Der Boden und die Decke dieses Zimmers sind wärmeisoliert, so dass durch Boden und Decke kein Wärmefluß stattfindet.

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1 Prof. Dr. R. Kessler, C:\ro\Si05\RT3\WAERME\ZimHeizSonne2.doc, S. 1/7 Prof. Dr. R. Kessler, Hochschule Karlsruhe, Sensorsystemtechnik, Homepage: Simulation Zimmerheizung, periodische Schwankungen der Außentemperatur Tu infolge Sonnen-Einstrahlung, Variation Wandstärke d, wahlweise ohne oder mit Regelung der Zimmertemperatur. d h L L Aufstellen der Gleichungen: Ein quadratisches Zimmer befindet sich in einem Hochhaus, es hat 4 Außenwände, Höhe h, Länge L. Die Wand hat die Dicke d. Um die instationäre (also zeitabhängige) Wärmeleitung durch die Wand zu modellieren, denken wir uns die Wand in vier gleich dicke Schichten mit der Dicke d1 = d/4 aufgeteilt. Die Temperatur T innerhalb einer Schicht nehmen wir als konstant an. Die Schicht an der Außenfläche hat die Temperatur T1, die nächste die Temperatur T2, die dritte die Temperatur T3, die vierte die Temperatur T4. Der Boden und die Decke dieses Zimmers sind wärmeisoliert, so dass durch Boden und Decke kein Wärmefluß stattfindet. Die Außenluft (Umgebungsluft) hat die Temperatur Tu, die Zimmertemperatur ist TZ. Der Wärmeübergangkoeffizient der Außenluft zur Außenwand ist ala [Watt/(m^2 * Grad], Der Wärmeübergangkoeffizient der Innenluft zur Innenwand ist ali, [Watt/(m^2 * Grad] Die Wand ist homogen aufgebaut, also aus einheitlichem Material Die Dichte des Wandmaterials ist row [kg/m^3], die Dichte der Zimmerluft ist roz [kg/m^3]. De Wärmeleitungskoeffizient des Wandmaterials ist lam [Watt/(m*Grad)] Die Zimmerluft kann mit der Leistung P [Watt] geheizt werden, wahlweise mit PI-Regler geregelt oder mit konstanter Heizleistung Pcon. Zum Aufstellen der DGLn wird der Energiesatz formuliert Erste Wandschicht, Temperatur T1: (A= gesamte Wandfläche = 4*L*h, s. Figur), Jede Wandschicht (Dicke d/4) hat den Wärmeinhalt pro Grad E = Spezifische Wärme * Masse = cw* row*4*l*h*d/4 = cw*row*l*h*d Die Wand hat die Fläche A= 4*L*h Wärmezufuhr von Außenluft = E * dt1/dt + Wärmefluß von Schicht 1 zur Schicht 2, in Formeln: ala * A * (TU-T1) = E * dt1/dt + lam * A* (T1-T2)/(d/4), oder A und E eingesetzt: a1a * 4*L*h * (Tu-T1) = cw*row*l*h*d * dt1/dt + lam* 4*L*h (d/4)* (T1-T2) und nach dt1/dt aufgelöst ergibt dt1/dt = (a1a * 4*L*h)/( cw*row*l*h*d) * (Tu-T1) ( lam*4*l*h*/( d/4 )/(cw*row*l*h*d /4)*(T2-T1 Der Faktor bei (Tu-T1) wird geschrieben als kuw= ala* 4 / ( cw*row*d) Der Faktor vor (T2-T1) wird kw = (lam*16)/(row*cw*d*d) Damit lautet die DGL für die Temperatur T1

2 Prof. Dr. R. Kessler, C:\ro\Si05\RT3\WAERME\ZimHeizSonne2.doc, S. 2/7 dt1/dt = kuw * (Tu-T1) + kw* (T1-T2) Vierte Wandschicht: Für die Temperatur T4 ergibt sich eine ähnliche Gleichung (allerdings a dt4/dt = kw* (T3-T4) + kwz * (T4-TZ) mit kwz= ali * 4 / (row*cw*d) Innenschichten : Zweite Schicht kw* (T1-T2) = dt2/dt + kw*(t2-t3) oder als DGL für T2: dt2/dt = kw*(t1-2*t2 + T3) und entsprechend dt3/dt = kw*(t2-2*t3 + T4) Zimmerluft: Die Energiebilanz für die Temperatur TZ der Zimmerluft lautet Wärmefluß von der Wand + Heizleistung P = cz*roz*l*l*h * dtz/dt oder ali*4*l*h*(t4-tz) + P = cz*roz*l*l*h * dtz/dt oder nach dtz/dt aufgelöst dtz/dt = kz *(T4 - TZ) + kp * P mit kwz=ali*4/(roz*cz*l) und kp=1/(roz*cz*l*l*h) Simulation mit Tephys Hinweis: Die oben eingeführten Abkürzungen kuw. kw, kwz, kz, kp werden mit 3600 multipliziert. Dadurch ist die in sec angezeigte Zeit in Wirklichkeit die Zeit in Stunden Datei Zihzh1.txt 1 ato=ar*ja(t-t1)*ja(t2-t) { ar= Sinusamplitude für die Temperatur Tu der Umgebungsluft.Sie ist nur ungleich null im Zeitbereich t1 [Stunde] bis t2 [Stunde] } 2 Tu=Tu0+aTo*sin(2*pi*f*t) {Tu= Umgebungstemperatur, Tu0 konstanter Wert, f= 1/24= =Frequenz [1/Stunde], also Periode=1 Tag =24 h} 3 kuw=ala*4*3600/(row*cw*d) { ala= Wärmeübergangszahl Umgebungsluft.. Außenwand [Watt/(Grad*m^2)], row= Dichte des Wandmaterials [kg/m^3], cw= spezifische Wärmekapazität des Wandmaterials [Joule/(kg*Grad)]} 4 kw=lam*16*3600/(row*cw*d*d) { lam= Wärmeleitzahl des Wandmaterials in [Watt/(m*Grad)] } 5 kwz=ali*4*3600/(row*cw*d) { ali= Wärmeübergangszahl Innenwand Innenluft [Watt/(Grad*m^2)], d= Wandstärke [m]} 6 kz=ali*4*3600/(roz*cz*l) { roz= Dichte der Zimmerluft [kg/(m^3)], cz= spezifische Wärmekapazität des Wandmaterials [Joule/(kg*Grad)], L= Zimmerbreite [m] } 7 kp=3600/(roz*cz*l*l*h) { h = Zimmerhöhe [m]} 8 T1=T1+(kUW*(Tu-T1)-kW*(T1-T2))*dt { T1= Temperatur [Grad] der 1.Wandschicht, T2= Temperatur [Grad] der 2.Wandschicht dt= zeitliche Schrittweite [Stunde]} 9 T2=T2+kW*(T1-2*T2+T3)*dt { T3= Temperatur [Grad]der 3.Wandschicht } 10 T3=T3+kW*(T2-2*T3+T4)*dt { T4= Temperatur [Grad]der 4.Wandschicht } 11 T4=T4+(kW*(T3-T4)-kWZ*(T4-TZ))*dt { TZ=Temperatur [Grad] der Zimmerluft } 12 TZ=TZ+(kP*P+kZ*(T4-TZ))*dt { P= Heizleistung [Watt] für die Zimmerluft } 13 int=int+(ts-tz)*dt { TS= Sollwert [Grad] der Zimmerluft, TZ= Temperatur [Grad] der Zimmerluft} 14 P=ja(Reg)*begr(Ap*(TS-TZ+int/Ti),P0,0)+nein(Reg)*Pcon { bei Reg > 0 wird geregelt, bei Reg <= 0 wird nicht geregelt, Ap= Proportionalfaktor der PI-Regelung, Ti= Zeitkonstante

3 Prof. Dr. R. Kessler, C:\ro\Si05\RT3\WAERME\ZimHeizSonne2.doc, S. 3/7 des I-Anteils [Stunde], P0= Maximalwert der Heizleistung [Watt] bei Regelung, Pcon= Heizleistung [Watt] bei konstanter Heizleistung } 15 t=t+dt { dt = zeitliche Schrittweite [Stunde] } Kommentar in der Tephys-Datei: Heft 57, S. 108, Text Zi-Heiz-1..6, Heizungsregelung eines Zimmers bei Sonneneinstrahlung und instationärer Wärmeleitung durch die Wand (homogene Wand). Wand: Dicke d, eingeteilt in 4 Abschnitte (d/4) mit je konstanter Temperatu. T1 (außen) bis T4 (innen). ala bzw. ali= Waermeuebergangszahl außen bzw. innen. cw, cz = spez. Wärmekapazität Wand, bzw. Zimmerluft. row, roz = Dichte der Wand bzw. der Zimmerluft 4 Aussenwände: Länge L, Höhe h. Zimmer: kein Wärmeaustausch nach oben oder unten, sondern nur durch die 4 Wände. Heizung mit Heizleistung P [in Watt], geregelt mit PI-Regler (wenn Reg > 0) oder ungeregelt (wenn Reg <= 0) mit konstanter Heizleistung Pcon. Sonne: ar= Amplitude der Umgebungs-Luft-Temperatur. In der Zeit t1 bis t2 periodischer Temp.Verlauf mit Tagesperiode 1/f = 24 h.. Zeiteinheit so gewählt, dass die in sec angegebene Zeit gleich der Zeit in Stunden ist.

4 Prof. Dr. R. Kessler, C:\ro\Si05\RT3\WAERME\ZimHeizSonne2.doc, S. 4/7 Keine Zimmerheizung, Variation der Wandstärke d

5 Prof. Dr. R. Kessler, C:\ro\Si05\RT3\WAERME\ZimHeizSonne2.doc, S. 5/7 Konstante Heizleistung Pcon, so eingestellt, dass die mittlere Zimmertemperatur 20 Grad beträgt, Variation der Wandstärke d

6 Prof. Dr. R. Kessler, C:\ro\Si05\RT3\WAERME\ZimHeizSonne2.doc, S. 6/7 P-Regelung der Heizleistung, Sollwert TS= 20 Grad, Variation der Wandstärke d

7 Prof. Dr. R. Kessler, C:\ro\Si05\RT3\WAERME\ZimHeizSonne2.doc, S. 7/7 PI-Regelung der Heizleistung, Sollwert TS= 20 Grad, Variation der Wandstärke d