Klausur zu Methoden der Statistik II (mit Kurzlösung) Wintersemester 2015/2016. Aufgabe 1

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1 Lehrstuhl für Statistik ud Ökoometrie der Otto-Friedrich-Uiversität Bamberg Prof. Dr. Susae Rässler Klausur zu Methode der Statistik II (mit Kurzlösug) Witersemester 2015/2016 Aufgabe 1 Die leideschaftliche Jodel-Useri Charlotte liest i eiem Olieartikel zum Thema soziale Iteraktioe, dass 55% aller Social Media Nutzer keie Gebrauch vo Jodel mache. Des Weitere wird dari behauptet, vo de Nutzer verwede 25% ur Jodel ud keie der übrige bekate soziale Medie. Dagege solle 40% ur die übrige Plattforme gebrauche ud icht Jodel. a) Bestimme Sie die Wahrscheilichkeit dafür, dass... i)... eie zufällig ausgewählte Perso sowohl Jodel als auch die weitere bekate soziale Medie utzt. ii)... eie aus dem Kreis der Nutzer der übrige soziale Medie zufällig ausgewählte Perso, gleichzeitig Jodel verwedet. Der Ihalt des Artikels versetzt Charlotte i Erstaue. Nach eiige Überleguge glaubt sie jedoch die Ursache zu kee: Jodel-User treffe eie systematische Auswahl, idem sie überwieged dort aktiv sid, wo sich juge Altersgeosse tummel. Ihre Vermutug lässt ihr keie Ruhe, sodass sie mithilfe eier eifache Stichprobe vo 200 Olie-Kommetare zum Artikel otiert, ob der jeweilige Nutzer eher jug (uter 25 Jahre) ist oder ob er eher alt (25 Jahre ud älter) ist. Sie erhält folgede Tabelle: Jodel-User Nutzer übriger Social Media Σ jug (uter 25 Jahre) alt (25 Jahre ud älter) Σ b) Nee Sie eie geeigete statistische Test, mit dem Charlotte ihre Vermutug überprüfe ka. c) Teste Sie mithilfe des i Teilaufgabe b) geate Verfahres zu eier Irrtumswahrscheilichkeit vo 1% die Aahme vo Charlotte. Iterpretiere Sie Ihr Testergebis ihaltlich.

2 Aufgabe 2 Vo sechs Studierede liege Date zur durchschittliche Aweseheitsdauer im Fitessstudio X (i Stude/Woche) ud der Azahl a Burpees Y vor, die sie im Rahme eies Fitesstests mit aschließeder Befragug geschafft habe. Es wird vereifached davo ausgegage, dass Y i = β 0 +β 1 x i +U i, für i = 1,..., ud U i N(0, σ 2 ). Die sechs Studierede stamme aus eier eifache Zufallsstichprobe. i x i 1,8 0,5 0 2,6 2,4 1,7 y i Des Weitere sei bekat, dass ȳ = 39, 6 (x i x)(y i ȳ) = 45, 9 ud 6 (y i ŷ i ) 2 = 243, 85. a) Schätze Sie β 0 ud β 1 mit Hilfe der Kleist-Quadrat-Methode ud iterpretiere Sie de Schätzer für β 1. [Ersatzergebis für achfolgede Teilaufgabe: ˆβ0 = 26, 25 ud ˆβ 1 = 8, 5] b) Nu soll utersucht werde, ob es eie positive Zusammehag zwische der Aweseheit im Fitessstudio ud der Azahl der geschaffte Burpees gibt. Überprüfe Sie die Hypothese ahad eies geeigete Tests bei eier Irrtumswahrscheilichkeit vo α = 0, 05. Nutze Sie hierzu optioal die Date des folgede R-Outputs. Coefficiets: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Itercept) * x Residual stadard error: o 4 degrees of freedom Multiple R-squared: ,Adjusted R-squared: F-statistic: 6.4 o 1 ad 4 DF, p-value: c) Progostiziere Sie die (ugerudete) Puktzahl eies Studete, der im Mittel eie Stude pro Woche das Fitessstudio besucht hat. d) Ermittel Sie ferer de zugehörige zetrale 95%-Kofidezitervall-Schätzer für die Progose Ŷ (1).

3 Aufgabe 3 Seit Mitarbeitergedeke wird im Keller der Uiversität i eiem uralte große Eichebottich ei Vorrat vo 5000 Statistikaufgabe aufbewahrt. 750 dieser Aufgabe gelte als uglaublich schwere Aufgabe. Jeweils zu Vollmod zieht eie Mitarbeiteri des Lehrstuhls 25 Aufgabe für de alltägliche Gebrauch zufällig aus dem Bottich. a) Wie ud mit welche Parameter ist die Zufallsvariable X Azahl der uglaublich schwere Klausure verteilt? b) Prüfe Sie die Approximatiosbediguge für eie mögliche Approximatio ud bestimme Sie die Wahrscheilichkeit dafür, dass sich i der Stichprobe midestes 12 uglaublich schwere Aufgabe befide. Eie eue EU-Regelug aus Brüssel sieht vor, dass durchschittlich midestes 22 Prozet der Aufgabe als uglaublich schwere Aufgabe gelte sollte, asoste muss der Aufgabepool agepasst werde. Eie weitere Stichprobe aus dem Bottich vom Umfag =25 ergibt u ei ˆp vo 0, 17. c) Welcher Hypothesetest sollte durchgeführt werde, um zu kläre, ob der Aufgabepool agepasst werde muss? Überprüfe Sie zudem die Voraussetzug für die Durchführug des Hypothesetests. d) Formuliere Sie die Null- ud Alterativhypothese ud führe Sie da de Test durch (α = 0, 05). Iterpretiere Sie Ihr Ergebis am Sachverhalt. e) Hätte ma sich de Test agesichts der Iformatioe i der Aufgabestellug spare köe? Begrüde Sie kurz Ihre Atwort.

4 Aufgabe 4 Us liegt eie Stichprobe vom Umfag = 4 zum Merkmal Y, Preise vo Badarmature, vor: i y i Wir gehe davo aus, dass die Beobachtuge uabhägig ud idetisch (äherugsweise) ormalverteilt mit y i N(µ, σ 2 ) sid. a) Stelle Sie die Likelihood- ud die Loglikelihood-Fuktio für µ ud σ 2 auf. Zeige Sie aschließed, dass sich der Maximum-Likelihood (ML)-Schätzer für σ 2 durch 1 (y i ˆµ ML ) 2 ergibt, wobei ˆµ ML = ȳ der ML-Schätzer für µ ist. b) Bereche Sie de ML-Schätzer für σ 2 für die kokrete Stichprobe. c) Erläuter Sie ahad des obige Schätzers kurz, was damit gemeit ist, dass Maximum-Likelihoodschätzer asymptotisch uverzerrt sid ud korrigiere Sie de ML-Schätzer mit eiem geeigete Faktor, damit er de uverzerrte Schätzer S 2 ergibt. d) Ermittel Sie das zetrale 95%-Kofidezitervall für die Variaz σ 2 [Ersatzergebis, falls Sie c) icht löse kote: S 2 = 150, 3]. e) Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass der wahre Parameter σ 2 im realisierte Kofidezitervall liegt?

5 Aufgabe 1 Lösug a) J: Social Media Nutzer verwedet Jodel J: Social Media Nutzer verwedet Jodel icht W : Social Media Nutzer verwedet die übrige bekate Medie W : Social Media Nutzer verwedet die übrige bekate Medie icht i) P (J W ) = 0, 2 ii) P (J W ) = P (J W ) P (W ) = 1 3 b) Geeigeter Test: χ 2 - Uabhägigkeitstest. c) Hypothese: H 0 : p ij = p i. p.j H A : p ij p i. p.j (Uabhägigkeit der 2 Verteiluge) Prüfgröße ud Prüfverteilug: Die Prüffuktio lautet: χ 2 = l j=1 k ( ij.j i. ) 2.j i. Uter H 0 ist das Prüfmaß approximativ χ 2 -verteilt mit (k 1) (l 1) = (2 1)(2 1) = 1 Freiheitsgrad. Approximatiosregel: Die Approximatio ist gut, falls 1. allgemei: ij 10 für alle i ud j hier: kleister Wert erfüllt! 2. sowie i..j 5 für alle i ud j; hier: ergibt sich für de kleiste Wert: 2..2 = 13, 5 5 erfüllt! Etscheidugsregel: H 0 ist zu verwerfe, falls die Prüffuktio χ 2 1 α;(k 1)(l 1) = χ2 0,99;1 = 6, 63 ist. Rechug: χ 2 = 81, 211 Etscheidug ud Iterpretatio: Da χ 2 = 81, 211 > 6,63 ist, wird die H 0 (auf eiem Sigifikaziveau vo α = 0, 01) verworfe. Die vorliegede Stichprobe deutet demach auf eie Zusammehag zwische dem User-Typ ud der Alterszugehörigkeit hi. Es köte allerdigs ei Fehler 1. Art (α-fehler) vorliege: Die H 0 wurde verworfe, ist aber doch richtig.

6 Aufgabe 2 Lösug a) ˆβ 1 = 8, 5 ud ˆβ 0 = 26, 25. Iterpretatio vo ˆβ 1 : Mit jeder zusätzliche Stude, die die Studierede im Fitessstudio pro Woche verbrige, erhöht sich die Azahl a geschaffte Burpees im Durschitt um 8,5. b) Hypothesepaar: H 0 : ˆβ 1 0 vs. H A : ˆβ 1 > 0 Eiseitiger t-test mit α = 0, 05 Kritischer Bereich: ˆβ 1 0 V ar ˆβ 1 > t 1 α; 2 Testgröße: ˆβ 1 0 V ar ˆβ 1 = 2, 530 (aus R-Output) Kritische Schrake: t 0.95;4 = 2, 132 Ergebis: Die Nullhypothese, dass ei egativer bzw. kei Eifluss vorliegt, ka abgeleht werde ud wir ehme mit eier Irrtumswahrscheilichkeit vo 5% a, dass es eie positive Zusammehag zwische jodel ud Klausurergebis gibt. c) ŷ(1) = ˆβ 0 + ˆβ 1 1 = 34, 75 d) Variaz der Stichprobefuktio: V ar (ŷ(1)) = 12, 98 Realisiertes KI: ŷ(1) ± t 0,975;4 12, 98 [ 34, 75 2, , 98 = 24, 75; 34, , , ] 98 = 44, 75

7 Aufgabe 3 Lösug a) X Hyp( = 25, N = 5000, M = 750) b) 1. Approximatio durch Normalverteilug: p = 750 = 0, 15 erfüllt da 0, 1 p = 0, 15 0, p(p 1) N = 3, 1722 < 9 Bedigug icht erfüllt N 1 2. Aprroximatio durch Biomialverteilug N = = 0, 005 < 0, 05 Bedigug erfüllt Es gilt approximativ: X Bi( = 25, p = 0, 15) P (X 12) = 1 P (X 11) = 1 0, 9999 Die approximative Wahrscheilichkeit, dass sich midestes 12 uglaublich schwere Aufgabe i der Auswahl befide, beträgt 0, 01 %. c) Approximativer Ateilswerttest Gegebe ist eie AoZ Es liegt aber ei kleier Auswahlsatz (0, 005) vor, so dass die stochastische Abhägigkeite verachlässigbar sid. Test ka durchgeführt werde. d) Hypothese: H 0 = p p 0 mit p 0 = 0, 22 H A = p > p 0 Teststatistik: p p 0 = 0, 6035 p0 (1 p 0 ) Etscheidug: H 0 wird icht verworfe, weil 0, 6035 > λ 1 α = 1, 6448 Iterpretatio: Das Ergebis des Tests liefert keie Hiweis, dass der wahre (ubekate) Wert vo p im Bottich über 0,22 liegt. Es besteht die Möglichkeit eies β Fehlers, der icht quatifizierbar ist. e) Der Test ist überflüssig, da bereits i der Aufgabestellug die Iformatio gegebe ist, dass sich im Bottich ur p = 0, 15 uglaublich schwere Klausuraufgabe befide (wahrer Parameter der Gesamtheit ist also bekat). Der Aufgabepool müsste also agepasst werde.

8 Aufgabe 4 Lösug a) Likelihood: L(µ, σ 2 ; y 1,..., y ) = [(2πσ 2 ) 1 2 e 1 2σ 2 (y i µ) 2] Log-Likelihood: ll(µ, σ 2 ; y 1,..., y ) = 2 l(2π) 2 l(σ2 ) 1 2σ 2 (y i µ) 2 Partielle Ableitug ach σ 2 : δll(µ, σ 2 ; y 1,..., y ) = δσ 2 2σ σ 4 (y i µ) 2 Nullsetze/ML-Schätzer bestimme: 2 ˆσ ˆσ 4 (y i ˆµ) 2 = 0 ˆσ 2 = 1 (y i ȳ) 2 b) ȳ = 42, 5 ud ˆσ 2 = 112, 75. c) Der ML-Schätzer für σ 2 ist verzerrt, allerdigs geht die Verzerrug mit steigedem Stichprobeumfag gege 0. S 2 = σ 2 1 ML = 150, 3 d) KI = [48,2353; 2049,9995] e) 1 oder 0 der Parameter ist im KI ethalte oder icht.