Lehrstuhl für Statistik und emp. Wirtschaftsforschung, Prof. R. T. Riphahn, Ph.D. Bachelorprüfung, Praxis der empirischen Wirtschaftsforschung

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1 Lehrstuhl für Statstk und emp. Wrtschaftsforschung, Prof. R. T. Rphahn, Ph.D. Bachelorprüfung, Praxs der emprschen Wrtschaftsforschung Fach: Prüfer: Bachelorprüfung Praxs der emprschen Wrtschaftsforschung Prof. Regna T. Rphahn, Ph.D. Name, Vorname Matrkelnr. E-Mal Studengang Semester Datum Raum Unterschrft Vorbemerkungen: Anzahl der Aufgaben: De Klausur besteht aus 6 Aufgaben, de alle bearbetet werden müssen. Bewertung: Erlaubte Hlfsmttel: Wchtge Hnwese: Es können maxmal 9 Punkte erworben werden. De Punktzahl st für jede Aufgabe n Klammern angegeben. Se entsprcht der für de Aufgabe empfohlenen Bearbetungszet n Mnuten. Formelsammlung (st der Klausur begefügt) Tabellen der statstschen Vertelungen (snd der Klausur begefügt) Taschenrechner Fremdwörterbuch Sollte es vorkommen, dass de statstschen Tabellen, de deser Klausur belegen, den exakten Wert der Frehetsgrade ncht auswesen, machen Se des kenntlch und verwenden Se den nächstgelegenen Wert. Sollte es vorkommen, dass be ener Berechnung ene erforderlche Informaton fehlt, machen Se des kenntlch und treffen Se für den fehlenden Wert ene plausble Annahme. 1/8

2 Lehrstuhl für Statstk und emp. Wrtschaftsforschung, Prof. R. T. Rphahn, Ph.D. Bachelorprüfung, Praxs der emprschen Wrtschaftsforschung Aufgabe 1: [11 Punkte] Se vermuten, dass das Nveau der Wohnungsmeten n Unverstätsstädten unter anderem vom Antel der Studerenden an den Enwohnern abhängt. Ihnen legen Daten für 64 amerkansche Unverstätsstädte vor, mt denen Se folgendes schätzen: rent = β + β1 pctstu + β avgnc rent = durchschnttlch zu zahlende Mete pro Wohnung n US-Dollars pctstu = Antel der Studerenden an den Enwohnern gemessen n Prozent (-1%) avgnc = durchschnttlches Jahresenkommen pro Enwohner n 1 US-Dollars SPSS lefert Ihnen folgenden Output: ANOVA(b) Quadratsu mme df Mttel der Quadrate F Sgnfkanz 1 Regresson 3789, ,199 47,389,(a) Resduen 4347, ,345 Gesamt 6176,43 63 a Enflußvarablen : (Konstante), avgnc, pctstu b Abhängge Varable: rent Koeffzenten(a) Ncht standardserte Koeffzenten Standardsert e Koeffzenten Standardfe B hler Beta T Sgnfkanz 1 (Konstante) 78,64 39,59 1,97,53 pctstu 1,699,68,33,797,7 avgnc 1,567 1,91,811 9,734, a Abhängge Varable: rent a) Interpreteren Se de Größe der Koeffzenten von pctstu und avgnc. ( Punkte) b) Berechnen Se das 95% Konfdenzntervall für den Koeffzenten von avgnc. (3 Punkte) c) Berechnen und nterpreteren Se den R - Wert. ( Punkte) d) We ändern sch jewels ˆ β, se( ˆ β ) und der p-wert von ˆ β, wenn das durchschnttlche Jahresenkommen pro Enwohner n $ statt n 1 $ gemessen wäre? Beenflusst dese Transformaton auch de Schätzgüte des s? (4 Punkte) Aufgabe : [8 Punkte] Se entschleßen sch, de abhängge Varable rent n logarthmerter Form zu verwenden: log( rent) = β + β1 pctstu + β avgnc De Schätzung lefert folgende Ergebnsse: /8

3 Koeffzenten(a) Ncht standardserte Koeffzenten Standardsert e Koeffzenten Standardfe B hler Beta T Sgnfkanz 1 (Konstante) 5,339,85 63,15, pctstu,4,1,7 3,86,3 avgnc,4,3,776 8,86, a Abhängge Varable: log(rent) a) Interpreteren Se erneut de Größe der Koeffzenten von pctstu und avgnc. ( Punkte) b) Testen Se anhand enes t-tests am 5% Sgnfkanznveau, ob der Koeffzent von avgnc sgnfkant größer Null st. Geben Se de Null- und Alternatvhypothese, de Teststatstk, den krtschen Wert der t- Vertelung, de Anzahl der Frehetsgrade sowe de Testentschedung an. (3 Punkte) c) We hoch st laut desem de erwartete Durchschnttsmete n ener Unverstätsstadt n der 3% der Enwohner Studerende snd und das jährlche Durchschnttsenkommen pro Kopf $ beträgt? Hnwes: es glt ˆ σ =, (3 Punkte) Aufgabe 3: [13 Punkte] Se möchten untersuchen, wovon das Rauchverhalten abhängt. Dazu betrachten Se Daten zu 87 Indvduen und schätzen das : cgs = β + β1 educ + β male + β 3 age + β 4 age + β 5 log( ncome) cgs = Anzahl gerauchter Zgaretten pro Tag educ = Anzahl n Ausbldung verbrachter Jahre male = 1 wenn männlch, = wenn weblch age = Alter n Jahren age = Alter n Jahren quadrert log(ncome) = Logarthmertes Jahresenkommen n US-Dollars SPSS lefert Ihnen folgenden Output: ANOVA(b) Quadratsu mme df Mttel der Quadrate 1 Regresson 68, ,49 Resduen , ,966 Gesamt , a Enflußvarablen : (Konstante), educ, male age, age, log(ncome) b Abhängge Varable: cgs 1 (Konstante) educ male age age log(ncome) a. Abhängge Varable: cgs Koeffzenten a Ncht standardserte Koeffzenten Standardse rte Koeffzenten Standardf B ehler Beta T Sgnfkanz -5,889 6,88 -,86,389 -,516,168 -,115-3,76, -,161 1,455 -,4 -,111,91,78,161,97 4,855, -,9, -1,48-5,,,73,78,38 1,,316 3/8

4 a) Beantworten Se de folgenden Fragen. (3 Punkte) (1) Was versteht man allgemen unter rrelevanten Varablen? () Welche Auswrkungen haben rrelevante Varablen für de Schätzergebnsse? (3) Beurtelen Se anhand der vorlegenden Schätzergebnsse, ob male ene rrelevante Varable st. b) Testen Se auf dem 5% Sgnfkanznveau, ob das von Ihnen geschätzte sgnfkant st. Geben Se an, welchen Test Se durchführen, de Null- und Alternatvhypothese, de Teststatstk, den krtschen Wert sowe de Testentschedung. (4 Punkte) c) Se überlegen, de Varable log(mncome) (logarthmerter Monatsverdenst n US-Dollars) zusätzlch n Ihr aufzunehmen und cgs = β + β1 educ + β male + β 3 age + β 4 age + β 5 log( ncome) + β 6 log( mncome) zu schätzen. De Regresson log( mncome) = β + β1 educ + β male + β 3 age + β 4 age + β 5 log( ncome) ergbt enen R 6 -Wert von,99. Sollten Se de Varable log(mncome) n Ihr aufnehmen? Begründen Se. ( Punkte) d) Welche dre Faktoren beenflussen Var ( ˆ β 6 )? Erwarten Se auf Bass der n c) angegebenen Ergebnsse ene präzse Schätzung von ˆβ 6? Begründen Se Ihre Antwort kurz. (4 Punkte) Aufgabe 4: Ihr Datensatz enthält Informatonen über Basketballspeler. Se schätzen folgendes : pkt = β + β1 erf + β erf pkt = pro Spel durchschnttlch erzelte Punktzahl erf = Lgazugehörgket n Jahren erf = Lgazugehörgket n Jahren, quadrert Se erhalten folgende Ergebnsse mt SPSS: Koeffzenten(a) [18 Punkte] Ncht standardserte Koeffzenten B Standardfehler T Sgnfkanz 1 (Konstante) 6,79,937 6,7, erf 1,34,39 4,77, erf -,78,4-3,4,1 a Abhängge Varable: pkt a) Beantworten Se folgende Fragen: (8 Punkte) (1) We unterschedet sch der margnale Effekt der Lgaerfahrung für Personen mt fünf und zehn Jahren Lgaerfahrung? () Be welchem Wert für de Varable erf st der margnale Effekt der Lgazugehörgket Null? (3) Be welchem Wert für de Varable erf st der margnale Effekt der Lgazugehörgket maxmal? Begründen Se Ihr Ergebns kurz. (4) Fertgen Se ene grobe Skzze des geschätzten Zusammenhangs zwschen den pro Spel erzelten Punkten (y-achse) und Erfahrung (x-achse) an. b) Se haben n Ihrer Regresson ncht für das Alter kontrollert. (5 Punkte) (1) Welche Bezehungen müssen zwschen den varablen und der weggelassen Varable Alter bestehen, damt de Parameter Ihres s trotz Fehlen der Varable Alter mt KQ unverzerrt geschätzt werden können? () We plausbel snd dese Bedngungen? Begründen Se. 4/8

5 c) Welche Annahmen müssen mndestens erfüllt sen, damt de Parameter ener Klenstquadrateschätzung konsstent geschätzt werden können? Geben Se für jede der Annahmen ene kurze verbale Beschrebung. (5 Punkte) Aufgabe 5: [6 Punkte] Wahr oder falsch? Tragen Se für jede der folgenden Aussagen en w für wahr oder en f für falsch en. Für jede rchtge Antwort gbt es,5 Punkte, für jede falsche Antwort werden,5 Punkte abgezogen. De Gesamtpunktzahl kann ncht negatv werden. Das Sgnfkanznveau enes Tests beschrebt de Wahrschenlchket, dass man H verwrft, obwohl H wahr st. De Ablehnungsregon enes t-tests mt der Nullhypothese H : β j = und der Alternatvhypothese H 1 :β j > befndet sch n der graphschen Darstellung der t-vertelung am rechten Ende. Im log-lnearen msst 1 βˆ de prozentuale Änderung von y be Änderung von x 1 1 um ene Enhet. Wenn der margnale Effekt der abhänggen Varablen vom Wert der Ausprägung der Varablen selbst abhängt, dann wurden Interaktonsterme verwendet. Im multplen mplzeren de Annahmen MLR.1 MLR.5, dass der KQ-Schätzer asymptotsch normalvertelt st. Das Gauss-Markov Theorem glt nur für klene Stchproben. Wenn βˆ wegen ausgelassener erklärender Varablen verzerrt geschätzt st, st der Intervallschätzer ene unverzerrte j Alternatve. Es gbt e, de nchtlnear n den Varablen snd und glechzetg lnear n den unbekannten Parametern. Be Regressonen durch den Ursprung hat der Achsenabschnttsparameter den Wert ens. En Regressor st endogen, wenn er mt dem Störterm unkorrelert st. Medanwerte snd wenger von Ausreßern beenflusst als Mttelwerte. Da bem F-Test mehrere lneare Restrktonen getestet werden, hat der p-wert ene andere Bedeutung als bem t-test ener lnearen Restrkton. Ist en Schätzverfahren konsstent, so entsprcht der geschätzte Wert be unendlch großer Stchprobe dem Bevölkerungsparameter. Der p-wert entsprcht dem Sgnfkanznveau enes Tests, be dem de berechnete Teststatstk dem krtschen Wert entsprcht. Der Schätzwert für de Konstante n enem Regressonsmodell st ene Realsaton ener Zufallsvarable. Be mmer größer werdenden Stchproben tendert de Varanz konsstenter Schätzer gegen Null. Je höher das R, desto höher st de Wahrschenlchket, bem F-Test auf Gesamtsgnfkanz enes s H zu verwerfen. Das 95%-Konfdenzntervall st breter als das 99%-Konfdenzntervall. exp(x 1 +x )=exp(x 1 )+exp(x ) Das Enfügen rrelevanter Regressoren n en erhöht de Varanz des Störterms. Dummy-Varablen können zur Bewertung von Poltkmaßnahmen genutzt werden. De Unverzerrthet der KQ-Schätzer für de Stegungsparameter m multplen wrd durch de Annahme Var(u x 1,x,..,x k ) = schergestellt. De KQ-Schätzung enes lnearen s st auch dann möglch, wenn de erklärende Varable n logarthmerter Form vorlegt. Wenn X den Erwartungswert von Y ncht beenflusst, snd X und Y korrelert. De Kovaranz kann nur Werte zwschen -1 und +1 annehmen. Das R kann stegen, wenn ene zusätzlche erklärende Varable berückschtgt wrd. Für dskrete Zufallsvarablen kann kene kumulatve Vertelungsfunkton berechnet werden. Das Weglassen relevanter Varablen führt n der Regel zu ener Unterschätzung der KQ-Parameter der anderen Regressoren. Wenn de Annahme der Normalvertelung der KQ-Schätzer ncht glt, snd Konfdenzntervalle unter den Annahmen MLR1-MLR5 weterhn asymptotsch nterpreterbar. Var(aX+b)=a*Var(X) De Nullhypothese bezeht sch auf den unbekannten Bevölkerungsparameter, ncht auf den geschätzten Wert. 5/8

6 Benutzt man Dummy-Varablen, um de Effekte der ver Jahreszeten zu kontrolleren und berückschtgt ledglch 3 Indkatorvarablen n der spezfkaton, so kann über de ncht berückschtgte Jahreszet kene Aussage getroffen werden. Be Schätzung der Spezfkaton y=β +β 1 x+β x st der margnale Effekt von x auf y ncht konstant. Je größer der berechnete t-wert, desto wahrschenlcher wrd, dass de zugehörge H glt. Im log-lnearen st 1 βˆ als Sem-Elastztät nterpreterbar. 1 De Nullhypothese H : β 1 =β kann mt dem t-test getestet werden. Im mt logarthmerter abhängger Varable dürfen kene Dummy-Varablen als erklärende Varablen verwendet werden. Tests zu Lnearkombnatonen von Parametern können ncht mt dem t-test durchgeführt werden. Wenn X und Y unabhängg vonenander snd, dann st E(X Y)=E(X). En Regressor st exogen, wenn er mt dem Störterm unkorrelert st. Unter omtted varable bas versteht man ene Verzerrung des KQ-Schätzers, de auftreten kann, wenn relevante erklärende Varablen m fehlen. En ensetger t-test auf dem 5% Nveau hat ene größere Ablehnungsregon als en ensetger t-test auf dem 1% Nveau. De F-Vertelung kann nur postve Werte annehmen. Das Konfdenzntervall um präzse geschätzte Parameter st enger als das um Parameter mt großem Standardfehler. En Chow-Test kann n Form enes F-Tests durchgeführt werden. Das Gauss-Markov-Theorem macht ene Aussage zu nchtlnearen Schätzverfahren. Wrd ene logarthmerte abhängge Varable umskalert, ändert sch be Schätzung des es ledglch der Achsenabschntt. F- und t-test können be zwesetgen Tests zum glechen Ergebns kommen. Ist de Stchprobengröße zu klen, so snd de Parameter verzerrt. Im multplen lnearen werden für jeden Regressor separate R -Werte errechnet. De Zählerfrehetsgrade des F-Tests hängen ncht von der Zahl der Beobachtungen ab. Von zwe unverzerrten Schätzern für θ (W und V) st W effzenter, wenn Var(W)<Var(V). Aufgabe 6: [14 Punkte] Welche Antwort st rchtg? Kreuzen Se nur ene Antwort pro Aufgabe an. Falls mehrere Aussagen korrekt snd, kreuzen Se nur de entsprechende Antwortkombnaton an. Für jede rchtge Antwort gbt es 1 Punkt. Für falsche Antworten werden kene Punkte abgezogen. 1. De ceters parbus Annahme m multplen lnearen Regressonsmodell a kann mttels des Lagrange-Multpler Test überprüft werden. b glt für Männer, aber ncht für Frauen. c st ene asymptotsche Egenschaft. d a und b. e a, b und c. f kene der Antworten.. Unverzerrthet der Stegungsparameter m KQ-Verfahren a glt als Egenschaft des Schätzverfahrens nur n großen Stchproben. b glt als Egenschaft des Schätzverfahrens auch be klener Stchprobe. c wrd als fnte sample property bezechnet. d glt unabhängg von der Vertelung der Störterme. e a, b und d. f b, c und d. 6/8

7 3. Be der Auswahl von Regressoren a glt es, over-controllng zu vermeden. b spelt omtted varable bas kene Rolle. c kann es m Snne ener präzseren Schätzung snnvoll sen, ene zusätzlche Varable ns aufzunehmen, de ncht mt den berückschtgten korrelert st. d a und b. e a und c. f a, b und c. 4. De t-vertelung a hat ene Varanz de vom gewählten Sgnfkanznveau abhängt. b west für Mttelwert und Medan den glechen Wert auf. c wrd be nur ener zu testenden Restrkton asymmetrsch. d nähert sch mt stegender Zahl an Frehetsgraden der Normalvertelung an. e b und d. f Alle Antworten snd zutreffend. Be welchen der folgenden e st aufgrund hrer Spezfkaton mndestens ene der Gauss-Markov 5. Annahmen zum lnearen Regressonsmodell verletzt? a log( y ) = β + β log( x) + log( x ) b 1 β log( y ) = β + β1 log( x) + β [log( x)] β1 c y = β + x d y = β + β1x1 + β x e a und c. f a, b und c. 6. En sehr hoher p-wert be enem Test auf statstsche Sgnfkanz a kann auf enen betraglch großen Koeffzenten zurückzuführen sen. b kann auf ene sehr ungenaue Schätzung zurückzuführen sen. c deutet auf en zu nedrges Sgnfkanznveau hn. d deutet auf statstsche Sgnfkanz des Koeffzenten hn. e a und b. f c und d. 7. Im x y y β x und be Gültgket der Annahmen MLR.1 bs MLR.5 wrd β 1 mttels x = 1 a unverzerrt geschätzt, wenn der Populatonsparameter der Regressonskonstante β =. b unverzerrt geschätzt, wenn der Populatonsparameter des Stegungsparameters β 1 =. c unverzerrt geschätzt, wenn x =. d effzent geschätzt, wenn β = e a, c und d. f b und d.. 8. Glt de Normalvertelungsannahme der Störterme ncht, a kann de asymptotsche Gültgket von t- und F-Tests selbst unter zusätzlchen Annahmen ncht aus dem zentralen Grenzwertsatz abgeletet werden. b st der KQ-Schätzer nkonsstent. c st der KQ-Schätzer ncht mehr BLUE, da er an Effzenz enbüßt. d a und c. e a und b. f kene der Antworten. 7/8

8 9. Mttels KQ vorhergesagte Werte a haben m enfachen Regressonsmodell am Mttelwert der Daten enen erwarteten Vorhersagefehler von Null. b haben de klenste Varanz, wenn de abhängge Varable an hrem Mttelwert betrachtet wrd. c snd Zufallsvarablen. d kene der Antworten. e a und c. f b und c. 1. Geht n de Spezfkaton enes s ene Dummy-Varable en, a st das R ncht mehr berechenbar. b fällt de Schätzgüte des s ( R ) ncht. c bewrkt des ene Parallelverschebung der Regressonsgerade m Ausmaß β + β Dummy d msst dese enen Nveauuntersched für zwe Gruppen. e a, b und c. f b und d. 11. Wrd das log(y) = β + β 1 log(x)+u geschätzt, a msst β 1 de absolute Änderung n y be Änderung von x um en Prozent. b msst β 1 de absolute Änderung n y be Änderung von x um enen Prozentpunkt. c msst β 1 de relatve Änderung n y be Änderung von x um enen Prozentpunkt. d msst β 1 de relatve Änderung n y be Änderung von x um en Prozent. e kene der Antworten. f b und d.. Wenn sch der Erwartungswert der Störterme n ener lnearen Regresson je nach Ausprägung der 1. Regressoren unterschedet a sprcht man von Homoskedaste. b müssen de Koeffzenten des s als kausale Effekte nterpretert werden. c snd de geschätzten Parameter unverzerrt, solange de Störterme normalvertelt snd. d muss das mehrmals geschätzt werden. e a und d. f kene der Antworten. 13. De Verwendung von Interaktonstermen zwschen unterschedlchen erklärenden Varablen a st zwngende Voraussetzung für de Durchführung des Chow-Tests. b st nur möglch, wenn de ceters parbus Bedngung erfüllt st. c ermöglcht, für verschedene Gruppen unterschedlche Stegungsparameter zu berechnen. d st nur für Dummy-Varablen snnvoll. e a, b und c. f a und c. 14. Perfekte Multkollneartät a führt zu ener sehr genauen Schätzung der Effekte der kollnearen Regressoren. b führt zu ener sehr ungenauen Schätzung der Effekte der kollnearen Regressoren. c trtt auf, wenn be ener Schätzung mt Dummy Varablen und Konstante kene Referenzkategore gewählt wrd. d trtt auf, wenn de abhängge Varable und mndestens ener der Regressoren n en und derselben Enhet gemessen werden. e b und c. f b, c und d. 8/8