4. Übung zur Mathematik für Physiker, Informatiker und Ingenieure I Lösungshinweise
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- Teresa Neumann
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1 Universität Würzburg Institut für Mathemati Dr. G. Dirr PD Dr. K. Hüper, S. Mutzbauer Winterersemester 2009/2010 Würzburg, den Übung zur Mathemati für Physier, Informatier und Ingenieure I Lösungshinweise 4.1. (a) (b) Indutionsanfang: Für n = 1 gilt ( ) = = 1 = 1 4. =0 Indutionsvoraussetzung: Sei die Behauptung richtig für ein n, d.h. es gelte für eben dieses onrete n 1 + ( ) = n 4. =0 Indutionschluss: n ( ) =0 = ( 4(n + 1) 3 6(n + 1) 2 + 4(n + 1) 1 ) (IV) = ( 4(n + 1) 3 6(n + 1) 2 + 4(n + 1) 1 ) + n 4 = 1 + 4n + 6n 2 + 4n 3 + n 4 = (1 + n) 4 Für n = 1 gilt n 2 = 1 2 = 2 n, für n = 2 gilt n 2 = 4 = 2 n, für n = 3 gilt n 2 = 9 > 8 = 2 n. ( ) =0 Also gilt die Behauptung zunächst einmal für n = 1, 2 aber nicht für n = 3. Wir zeigen per Indution, dass die Behauptung für alle n 4 gilt: Indutionsanfang: Für n = 4 gilt n 2 = 16 = 2 n. Indutionsvoraussetzung: Sei die Behauptung richtig für ein n N, d.h. es gelte n 2 2 n.
2 Indutionschluss: Die Ungleichung ( ) gilt für n 4. (n + 1) 2 = n 2 + 2n + 1 ( ) 2n 2 (IV) 2 2 n = 2 n+1 Folglich gilt die Abschätzung n 2 2 n für alle n N \ {3} (a) Hier brauchen wir eine Indution bemühen, die Gleichung läßt sich einfach nachrechnen. Es gilt ( ) ( ) n n n! + = 1 ( 1)!(n + 1 )! + n!!(n )! = n! n!(n + 1 ) +!(n + 1 )!!(n + 1 )! ( ) n!( + n + 1 ) (n + 1)! n + 1 = = (n + 1 )!! (n + 1 )!! =. (b) Indutionsanfang: Für n = 1 gilt (a + b) n = a + b = 1 =0 ( ) 1 a b 1. Indutionsvoraussetzung: Sei die Behauptung richtig für ein n N, d.h. es gelte Indutionschluss: (a + b) n = =0 a b n. (a + b) n+1 = (a + b)(a + b) n (IV) = (a + b) Teilaufgabe (a) =0 a b n = a +1 b n + a b n +1 =0 =0 n 1 ( n a +1 b n + =0 =1 a b n =1 =1 ( + 1 =1 + 1 a b n +1 + b n+1 = =1 n a b n (a) Für die Additions- und Multipliationstabelle in Z 3 gilt: =0 ) a b n +1 + b n+1 a b n +1 + b n+1 ( )) n a b n +1 + b n+1
3 + [0] [1] [2] [0] [0] [1] [2] [1] [1] [2] [0] [2] [2] [0] [1] [0] [1] [2] [0] [0] [0] [0] [1] [0] [1] [2] [2] [0] [2] [1] Für die Additions- und Multipliationstabelle in Z 4 gilt: + [0] [1] [2] [3] [0] [0] [1] [2] [3] [1] [1] [2] [3] [0] [2] [2] [3] [0] [1] [3] [3] [0] [1] [2] [0] [1] [2] [3] [0] [0] [0] [0] [0] [1] [0] [1] [2] [3] [2] [0] [2] [0] [2] [3] [0] [3] [2] [1] (b) Wir zeigen, dass (Z 3, +, ) ein Körper ist (somit ist Z 3 automatisch ein ommutativer Ring mit Eins): (K1) (Z 3, +) ist eine abelsche Gruppe, weil Z 3 und (G0),(G4) + ist eine innere und ommutative Vernüpfung, da für alle x, y Z 3 gilt x+y = y + x Z 3, siehe Additionstafel. (G2) Neutrales Element: Für alle x Z 3 gilt [0] + x = x, siehe Additionstafel. D.h. [0] ist das neutrale Element bzgl. der Addition. (G3) Inverse Elemente: Für alle x Z 3 existiert ein inverses Element ( negatives Element) mit y + x = [0], nämlich für x = [0] ist es y = [0], für x = [1] ist es y = [2], für x = [2] ist es y = [1], siehe Additionstafel. (K2) (Z 3 \ {[0]}, ) ist eine abelsche Gruppe, weil Z 3 \ {[0]} und (G0),(G4) ist eine innere und ommutative Vernüpfung, da für alle x, y Z 3 gilt x y = y x Z 3, siehe Multipliationstafel. (G2) Neutrales Element: Für alle x Z 3 \ {[0]} gilt [1] x = x, siehe Multipliationstafel. D.h. [1] ist ein (lins-)neutrales Element bzgl. der Multipliation. (G3) Inverse Elemente: Für alle x Z 3 \ {[0]} existiert ein inverses Element mit y x = [1], nämlich für x = [1] ist es y = [1], für x = [2] ist es y = [2], siehe Multipliationstafel. (K3) Distributivität: Muss nicht gezeigt werde. Wir zeigen, dass Z 4 ein ommutativer Ring mit Eins ist, aber ein Körper: (K1) (Z 4, +) ist eine abelsche Gruppe, weil Z 3 und (G0),(G4) + ist eine innere und ommutative Vernüpfung, da für alle x, y Z 4 gilt x+y = y + x Z 4, siehe Additionstafel.
4 (G2) Neutrales Element: Für alle x Z 4 gilt [0] + x = x, siehe Additionstafel. D.h. [0] ist das neutrale Element bzgl. der Addition. (G3) Inverse Elemente: Für alle x Z 4 existiert ein inverses Element ( negatives Element) mit y + x = [0], nämlich für x = [0] ist es y = [0], für x = [1] ist es y = [3], für x = [2] ist es y = [2], für x = [3] ist es y = [1], siehe Additionstafel. (K2) (Z 4, ) ist eine Halbgruppe mit dem neutralen Element [1], weil Z 4 \ {[0]} und (G0),(G4) ist eine innere und ommutative Vernüpfung, da für alle x, y Z 4 gilt x y = y x Z 4, siehe Multipliationstafel. Weiterhin gilt (G2) Neutrales Element: Für alle x Z 4 \ {[0]} (d.h. alle Elemente außer dem neutralen Element der additiven Gruppe (Z 4, +) ) gilt [1] x = x, siehe Multipliationstafel. D.h. [1] ist neutrales Element bzgl. der Multipliation. (K3) Distributivität: Muss nicht gezeigt werde. Hinweis: Die Eigenschaft (G3) gilt nicht, da z.b. das Element [2] ein inverses Element besitzt, also ist (Z 4, +, ) ein Körper. (c) In Z 3 gilt [2] [0] + [2] = [2] [0], [2] [1] + [2] = [1] [0], [2] [2] + [2] = [0], also ist in Z 3 die Gleichung [2] x + [2] = [0] nur für x = [2] erfüllt. In Z 4 gilt [2] [0] + [2] = [2] [0], [2] [1] + [2] = [0], [2] [2] + [2] = [2] [0], [2] [3] + [2] = [0], also ist in Z 4 die Gleichung [2] x + [2] = [0] für x = [1] und x = [3] erfüllt. (d) In Z 3 gilt [0] 2 + [2] [0] + [1] = [1] [0], [1] 2 + [2] [1] + [1] = [1] [0], [2] 2 + [2] [2] + [1] = [0], also ist in Z 3 die Gleichung x 2 + [2] x + [1] = (x + [1]) 2 nur für x = [2] erfüllt. (Alternativ ann man auch argumentieren, dass x 2 + [2] x + [1] = (x + [1]) 2 und da (Z 3, +, ) als Körper nullteilerfrei ist, folgt x = [1] = [2].) In Z 4 gilt [0] 2 + [2] [0] + [1] = [1] [0],
5 [1] 2 + [2] [1] + [1] = [0], [2] 2 + [2] [2] + [1] = [1] [0], [3] 2 + [2] [3] + [1] = [0], also ist in Z 4 die Gleichung x 2 + [2] x + [1] für x = [1] und x = [3] erfüllt. (e ) Sei [n] = [n ] und [m] = [m ], also p (n n ) und p (m m ). Folglich gibt es n, m Z, so dass n n = n p und m m = m p und somit n = n + n p und m = m + m p. Es gilt (m + n) p (m + n ), da m + n (m + n ) = m + m p + n + n p m n = ( m + n )p, also p ( m + n (m + n ) ). Folglich ist [n + m] = [n + m ]. Es gilt (m n) p (m n ), da m n (m n ) = (m + m p)(n + n p) m n = m n + m n p + m n p + m n p 2 m n = ( m n + m n + m n p)p, also p ( m n (m n ) ). Folglich ist [n m] = [n m ].
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