Nachhilfen: Algebra und Differentialrechnung Wiederholung: 2. Abschnitt mit Übungsaufgaben

Transkript

1 Wiederholung:. Abschnitt mit Übungsaufgaben Grundwissen (GW) GW. Lösen Sie folgende algebraische Gleichungen bzw. Ungleichungen in der Grundmenge R: a) 5 = 0 a) 5 0 Teilergebnis: ] ;,5] b) Lösen Sie die Aufgaben a) und a) auch graphisch. c) 4+ = 0 c) 4+ < 0 Teilergebnis: ] ; [ d) 4 = 0 d) 4 0 e) Lösen Sie die Aufgaben d) und d) auch graphisch. Teilergebnis: ] ; ] [ ; [ f) + 6 = 0 f) 6 > 0 Teilergebnis: ] ;0] [ ; [ g) + = g) + > Teilergebnis: R h) Lösen Sie die Aufgaben g) und g) auch graphisch. i) +7 = 0 i) +7 > 0 Teilergebnis: ] ; [ j) = 0 j) Teilergebnis: ] ; ] [ ; [ [ ; [ k) = 0 k) > 0 Teilergebnis: ] ;0[ ]4 ; 5 [ l) ( )( 6 +5)=0 l) ( )( 6 +5) > 0 Teilergebnis: ]5 ; [ m) + 6 = 0 m) + 6 > 0 Teilergebnis: : ] ; [ GW.. Bestimmen Sie in Abhängigkeit vom Parameter k R die Anzahl und gegebenenfalls die Vielfachheit der Nullstellen folgender Funktionen: a) f() = + k 9 Ergebnis: Für k ] ; [ zwei einfache Nullstellen 8 Für = 9 8 eine doppelte Nullstelle Für 9 k ] ; [ keine reellen Nullstellen. 8 Seite

2 Wiederholung:. Abschnitt mit Übungsaufgaben b) f k () = (+) ( 4 +k) Ergebnis: Für k ]; ; [ hat f k einfache Nullstellen. Für k ]; ; [ hat f k eine einfache Nullstelle. Für k {,5; } hat f k eine einfache Nullstelle und eine doppelte Nullstelle. c) f k () = ( k) ( +) Teilergebnis: Für k { ; } hat f k eine einfache Nullstelle und eine doppelte Nullstelle. GW.. Geben Sie die geometrische Deutung für die Ableitbarkeit einer Funktion an Hand einer Skizze an. GW.. Berechnen Sie für folgende Funktionen die erste und die zweite Ableitungsfunktion: a) f() = b) f() = c) f() = ( ) ( + ) d) f() = 0,5( + 4 5) e ) f) f () = + Teilergebnis: f '() = + 00 f() = + + Teilergebnis: f '() = GW.4. Ermitteln Sie die Gleichung g() der Geraden durch A(0 ) und B( 7). Ergebnis: g() = + GW.5. Ermitteln Sie die Gleichungen t() bzw. n() der Tangenten bzw. der Normalen im Punkt P( f()) des Graphen der Funktion f() = + Hinweis: Die Normale ist die senkrechte Gerade zur Tangente m Normale = m Tangente GW.6.0 GW.6. Der Graph G f einer quadratischen Funktion f() enthält den Punkt A( ) und schneidet die -Achse bei und bei. Ermitteln Sie den Funktionsterm f(). Ergebnis: f() =,5 ( 5 +6) Seite

3 Wiederholung:. Abschnitt mit Übungsaufgaben GW.7.0 Der Graph G f einer ganzrationalen Funktion. Grades f() geht durch A( ) und berührt die -Achse bei und schneidet diese bei. GW.7. Ermitteln Sie den Funktionsterm f() und skizzieren Sie den Graphen G f. GW.8.0 Der Graph G f einer gebrochen rationalen Funktion f() geht durch A( 0 ), hat die -Achse als Asymptote und eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei -. GW.8. Geben Sie einen möglichen Funktionsterm f() an und skizzieren Sie den Graphen G f in ein KKS. GW.9.0 Der Graph G f einer gebrochen rationalen Funktion f() schneidet die y-achse bei, hat y = als waagrechte Asymptote und hat eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei -. GW.9. Geben Sie einen möglichen Funktionsterm f() an und skizzieren Sie den Graphen G f in ein KKS. GW.0.0 Der Graph G f einer gebrochenrationalen Funktion f() hat y = + als schräge Asymptote, schneidet die y-achse bei und hat eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei. GW.0. Geben Sie einen möglichen Funktionsterm f() an und skizzieren Sie den Graphen G f in ein KKS. GW.. Berechnen Sie folgende Grenzwerte und geben Sie eventuelle Asymptoten an: a) + b) + + c) + d) + + e) f) GW.. Berechnen Sie folgende Grenzwerte und geben Sie eventuelle Asymptoten an: a) d) b) + c) e) f) GW.. Behandeln Sie die behebbaren Definitionslücken, berechnen Sie folgende Grenzwerte und geben Sie eventuelle Asymptoten an: a) b) Seite

4 Wiederholung:. Abschnitt mit Übungsaufgaben GW.4. Bestimmen Sie für folgende Funktionen die Definitionsmenge und das Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs: a) f () = 4 b) c) f () = ln( ) d) f () = 4 + f () = ln + c) e) f () = f () = GW.5. Berechnen Sie mit Hilfe des Grenzwertes für den Differentialquotienten die lokalen Änderungsraten m() (die Steigung der Tangente) der folgenden Funktionen: a) f() = ; m() =? d.h. die Steigung an der Stelle =. Ergebnis: m() = ; b) f() = ; m(0) =? ; Ergebnis m(0) = c) f() = + ; m() =? d) f () = ; m( ) =? + e + e GW.6. Bestimmen Sie die Gleichungen der Tangenten im angegebenen Punkt für die Graphen folgender Funktionen: a) f() = + im Punkt P( f()) b) f() = + + im Punkt P( f( ) Übungsaufgaben (Ü) Ü.. Ü.. Bestimmen den Parameter k so, dass der Graph G f der folgenden Funktionen die Gerade y = als waagrechte Asymptote hat: k a) f () = b) f () = (k ) + + Bestimmen den Parameter k so, dass der Graph G f der folgenden Funktionen die Gerade = als senkrechte Asymptote hat: f () = a) k k + k b) f k() = k Ü..0 Ü.. Die ganzrationale Funktion f hat folgenden Funktionsterm: f() = + 4 Zeigen Sie, dass an der Stelle = der Graph eine waagrechte Tangente hat und geben Sie die entsprechende Tangentengleichung an. Seite 4

5 Wiederholung:. Abschnitt mit Übungsaufgaben Ü.. Ü.. Ü.4.0 Ü.4. Ü.4. Ü.5.0 Ü.5. Ü.5. Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f und geben Sie auch deren Vielfachheit an. Zeichnen Sie diese und den Graph von f für [;,5 ] in ein KKS. Die ganzrationale Funktionen f mit G f als Graph hat folgenden Funktionsterm: f () = ( + 4) Zeigen Sie, dass der Funktionsterm f() auch in folgender Form darstellbar ist: f () = ( ) ( + ) und geben Sie die Nullstellen der Funktion an. Zeigen Sie, dass an der Stelle = der Graph eine waagrechte Tangente hat. Die Schar ganzrationaler Funktionen f k mit G k als Graph hat folgenden Funktionsterm: f k () = 9( )( k + 0,5k) Untersuchen Sie in Abhängigkeit von k die Anzahl der Nullstellen von f k und geben Sie auch deren Vielfachheit an. Zeigen Sie, dass für k = der Funktionsterm von f folgende Formen annimmt: f () 9( 4 5 ) = + oder f () = 9() () Ü.5. Ü.6. und geben nun auch die Nullstellen an. Zeigen Sie, dass an der stelle = der Graph eine waagrechte Tangente hat und geben Sie deren Funktionsgleichung auch an. Untersuchen Sie, ob die Grenzwerte des Differentialquotienten an der Nahtstelle folgender abschnittsweise definierten Funktionen gleich groß sind, d.h., ob die Steigung von links und die Steigung von rechts gleich groß sind und geben Sie die Ableitungsfunktion auch an: 4 für < a) f () = für b) f()= für < für Ü.7. Untersuchen Sie graphisch, ob folgende Funktionen an der Nahtstelle ableitbar sind und geben Sie auch die Ableitungsfunktion graphisch an: a) f() = 0,5 b) g() = c) h() = Seite 5

6 Wiederholung:. Abschnitt mit Übungsaufgaben Ü.8. Ü.9. Ü.0. Ü.. Ü.. Ü..0 Ü.. Ü.. Ü.. Ü..4 Ü.4.0 Ü.4. Ü.4. Bestimmen Sie für folgende Funktionen die Steigung des Graphen im angegebenen Punkt P und damit die entsprechende Tangentengleichung t() und Normalengleichung n(): a) f() = 4 im Punkt P( f()); Ergebnis: t() = 5 ; n()= 0,5,5 b) g() = im Punkt P( 0 g(0)) Bestimmen Sie für folgende Funktionen die Punkte des Graphen in dem die Steigung m = 4 ist. a) f() = 4 b) g() = Bestimmen Sie für folgende Funktionen die Punkte des Graphen in dem es waagrechte Tangenten gibt. Welches Monotonieverhalten (Vorzeichen der. Ableitungsfunktion) hat die Funktion in der Umgebung dieser Punkte? a) f() = 4 b) g() = c) = + + d) p() =0,5 4,5 +4 h(),5 Bestimmen Sie für folgende Funktionen die Punkte des Graphen in dem es Tangenten gibt, die parallel zur. Winkelhalbierenden verlaufen. a) f() = 4 b) g() = Zeichnen Sie den Graph folgender Funktionen und folgern Sie daraus den Graph der. Ableitungsfunktion. a) f() = +4 b) g()= c) h() = + Die ganze rationale Funktion f mit D f = R hat folgenden Funktionsterm: 4 f () = + Bestimmen Sie die Art und Lage der Etrempunkte. Teilergebnis: E( 0) ist ein Etrempunkt. Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion. Bestimmen Sie den Punkt W in dem die Steigung etremal ist. Teilergebnis: W( f() ) Zeichnen Sie den Graph der Funktion f in ein KKS. Die Funktionenschar f k hat für k R\ {0} folgenden Funktionsterm: f k() = k( + ) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von k die Art und die Lage der Etrempunkte. Zeigen Sie, dass für =,5 die Steigung etremal wird. Seite 6

7 Wiederholung:. Abschnitt mit Übungsaufgaben Ü.4. Zeigen Sie, dass die Schnittpunkte mit der -Achse Fipunkte der Schar sind. Ü.4.4 Zeichnen Sie für k = den Graph der Funktion f. Ü.5.0 Ü.5. Ü.5. Die ganzrationale Funktion f hat folgen Funktionsterm: = f () Bestimmen Sie die Punkte mit waagrechter Tangente. Ist der Punkt S(- 0) ein Etrempunkt? Zeigen Sie, dass die Änderungsrate der Steigung in S gleich 0 ist. Ü.5. Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f. Ü.5.4 Ü.6.0 Zeichnen Sie den Graph G f in ein KKS. Die ganzrationale Funktion f hat folgen Funktionsterm: f()= 0,5 4 + Ü.6. Bestimmen Sie das Monotonieverhalten und die lokalen Etrema der Funktion f. Ü.6. Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f. Ü.6. Ü.7.0 Ü.7. Ü.7. Zechnen Sie den Graph G f in ein KKS. Die gebrochen rationale Funktion f hat folgen Funktionsterm: f () = 0,5 + Bestimmen Sie die Definitionsmenge und das asymptotische Verhalten. Zeigen Sie, dass G f keine besondere Symmetrie hat. Ü.7. Bestimmen Sie die Lage und Art des Etrempunktes für G f. Ü.7.4 Ü.7.5 Ü.8.0 Berechnen Sie die Schnittpunkte mit den Achsen des Koordinatensystems. Zeichnen Sie den Graphen G f der Funktion in ein KKS. Die gebrochen rationale Funktion f hat folgenden Funktionsterm: Ü.8. Ü.8. Ü.8. Ü.8.4 f () = 4 Bestimmen Sie die Polstellen und die Definitionsmenge der stetig ergänzten Funktion f(). 9 für = 4 Teilergebnis: f () = + + für ] ; [ ] ; [ + Bestimmen Sie das asymptotische Verhalten und geben Sie die Asymptoten an. Bestimmen Sie die Art und die Lage der Etrempunkte. Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion. Seite 7

8 Wiederholung:. Abschnitt mit Übungsaufgaben Ü.8.5 Ü.9.0 Zeichnen Sie den Graph G f und die Asymptoten in einem KKS. Die Abbildung Ü.9 zeigt den Graph einer gebrochen rationalen Funktion. Abb. Ü.9 Ü.9. Bestimmen Sie graphisch die Steigung f '(0) des Graphen an der Stelle 0. Teilergebnis: f '(0) = 0,5 Ü.9. Skizzieren Sie den zugehörigen Graph der. Ableitungsfunktion. Ü.9. Berechnen Sie die entsprechende. Ableitungsfunktion. Ü.0.0 Die Graphen G W und G B liefern ein mathematisch Modell für eine Wasserrutsche und ihre Bedachung. Die entsprechenden Funktionsterme w() und b() lauten: w()=0,0( ) D w = [0 ; 0] 5 = + D b = [0 ; 5] 0 6 b() 0 Ü.0. Bestimmen Sie die Stelle an der die Wasserrutsche das stärkste Gefälle aufweist. Ü.0. Kondenswasser, das sich an der Unterseite der Bedachung gebildet hat, tropft von der tiefsten Stelle des Daches herunter. Berechnen Sie diese Stelle. Ü.0. Aus Sicherheitsgründen wird ein in y-richtung gemessener Mindestabstand zwischen Wasserrutsche und Dach von,0 m vorgegeben. Untersuchen Sie rechnerisch, ob dieser Mindestabstand eingehalten wird. Seite 8