglche Anwenungpektru e Verfahren n tarke aße. Au ee Grune wr folgenen auf e coplete cae analy ncht weter engegangen. Be er avalable cae analy t erkalelnerung weren alle eterenen erkalauprägungen für e Analye verwenet. Be er her unteruchten Protätberechnung beeutet e, aß ewel paarwee vorhanene erkalwerte be er Protätberechnung verwenet weren. Legt für en erkal nur en Wert oer gar ken Wert vor, wr

10 attha Runte: Protätaße Strategeoptonen unter ng Value Sete 7 ee erkal elnert un teht ncht ehr für e Berechnung zur Verfügung (. Tabelle, parwe avalable analy). Elerungverfahren zechnen ch nbeonere urch enfache Hanhabung au. E weren auchleßlch eterene Werte für e Protätberechnung verwenet. Daurch wr verhnert, aß ch ggf. Fehler von Iputatonchätzern n nachfolgenen Stufen er Protätberechnung fortetzen. Nachtelg wrkt ch eoch er urch e Elnerung entretene Inforatonverlut au (Buck 960). Be ener ng-value-wahrchenlchket von ewel 50% würen unter CAR (Rubn 976) nur be 5% er erkale paarwee eterene Daten vorlegen. De Hälfte er eterenen Daten würe elnert. Weterhn t zu beachten, aß ene Elerung von Werten be korrekter tattcher Betrachtung nur unter ganz betten Vorauetzungen überhaupt zuläg t. Prnzpell kann avon augegangen weren, aß ee Vorauetzungen vorlegen, wenn für en erkal e Auprägungen er erkale ener geenaen Vertelung entprngen, un a Fehlen er Werte weer von aneren Werten noch von en unbeobachteten Werten elbt abhängt. De entprcht gerae ene Aufallechanu t CAR. Unter betten tattchen Annahen legt en wetere Proble n er Verzerrung er Protätfunkton. Dee Verzerrung kann nb. be Elnerung von erkalen auftreten, be enen e en Wert e erkal fehlt un etert (. Anhang A.9). De Überlappunganzahl bett e Anzahl er n e Berechnung enfleßenen Werte. Typch für Elnerungverfahren er avalable cae-klae t, aß e Überlappunganzahl von Obektpaar zu Obektpaar aufgrun unregeläßger V-Strukturen unterchelch hoch t. We noch gezegt weren wr, erchwert e Egenchaft nbeonere e Verglechbarket er Protäten zwchen Obektpaaren. De konkreten Auwrkungen hängen von er Art e gewählten Protätaße ab un üen Enzelfall unterucht weren. Der Veruch ener olchen Analye wr für enge pezelle Protätaße n Kaptel 5 unternoen. 4. Parwe Iputaton Neben Elnerungverfahren können auch Iputatonverfahren al vorberetene aßnahe zur Protätberechnung engeetzt weren. Dabe weren fehlene Werte eretzt un n e Datenatr engefügt. Auf ee Wee wr e Datenba zur Protätberechnung erhöht, a unvolltänge oer telwee unvolltänge erkalauprägungen ncht elnert weren.

11 attha Runte: Protätaße Strategeoptonen unter ng Value Sete 8 De her verfolgten Iputatontrategen laen ch entelen n e Verfahren er paarween Iputaton (parwe putaton) un volltängen Iputaton (coplete putaton). Be er parwe putaton weren alle fehlenen erkalauprägungen putert, für e en Wert ewel aneren Vektor vorlegt (. Tabelle ). Der Vortel ee Vorgehen Verglech zu en Elnerungverfahren legt n er Tatache, aß kene eterenen Werte elnert weren. De Anzahl er zur Berechnung verwenbaren erkale tegt. In Anwenungen t ehr wengen ng Value treten oft kene erkalpaare t paarwee fehlenen Werten auf. Da Vorgehen er parwe putaton führt n een Fällen beret zu volltäng puterten Vektoren. Auch n Szenaren t ave ng-value-aufkoen (z.b. Collaboratve Flterng) hat a Verfahren Vortele: Be etreen ng Value-Antelen t a Elnerungverfahren oft ncht ehr nnvoll enetzbar, wel Vektorenpaare vorlegen können, n enen kene enzge Überlappung zwchen en Vektoren etert. De parwe putaton erzeugt hngegen paarwee vorlegene erkale be allen erkalen, n enen neten ene Auprägung etert. Enchränken t zu erwähnen, aß Iputatonverfahren nur unter betten Bengungen tattch korrekt enetzbar n. So uß e Bengung CAR vorlegen oer en oell e Aufallechanu bekannt en. Al Iputatonverfahren unter CAR egnet ch bepelwee e ttelwerteretzung (Rubn 987). In Abhänggket e Protätaße üen eoch auch anere Iputatonchätzer n Betracht gezogen weren. aßgeblch t abe, aß a urch e Iputaton erzeugte Ergebn zu kener Verzerrung er Protätfunkton führt. Herauf wr weter unten noch engegangen. 4.3 Coplete Iputaton Da Verfahren er coplete putaton führt ene volltänge Iputaton er been Vektoren urch. Dabe t e Verglech zur parwe putaton unerheblch, ob bee oer nur en Wert ene erkal fehlen. Der Vortel e Verfahren legt nbeonere n ener kontanten Überlappungzahl. De Berechnung baert tet auf allen erkalen. De chafft e Verglechbarket e Protätaße zwchen unterchelchen Obektpaaren. En weterer Vortel t, aß nach erfolgter Iputaton alle Protätaße verwenet weren können, e auf volltängen Daten baeren.

12 attha Runte: Protätaße Strategeoptonen unter ng Value Sete 9 Da Verfahren t eoch probleatch be hohen Aufallraten er Daten. De Protätberechnung baert n een Fällen auf puterten Daten ohne gnfkanten Inforatongehalt. Selbt wenn e notwengen Iputaton-Vorauetzungen (CAR) vorlegen bzw. er Aufallechanu rchtg oellert wure, n e errechneten Protäten unter ave V-Aufkoen verutlch kau noch auagekräftg. Folgene Varante könnte e Verfahren eoch öglcherwee zur Enetzbarket auch be hohen V-Antelen verhelfen. Be eer Varante fnet vor oer nach er Iputaton ene obektwee Stanarerung er Vektoren tatt (. Anhang A.4). E weren alo e Abwechungen er fehlenen erkalauprägungen von en erkalttelwerten putert. 5 Korrgerte Protätaße unter ng Value Nache e Aufberetung er Datenba urchgeführt wure, legt ene bette Anzahl paarwee eterener erkale n e zwe Vektoren vor. Nun uß geprüft weren, ob für a zu berechnene Protätaß ene geegnete Korrektur urchzuführen t, u ggf. unterchelchen Überlappungzahlen gerecht zu weren. Dee Korrektur uß e nach Protätaß unterchelch vorgenoen weren. Wr begnnen t er Korrektur von L -etrken. 5. Korrgerte nkowk-etrk nkowk-l -etrken blen Kern ene atve Verknüpfung er Auprägungfferenzen er erkale, wobe ene Gewchtung er Dfferenzen anhan e Eponenten vorgenoen wr. Be > ergbt ch ene tärkere Gewchtung größerer Dfferenzen. Unter Verwenung er oben engeführten Partalfunktonen f ergbt ch al / (, ) f.. t f. Wenn unkorrgerte L -etrken auf Vektorenpaare t unterchelcher Überlappungzahl angewenet weren, ergeben ch unerwünchte Effekte. Herzu en enfache Bepel. Für e Vektoren ( ) un ( 3 4) ergbt ch ene L -Dtanz von ( 3) + ( 4) 5, 36 (, ).

13 attha Runte: Protätaße Strategeoptonen unter ng Value Sete 0 Wr verglechen e Protät eer Vektoren nun t er Dtanz zweer erweterter Vektoren ~ ( ) un ~ ( 3 4 3). De been erten erkale eer Vektoren entprechen en Werten von un. De Partalfunktonen haben e Werte f un f. De rtten un verten erkale betzen Partalfunktonen von f 3 0 un f 4, alo ttel wenger al f un f. Auf en erten Blck würe an aher ene klenere Dtanz zwchen en erweterten Vektoren veruten. De euklche Dtanz wächt eoch auf ( 3) + ( 4) + ( ) + ( 3) 6, 449 ( ~, ~ ), wa nhaltlchen Valtätkrteren ene Dtanzaße n er Regel ncht tanhalten kann: Da Dtanzaß ßt ncht, wa e egentlch een oll (Schnell/Hll/Eer 988, S. 5). Enen erten Anatz zur Löung e Überlappungproble betet e Norerung er Partalfunktonen über e Anzahl er Überlappungen: / / f (, ) f.... (, ) En Krteru für Protätaße t unterchelchen Überlappungzahlen t a er Erweterbarket von Vektoren. Be ee Krteru weren e Vektoren urch entche Werte veroppelt. So wr bepelwee au un a Vektorenpaar ~ ( ) ( ) un ~ ( ) en Vektoren ncht, o glt a Erweterbarketkrteru:, ) ( ~, ~ ). Änert ch e Protät zwchen (, ),(, )) ( Da Erweterbarketkrteru beeutet, aß er Erwartungwert er Protät zwchen Obekten unter kontanten tochatchen Bengungen unabhängg von er Überlappungzahl t. Enfluß auf e Protät haben alo nur e vorhanenen erkalauprägungen. ( ( Da Erweterbarketkrteru glt für, ) un, ) ncht, we ch ewel eeplarch zegen läßt. U ee Krteru zu gewährleten, läßt ch pezell für L -etrken folgene Korrektur urchführen. De Korrektur fügt ene ttelwertblung über e Sue er t potenzerten Teltanzen en:

14 attha Runte: Protätaße Strategeoptonen unter ng Value Sete (, e / / ).... / / (, ) De Gültgket e Erweterbarketkrteru für e läßt ch urch Enetzen erweterter Vektoren n e Defnton von e zegen. In engen Applkatonen kann e Überlappungzahl elbt Anhaltpunkte für e Protät von Vektoren lefern. Inhaltlch könnte abe untertellt weren, aß ene hohe Überlappungzahl er Vektoren beret auf ene hohe Ähnlchket er Vektoren chleßen läßt. Bepelwee läßt ch her a erkal Durchchnttalter er Kner n ener eografchen Erhebung anführen. Be knerloen Befragten t e Auprägung ee erkal ng. De Etenz e erkalwerte läßt hngegen auf Kner chleßen. Etert be zwe Befragten a erkal paarwee, o könnte nhaltlch beret ene bette Ähnlchket untertellt weren, a bee Befragten en oer ehrere Kner haben. Gleche glt be knerloen Probanen Falle paarweer ng Value. Analog glt e n Recoener-Syteen (Renck/Varan 997), be enen e Befragten Obekte bewerten ollen, fall e ee kennen. Allen e glechzetge Kenntn ene Obekte kann beret en Inz für Ähnlchket en. De glt n vertärkte aße, wenn be ener Velzahl von erkalen nur verglechwee weng eterene Werte vorlegen, we e bepelwee be Collaboratve Flterng er Fall t. U ee Apekt Rechnung zu tragen, läßt ene ähnlche Forerung we be Erweterbarketkrteru tellen. Allerng wr her ncht e Glechhet zwchen er Protät er Augangvektoren (, ) un er erweterten Vektoren ( ~ ~, ) geforert, onern ene gerngere Dtanz bzw. höhere Ähnlchket er erweterten Vektoren. Wr bezechnen ee Egenchaft al Überlappungkrteru. E glt: (, ) ( ~, ~ > ) t (, ) > 0, ~ (, ) un ~ (, ). Da Überlappungkrteru beeutet tattch, aß unter glechen tochatchen Bengungen er Erwartungwert er Dtanz t zunehener Überlappungzahl abnt. Für glt a Krteru ncht. Für e glt we oben bechreben a Erweterbarketkrteru, welche offenchtlch e Gültgket e Überlappungkrteru auchleßt. hngegen hält für > e Überlappungkrteru tan.

15 attha Runte: Protätaße Strategeoptonen unter ng Value Sete Wr halten folgene Ergebn fet: De unkorrgerte L -etrk t für unterchelchen Überlappungzahlen et ungeegnet un entprcht ncht nnlogchen Forerungen. I Enzelfall t zu überprüfen, ob e Überlappungzahl elbt Auagegehalt über e Protät von Obekten lefern kann. It e er Fall, o egnet ch bepelwee al korrgerte Protätaß, für welche a Überlappungkrteru glt. En vo Enfluß er Überlappungzahl unabhängge Protätaß t e, für welche a Erweterbarketkrteru glt. De blang behanelten korrgerten L -etrken laen ch allgeen al k (, ) K (, ) artellen, wobe K e Beeutung ene Korrekturter zur Kopenaton unterchelcher Überlappunganzahl ennt (. Tabelle ). Dtanzaß Korrekturter K Erfüllte Krteru - Erweterbarketkrteru e / Überlappungkrteru Tabelle Korrekturtere K für L -etrken Abblung un Abblung (. Anhang B) tellen en Verlauf von K bzw. en Erwartungwert er betrachteten (korrgerten) Dtanzaße, un e n Abhänggket er Überlappungzahl ar. Für en Erwartungwert wr abe untertellt, aß alle erkale ene entche Wahrchenlchketvertelung haben un ncht korrelert n. 5. Korrgerter Q-Korrelatonkoeffzent Der Q-Korrelatonkoeffzent ßt e lneare Abhänggket zwchen zwe Vektoren. Bezechne () e enge er paarwee eterenen erkale. I enfachten Falle weren alle paarwee eterenen erkale ( ) zur Berechnung e Korrelatonkoeffzenten herangezogen: r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

16 attha Runte: Protätaße Strategeoptonen unter ng Value Sete 3 Dabe n () un () e Stanarabwechung er Vektoren un, ewel über e erkale (), owe al Anzahl er erkale n (). Der Erwartungwert e Korrelatonkoeffzenten t unter er retrktven Bengung CAR unabhängg von er Überlappunganzahl. Dat t er Verglech zu en oben behanelten Protätaßen verglechwee enfach unter ng Value zu behaneln, ne an we argetellt e ewel paarwee verfügbaren erkale zur Korrelatonberechnung heranzeht. Dabe t allerng nach en verweneten Datenaufberetungverfahren zu untercheen. I Falle er Verwenung von Iputatonverfahren t e abe verwenete Datenba fre von Inforatonverlut, a enzeln fehlene Werte urch entprechene Iputatonen engefügt weren. De t Falle er parwe avalable analy eoch ncht er Fall. Herbe gehen e Inforatonen über e enzeln verfügbaren erkale verloren, e ncht n e Korrelatonberechnung tenbezogen weren (Buck 960). Abhlfe kann herbe e Enbezehung aller ewel verfügbaren Werte pro erkal be er Berechnung er Varanzen helfen. Statt () un () weren au ee Grune () un zur Berechnung e folgenen Korrelatonkoeffzenzen verwenet (Lttle/Rubn 987, S. 4): ( ) r * t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) un ( ) analog. wobe un e Anzahl eterener erkale er Obekte un n, un () bzw. ( ) e entprechenen ttelwerte über e eterenen erkale er Vektoren bzw.. Wetere Varanten n öglch urch e Verwenung aller verfügbaren Werte () bzw. () be er Berechnung er Erwartungwerte ( ) tatt leglch er paarwee eterenen Werte () t er Berechnung von () bzw. () bzw. (). * r un e nachfolgen kzzerten Varanten veruchen, en urch a Elnerungverfahren entretenen Inforatonverlut auzuglechen. De abe erttelten unvaraten Varanzen un Kovaranzen n unter CAR erwartungtreu (Lttle/Rubn 987, S. 43). De paarwee Betrachtung verfügt eoch auch über enge Nachtele, e hre praktche Enetzbarket nachhaltg beenträchtgen können. Zu nennen n herbe unter anere, aß be

17 attha Runte: Protätaße Strategeoptonen unter ng Value Sete 4 * r un en nachfolgenen kzzerten Varanten e Korrelatonaße en Werteberech von [-;] verlaen können (Hol 975, S. 6). Deer Fall trtt vor allen Dngen be hohen Korrelatonen un gerngen unvaraten Varanzen Verglech zu en Varanzen er paarwee eterenen Werte auf. 5.3 Korrgerte abgeletete Protätaße Be en (korrgerten) L -etrken hanelt e ch u Dtanzaße, alo u Unähnlchketaße. t Korrelatonkoeffzenten betrachtet an e lneare Abhänggket zwchen en Vektoren. Zuätzlch ntereert an ch eoch auch oft für e Ähnlchket zwchen Obekten, wobe neben er lnearen Abhänggket auch e abolute Dfferenz er Werte ene Rolle pelt. In er Pra weren Dtanzaße n er Regel n entprechene Ähnlchketaße tranforert (. Anhang A.). De nachträglche Tranforaton kann eoch urch e allenge Verwenung von Ähnlchketaßen tatt Dtanzaßen überflüg geacht weren. I Unterche zu en Dtanzaßen benhalten e Partalfunktonen f herbe ncht Teltanzen, onern Telähnlchketen. Durch Aggregaton er Telähnlchketen erhält an a Ähnlchketaß. De Telähnlchketen laen ch auf unterchelche Art un Wee berechnen. Bepelwee egnet ch n Anlehnung an e L -etrk + ( ) oer allgeener p t p>0. p + ( ) In een Anätzen legt für a au er Partalfunkton ( ) vor, für große ( ) bzw. ( ) / p geht gegen Null. De Aggregaton er Telähnlchketen kann analog zur L -etrk unterchelch urchgeführt weren. Nahelegene Anätze für Ähnlchketaße t unterchelchen Überlappungzahlen bezechnen wr n Analoge zu en oben argetellten L -etrken t un. Da aß uert alle Telähnlchketen auf. E erfüllt a Überlappungkrteru, a e Protät t tegener Überlappungzahl onoton zunt: Da aß blet en arthetchen ttelwert über e Telähnlchketen. E erfüllt a Erweterbarketkrteru, a er Erwartungwert er Protät t tegener Überlap-

18 attha Runte: Protätaße Strategeoptonen unter ng Value Sete 5 pungzahl kontant blebt (Unabhänggket er un entche Vertelungen er erkale untertellt): K t K Wetere Ähnlchketaße n e nach Anwenung un nhaltlchen Überlegungen enkbar. So t e öglch, Korrekturfaktoren enzuführen, t enen a lneare Wachtu e Erwartungwerte von t zunehener Überlappungzahl gebret wr. Herzu würen ln( + ) ch bepelwee Korrekturtere we K w, K hyp oer K log egnen (. Abblung 3, Anhang B). In een Fällen würe zwar a Überlappungkrteru gelten, aber a Wachtu e Erwartungwerte er Ähnlchketfunkton egrev tatt lnear aufallen (. Abblung 4). Derartg korrgerte Ähnlchketaße könnten ch generell be ethoen egnen, n enen e Überlappungzahl elbt nbeonere Berech gernger Überlappungzahlen eutlche Auwrkungen auf e Protät hat, aber Berech höherer Überlappungzahlen wenger auagekräftger wr. Herzu zählen öglcherwee ethoen we a Collaboratve Flterng. 6 Zuaenfaung ng Value können graverene Auwrkungen auf e Unverzerrthet un nhaltlche Beeutung von Protätaßen betzen. In eer Arbet wuren neben en au er gänggen Lteratur bekannten Elnerungverfahren wetere Verfahrenvorchläge zur Aufberetung er Datenba un Korrektur von Protätaßen unter vercheenen nhaltlchen Bengungen un tattchen Annahen geacht. Dazu wuren e Partalfunkton f owe a Erweterbarket- un Überlappungkrteru engeführt, t eren Hlfe ch e Auwrkung von unterchelchen Überlappungzahlen auf en Erwartungwert von Protätaßen bechreben läßt. Ob e vorgechlagenen Verfahren un Korrekturen e Protäteung n konkreten Anwenungen t ng Value verbeern können, t nach Kenntn e Autor noch ncht unterucht woren. In ee Berech beteht noch Forchungbearf.

19 attha Runte: Protätaße Strategeoptonen unter ng Value Sete 6 Quellenverzechn Bacher 994: Cluteranalye - Anwenungorenterte Enführung, ünchen, Wen, Olenbourg Backhau; Erchon; Plnke; Weber (994): ultvarate Analyeethoen, 7. Auflage, Berln, Heelberg, New York, Toko Balabanovc, arko; Shoha, Yoav (997): Fab - Content-Bae, Collaboratve Recoenaton, Councaton of the AC, Vol. 40, No. 3 (arch), S Bankhofer, Uo (995): Unvolltänge Daten- un Dtanzatrzen n er ultvaraten Datenanalye, Bergch-Glabach, Eul Bankhofer, Uo; Praarer, Sanra (998): Zur Behanlung fehlener Daten n er arktforchungpra, arketng ZFP, Heft,. Quartal 998 Buck, S.F. (960): A etho of Etaton of ng Value n ultvarate Data utable for ue wth an Electronc Coputer, Journal of the Royal Stattcal Socety, Sere B, S Don, J.K. (979): Pattern Recognton wth ng Data, IEEE Tranacton on Syte, an an Cybernetc, SC9, S Evertt, Bran S. (993): Cluter Analy, thr Eton, Lonon, elbourne, Aucklan, Wley Gower, J.C. (985): eaure of Slarty, Dlarty an Dtance, n: Kotz, S.; Johnon N.L.; Rea, C.B. (E.): Encyclopea of Stattcal Scence, Volue 5, New York, Wley Fahrer, Luwg; Haerle, Alfre; Tutz, Gerhar (996): ultvarate tattche Verfahren,. Auflage, e Gruyter, Berln, New York Hartung, Joach; Elpelt, Bärbel (995): ultvarate Stattk: Lehr- un Hanbuch er angewanten Stattk, 5. Auflage, ünchen, Wen, Olenbourg Hol, Kurt (975): De Ertellung ener Korrelatonatr, n: Hol, Kurt (Hrg.): De Befragung, Ban, ünchen, UTB, S Kontan, Joeph A.; ller, Braley N.; altz, Dav; Herlocker, Jonathan L.; Goron, Lee R., Rel, John (997): Grouplen - Applyng Collaboratve Flterng to Uenet New, Councaton of the AC, Vol. 40, No. 3 (arch), S Lttle, Roerck J.A.; Rubn, Donal B. (987): Stattcal Analy wth ng Data, New York, Wley Renck, Paul; Varan, Hal R. (997): Recoener Syte, Councaton of the AC, Vol. 40, No. 3 (arch), S Rubn, Donal B. (976): Inference an ng ata, n: Boetrka, Vol. 63, S Rubn, Donal B. (987): ultple Iputaton for Nonrepone n Survey, New York, Wley

20 attha Runte: Protätaße Strategeoptonen unter ng Value Sete 7 Runte, attha (999): ng Value Konzepte un tattche Lteratur, Kel, Schnell, Raner (986): ng-data-problee n er eprchen Sozalforchung, Bochu Schnell, Raner; Hll, Paul B.; Eer, Elker (988): ethoen er eprchen Sozalforchung, ünchen Schwab, Georg (99): Fehlene Werte n er angewanten Stattk, Webaen, DUV Späth (977): Cluter-Analye-Algorthen zur Obektklafzerung un Datenreukton,. Auflage, ünchen, Wen, Olenbourg Stenhauen/Langer 977: Cluteranalye - Enführung n ethoen un Verfahren er autoatchen Klafkaton, Berln, New York, e Gruyter

21 attha Runte: Protätaße Strategeoptonen unter ng Value Anhang Sete Anhang A Egenchaften von Protätaßen A. Drekte un nrekte Erhebung von Protäten Antatt Ähnlchketen un Dtanzen nrekt urch e Datenatr zu berechnen, können e auch rekt erhoben weren. Be er rekten Erhebung üen e befragten Peronen e Ähnlchket oer Dtanz von Obektpaaren chätzen. De rekte Erhebung von Protäten t n en eten Fällen ncht oer nur unter Schwergketen urchführbar. Selbt n en Fällen, n enen ene rekte Erhebung prnzpell öglch wäre, t e Konfortät t er Defnton von Dtanzen un Ähnlchketen et ncht gewährletet (Fahreer/Haerle 996, S. 44). Zu beachten t abe ewel a Krteru er Inhaltvaltät (Schnell/Hll/Eer 988, S. 5). De Problee zegen ch zu Bepel n Fällen, be enen entchen Obekten ene Dtanz von >0 zugeornet wr. Augeprochen unähnlche Obekte hngegen könnten ene ehr klene Dtanz erhalten. Außere t e Relabltät er erhaltenen Daten oft ungenügen. Inkontenzen bezüglch er Defntonen können be nrekt erhobenen Protätaßen ncht auftreten. De Ähnlchket- un Dtanzaße weren entprechen en Defntonen gewählt un gewährleten at entprechen er Defnton kontente Protätaße. De erlechtert nbeonere e Weterverwenung von Protätaßen n ultvaraten Verfahren. A. Tranforatonen von Ähnlchketen un Dtanzen Ähnlchketaße un Dtanzaße laen ch gegenetg tranforeren. De Tranforaton baert auf er Interpretaton von Ähnlchket- un Dtanzaßen. Je gernger e Dtanz zwchen en Obekten t, eto ähnlcher n e Obekte. Für e Tranforaton von Ähnlchketaßen n Dtanzen egnet ch ee treng onoton fallene Funkton f t f( ) 0, wobe wegen 0 un er Eneutgket von f e Forerung für alle,,..,n zu tellen t. Für un 0 egnet ch nbeonere e Tranforaton -,

22 attha Runte: Protätaße Strategeoptonen unter ng Value Anhang Sete welche für enen Werteberech von 0 fetlegt. Für Ähnlchketaße t un ene Werteberech von t nach Fahreer/Haerle (996, S. 44) e Tranforaton ( ) üblch. Analog egnet ch für e Tranforaton von Dtanzaßen n Ähnlchketaße ebenfall ee treng onotone fallene Funkton. I enfachten Falle berechnet an e tranforerte Ähnlchketfunkton al. Da allerng 0 glt, wäre 0. Dat egnet ch e Ähnlchketfunkton für vele Anwenungen ncht, be enen 0 geforert wr. Vortelhafter t au ee Grune folgene Tranforaton: t t t a{, {.. N}, } De Funkton chleßt negatve Ähnlchketwerte au un efnert für e höchte Dtanz ene Ähnlchket von Null. öglch t auch ene Funkton, welche ene Norerung er Ähnlchketen über alle Obekte urchführt, o aß 0 folgt (Fahreer/Haerle 996, S. 44): t t t a{, {.. N}, } Deweteren kot auch ene Tranforaton n Frage. Herbe ergbt ch eoch ene Überbetonung ehr klener Dtanzaße. Für Dtanzen t 0 t ncht efnert. Dee Proble kann ugangen weren, ne an e Tranforaton anhan er folgenen Glechung vornt:

23 attha Runte: Protätaße Strategeoptonen unter ng Value Anhang Sete + oer allgeener p t p>0. p + Für 0 ergbt ch, für alle >0 glt 0< <. A.3 Skalennveau er erkale Protätaße weren anhan er Datenatr X berechnet. De eung er Auprägungen kann eoch unterchelcher Natur en. Protätaße laen ch nach e Skalennveau er zur Berechnung verweneten erkale klafzeren. an untercheet: Nonalkalerte bnäre erkale Nonalkalerte ehrtufge (kategorelle) erkale Ornalkalerte erkale Intervallkalerte erkale Verhältnkalerte erkale Nonalkalerte ehrtufge erkale laen ch allgeen n bnäre erkale überführen. Intervallkalerte un verhältnkalerte erkale weren auch al uanttatve oer karnalkalerte erkale bezechnet un zuaengefaßt. De Verhältnkala wr auch al etrche Skala bezechnet. Weterhn laen ch unabhängg vo Skalennveau er erkale krete un tetge Auprägungen untercheen (Fahreer/Haerle 996, S. ): En erkal heßt kret, wenn e höchten abzählbar vele Auprägungen annehen kann. En erkal heßt tetg, wenn t ewel zwe Auprägungen auch eer Zwchenwert zuläg t. Stetge erkale können ncht nonalkalert en. Dkrete erkale können belebg kalert en. Vele al etrch angenoene erkale n n er Realtät nur ornalkalert. So uß bepelwee Zuge ener Erhebung e Tetperon oft enen Zahlenwert auf ener kreten Ratng-Skala fetlegen. Den Stufen er Ratng-Skala weren krete nuerche Werten zugeornet. Untertellt an äutante Auprägungen er Ratng-Skala, ergbt ch ene Intervallkala. A.4 ttelwertzentrerung un Stanarerung Der Vektor,,.., ) er erkalauprägungen ene Obekte I verfügt über ( enen ttelwert un ene Stanarabwechung. Der ttelwert er Ratng wr auch

24 attha Runte: Protätaße Strategeoptonen unter ng Value Anhang Sete v Proflhöhe, e Stanarabwechung wr Profltreuung oer Profltanarabwechung genannt (Bacher 994, S. 9). t een Kennwerten laen ch folgene Tranforatonen vornehen: Be er ttelwertzentrerung wr e Proflhöhe ene een Vektor noralert: Inhaltlch beeutet e, aß ncht ehr e abolute Höhe er erkalauprägungen unterucht wr, onern leglch e relatven Auprägungen. Be er Stanarerung wr neben er Proflhöhe auch e Profltreuung heraugerechnet: Alle Ratngvektoren erhalten at ene Proflhöhe von 0 un ene Stanarabwechung von. De Stanarerung beeutet nhaltlch, aß nur noch e relatve Auprägunghöhe, bezogen auf alle erkale ene Vektor, unterucht wr. A.5 Skalennvaranz un Tranlatonnvaranz Be ntervall- un verhältnkalerten erkalen t e aßenhet fre wählbar. E läßt ch nun forern, aß e Dtanz bzw. Ähnlchket zweer Obekte von er aßenhet unabhängg en oll. an prcht n ee Falle von Skalennvaranz. En Protätaß t kalennvarant, wenn e Tranforaton ~ C t n n C ag c,..., c ) un c > 0 (..) kenen Enfluß auf e Dtanz hat, alo ( ~, ~ ) (, ) glt (Fahrer/Haerle 996, S. 448). ( De Forerung er Skalennvaranz t ene ehr trenge Forerung, e nur von wengen Protätaßen erfüllt wr. Legen für alle erkale gleche aßenheten vor, wr an au ee Grune allgeenen leglch forern, aß c.. c c t c > 0, un aß ~, ~ ) c (, ). Dee Bengung wr bepelwee von er allgeenen L-etrk ( erfüllt: Der Operator ag(c,...,c ) erzeugt ene Dagonalatr er Denon t en Eleenten c b c auf er Hauptagonalen un allen aneren Eleenten glech Null.

25 attha Runte: Protätaße Strategeoptonen unter ng Value Anhang Sete v ~, ~ ( ) c.. c / c (, ) Be ntervallkalerten erkalen t e Wahl e Koornatenurprung fre wählbar un arf kenen Enfluß auf a Protätaß haben. So arf e be ntervallkalerten erkalen kene Rolle pelen, ob an ene Skala e Abwechung vo Nullpunkt (-3 ehr chlecht, 0 ttel, 3 ehr gut) oer ene Skala t ganzzahlgen Werten von b 7 (z.b. ehr chlecht, 4 ttel, 7 ehr gut) verwenet wr. Legt ee Egenchaft vor, prcht an von Tranlatonnvaranz. Foral beeutet e, aß e Tranforaton ~ + b un ~ + b kenen Enfluß auf e Dtanz hat, alo ~, ~ ) (, ) glt (Fahreer/Haerle 996, S. 448). ( Für uanttatve erkale n alle Protätfunktonen tranlatonnvarant, n eren Partalfunktonen f (. Abchntt 3.3) e Dfferenz er erkalauprägungen berechnet wr. De t lecht enzuehen wegen: ~ ~ ( + b) ( + b) Der Tranlatonparaeter b wr alo urch e Subtrakton er erkale elnert. A.6 Allgeene nkowk-etrk Zu en a häufgten verweneten Protätaßen gehören Dtanzaße, e auf en verallgeenerten L -Dtanzen (nkowk--etrken) baeren (Hartung/Elpelt 995, S. 7): / (, ).. Für t prnzpell eer Paraeter t >0 geegnet. De Verwenung better Werte für lefert e pezellen L -Dtanzaße (Tabelle 3). Der Wert e Paraeter führt zu ener ehr oer wenger tarken Gewchtung er erkalfferenzen n Abhänggket er erkalfferenz elbt. Je größer t, eto tärker weren höhere Abwechungen gewchtet. I Etrefall er Chebychev-Dtanz ( ) t ee Gewchtung o tark, aß auchleßlch a au er aboluten erkalfferenzen e Dtanz zwchen I un I bett, alo (, ) a... Be er Cty-Block-etrk () geht er Betrag eer Enzelfferenz lnear atv n e Dtanz en. an kann ch für en zweenonalen Fall ene Großtat vortel-

26 attha Runte: Protätaße Strategeoptonen unter ng Value Anhang Sete v len, eren Straßen ewel rechtwnklg zuenaner laufen. De Dtanz zwchen zwe Koornaten entprcht ann e kürzeten Weg, en an auf e rechtwnklgen Gtter von ene zu aneren Punkt zurücklegen würe. Sehr häufg weren euklche Dtanzen () al Dtanzaß verwenet. Se eröglchen Falle von re Denonen ene räulche Vortellung er Dtanz. De euklche Dtanz gewchtet urch e Quarerung er Dfferenzen e erkale t größeren Abwechungen höher al gernge Abwechungen. Cty-Block-etrk Euklche Dtanz Chebychev-Dtanz Tabelle 3 - Spezelle L -Dtanzaße Al Varante er L -aße läßt ch vor er Berechnung ene ttelwertzentrerung oer Stanarerung er Obektvektoren urchführen, o aß nur e relatven un noralerten Abwechungen er erkale von en ttelwerten zur Berechnung er Dtanz herangezogen wr (Anhang A.4). Zur Tranforaton er L -Dtanzen n Ähnlchketaße können u.a. e Anhang A. argetellten Tranforatonen verwenet weren. A.7 Korrelatonkoeffzenten Al Ähnlchketaß kot auch er Pearonche oer Q-Korrelatonkoeffzenz r n Betracht (Schwarze 988, S. 47). r ßt e Stärke e lnearen Zuaenhang zwchen zwe Vektoren r ( ) t, al Proflhöhe un, al Profltreuung von bzw. (. Anhang A.4). Der Korrelatonkoeffzent führt ene plzte Stanarerung (Elnaton er Proflhöhe un - treuung) er Vektoren urch. r kann at Werte zwchen - un annehen. Sn kene negatven Werte erwüncht, läßt ch urch ene Tranforaton

27 attha Runte: Protätaße Strategeoptonen unter ng Value Anhang Sete v ~ ( r + ) r en Werteberech von [0;] erzelen. It nur e Stärke, ncht aber e Rchtung er tochattchen Abhänggket von Interee, läßt ch ee urch ene Tranforaton ~ r oer r ~ r r beten, welche ebenfall zu ene Werteberech von [0;] führt. Der Inforatongehalt über e Rchtung er Abhänggket wr abe eoch elnert. De plzte Stanarerung e Korrelatonkoeffzenten kann n engen Anwenungen unerwüncht en (Evertt 993, S. 43). De wäre bepelwee er Fall, wenn neben er lnearen Abhänggket en auf aboluten Größen baerene Zuaenhangaß von Interee t. In een Fällen läßt ch tatt r auch e Kovaranz verwenen, welche kene plzte Stanarerung urchführt. An eer Stelle t nochal eutlch zu betonen, aß r leglch en aß für e lneare Abhänggket von zwe Vektoren t. So n e Vektoren ( 0 0, 0,) un ( 0 0, 0,) zwar volltäng lnear abhängg (r ), könnten aber nach nhaltlchen Valtätkrteren augeprochen unähnlch en. Trotz eer Enchränkung können wr r oer au r abgeletete Tranforatonen für e folgenen Betrachtungen al öglche Ähnlchketaße anehen. A.8 ahalanob-dtanz Ene Klae er etrchen Dtanzfunktonen blen e uaratchen Dtanzfunktonen (Stenhauer/Langer 997, S. 6). Dabe t ( ) B( ) / (, ) B, wobe B ene potv efnte atr t. Enen häufg verweneten Fall er uaratchen Dtanzfunktonen blet e ahalanob-dtanz, be er für B e Invere er eprchen Kovaranzatr K - verwenet wr: ( ) K ( ) / (, ) t

28 attha Runte: Protätaße Strategeoptonen unter ng Value Anhang Sete v K N N n ( n )( n ) un N N n n. Der Vortel er ahalanob-dtanz gegenüber er euklchen Dtanz legt n er öglchket zur Berückchtgung von Korrelatonen zwchen en erkalen (Hartung/Elpelt 995, S. 74). De Enbezehung von tark korrelerene erkalen führt be er euklchen Dtanz zu ener Überbetonung er hnter en korrelerenen Varablen tehenen Denonen. De ahalanob-dtanz führt ene korrelatonfree Berechnung er Dtanz urch, we von Stenhauen/Langer (977, S.59 f.) gezegt wr. Dat egnet ch e ahalanob- Dtanz für Anwenungen, be enen tarke erkalkorrelatonen auftreten, e Korrelatonen aber elbt kene nhaltlche Beeutung für e Protät haben. De ahalanob-dtanz verfügt über ene Rehe von weteren ntereanten Egenchaften. Se t nvarant gegenüber belebgen nchtngulären lnearen Tranforatonen. Dat t e a enzge n eer Arbet betrachtete Protätaß, welche neben er Tranlatonnvaranz auch e Egenchaft er Skalennvaranz betzt. Der Bewe wr von Fahrer/Haerle (996, S. 450 f.) geführt. Der be er Berechnung er ahanalob-dtanz verwenete ttelwertvektor etzt tllvorau, aß e ch be en auf Ähnlchket zu unteruchenen erkalvektoren u Realerungen en un eelben ultvaraten Zufallvektor hanelt. Dee Annahe t oft ncht aäuat. Stenhauen/Langer (977, S. 6) geben Löungepfehlungen für ee Proble. A.9 Zur Verzerrung von Protätfunktonen unter V ng Value können zu Verzerrung n nachfolgenen Analyen führen (Lttle/Rubn 987). De glt nbeonere für e Protätberechnung. Zu unteruchen t nbeonere e Auwrkung vercheener Vorgehenween auf e Verzerrung e Erwartungwerte e Protätaße. In er folgenen Betrachtung ufaen abe e n eer Arbet betrachteten Elnerung- un Iputatonverfahren. Be Elnerungverfahren weren unvolltänge erkalpaare entfernt, be Iputatonverfahren wr er fehlene Wert putert. Zur Verenfachung untertellen wr e Gültgket e Erweterbarketkrteru (. Abchntt 5.), Unabhänggket un Glechvertelung er erkale owe e ng Value- Bengung CAR (Rubn 976). Faßt an e erkalwerte al Zufallzahlen auf, folgt au er Glechvertelung er erkale, aß auch e Partalfunktonen f glechvertelt n un at enen entchen Erwartungwert haben,.h. E ( f ) E( f )... E( f ) E f.

29 attha Runte: Protätaße Strategeoptonen unter ng Value Anhang Sete Da Erweterbarketkrteru beagt, aß er Erwartungwert er Protät unabhängg von er Überlappunganzahl t. Wr betrachten bepelhaft a Erweterbarketkrteru für e korrgerte L -etrk e : / e (, ) f.. t f. Zur Berechnung von e untertellen wr nun unterchelche Überlappungzahlen bzw. erkaltelengen a, b {,.., }. De ch ergebenen Dtanzen weren al (a) un (b) bezechnet. Dann glt für e Erwartungwerte E( / / / ( a) a E f ( b) ) E f E( a ) E f E( f a a a a un ot a Erweterbarketkrteru. Koen wr nun zur Unverzerrthet e Erwartungwerte unter ng Value. an betrachte a Bepel au Tabelle, S. 5. Zur Verenfachung untertellen wr enen reellen Werteberech er erkale von [;7] t Glechvertelung. ng Value weren al Zufallzahlen X nterpretert. Für e fehlenen Werte glt E(X )4. Für en Erwartungwert er Partalfunkton E f glt ) E E f ) E( X X ), f ( we ch lecht zegen läßt. Betrachten wr nun a erkal Bepel, welche e Auprägung (, )( ;7) betzt. t er Kenntn e Werte 7 ergbt ch für e Partalfunkton f er Erwartungwert E f ) E( X 7 ) 7 E( X ) ( Offenchtlch untercheet ch eer Wert von e oben betrachteten Erwartungwert E f. E f t er Schätzer für en Erwartungwert er Partalfunkton be volltänger Unkenntn er erkalauprägungen, wa bepelwee be zwe ng Value er Fall wäre. Da Vernachlägen er Inforaton über kann alo zu enen al Inforatonverlut geeutet weren, aber ebeno al Grun für ene Verzerrung er Protätfunkton.

30 attha Runte: Protätaße Strategeoptonen unter ng Value Anhang Sete Analog ergbt ch be Anwenung e Iputatonverfahren en verzerrter Schätzer, wenn e Auwrkungen auf f ncht beachtet weren. So würe ene ttelwerteretzung obgen Bepel ebenfall enen verzerrten Schätzer für a Protätaß lefern. Zuaenfaen können Elnerungverfahren alo zu ener Verzerrung er Protätfunkton führen, a Inforatonen elnert weren, e ene erwartungtreue Schätzung eröglchen würen. Be Iputatonverfahren glt e analog, nur aß tatt ene Inforatonverlute ggf. zuätzlche falche Werte putert weren, e zur Verzerrung er Protät führen.

31 attha Runte: Protätaße Strategeoptonen unter ng Value Anhang Sete B Abblungen 0,9 0,8 0,7 0,6 K 0,5 0,4 0,3 0, 0, e L-etrk Abblung Korrekturtere für L-etrken () 3,5 3,5 E(),5 0, e L-etrk Abblung Relatve Erwartungwerte für korrgerte L-etrken ()

32 attha Runte: Protätaße Strategeoptonen unter ng Value Anhang Sete 0,9 0,8 0,7 0,6 K 0,5 0,4 0,3 0, 0, w hyp log Abblung 3 Korrekturtere K für en abgeletete Ähnlchketaß E() 0 w log hyp Abblung 4 - Relatve Erwartungwerte für en korrgerte Ähnlchketaß