4.1. Nullhypothese, Gegenhypothese und Entscheidung

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1 rof. Dr. Roland Füss Statistik II SS 8 4. Testtheorie 4.. Nullhypothese, Gegenhypothese und Entscheidung ypothesen Annahmen über die Verteilung oder über einzelne arameter der Verteilung eines Merkmals in einer Grundgesamtheit. Es kann durch Testen nicht festgestellt werden, ob eine ypothese richtig oder falsch ist, sondern nur ob sie beibehalten oder verworfen werden kann. Annahme einer statistischen ypothese bedeutet immer

2 rof. Dr. Roland Füss Statistik II SS 8 nur: Die vorliegende statistische Evidenz reicht nicht aus, um die ypothese zu verwerfen. Beim Testen stehen sich zwei Behauptungen gegenüber die Nullhypothese ( ) und die Gegenhypothese oder Alternativhypothese ( ). : : θ θ θ θ Der Test führt zur Entscheidung über die Annahme oder Ablehnung der Nullhypothese. Dabei sind vier Fälle des Zusammentreffens von Realität und Testentscheidung möglich:

3 rof. Dr. Roland Füss Statistik II SS 8 Realität Testentscheidung beibehalten verworfen ist richtig o.k. Fehler. Art α-fehler ist falsch Fehler. Art β-fehler o.k. Quelle: Schira (3), S Fehler. Art: Die Nullhypothese wird verworfen, obwohl sie richtig ist. Fehler. Art: Die Nullhypothese wird angenommen, obwohl sie falsch ist. 3

4 rof. Dr. Roland Füss Statistik II SS 8 4. Tests für Mittel- und Anteilswerte (Ein-Stichproben-Fall) 4... eterograder Fall (Erwartungswerte) : : µ µ µ µ ( zweiseitige Fragestellung) µ > µ ( einseitige Fragestellung) µ < µ Aufgrund einer Stichprobe soll entschieden werden, ob die Nullhypothese zu verwerfen ist. Meistens wird man einen Stichprobenmittelwert finden, der von dem hypothetischen Wert µ abweicht. Dies bedeutet 4

5 rof. Dr. Roland Füss Statistik II SS 8 jedoch nicht, dass die Nullhypothese gleich verworfen werden soll. Die Abweichung könnte auch zufällig sein, d.h. durch ungünstige Auswahl der Stichprobenelemente beeinflusst werden. Erst wenn die Abweichung einen bestimmten kritischen Wert überschreitet, kann sie als signifikant von Null verschieden angesehen werden, die Nullhypothese wird dann verworfen zu Gunsten von Alternativhypothese. Zur Testentscheidung wird die Verteilung des Stichprobenmittelwertes herangezogen: 5

6 rof. Dr. Roland Füss Statistik II SS 8 Die Nullhypothese wird beibehalten, solange das mit dieser Stichprobe geschätzte Konfidenzintervall um den Stichprobenmittelwert den hypothetischen Wert µ enthält. Mit der Verteilung des Stichprobenmittelwertes X bei Gültigkeit von kann für x ein Annahmebereich und ein Ablehnungsbereich so bestimmt werden, dass die Wahrscheinlichkeit, mit der der Stichprobenmittelwert in den Ablehnungsbereich fällt (bei Gültigkeit der Nullhypothese), höchstens α beträgt. 6

7 rof. Dr. Roland Füss Statistik II SS 8 Die Wahrscheinlichkeit des Fehlers. Art α heißt auch Signifikanzniveau des Tests. rüfgröße (Teststatistik): T x µ X Die rüfgröße T ist bei kleinen Stichproben t-verteilt mit n- Freiheitsgraden und bei großen Stichproben (n > 3) standardnormalverteilt. 7

8 rof. Dr. Roland Füss Statistik II SS 8 Bei kleinen Stichproben wird die t-verteilung dann herangezogen, wenn die Varianz geschätzt werden muss. Voraussetzung dafür ist aber, dass man eine Normalverteilung des Merkmals in der Grundgesamtheit annehmen kann. Die Entscheidungsregel lautet - bei großen Stichproben: x µ > [ α / ] X x µ > [ α ] X T z bei zweiseitigentests T z bei einseitigentests verwerfen! 8

9 rof. Dr. Roland Füss Statistik II SS 8 rof. Dr. Roland Füss Statistik II SS 8 - bei kleinen Stichproben: [ ] [ ]! ˆ / ˆ verwerfen einseitige ntests bei t x T zweiseitig entests bei t x T n X n X > > α µ α µ 4... omograder Fall (Anteilswerte) In der Nullhypothese wird behauptet, dass der Anteilswert einer Grundgesamtheit () gleich dem hypothetischen Anteilswert ist: 9

10 rof. Dr. Roland Füss Statistik II SS 8 rof. Dr. Roland Füss Statistik II SS 8 ) ( ) ( : : Fragestellung einseitige Fragestellung zweiseitige < > Die Entscheidungsregel: [ ] [ ]! / verwerfen einseitigentests bei z h T zweiseitig entests bei z h T > > α α h: Anteilswert der Stichprobe

11 rof. Dr. Roland Füss Statistik II SS 8 Anmerkung: die Standardabweichung darf nicht mit dem Anteilswert der Stichproben (h) geschätzt werden, sondern ist mit dem hypothetischen Wert zu berechnen. ( ) n Bei großen Stichproben kann die Standardnormalverteilung verwendet werden. Bei kleinen Stichproben sollte man die Binomialverteilung nehmen.

12 rof. Dr. Roland Füss Statistik II SS 8 Der Binomialtest. linksseitiger Test: : : Die Nullhypothese wird verworfen, wenn ein kritischer Wert x unten unterschritten wird: ( X unten < x ) α. rechtsseitiger Test: : :

13 rof. Dr. Roland Füss Statistik II SS 8 Die Nullhypothese wird verworfen, wenn ein kritischer Wert x oben überschritten wird. ( X oben > x ) α 3. zweiseitiger Test: : : In diesem Fall braucht man zwei kritische Werte. Die Irrtumswahrscheinlichkeit wird aufgeteilt. ( X x ) α / und ( X > x ) α / < unten oben 3

14 rof. Dr. Roland Füss Statistik II SS Tests für Varianzen Nullhypothese: die Varianz einer Grundgesamtheit weicht nicht von einem vorgegebenen hypothetischen Wert ab. : : ( zweiseitige Fragestellung) > < ( einseitige Fragestellung) 4

15 rof. Dr. Roland Füss Statistik II SS 8 rof. Dr. Roland Füss Statistik II SS 8 Die Testgröße n S n χ ist Chi-Quadrat-verteilt mit n- Freiheitsgraden, wenn das Merkmal in der Grundgesamtheit normalverteilt ist. Die Entscheidungsregel: [ ] [ ]! / / verwerfen oder S n T n n > < α χ α χ mit n i x i x n S ) ( (Stichprobenvarianz) 5

16 rof. Dr. Roland Füss Statistik II SS 8 Die Nullhypothese wird verworfen, wenn die Testgröße das untere Quantil unterschreitet oder das obere überschreitet. 4.4 Vergleich zweier Erwartungswerte (Zwei-Stichproben-Fall, heterograd) Seien x und x Mittelwerte aus zwei unabhängigen Stichproben. Es soll getestet werden, ob die beiden Stichproben aus derselben Grundgesamtheit stammen (oder wenigstens aus Grundgesamtheiten mit gleichem Mittelwert). 6

17 rof. Dr. Roland Füss Statistik II SS 8 : : µ µ µ µ ( zweiseitige µ > µ ( einseitige µ < µ Fragestellung) Fragestellung) Bei großen Stichproben (n und n müssen groß sein) gilt der zentrale Grenzwertsatz und man kann die Normalverteilung anwenden. 7

18 rof. Dr. Roland Füss Statistik II SS 8 Die Entscheidungsregel lautet: T T x x x x > > z z [ α / ] [ α ] bei zweiseitigentests bei einseitigentests verwerfen! mit / n + / n 8

19 rof. Dr. Roland Füss Statistik II SS 8 Bei kleinen Stichproben (wenn geschätzt werden muss) ist die Testgröße t-verteilt mit n +n - Freiheitsgraden. Voraussetzung:. x x T t bei zweiseitigentests [ α / ] > n+ n ˆ x x [ α ] T > tn + n bei einseitigentests ˆ verwerfen! mit ˆ ˆ / n + ˆ / n 9

20 rof. Dr. Roland Füss Statistik II SS 8 rof. Dr. Roland Füss Statistik II SS Vergleich zweier Anteilswerte (homograd) ypothesen: ) ( ) ( : : Fragestellung einseitige Fragestellung zweiseitige < > Die Entscheidungsregel: [ ] [ ]! ˆ / ˆ verwerfen einseitige ntests bei z p p T zweiseitig entests bei z p p T R R > > α α

21 rof. Dr. Roland Füss Statistik II SS 8 ˆ mit R p( p)(/ n + / n ) 4.6. F-Verteilung Seien Q n und Q m zwei unabhängige Chi-Quadrat-verteilte Zufallsvariablen. Die Verteilung des Quotienten Z nennt man dann F-Verteilung mit n und m Freiheitsgraden:

22 rof. Dr. Roland Füss Statistik II SS 8 Z Q n n Q m m ~ F n,m mit n: Anzahl der Zählerfreiheitsgrade und m: Anzahl der Nennerfreiheitsgrade Der Erwartungswert und die Varianz werden wie folgt bestimmt: E m m [ Z ] falls m 3

23 rof. Dr. Roland Füss Statistik II SS 8 V m [ Z ] falls m 5 n( m ( n + m ) ( m ) 4) Die F-Verteilung ist eine stetige Verteilung. Sie ist asymmetrisch rechtsschief (linkssteil). 3

24 rof. Dr. Roland Füss Statistik II SS 8 Für große m lässt sich die F-Verteilung durch die Chi-Quadrat-Verteilung approximieren. 4

25 rof. Dr. Roland Füss Statistik II SS 8 Die F-Verteilung wird zum Vergleich von Streuungen verwendet. 4.7 Vergleich zweier Varianzen Annahme: die Stichprobenvarianzen s und s stammen aus zwei verschiedenen unabhängigen Stichproben. In der Nullhypothese wird behauptet, dass die beiden Stichproben aus derselben Grundgesamtheit stammen: : Die Testgröße ist F-verteilt mit den Freiheitsgraden n und n. 5

26 rof. Dr. Roland Füss Statistik II SS 8 Voraussetzung: das Merkmal ist in der Grundgesamtheit normalverteilt mit der Varianz. Die Nullhypothese wird verworfen, wenn die Testgröße das untere α/- Quantil unterschreitet oder das obere (- α/)-quantil überschreitet. Die Entscheidungsregel: T n s n n s n < > F F [ α / ] [ α / ] oder verwerfen! 6

27 rof. Dr. Roland Füss Statistik II SS 8 Im Zähler und im Nenner sind erwartungstreue Schätzwerte der Varianzen. 4.8 Signifikanzniveau und Überschreitungswahrscheinlichkeit Bisher: das Signifikanzniveau α wurde immer vor dem Testen festgelegt. Nachteil: für die Testentscheidung spielt es dann keine Rolle, ob die Teststatistik (rüfgröße T) weit im Annahmebereich oder nur knapp an der kritischen Grenze liegt. 7

28 rof. Dr. Roland Füss Statistik II SS 8 Alternative Möglichkeit wäre die Abweichung zwischen hypothetischem Wert des arameters und dem Stichprobenergebnis zu berücksichtigen und die Wahrscheinlichkeit anzugeben, mit der das Stichprobenergebnis bei Gültigkeit der Nullhypothese den kritischen Wert überoder unterschreiten würde. Vorteil: Vermeidung der willkürlichen Festlegung eines Signifikanzniveaus und effizientere Nutzung der Stichprobeninformationen. 8

29 rof. Dr. Roland Füss Statistik II SS 8 Definition: Die Überschreitungswahrscheinlichkeit (-Wert, probability value) ist das Signifikanzniveau, bei dem die Testgröße T auf den kritischen Wert fällt. -Wert wird auch als empirisches Signifikanzniveau bezeichnet. Je kleiner der -Wert, desto eher wird man die Nullhypothese verwerfen. 9

30 rof. Dr. Roland Füss Statistik II SS Macht und Trennschärfe eines Tests Ein Test ist umso trennschärfer, je zuverlässiger man mit ihm erkennen kann, ob eine ypothese richtig oder falsch ist. Idealer Test: α β. Nur in diesem Fall könnte die Nullhypothese mit Wahrscheinlichkeit Eins verworfen oder angenommen werden. In der Realität ist jedoch ein solcher Test unmöglich! 3

31 rof. Dr. Roland Füss Statistik II SS 8 Ist für den Test ein kleines Signifikanzniveau α (z.b. von %) gewählt, wird es immer problematisch die Nullhypothese zu verwerfen, wenn θ nur wenig größer als θ ist. Wie schnell bei einem konkreten Test die Ablehnungswahrscheinlichkeit zunimmt, ist für seine Brauchbarkeit ganz entscheidend, deswegen wird diese Eigenschaft die Macht oder die Güte eines Tests genannt. 3

32 rof. Dr. Roland Füss Statistik II SS 8 Definition: Die Funktion G(θ) ( verwerfen θ), welche die Wahrscheinlichkeit die Nullhypothese zu verwerfen in Abhängigkeit vom wahren arameter θ angibt, heißt Machtfunktion oder Gütefunktion des Tests. Die Machtfunktion G hängt von den arametern µ, µ,, n und α ab. 3

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