Kernfach Mathematik (Thüringen): Abiturprüfung 2014 Pflichtaufgaben Teil A

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1 Kenfach Mathematik (Thüingen): Abitupüfung 04 Pflichtaufgaben Teil A. Gegeben ist eine Funktion f duch f(x) = x 3 + 4x (x 0). An de Stelle x = wid eine Tangente an den Gaphen de Funktion f gelegt. Bestimmen Sie eine Gleichung diese Tangente.. Die Funktion f ist eine ganzationale Funktion 4. Gades. Dagestellt ist de Gaph ihe Ableitungsfunktion f '. a) Geben Sie das Monotonievehalten de Funktion f an. b) Begünden Sie, dass de Gaph de Funktion f an de Stelle x = einen Wendepunkt besitzt. (3 BE) ( BE) ( BE) 3. Einem Rechteck mit den Seitenlängen cm und cm ist ein Teil des Gaphen eine Funktion f mit f(x) = a x + b (a, b, x 0) einbeschieben (siehe Skizze). Bestimmen Sie eine Gleichung de Funktion f. ( BE) 4. Gegeben ist die Funktion f duch f(x) = (x ) 3 (x 0). a) Skizzieen Sie den Gaphen von f. ( BE) b) Geben Sie je einen Wet fü a und b so an, dass die Gleichung b f(x)dx= 0 (a < b; a, b 0) efüllt ist. ( BE) a c) Fü eine lineae Funktion g soll g(x) dx = 0 (x 0) gelten. 5 Geben Sie eine Funktionsgleichung von g an. ( BE) 04-

2 5. Gegeben ist die Geade g: x = 3 + ( 0). a) Zeigen Sie, dass de Punkt A(0 4 4) auf de Geaden g liegt. ( BE) b) Emitteln Sie die Koodinaten von zwei veschiedenen Punkten, die auf g liegen und den gleichen Abstand zum Punkt A besitzen. ( BE). Gegeben sind die Vektoen u u+ 4 a = und b= 0 (u 0). u 3 u Untesuchen Sie, ob es eelle Zahlen u gibt, so dass die Vektoen a und b zueinande othogonal sind. (3 BE) 7. Ein Glücksad mit vie Sektoen wid gedeht. Gegeben ist die Wahscheinlichkeitsveteilung bei einmaligem Dehen. Sektofabe ot gelb blau schwaz Wahscheinlichkeit 0, 0,4 p 0,3 a) Geben Sie die Wahscheinlichkeit p an. Bestimmen Sie die Göße des Mittelpunktswinkels des oten Sektos. ( BE) b) Das Glücksad wid mehfach gedeht. Bescheiben Sie ein Eeignis, dessen Wahscheinlichkeit duch den Tem ( 3 ) 0, 4 0, beechnet weden kann. ( BE) (0 BE) 04-

3 Hinweise und Tipps Aufgabe Die Tangente t an den Gaphen eine Funktion f ist eine Geade mit de Gleichung y = t(x) = m x+ n. Die Tangente t hat mit dem Gaphen von f den Beühpunkt gemeinsam. De Anstieg de Tangente und de Anstieg de Funktion stimmen im Beühpunkt übeein. Aufgabe Teilaufgabe a Das Monotonievehalten eine Funktion f kann übe die. Ableitung f ' bestimmt weden. Wenn f '(x) > 0 auf einem Intevall I ist, dann ist f auf I steng monoton steigend. Wenn f '(x) < 0 auf einem Intevall I ist, dann ist f auf I steng monoton fallend. Teilaufgabe b Eine Funktion f besitzt Wendepunkte an den Stellen, an denen ihe. Ableitung f ' ein lokales Extemum hat. Agumentieen Sie, dass aus de Skizze von f ' sowohl die notwendige als auch die hineichende Bedingung fü einen Wendepunkt von f zu entnehmen sind. Aufgabe 3 De Paamete b in de Gleichung f(x) = ax + b tifft eine Aussage übe den Duchgang des Gaphen von f duch die y-achse. De Paamete a hat Auswikungen auf die Steckung / Stauchung de Paabel. Aus den gegebenen Abmessungen des Rechtecks können Sie die Koodinaten einige Punkte de Paabel entnehmen. Stellen Sie damit ein Gleichungssystem fü a und b auf und beechnen Sie diese Wete. Aufgabe 4 Teilaufgabe a De Gaph eine Funktion y = f(x + d) geht aus dem Gaphen von y = f(x) duch eine Veschiebung um d Einheiten in Richtung de x-achse hevo. Übelegen Sie, wie de Gaph von y = f(x) = (x ) 3 aus dem Gaphen von y = x 3 hevogeht. Teilaufgabe b Beachten Sie die Punktsymmetie des Gaphen von f(x). Bestimmte Integale in einem Intevall [a; b] sind positiv, wenn de Gaph von f in diesem Intevall obehalb de x-achse veläuft. Sie sind negativ, wenn f(x) < 0 fü alle x [a; b]. Teilaufgabe c Diese Aufgabe ist in gewissem Sinne eine Umkehfagestellung zu Teil b. Man sucht eine lineae Funktion, sodass diese im Intevall [ 5; ] gleich goße Teilflächen unte- und obehalb de x-achse einschließt. Aufgabe 5 Teilaufgabe a Setzen Sie den Otsvekto des Punktes A in die linke Seite de Geadengleichung ein. 04-3

4 Übepüfen Sie, ob alle dei Gleichungen des so entstandenen Gleichungssystems ein und dieselbe Lösung fü den Paamete haben. Teilaufgabe b Fetigen Sie sich eine Skizze de Geaden g und des Punktes A an. Punkte P, die auf g liegen, müssen die Geadengleichung von g efüllen. Da in Aufgabenteil a de Paametewet fü den Otsvekto OA emittelt wude, kann diese genutzt weden, um Punkte zu finden, die auf de Geaden liegen und vom Punkt A gleich weit entfent sind. Altenative zu Teilaufgabe b Punkte P, die auf g liegen, müssen die Geadengleichung von g efüllen. Es muss also Otsvektoen OP geben, die fü gewisse Wete des Paametes die Geadengleichung zu eine wahen Aussage machen. De Abstand beide Punkte P und Q zu A soll gleich sein, also müssen die Stecken AP und AQ gleiche Länge a haben. Geben Sie die Länge a als Betag des Vektos AP an. Da kein Wet fü diese Länge a gegeben ist, können Sie selbst einen solchen Wet wählen. E muss abe von null veschieden sein, weil P und Q zwei veschiedene Punkte sein sollen. Wählen Sie einen Wet fü den Abstand a, mit dem sich leicht echnen lässt. Sie ehalten zwei Wete fü den Paamete, die Sie in die Gleichung fü g einsetzen können. Damit sind dann die Otsvektoen OP de gesuchten Punkte gefunden. Geben Sie diese Punkte mit ihen Koodinaten an. Aufgabe Fü zwei Vektoen, die zueinande othogonal (senkecht) sind, ist das Skalapodukt null. Bilden Sie das Skalapodukt de beiden Vektoen. Untesuchen Sie, ob die entstandene Gleichung Lösungen hat. Geben Sie diese Lösungen an. Aufgabe 7 Teilaufgabe a: Wet fü p Beachten Sie, dass die Gesamtwahscheinlichkeit eine Wahscheinlichkeitsveteilung die Summe hat. Teilaufgabe a: Göße des Mittelpunktswinkels Bestimmen Sie die Anteile de Faben anhand de Einzelwahscheinlichkeiten. Übetagen Sie diese Anteile auf die Einteilung de Sektoen fü die veschiedenen Faben des Glücksades. Bestimmen Sie die Göße des Mittelpunktswinkels fü genau einen Anteil. Geben Sie den daaus esultieenden Mittelpunktswinkel fü den Sekto mit de Fabe Rot an. Teilaufgabe b Vegleichen Sie den gegebenen Tem mit de Fomel fü die Beechnung von Wahscheinlichkeiten binomialveteilte Zufallsgößen. Leiten Sie aus diesem Vegleich ab, welches Eeignis duch den gegebenen Tem beschieben weden kann. 04-4

5 Lösungen. Tangente t: y= t(x) = m x+ n Funktion f: y= f(x) = x3+ 4x Die Tangente t hat mit dem Gaphen von f den Beühpunkt P(; f()) gemeinsam: f() = 3+ 4 = + 4= 5, also P(; 5) Die Koodinaten von P weden in die Tangentengleichung eingesetzt: 5= m + n n = 5 m ( ) De Anstieg de Tangente und de Anstieg de Funktion stimmen im Punkt P(; 5) übeein. Anstieg de Tangente: t'(x) = m t'() = m Anstieg de Funktion: f'(x) = 3x+ 8x f'() = = 3+ 8= Es gilt also m = und damit wegen ( ): n = 5 = Die Gleichung de Tangente ist: y= x. a) Das Monotonievehalten eine Funktion f kann übe das Vozeichen de. Ableitung f ' bestimmt weden: Da f '(x) > 0 fü x > ist, ist f fü x > steng monoton steigend. Da f '(x) 0 fü x ist, ist f fü x monoton fallend. b) Da de Gaph von f ' an de Stelle x = ein lokales Maximum besitzt, liegt an diese Stelle ein Wendepunkt de Funktion f vo. Altenative Lösung: Die Tangente an den Gaphen von f ' an de Stelle x = hat den Anstieg null, es gilt also f ''( ) = 0. Außedem liegt an de Stelle x = ein Monotoniewechsel de Funktion f ' vo, also hat die Funktion f fü x = einen Wendepunkt. 3. Weil f(0) = ist, gilt wegen f(0) = a 0 + b also = a 0 + b. Damit ist b =. Die Nullstellen de Paabel liegen bei x = 3 bzw. x = 3, also ist z. B. 0 = a 3 + b. Setzt man b = in diese Gleichung ein, so egibt sich 0 = a 3 +. Daaus wid a beechnet: a = 9 Die Gleichung de Paabel lautet: y= f(x) = x a) Skizzieen Sie zuest den Gaphen von f(x) = x 3, beachten Sie dabei die Funktionswete fü x = und fü x =. Skizzieen Sie dann den Gaphen von f(x) = (x ) 3 duch Veschiebung des esten Gaphen um Einheiten in x-richtung. 04-5

6 b) De Gaph von y = (x ) 3 ist punktsymmetisch zu P(; 0). E veläuft fü alle x < untehalb und fü alle x > obehalb de x-achse. Deshalb gilt: + k 3 (x ) dx = 0 fü alle eellen Zahlen k > 0 k Sie bauchen abe nu eine spezielle Lösung anzugeben. Fü k = egeben sich z. B. die untee Integationsgenze a = und die obee Integationsgenze b= 3 mit de Eigenschaft: b a f(x)dx= 0 c) Eine lineae Funktion, die im Intevall [ 5; ] gleich goße Teilflächen unte- und obehalb de x-achse einschließt, muss duch den Mittelpunkt dieses Intevalls velaufen. De Punkt Q( ; 0) muss also auf de Geaden y = mx + n liegen. Setzt man die Koodinaten von Q in diese Gleichung ein, so ehält man: 0= m ( ) + n n = m Alle Geaden y= mx+ m mit m 0 haben diese velangte Eigenschaft. Es genügt abe, dass Sie fü einen speziellen Wet von m eine solche lineae Funktion angeben. Beispiele: m= 0: m= : m= : 5 0dx= 0 5 (x + ) dx = 0 5 ( x )dx = 0 Altenative Lösung: 5 Damit fü das bestimmte Integal g(x) dx = 0 gilt, muss die lineae Funktion im Intevall [ 5; ] gleich goße Teilflächen unte- und obehalb de x-achse einschließen. 04-

7 Dafü spielt die Steigung m keine Rolle. Setzt man z. B. m =, so ehält man: 5 5 (x n) dx 0 x n x 0 n 5n + = + = + = 0 n = 5 Es ist also z. B. die lineae Funktion mit de Gleichung y= x+ eine Funktion mit de velangten Eigenschaft. 5. a) A(0 4 4) einsetzen in x = 3 + : 0 0= = 4 = = + = 4= + = Da fü jede de dei Gleichungen de Paametewet = zu eine wahen Aussage füht, liegt A auf g. b) Fü den Punkt A wude in Teil a de Paamete = emittelt. Fü die Paamete und mit von Punkten, die denselben Abstand von A haben, muss also = gelten. Mögliche Lösungspaae ( ; ) sind dann (0; ), (0,5;,5), ( ; 3), So ehält man dann z. B. fü = 0 den Punkt P(3 ) und fü = den Punkt P(5), die beide vom Punkt A denselben Abstand haben. Altenative Lösung: Die gesuchten Punkte efüllen die Geadengleichung, fü ihe Otsvektoen gilt: OP = 3 + De Abstand beide Punkte zu A(0 4 4) soll gleich sein, deshalb setzt man AP = a: 0 AP = = + 4 AP = ( ) + ( + ) + ( + ) = a quadieen ( ) + ( + ) + ( + ) = a ausmultiplizieen = a zusammenfassen + = a Fü den Abstand de beiden Punkte von A setzt man z. B. den Wet a = ein. Statt a = kann man jeden andeen eellen Wet a > 0 einsetzen, abe mit diesem Wet veeinfacht sich die nachfolgende Rechnung stak. Es egibt sich: + = + = 0 ausklammen ( ) = 0 Ein Podukt wid null, wenn ein Fakto null ist. = 0; = 04-7

8 Diese beiden Wete weden in die Gleichung fü OP eingesetzt: OP = = 3 ; OP = 3 + = 5 Zwei Punkte, die denselben Abstand von A haben und die auf g liegen, sind z. B. P(3 ) und P(5).. Es wid das Skalapodukt beide Vektoen gebildet und null gesetzt: u u+ 4 0 = 0 u 3 u 3 u (u+ 4) + ( ) 0 + ( u) u = 0 ausmultiplizieen u+ 4u 3u= 0 4u u = 0 zusammenfassen faktoisieen u ( u) = 0 Ein Podukt wid null, wenn ein Fakto null is t. u = 0; u = Fü die beiden Zahlen u = 0 und u = sind die gegebenen Vektoen othogonal zueinande. 7. a) Wet fü p Die Summe de Einzelwahscheinlichkeiten muss sein. Man kann deshalb p aus de folgenden Gleichung bestimmen: 0,+ 0,4+ p+ 0,3= p= 0, Göße des Mittelpunktswinkels Anteile de Faben am Ganzen: Rot Gelb Blau Schwaz Es sind insgesamt zehn Teile. Ein Zehntel des Vollkeises von 30 sind 3. Fü einen Anteil wid also ein Mittelpunktswinkel von 3 gebaucht. Da de ote Sekto zwei Anteile haben muss, baucht e einen Mittelpunktswinkel von 7. b) Die Einzelwahscheinlichkeiten P(X = k) binomialveteilte Zufallsgößen X mit den Paameten n und p weden beechnet duch: P(X = k) = n k k ( ) p ( p) k Vegleicht man den gegebenen Tem ( 0 ) 0, 43 0,7 und die Wahscheinlichkeitsveteilung damit, so egibt sich: 3 n = 0, k = 3, p = 0,4 (Gelb) De Tem kann also die Wahscheinlichkeit des Eeignisses bescheiben, dass beim zehnmaligen Dehen des Glücksades genau deimal die Fabe Gelb escheint. 04-8

9 Kenfach Mathematik (Thüingen): Abitupüfung 04 Wahlaufgabe B: Analysis Gegeben ist die Funktion f duch x f(x) = 3 e (x 0 ). a) Untesuchen Sie den Gaphen von f auf Schnittpunkte mit den Koodinatenachsen. Begünden Sie die Koodinaten des Punktes, in dem de Anstieg des Gaphen von f maximal ist. Skizzieen Sie die Gaphen von f und de Ableitungsfunktion f ' in ein Koodinatensystem. b) Die Gaphen de Funktionen f und f ' schneiden einande im Punkt Q. Beechnen Sie die Göße des Schnittwinkels beide Gaphen in diesem Punkt Q. Die Gaphen von f und f ' begenzen mit de y-achse eine Fläche vollständig. Beechnen Sie diesen Flächeninhalt. c) An den Gaphen von f wid an de Stelle x = die Tangente t gelegt. Die Tangente t ist eine zu t paallele Tangente an den Gaphen von f. Beide Tangenten begenzen mit den Koodinatenachsen ein Tapez. Beechnen Sie den Flächeninhalt dieses Tapezes. d) Die Gleichungen de Tangenten an den Gaphen von f haben die Fom t(x) = m x + n. Geben Sie die Anzahl de Tangenten in Abhängigkeit von m an. e) De Gaph von f soll im Intevall x duch eine ganzationale Funktion angenähet weden. Eläuten Sie einen Ansatz zu Emittlung eine geeigneten Funktion. Geben Sie die Gleichung eine solchen Funktion an. f) Gegeben ist fü jede eelle Zahl a (a 0) eine Funktion f a duch x + f a a (x) = 3 e (x 0 ). Begünden Sie, dass f a (x) = e a f(x) gilt. Bescheiben Sie, wie die Gaphen von f a aus dem Gaphen von f hevogehen. (5 BE) (3 BE) (4 BE) ( BE) (3 BE) (3 BE) (0 BE) 04-9

10 Hinweise und Tipps Aufgabe a Schnittpunkte mit den Koodinatenachsen Schnittpunkte mit de x-achse egeben sich fü f(x) = 0. Schnittpunkte mit de y-achse egeben sich mit dem Ansatz f(0). Maximale Anstieg des Gaphen Betachten Sie das Ändeungsvehalten de Funktion f. Bestimmen Sie dazu die. Ableitungsfunktion. Beechnen Sie die Maximumstelle von f ' und den zugehöigen Funktionswet. Skizze Achten Sie daauf, die Achsen und die Gaphen zu beschiften. Aufgabe b Schnittwinkel im Punkt Q Unte dem Schnittwinkel zweie Gaphen vesteht man den nicht stumpfen Schnittwinkel ihe Tangenten im Schnittpunkt de beiden Gaphen. Bestimmen Sie zuest den Schnittpunkt Q(x s ; y s ). Welche Punkt ist das? De Schnittwinkel lässt sich beechnen, wenn man die Anstiege m und m de beiden Tangenten kennt. Die Anstiege ehält man mit m = f '(x s ) bzw. m = f ''(x s ). Fü den Schnittwinkel α eine Tangente mit de x-achse gilt tan (α) = m. Vewenden Sie diese Beziehung, um die beiden Schnittwinkel mit den Achsen zu bestimmen, und skizzieen Sie sich diesen Sachvehalt, um damit den gesuchten Winkel zu bestimmen. Fläche Machen Sie sich anhand de Gaphen deutlich, welche Fläche gesucht ist. Bestimmen Sie die Integationsgenzen und beechnen Sie die Fläche zwischen beiden Gaphen. Aufgabe c Tangentengleichungen bestimmen Die Gleichung de Tangente t ist eine Geadengleichung de Fom t (x) = m x + n. De Tangentenanstieg m ist gleich dem Anstieg des Gaphen an de Stelle x =. Um n zu bestimmen, muss man beachten, dass t ( ) = f( ) gilt. Altenative: Nutzen Sie den Befehl tangentline(). Paallele zu. Tangente Zwei Tangenten sind genau dann paallel zueinande, wenn sie den gleichen Anstieg haben. Bestimmen Sie alle Stellen de Ableitungsfunktion f ', fü die f '(x) = m gilt. Bestimmen Sie dann die zweite Tangentengleichung. 04-0

11 Fläche des Tapezes Veanschaulichen Sie sich den Sachvehalt im Gafikfenste. Wählen Sie einen geeigneten Weg, z. B. übe die Diffeenz zweie Deiecksflächen, zu Bestimmung des gesuchten Flächeninhaltes aus. Da das Tapez duch die beiden Tangenten begenzt wid, kann de Flächeninhalt ohne Integalechnung bestimmt weden. Beücksichtigen Sie mögliche Flächenzelegungen. Aufgabe d Anzahl de Tangenten Nutzen Sie die Skizze von f '. De Wetebeeich de esten Ableitungsfunktion gibt alle möglichen Wete fü m an. Betachten Sie die Ableitungsfunktion: Welche Wete fü m kommen nicht, einmal, zweimal, vo? Aufgabe e Ganzationale Näheungsfunktion De Gaph von f kann wegen seine Symmetie zu y-achse im Intevall duch eine ganzationale Funktion mit geadem Gad angenähet weden. Die einfachste Fom wäe dann eine quadatische Funktion de Fom p(x) = ax + b. Bestimmen Sie auf geeignete Weise die Paamete a und b. Altenative: Nutzen Sie die Möglichkeiten, mittels Regession eine Näheungsfunktion zu f zu finden. Aufgabe f Begündung Begünden Sie die Gleichheit mithilfe von Potenzgesetzen. Bescheibung Setzen Sie veschiedene Wete fü a ein und beobachten Sie die Veändeung des Gaphen. Da f a (x) = e a f(x) gilt, hängt die Veändeung nu vom Fakto e a ab. Begünden Sie, wann e a > bzw. wann e a < wid. 04-

12 Lösungen Die benötigten Funktionsteme weden mit dem Taschencompute emittelt und unte geeigneten Namen gespeichet. Die Teme de Ableitungen sind: x f'(x) = 3x e x f''(x) = (3x 3) e f '''(x) = 3x (x 3) e x Mit dem Taschencompute kann man sich einen esten Übeblick übe den Velauf des Gaphen G f veschaffen. a) Schnittpunkte mit den Achsen De Schnittpunkt mit de x-achse wid duch Lösen de Gleichung f(x) = 0 bestimmt. Man ehält mit dem Taschencompute, dass keine Lösung existiet. Altenative: Betachtet man die Gleichung 3e x = 0, so kann man begünden, dass diese Gleichung keine Lösung hat, da ez = 0 fü jedes eelle z keine Lösung besitzt. Den Schnittpunkt mit de y-achse ehält man duch Beechnen von f(0). De Schnittpunkt mit de y-achse ist somit S (0 3). y Maximale Anstieg des Gaphen Gesucht ist de Punkt, fü den de Anstieg des Gaphen dem Betage nach am gößten ist. Steigung bzw. Gefälle weden duch die. Ableitung eine diffeenziebaen Funktion beschieben. De Punkt mit maximalem Anstieg ist de in de Gafik ekennbae Wendepunkt im II. Quadanten, da bis zu diesem Punkt de Anstieg göße wid und sich dann wiede vekleinet. Man muss also den Wendepunkt bestimmen. 04-

13 W(x w f(x w )) ist ein Wendepunkt von G f, wenn sowohl das notwendige Kiteium f ''(x w ) = 0 als auch ein hineichendes Kiteium, z. B. f '''(x w ) 0, gelten. Vollständigeweise müsste man noch kontollieen, ob es keine globalen Extemstellen von f ' gibt, dies kann mit eine Genzwetbetachtung efolgen. De Punkt W( 3 e ) ist de gesuchte Punkt mit maximalem Anstieg. Altenative: Man kann die x-koodinate des Wendepunktes auch mit dem Befehl fmax() emitteln. Auch hie ehält man als x-koodinate x =. Skizze beide Gaphen b) Schnittwinkel im Punkt Q Zunächst beechnet man mit de Gleichung f(x) = f '(x) den Schnittpunkt de beiden Gaphen. De gesuchte Punkt Q hat die Koodi- naten Q( 3 e ) und stimmt mit dem Wendepunkt W übeein. Um den Schnittwinkel zwischen beiden Gaphen in diesem Punkt beechnen zu können, benötigt man die Anstiege de Gaphen in diesem Punkt, d. h., f '( ) liefet den Anstieg des Gaphen von f an de Stelle x = und f ''( ) liefet den Anstieg des Gaphen von f ' an de gleichen Stelle. Da de Anstieg des Gaphen de Ableitungsfunktion in diesem Punkt 0 ist (Wendepunkt), eduziet sich die Aufgabe daauf, den Anstieg des Gaphen von f bzgl. de x-achse zu emitteln. Fü den gesuchten Winkel α gilt damit: tan (α) = f '( ) Anmekung: Sollten Sie nu ein symbolisches Egebnis bekommen, so müssen Sie den Tem noch einmal näheungsweise beechnen lassen. Fü den gesuchten Winkel egibt sich α,. 04-3

14 Flächenbestimmung Die notwendigen Integationsgenzen ekennt man in de Skizze beide Gaphen sowie aus den bisheigen Übelegungen und Egebnissen: Die untee Genze ist die Wendestelle x = und die obee Genze ist x = 0. Damit kann die gesuchte Fläche mittels Beechnung des bestimmten Integals sofot emittelt weden, da die gesuchte Fläche vollständig obehalb de x-achse liegt. De gesuchte Flächeninhalt betägt: A,39FE c) Die gesuchte Tangente t emittelt man z. B. mit dem Befehl tangentline(): t (x) = e x + 5e Altenative Lösung: Um die Gleichung de Tangente, die eine Geade ist, zu bestimmen, muss man in de Geadengleichung y = m x + n die Paamete m und n emitteln. Es gilt m = f '( ). Man ehält m = e. Da die Tangente den Gaphen im Punkt P( f( )) beüht, hat sie dot die gleichen x- und y-koodinaten wie de Gaph von f. Es gilt also: f( ) = e ( ) + n Man ehält damit n = 5e. Um die Gleichung de zweiten Tangente zu emitteln, muss man eine weitee Stelle finden, die den gleichen Anstieg hat wie t. Fü die zweite Tangente ehält man die Gleichung t (x) e x + 3,. Beachte: De Taschencompute liefet fü die zweite Tangente fü den Anstieg einen Näheungswet, da bei de Beechnung de Näheungswet fü die Stelle genutzt wid. Flächenbeechnung Am einfachsten kann die Fläche beechnet weden, indem man den Flächeninhalt des kleinen Deiecks D vom Flächeninhalt des goßen Deiecks D subtahiet (siehe Bildschimabduck). Dazu benötigt man noch die Nullstellen de Tangenten. Im Gafikfenste kann man zunächst einen Kontollwet (5,9,54 = 3,4) emitteln. 04-4

15 Um diese Flächen beechnen zu können, benötigt man noch die Nullstellen von t und t. 5 t (x) = 0 liefet x 0 = und t (x) = 0 egibt x 0 3,833. Die Flächeninhaltsbeechnung de beiden echtwinkligen Deiecke liefet: 5 A = 3, 3,833 5e 3,43[FE] Die Deiecksbeechnung egibt A 3,43FE. Altenative Lösung: Die Flächenbeechnung efolgt mittels Beechnung de zugehöigen bestimmten Integale. d) Die Anzahl de Tangenten in Abhängigkeit vom Anstieg m kann mit de folgenden Übelegung bestimmt weden: De Anstieg de Tangenten egibt sich aus m = f '(x). Um die Anzahl de Tangenten in Abhängigkeit von m zu bestimmen, betachtet man den Gaphen von f '(x) und betachtet fü jedes m (entspicht eine Paallelen zu x-achse) die Anzahl de Schnittpunkte mit f '(x). Gleichzeitig sollte man den Wetebeeich von f ' beachten. So gibt es z. B. fü m = genau zwei Tangenten. Man ekennt auch am Gaphen von f, dass es dei Stellen mit genau eine Tangente gibt: m= 0 (Hochpunkt des Gaphen von f) m 3e =± (Wendepunkte des Gaphen von f) Zwei Tangenten ehält man fü: 3e < m < 0 ode 0< m< 3e Ansonsten, außehalb des Wetebeeichs von f ', gibt es keine Tangenten: m 3e < ode m > 3e 04-5

16 e) Ganzationale Näheungsfunktion Die einfachste Näheung ehält man mit dem Ansatz eine geaden quadatischen Funktion mit dem Tem p(x) = ax + 3. Hie nutzt man den Hochpunkt von f beeits als gemeinsamen Punkt von p und f aus. Als weitee Eigenschaft kann man z. B. vewenden, dass p und f in einem de Wendepunkte von f den gleichen Funktionswet annehmen, also p() = f() gelten muss. Man ehält damit als Lösung: p(x) = (3e 3) x + 3 Die Gafik zeigt eine gute Näheung im gößten Teil des gegebenen Intevalls. Altenative : Man wählt als Ansatz eine geade Funktion vieten Gades aus, p(x) = ax 4 + bx + 3. Zusätzlich zu den Eigenschaften aus de esten Lösung kann man jetzt z. B. foden, dass auch noch p() = f() gelten muss. Als Tem egibt sich: p(x) 0,77x4,358x + 3 Die ehaltene Näheungsfunktion ist etwas besse. 04-

17 Altenative : Mittels Regession kann man z. B. einen ähnlichen Tem emitteln. f) Begündung Es soll gezeigt weden, dass fü x + f a a (x) = 3 e (x 0 ) die Gleichheit f a a (x) = e f(x) gilt. Nach dem Potenzgesetz, dass Potenzen mit gleiche Basis (hie e) multipliziet weden können, indem die Basis beibehalten wid und die Exponenten addiet weden, egibt sich die zu zeigende Gleichheit: a x a x a x x a + e 3e = 3e e = 3e = 3e Bescheibung Bei de Dastellung veschiedene Repäsentanten de Kuvenscha f a (z. B. mit a = ; ; ; ) ekennt man, dass fü a < 0 eine Stauchung und fü a > 0 eine Steckung des Gaphen von f entlang de y-achse efolgt. 04-7

18 Kenfach Mathematik (Thüingen): Abitupüfung 04 Wahlaufgabe B: Analysis Duch Stakegen kann Hochwasse entstehen. Zum Schutz davo wid ein Rückhaltebecken angelegt, das bei Stakegen gefüllt wid. Im Zulauf wid ein Messgeät installiet, das fü die Zeit x (in Stunden) den momentanen Zulauf z (in Kubikmete po Stunde) efasst. Das Rückhaltebecken ist zu Beginn de Messung lee und hat ein Fassungsvemögen von,5 Millionen m 3. Nach einem Stakegen fließt dei Tage Wasse in das Rückhaltebecken. Fü diesen Zeitaum kann de momentane Zulauf z duch die Gleichung z(x) = x (x 7) beschieben weden. a) Skizzieen Sie den zugehöigen Gaphen fü diesen Zeitaum in ein geeignetes Koodinatensystem. Beechnen Sie den Zeitpunkt, an dem de momentane Zulauf am gößten ist. Geben Sie den maximalen Zulauf an. Beechnen Sie den Zeitpunkt, an dem sich de Zulauf am stäksten veinget. b) Es wid angenommen, dass kein Wasse abläuft. Untesuchen Sie, ob das Fassungsvemögen des Rückhaltebeckens auseicht, um die zufließende Wassemenge vollständig aufzunehmen. c) Das Rückhaltebecken ist lee. Beim vollständigen Befüllen soll de Zufluss so eguliet weden, dass de Zulauf übe dei Tage konstant ist. Es wid angenommen, dass dabei kein Wasse abläuft. Beechnen Sie den Wet des konstanten Zulaufs. Stellen Sie diesen Sachvehalt im Koodinatensystem aus Teilaufgabe a gaphisch da. d) Das Rückhaltebecken soll innehalb von sieben Tagen vollständig entleet weden. Skizzieen Sie einen möglichen Gaphen, de diesen Vogang bescheibt, und intepetieen Sie Ihe Dastellung. e) Gegeben ist die Funktion f duch f(x) = x (x 7) (x 0). Eine Paabel p hat die gleichen Nullstellen wie die Funktion f. De Hochpunkt de Paabel hat die gleiche y-koodinate wie de Hochpunkt des Gaphen von f. Emitteln Sie eine Gleichung fü die Paabel p. Eine weitee Paabel p ist gegeben duch p (x) = 3x (x 7). Zeigen Sie, dass de Flächeninhalt, den die Paabel p und die x-achse vollständig einschließen, genau so goß ist wie de Flächeninhalt, den de Gaph von f und die x-achse vollständig einschließen. Untesuchen Sie, ob Stellen u so existieen, dass de Unteschied de Funktionswete f(u) und p (u) maximal wid. Geben Sie gegebenenfalls diese Stellen u an. (7 BE) ( BE) ( BE) ( BE) (7 BE) (0 BE) 04-8

19 Hinweise und Tipps Entnehmen und notieen Sie die im Aufgabentext gegebenen Gößen. Püfen Sie die Vetäglichkeit de Einheiten. Aufgabe a Skizze des Gaphen von z Estellen Sie eine Wetetabelle fü die Funktion z in einem sinnvollen Intevall. Schon damit können Sie die velangte Skizze estellen. Abe es ist z. B. aus Kontollgünden sinnvoll, sich zunächst den Kuvenvelauf auf dem CAS-Rechne anzusehen. Lassen Sie sich den Gaphen de Funktion z im angegebenen Intevall vom CAS-Rechne anzeigen. Achten Sie dabei auf eine zweckmäßige Einteilung des Dastellungsfenstes. Skizzieen Sie den Gaphen auf Papie. Zeitpunkt fü den gößten momentanen Zulauf Da eine Beechnung fü den gößten Wet des momentanen Zulaufs velangt ist, sollten Sie die notwendige und die hineichende Bedingung fü lokale Extema mithilfe de. bzw.. Ableitung de Funktion z untesuchen. Wet des maximalen Zulaufs Beechnen Sie den Funktionswet von z an de Extemstelle. Kontollieen Sie das echneische Egebnis auf einem andeen Lösungsweg. Zeitpunkt, an dem sich de Zulauf am stäksten veinget Fü den Zeitpunkt, an dem sich de Zulauf am stäksten veinget, müssen Sie das Ändeungsvehalten de Ableitungsfunktion z' von z untesuchen. Es ist die Stelle fü das Minimum von z' zu beechnen. Lassen Sie sich den Gaphen von z' zu Kontolle anzeigen und beechnen Sie dann das lokale Minimum mithilfe de. und. Ableitung von z'. Altenative: Zeitpunkt, an dem sich de Zulauf am stäksten veinget Die Suche nach dem Minimum des Ändeungsvehaltens de Funktion z entspicht de Bestimmung des Wendepunktes. ( De Zulauf nimmt imme stäke ab, nach Eeichen des Wendepunktes velangsamt sich die Abnahme wiede. ) Emitteln Sie den Wendepunkt echneisch. Kontollieen Sie das Egebnis auf einem andeen Weg, z. B. gafisch. Aufgabe b Da die Funktion z den Zulauf, also das Ändeungsvehalten des Volumens bescheibt, kann das Volumen duch Integation bestimmt weden. (Intepetation des bestimmten Integals als aus Ändeungen ekonstuiete Bestand.) Vegleichen Sie den duch Integation ehaltenen Wet des Wassevolumens mit dem Fassungsvemögen des Rückhaltebeckens. 04-9

20 Aufgabe c Bei konstantem Zufluss von a m 3 muss fü das vollständige Befüllen des Rückhaltebeckens h übe dei Tage a 7 =,5 0 gelten. Die gafische Dastellung eines konstanten Zuflusses kann duch eine Paallele zu x-achse ealisiet weden. Aufgabe d Skizze De einfachste Fall wäe eine lineae Entladekuve. Übelegen Sie, welche Achsenbezeichnungen fü eine solche Kuve sinnvoll sind. Im Aufgabentext steht nicht, welche Zusammenhang dagestellt weden soll. Denkba sind ein z(t)-t-diagamm ode ein V(t)-t-Diagamm. Intepetation Die Dastellung soll intepetiet weden. De Opeato Intepetieen wid beschieben duch Sachvehalte/ Zusammenhänge / Fakten ode Daten analysieen, sie deuten bzw. ekläen. Sie können z. B. aufscheiben, welche sachbezogenen Gedanken Sie bei de Anfetigung Ihe Skizze hatten. Aufgabe e Paabel p Die Gleichungen de Funktionen z und f stimmen übeein. Sie können also ggf. auf Egebnisse voige Übelegungen ode Beechnungen zu Funktion z zuückgeifen. Stellen Sie mit den Koodinaten de Schnittpunkte von f mit de x-achse und des Hochpunktes von z ein Gleichungssystem zu Beechnung de Paamete in de Gleichung y= p (x) = a x + b x+ c auf. Beachten Sie, dass die Hochpunkte von f und p zwa dieselbe y-koodinate haben sollen, abe nicht zwangsläufig auch dieselbe x-koodinate aufweisen müssen. Emitteln Sie die Lösungen fü a, b und c dieses Gleichungssystems und geben Sie die Gleichung de Paabel p an. Altenativen: Paabel p Wegen de Übeeinstimmung de Nullstellen kann man fü die Paabel sofot den Ansatz y= p(x) = a x (x 7) wählen. Wegen de Symmetie de Paabel muss de Scheitelpunkt mittig zwischen den Nullstellen liegen. Damit und mit de y-koodinate des Hochpunktes von z kann dann de Steckungsfakto a bestimmt weden. Ode: Übelegen Sie, wie die Koodinaten de Schnittpunkte de Paabel mit de x-achse sowie ihes Scheitelpunktes lauten, und bestimmen Sie die Gleichung duch quadatische Regession. 04-0

21 Flächeninhalte In Teilaufgabe b haben Sie beeits einen de gesuchten Flächeninhalte beechnet. Übelegen Sie, wie Sie den Flächeninhalt, den die Paabel p mit de x-achse einschließt, mithilfe de Integalechnung emitteln können. Vegleichen Sie beide Flächeninhalte. Maximale Unteschied von Funktionsweten Machen Sie sich anhand de Funktionsgaphen kla, wo solche Stellen maximale Diffeenz etwa liegen können. Beachten Sie, dass sich beide Gaphen im Intevall 0 < x < 7 schneiden, sodass einmal f obehalb von p und andemal untehalb von p veläuft. Definieen Sie die Diffeenzfunktion d(u) und stellen Sie den Gaphen da. Duch den Opeato Untesuchen Sie ist Ihnen die Wahl de Mittel feigestellt. Achten Sie abe auf eventuelle Wanungen des CAS-Rechnes. Übepüfen Sie ggf. das Egebnis auf einem andeen Weg, z. B. gafisch. Lösungen Dem Aufgabentext lassen sich folgende gegebene Gößen entnehmen: x: Zeit fü den Zulauf, gemessen in Stunden (h), betachtet wid eine Zeitspanne von dei Tagen, also gilt 0 x 7. z: momentane Zulauf, angegeben in Kubikmete po Stunde ( m 3 ), mit dem zeitlichen Velauf z(x) = x (x 7) im Intevall 0 x 7. h Fassungsvemögen (Gesamtvolumen) von,5 0 m 3. a) Skizze des Gaphen von z Emitteln Sie im Intevall 0 x 7 einige Funktionswete fü eine Wetetabelle. x z(x)

22 Lassen Sie den Gaphen von z duch den CAS-Rechne dastellen, um den typischen Funktionsvelauf zu ekennen. Achten Sie auf geeignete Fensteeinstellungen. Beücksichtigen Sie dafü die Wetetabelle. Wegen des Intevalls 0 x 7 könnte fü die x-achse z. B. de Beeich von 0 bis 00 (Schittweite 0) eingestellt weden. Man könnte fü die y-achse z. B. eine Einstellung von bis mit Schittweite wählen. Übetagen Sie den Gaphen von z auf Papie. Bezeichnen Sie die Achsen und die Einheiten entspechend dem voliegenden Sachvehalt. Zeitpunkt fü den gößten momentanen Zulauf Mit dem CAS-Rechne weden die Ableitungen bestimmt, gespeichet und notiet: z'(x) = 3 (x 7) (x 4) z''(x) = x 88 z'''(x) = Die notwendige Bedingung fü lokale Extema ist z'(x) = 0. Die Nullstellen von z' kann man sofot de faktoisieten Dastellung entnehmen. Mögliche Extemstellen sind danach x e = 7 und x e = 4. Den Wet x e = 7 kann man sofot vewefen, da aus de gafischen Dastellung bekannt ist, dass dot mit z(7) = 0 ein Randminimum voliegt. Fü die hineichende Bedingung wid noch z''(4) = 4 88 = 44 bestimmt. Da z''(4) < 0 ist, liegt an de Stelle x = 4 ein lokales Maximum vo. Egebnis: Nach 4 Stunden ist de momentane Zufluss am gößten. 04-

23 Altenativ können die Ableitungen auch ohne CAS bestimmt weden: z(x) = x (x 7) Poduktegel z'(x) = (x 7) + x (x 7) ausklammen z'(x) = (x 7) (x 7 + x) zusammenfassen z'(x) = 3 (x 7) (x 4) Poduktegel z''(x) = 3 [ (x 4) + (x 7) ] zusammenfassen z''(x) = 3 (x 9) z'' '(x) = Wet des maximalen Zulaufs De maximale Zulauf ist z(4) = 55 9 m 3. h Zu Kontolle sollten Sie das Egebnis auf einem andeen Wege übepüfen, z. B. duch die gafische Emittlung des maximalen Zulaufs. Zeitpunkt, an dem sich de Zulauf am stäksten veinget De Zulauf veinget sich fü 4 < x < 7, wie man dem Gaphen von z entnehmen kann. Gesucht ist in diesem Intevall die Stelle, fü die das Gefälle des Gaphen dem Betage nach am gößten ist. Steigung bzw. Gefälle weden duch die. Ableitung eine diffeenziebaen Funktion beschieben. Es muss also fü die notwendige Bedingung die. Ableitung von z' auf Nullstellen untesucht weden: (z')' = z'' = 0, also x 88 = 0, und dies füht auf x = 48. Die hineichende Bedingung fü ein lokales Minimum ist efüllt, denn z'''(x) = ist fü alle x positiv, also gilt auch z'''(48) > 0. Kontollübelegungen: Die Steigung von z' an de Stelle 48 ist: z'(48) = 3 (48 7) (48 4) = 78 Die Steigung ist negativ, also liegt ein Gefälle vo. Wi betachten noch den Velauf de Funktion z' und finden die echneischen Übelegungen bestätigt. 04-3

24 Altenative Lösungsweg: Auch eine Intepetation de Fagestellung duch die Suche nach dem Wendepunkt von z im Intevall 4 < x < 7 füht zum gleichen Egebnis. De Wendepunkt tennt Kuvenabschnitte bezüglich ihes Kümmungsvehaltens. Im Intevall 4 < x < 48 nimmt das Gefälle imme meh ab (de Gaph ist echtsgekümmt), wähend es dann wiede göße wid (de Gaph ist linksgekümmt). De Wendepunkt muss also de Punkt sein, an dem sich de Zulauf am stäksten veinget. Die echneische Bestimmung des Wendepunktes von z efolgt so, wie oben beeits angegeben. Eine Kontolle ist wiede auf gafischem Wege möglich. Egebnis: De Zeitpunkt, an dem sich de Zulauf am stäksten veinget, ist x = 48h. b) Da die Funktion z im Intevall 0 x 7 nicht negativ ist, kann das duch den Zulauf ezeugte Wassevolumen im Rückhaltebecken duch das Integal 7 z(x) dx = [m 3] 0 bestimmt weden. Altenative : De Wet des Integals kann auch aus de gafischen Dastellung gewonnen weden. Altenative : Beechnung des Integals ohne CAS: 7 7 z(x) dx = (x3 44x + 584x) dx = x x + x = [m 3] Egebnis: Das Volumen de zugelaufenen Wassemenge ist kleine als das Fassungsvemögen des Rückhaltebeckens von m 3, sodass de Zulauf vollständig aufgenommen weden kann. c) Die Gleichung a 7=,5 0 füht auf: a 347, m 3 h 04-4

25 Die gafische Dastellung de Funktion y = 34 7, fü 0 x 7 ist eine Stecke paallel zu x-achse in diesem Intevall duch den Punkt P(0; 34 7,). Das Gesamtvolumen de zugeflossenen Wassemenge kann als Flächeninhalt des Rechtecks intepetiet weden, das diese Stecke mit de x-achse im Intevall 0 x 7 bildet. Dieses Rechteck wid in de gafischen Dastellung eingezeichnet. d) Skizze Die Aufgabe lässt offen, mit und in welchen Einheiten die Achsen zu bezeichnen sind. Sinnvoll ist es z. B., die Odinatenachse fü das Volumen in m 3 (ode in Millionen m 3 ) und die Abszissenachse fü die Zeit in Tagen (ode Stunden) zu wählen. Entspechend müssen dann die Achseneinteilungen vogenommen weden. Vegessen Sie nicht, diese Aspekte in Ihe Zeichnung zu beücksichtigen. Es wid außedem voausgesetzt, dass das Rückhaltebecken zu Entleeungsbeginn vollständig gefüllt ist. Fü eine lineae Abnahme des Entleevoganges zeichnet man dann ein monoton fallendes Geadenstück duch die Punkte P(0;,5 0 ) und Q(7; 0), falls die y-achse in de Einheit m 3 und die x-achse in de Einheit Tage eingeteilt wude. Intepetation Die Entleeung des Rückhaltebeckens efolgt linea. Dabei fließen täglich,5 0m m3 7 Wasse ab. De Vogang beginnt zum Zeitpunkt x = 0 beim Punkt P(0;,5 0 ), de das anfangs vohandene Gesamtvolumen epäsentiet, e endet beim Punkt Q(7; 0), de fü das Ende des vollständigen Entleeens nach 7 Tagen steht. 04-5

26 Hinweis: Die Abnahme muss nicht linea angenommen weden. Es ist z. B. auch denkba, eine Kuve zu skizzieen, die zunächst etwas stäke und dann wenige stak fällt. Ein Beispiel ist nebenstehend aufgefüht. Hie sind auch die Achsen andes eingeteilt als in de obigen Dastellung. Altenative fü die Skizze: Denkba ist auch, fü diesen Vogang ein Diagamm zu skizzieen, das den Zusammenhang zwischen de Volumenändeung po Zeiteinheit und de Zeit, also dem Abfluss (negative Zufluss) po Zeiteinheit und de Zeit, wiedegibt. Setzt man einen konstanten Abfluss voaus und wählt als Zeiteinheit Minuten, so müs-,5 0 sen po Minute 48 m3 Wasse ab fließen, um das Becken in diese Zeit vollständig zu leeen. Zu gafischen Dastellung kann man z. B. die Odinatenachse beschiften mit Zufluss in m 3 po Minute und die Zeitachse mit Minuten. De Gaph ist dann eine zu Zeitachse paallele Stecke PQ duch die Punkte P(0; 48) und Q(0 080; 48). e) Gleichung de Paabel p Die Nullstellen von f(x) = x(x 7) können diese faktoisieten Fom sofot entnommen weden. (Ein Podukt ist null, wenn eine de Faktoen null ist.) Die Nullstellen von f sind also x = 0 und x = 7. Die Schnittpunkte des Gaphen von f mit de x-achse sind demzufolge die Punkte P(0; 0) und Q(7; 0). Da die Gleichungen de Funktionen z und f übeeinstimmen und de Hochpunkt von z in Teil a beeits bestimmt wude, hat auch die Funktion f den Hochpunkt H(4; 55 9). De Hochpunkt de Paabel p hat einen y-wet wie H, alledings nicht an deselben Stelle. Wegen de Achsensymmetie de Paabel muss de Hochpunkt de Paabel in de Mitte 0+ 7 zwischen den beiden Nullstellen, also bei = 3, liegen. De Hochpunkt H* von p ist H*(3; 55 9). Die allgemeine Gleichung fü eine Paabel ist y f(x) a x b x c. = = + + Dies gilt auch fü die Paabel p. Die Koodinaten von P, Q sowie H* weden eingesetzt und das so entstandene Gleichungssystem wid gelöst. 0= a 0 + b 0+ c 0= a 7 + b 7+ c 55 9 = a 3 + b 3 + c Die Paabel p hat die Gleichung: 8 y= p (x) = x x 3 04-

27 Altenative : Da die Nullstellen von p mit denen de Funktion f übeeinstimmen sollen, kann man fü p sofot den folgenden Ansatz aufstellen: y= p (x) = a x (x 7) Man übelegt wie oben, dass de Scheitelpunkt von p an de Stelle x = 3 liegen muss und die y-koodinate y = 55 9 haben soll. Beide Wete setzt man in die Gleichung ein und bestimmt den Wet des Paametes a: 55 9 = a 3 (3 7) a = = 3 3 Damit kann die Gleichung fü p angegeben weden: 8 y= p(x) = x (x 7) 3 Altenative : Man emittelt mithilfe de Punkte P(0; 0), Q(7; 0) und H*(3; 55 9) eine Gleichung duch quadatische Regession. Es egibt sich die Gleichung: y = p (x) 4,7 x x Beachten Sie die Anmekungen zum CAS- Rechne auf Seite XV. Flächeninhalte Da die Funktionen f und z übeeinstimmen, kann man den in Teilaufgabe b bestimmten Wet fü die gesamte zufließende Wassemenge als Flächeninhalt A vewenden, den die Funktion f mit de x-achse einschließt: 7 7 A = z(x) dx = f(x) dx = De Gleichung fü die Paabel p (x) = 3x (x 7) kann man entnehmen: () Wegen a = 3 ist die Paabel nach unten geöffnet. () Die Nullstellen sind x = 0 und x = 7. (3) Wegen () und () liegt de Gaph von p im Intevall 0 < x < 7 obehalb de x-achse. Die Fläche A, die die Paabel p mit de x-achse einschließt, kann folglich beechnet weden duch: 7 A = ( 3x (x 7)) dx = Ein Vegleich beide Flächeninhalte zeigt, dass A = A ist. Damit ist de velangte Nachweis ebacht. 04-7

28 Altenativen: Wenn man die Übeeinstimmung von f und z nicht ekennt, lassen sich beide Flächeninhalte natülich auch andes vegleichen. Man muss sich abe davon übezeugen, dass die beiden Flächen obehalb de x-achse liegen, damit bei de Beechnung de Integale nichts schiefgeht. Das kann man z. B. duch eine gafische Dastellung beide Funktionen f und p ealisieen. Die beiden Flächeninhalte lassen sich auch vegleichen, ohne dass man ihe Wete explizit beechnet. Fü die Gleichung 7 7 x (x 7) dx = 3x (x 7)dx 0 0 gibt de CAS-Rechne tue ( wah ) zuück. Schließlich ließen sich die Flächeninhalte auch übe die gafische Dastellung emitteln und vegleichen. Dieses Vefahen ist abe wegen de hiebei auftetenden Näheungswete ehe kitisch zu sehen. Maximale Unteschied von Funktionsweten Die Gaphen von f und p schneiden einande an de Stelle x = 3. Im Intevall 0 < u < 3 liegt de Gaph von f obehalb des Gaphen von p. Die Diffeenz zwischen den Funktionsweten kann im Intevall 0 < u < 3 angegeben weden duch: d (u) = f(u) p (u) Im Intevall 3 < u < 7 liegt de Gaph von f untehalb des Gaphen von p. 04-8

29 Die Diffeenz zwischen den Funktionsweten kann im Intevall 3 < u < 7 angegeben weden duch: d (u) = p (u) f(u) Die Stellen fü das Maximum beide Diffeenzen können z. B. mithilfe de Anweisung fmax bestimmt weden. Abe Achtung: De Rechne gibt eine Wanung wegen zweifelhafte Genauigkeit aus. Deshalb weden die Beechnungen duch einen andeen Lösungsweg übepüft. Es wid dafü das Ableitungskalkül vewendet: d (u) = f(u) p (u) d (u) = p (u) f(u) Beide Stellen weden als Extemstellen bestätigt. Eine Übepüfung kann auch auf gafischem Wege efolgen: Egebnis: Es gibt im Intevall [0; 7] zwei Stellen, fü die die Diffeenz zwischen beiden Funktionsweten lokale Maxima annimmt: u = ( 3 3) 5, und u = ( 3 + 3) 5,8 De Wet de Maxima muss laut Aufgabenstellung nicht angegeben weden. Denkba wäe es auch, mit dem Betag de Diffeenzen, also mit f(u) p (u), zu abeiten. Dies empfiehlt sich deshalb nicht, weil die auftetenden Ausdücke auch mit dem CAS z. T. nicht auswetba sind. 04-9

30 Kenfach Mathematik (Thüingen): Abitupüfung 04 Wahlaufgabe C: Geometie / Stochastik. Gegeben ist de Wüfel ABCDEFGH mit A(8 0), B(8 8 0) und G( 8 ). a) Zeichnen Sie diesen Wüfel in ein Koodinatensystem. Geben Sie die Koodinaten von H an. b) Die Geade g veläuft duch die Punkte A und G. Geben Sie eine Gleichung fü die Geade g an. Beechnen Sie die Koodinaten des Schnittpunktes de Geaden g mit de y-z-ebene. c) Bestimmen Sie die Koodinaten des Punktes K(x 4 z) so, dass K auf de Geaden g liegt. Emitteln Sie das Vehältnis, in dem de Punkt K die Stecke AG teilt. d) Die Geade h veläuft duch die Punkte H und K. Bestimmen Sie die Göße des Schnittwinkels de Geaden g und h. Beechnen Sie den Abstand des Punktes H von de Geaden g. Beechnen Sie den Flächeninhalt des Deiecks AGH. ( BE) (3 BE) ( BE) (5 BE). Ein ideale Wüfel wid gewofen. a) Geben Sie die zu ewatende Anzahl von Sechsen bei 00 Wüfen an. ( BE) b) Beechnen Sie die Wahscheinlichkeit fü folgende Eeignisse: A: = Beim zweimaligen Wüfeln fällt zweimal die gleiche Zahl. B: = Beim zweimaligen Wüfeln ist die Summe de gewofenen Augenzahlen duch 3 teilba. C: = Beim zehnmaligen Wüfeln fällt imme die. D: = Beim zehnmaligen Wüfeln fällt nie die. E: = Beim zehnmaligen Wüfeln fällt höchstens zweimal die. (5 BE) c) Bestimmen Sie die Mindestanzahl de Wüfe, damit mit eine Wahscheinlichkeit von mindestens 95 % mindestens zwei Sechsen fallen. ( BE) (0 BE) 04-30

31 Hinweise und Tipps Aufgabe a Skizzieen Sie das Schägbild eines Wüfels ABCDEFGH. Übelegen Sie anhand de gegebenen Punkte, welche Kantenlänge de Wüfel hat. Machen Sie sich kla, wie mithilfe von Vektoen aus den gegebenen Punkten und diesen Punkten selbst die Otsvektoen de fehlenden Eckpunkte des Wüfels bestimmt weden können. Zeichnen Sie ein Schägbild des Wüfels in ein Koodinatensystem. Geben Sie die Koodinaten von H an. Aufgabe b Geadengleichung Wählen Sie den Otsvekto eines de beiden Punkte A und G als Stützvekto de Geaden g. Als Richtungsvekto kann z. B. AG vewendet weden. Schnittpunkt Schneidet die Geade g die y-z-ebene, so muss die x-koodinate des Schnittpunktes null sein. Mit diese Tatsache können Sie den Wet des Paametes de Geadengleichung bestimmen und damit die estlichen Koodinaten beechnen. Aufgabe c Punkt K Die y-koodinate von K ist bekannt (y = 4). Setzen Sie y = 4 in die zugehöige Gleichung von g(ag) ein, beechnen Sie den zugehöigen Paametewet und bestimmen Sie damit die fehlenden Koodinaten. Teilvehältnis Vegleichen Sie die Paametewete de Geaden g(ag), die zu den Punkten A, K und G gehöen. Schließen Sie daaus auf das Teilvehältnis. Altenativen: Teilvehältnis Beechnen Sie die Längen de Stecken AK und KG. Emitteln Sie das Vehältnis diese beiden Steckenlängen. Ode: Denken Sie sich einen ebenen Schnitt duch den Wüfel ABCDEFGH duch die Kanten AB und GH. Die Schnittfläche ist das Rechteck ABGH, das mit de Diagonale AG auch ein Stück de Geaden g enthält. Übelegen Sie, wo in diesem Rechteck die senkechte Pojektion von K auf die Kante AB liegen muss. Sie ehalten damit eine Stahlensatzfigu, sodass mit dem Stahlensatz das Teilvehältnis bestimmt weden kann. Aufgabe d Schnittwinkel von g und h De Schnittwinkel zweie Geaden wid übe den Winkel ihe Richtungsvektoen gebildet. Emitteln Sie die Koodinaten eines Richtungsvektos de Geaden h(hk). Beechnen Sie mithilfe des Skalapodukts den Winkel zwischen den Richtungsvektoen von g und h. 04-3

32 Sollte sich bei de Beechnung des Winkels zwischen den Richtungsvektoen ein stumpfe Winkel egeben, so geben Sie seinen Nebenwinkel als Schnittwinkel de zugehöigen Geaden an. Altenative: Schnittwinkel von g und h Sie können den gesuchten Winkel auch übe den Kosinussatz im Deieck KGH bestimmen. Abstand Punkt H von de Geaden g Sie können das Abstandspoblem z. B. als Extemalpoblem auffassen und lösen. Bilden Sie die Diffeenz des Otsvektos eines beliebigen Punktes de Geaden g und des Otsvektos von H. Das Minimum des Betages dieses Diffeenzvektos ist de gesuchte Abstand. Altenativen: Abstand Punkt H von de Geaden g Bilden Sie die Diffeenz des Otsvektos eines beliebigen Punktes de Geaden g und des Otsvektos von H. Wenn diese Diffeenzvekto othogonal zum Richtungsvekto de Geaden g ist, so epäsentiet sein Betag den Abstand von H zu g. Sie können diesen Sachvehalt mit dem Skalapodukt untesuchen. Ode: Betachten Sie die echteckige Schnittfläche ABGH des Wüfels, die mit de Diagonale AG auch ein Stück de Geaden g enthält. Sie können den Abstand mithilfe tigonometische Rechnungen in echtwinkligen Teilfiguen des Rechtecks ABGH bestimmen. Flächeninhalt Deieck AGH Sie können den soeben beechneten Abstand als eine Deieckshöhe vewenden. Übelegen Sie, welche Deiecksseite die zu diese Höhe gehöende Deiecksseite ist. Beechnen Sie die Länge diese Deiecksseite. Beechnen Sie den Flächeninhalt des Deiecks mit diesen Gößen. Altenative: Flächeninhalt Deieck AGH Wenn Ihnen das Vektopodukt bekannt ist, können Sie mit dessen Hilfe den gesuchten Flächeninhalt bestimmen. Aufgabe a Begünden Sie, dass die Anzahl de Sechsen beim Wefen eines Wüfels eine binomialveteilte Zufallsgöße ist. Beechnen Sie den Ewatungswet diese binomialveteilten Zufallsgöße. Aufgabe b Eeignis A: Pfadegel anwenden. Eeignis B: Alle möglichen Summen beim zweimaligen Wefen auflisten und auf Teilbakeit duch 3 untesuchen. Eeignis C: Veküztes Baumdiagamm und Pfadegel anwenden. Eeignis D: Analoges Vogehen wie bei Eeignis C. Eeignis E: Benoulli-Fomel anwenden. 04-3

33 Aufgabe c Übesetzen Sie die Aspekte de Aufgabe mithilfe de Veteilungsfunktion de Binomialveteilung in eine adäquate Ungleichung fü P(X ). Emitteln Sie die Lösung diese Ungleichung z. B. duch systematisches Pobieen. Ode: Betachten Sie das Gegeneeignis P(X ). Die sich daaus egebende Ungleichung bzw. die zugehöige Gleichung lässt sich mit dem CAS-Rechne diekt lösen. Lösungen. a) Üblicheweise wid das Quadat ABCD als Gundfläche und das Quadat EFGH als Deckfläche eines Wüfels angesehen. Aus den Koodinaten von A(8 0) und B(8 8 0) kann man entnehmen, dass die Kantenlänge des Wüfels LE betägt. Das kann man sich inhaltlich klamachen, denn beide Punkte liegen wegen z = 0 in de x-y-ebene, paallel zu y-achse (wegen x = 8) und die y-koodinaten haben den Abstand voneinande. Dasselbe Egebnis ehält man übe die Vektosubtaktion: AB = OB OA = 8 = AB = Aus de Tatsache, dass A und B in de x-y-ebene liegen, sowie wegen de Kantenlänge schließt man, dass C diekt unte G( 8 ) ebenfalls in de x-y-ebene liegen muss und demzufolge die Koodinaten von C lauten: C( 8 0) Die Koodinaten de andeen Eckpunkte lassen sich nun z. B. duch Vektoaddition eschließen. 8 8 OD = OA + BC OD = = D( 0) OE = OA + CG OE = = OF = OE + AB OF = + 8 = OH = OG + BA OH = = 0 0 E(8 ) F(8 8 ) H( ) 04-33

34 Mithilfe de Koodinaten de Eckpunkte lässt sich nun leicht ein Schägbild des Wüfels in ein Koodinatensystem zeichnen. Altenativ kann man z. B. auch eine Zwei- ode Deitafelpojektion zeichnen. Mit gutem äumlichen Vostellungsvemögen kann man sich die Koodinaten de fehlenden Eckpunkte auch ohne diese vektoiellen Übelegungen eschließen und den Wüfel im Schägbild ode in eine Tafelpojektion zeichnen. Es ist zudem nu velangt, die Koodinaten von H anzugeben. Die Koodinaten de andeen Eckpunkte müssen also nicht explizit angegeben weden. b) Geadengleichung g(ag): x = OA + t AG mit t g(ag): x = + t 8 = + t mit t Schnittpunkt Jede Punkt de y-z-ebene hat die x-koodinate null, so auch de gesuchte Schnittpunkt von g(ag) mit diese Ebene: 8 4 0= 8 t t = = 3 Einsetzen von t = 4 in die Geadengleichung egibt: = De gesuchte Schnittpunkt S hat die Koodinaten S(0 0 8). c) Punkt K Einsetzen von y = 4 in die zugehöige Zeile de Geadengleichung egibt 4 = + t, also gilt: t = = 3 Diesen Wet muss man nun in die Geadengleichung einsetzen: 8 + = De Punkt K hat die Koodinaten K( 4 )

35 Teilvehältnis 8 Anhand de beechneten Paametewete und mithilfe von g(ag): x = t 0 + ekennt man: De Punkt G( 8 ) wid vom Punkt A(8 0) aus mit dem Paametewet t = eeicht. De Punkt K( 4 ) wid von A(8 0) aus mit t = eeicht. 3 Wegen 0< < liegt K im Inneen de Stecke AG. 3 Wegen t = gilt: 3 AK = AG und KG = AG = AG Setzt man diese Steckenlängen ins Vehältnis, so egibt sich, dass K die Stecke AG von A aus im Vehältnis : teilt. Altenative : 8 AK = 4 = = ( ) + + = = 4 3 = KG = 8 4 = 4 = ( 4) = 48 = 3 = AK 3 = = KG 4 3 Altenative : Die Fagestellung lässt sich elementageometisch beabeiten. Man denkt sich einen ebenen Schnitt duch den Wüfel ABCDEFGH duch die Kanten AB und GH. Die Schnittfläche ist das Rechteck ABGH, das mit de Diagonale AG auch ein Stück de Geaden g enthält. De Punkt F(8 4 0) liegt dann auf de Kante AB und teilt diese im Vehältnis : (von A aus), wie man duch Vegleich de Koodinaten von A(8 0), B(8 8 0) und F(8 4 0) leicht sieht. Die Senkechte duch F zu AB schneidet die Diagonale AG im Punkt K, denn K und F haben dieselbe y-koodinate y = 4. Die Stecken FK und BG sind paallel. Sie bilden zusammen mit AB und AG eine Stahlensatzfigu. Aus dem Stahlensatz lässt sich nun schließen, dass wegen AF:FB= : auch AK:KG= : gelten muss. aus Teil- d) Schnittwinkel von g und h Als Richtungsvekto de Geaden h kann z. B. de Vekto 4 HK = 4 = 4 vewendet weden. Als Richtungsvekto de Geaden g wid de Vekto aufgabe b vewendet

36 Die Göße α des Winkels zwischen beiden Vektoen kann duch cos( α ) = bestimmt weden. De Winkel zwischen den Richtungsvektoen beide Geaden hat eine Göße von α 5,. Als Schnittwinkel zwischen den Geaden wid de zugehöige spitze Nebenwinkel angegeben. E hat eine Göße von 80 5, = 54,74. Vegleichen Sie die Bemekungen zum CAS auf Seite XVII. Altenative: Die Göße des Schnittwinkels HKG kann mithilfe des Kosinussatzes bestimmt weden. Dazu weden übe die Koodinaten de Punkte H( ), K( 4 ) und G( 8 ) die Seitenlängen des Deiecks HKG bestimmt: HK = ( ) + (4 ) + ( ) = = 3 = GK = ( ) + (4 8) + ( ) = + + = 3 = 4 3 HG = (Kantenlänge des Wüfels) HG = HK + GK HK GK cos( ε ) 3 = cos( ε ) Aus diese Gleichung wid die Göße des Schnittwinkels bestimmt: ε 54,74 Abstand Punkt H von de Geaden g De Otsvekto eines beliebigen Punktes P t auf de Geaden g lässt sich angeben duch: 8 OPt = + t 0 De Otsvekto des Punktes H ist: OH = De Diffeenzvekto PH t ist dann: 8 + t = 0 t

37 De Betag dieses Vektos wid beschieben duch: a(t) = 3t 4t + Diese Tem nimmt fü t = sein Minimum 3 an. De Wet des Minimums und damit de Abstand von H zu g ist: a = 4,9LE 3 Vegleichen Sie die Bemekungen zum CAS-Rechne auf Seite XVII. Altenative : De Abstand kann auch mithilfe des Skalapodukts bestimmt weden. De Diffeenzvekto PH t ist: 8 + t = 0 t 0 de Gea- E muss im Falle minimalen Abstands senkecht zum Richtungsvekto den sein. Das Skalapodukt beide Vektoen muss null egeben: 0 t = 0 Dies ist fü t = de Fall. 3 De Betag des Diffeenzvektos PH ist mit diesem Wet geade goß. Das ist de gesuchte Abstand. Altenative : De Abstand von H zu g(ag) kann auch elementageometisch beechnet weden. Die Punkte A, G und H liegen auf de echteckigen Schnittfläche ABGH duch den Wüfel ABCDEFGH. L sei de Lotfußpunkt von H auf AG. Dann ist d = HL de gesuchte Abstand. Die Stecke HG hat die Länge LE (Kante des Wüfels). Die Stecke AH hat die Länge LE (Diagonale de quadatischen Seitenfläche). Damit lässt sich im echtwinkligen Deieck AGH die Göße α des Winkels AGH beechnen: tan( α ) = = α 54,74 Nun kann im echtwinkligen Deieck GHL die Stecke d beechnet weden: d sin(54,74 ) d 4,9 LE 04-37

38 Flächeninhalt Deieck AGH De Flächeninhalt eines Deiecks kann als das halbe Podukt aus de Länge eine Deiecksseite und de Länge de zugehöigen Höhe beechnet weden. In de voigen Teilaufgabe wude de Abstand von H zu g bestimmt. Die Deiecksseite AG liegt auf g, somit ist de Abstand von H zu g die Höhe auf de Seite AG. Diese Seite ist gleichzeitig eine Raumdiagonale im Wüfel ABCDEFGH, fü deen Länge gilt: AG = 3 AB = 3 De Flächeninhalt des Deiecks AGH ist: ,5FE = = = Altenative: Wenn das Vektopodukt bekannt ist, kann de gesuchte Flächeninhalt auch als das halbe Podukt des Betages des Vektopodukts zweie das Deieck aufspannende Vektoen beechnet weden: A = HG HA 0 3 = 0 = 0 = a) Die Anzahl de Sechsen beim Wefen eines Wüfels kann als binomialveteilte Zufallsgöße X aufgefasst weden, denn es wid das gleiche Benoulli-Expeiment (einmaliges Wefen eines Wüfels) n-mal unabhängig voneinande wiedeholt. Die Wahscheinlichkeit fü das Wefen eine Sechs ist p =. De Ewatungswet fü die Anzahl de Sechsen bei 00 Wüfen ist: E(X) = 00 = 00 b) Eeignis A Zweistufiges Zufallsexpeiment; beim esten Wuf fällt igendeine de sechs Zahlen mit de Wahscheinlichkeit, beim zweiten Wuf fällt dieselbe Zahl wie beim esten mit de Wahscheinlichkeit P(A) = =. Nach de. Pfadegel gilt dann: Altenative Lösung: Es gibt 3 mögliche Vesuchsausgänge beim zweimaligen Wefen eines Wüfels, davon sind genau sechs günstige Egebnisse ( Pasch ). Damit gilt: P(A) = =

39 Eeignis B Es wid eine Übesicht übe die möglichen Summen de Augenzahlen (gau eingefäbte Zellen) beim zweimaligen Wefen eines Wüfels estellt. Die dunkelgau eingefäbten Zellen makieen die duch 3 teilbaen Summen. Es sind von 3 Zellen dunkelgau eingefäbt: P(B) = = Eeignis C Bei jedem Wuf weden die Egebnisse Sechs gewofen (p = ) und keine Sechs gewofen (p = ) unteschieden. Nach de. Pfadegel gilt 5 dann: 0 P(C) = 0 Altenativ kann man auch mit de Binomialveteilung agumentieen: P(X = 0) = 0 0 0; 0 Eeignis D Bei jedem Wuf weden die Egebnisse Sechs gewofen (p = ) und keine Sechs gewofen (p = ) unteschieden. Nach de. Pfadegel gilt 5 dann: 0 5 P(D) = 0,5 Altenativ kann man auch mit de Binomialveteilung agumentieen: P(X 5 = 0) = 0,5 0; 0 Eeignis E Die Zufallsgöße X bescheibe die Anzahl de Sechsen beim zehnmaligen Wefen eines Wüfels. X ist binomialveteilt mit n = 0 und p =. P(E) = P(X ) k 0 k 0 5 = 0,775 k k = 0 Vegleichen Sie die Bemekungen zum CAS-Rechne auf Seite XV

40 c) Die Zufallsgöße X bescheibe die Anzahl de Sechsen beim n-maligen Wefen eines Wüfels. X ist binomialveteilt mit unbekanntem n und p =. n k n k 5 P(X ) 0,95 n ( ) 0,95 k k = Systematisches Pobieen mit dem CAS- Rechne: n n ( ) k ( ) n n 5 k k k = 5 0,937 0,94 7 0,953 Man muss mindestens 7-mal wefen. Altenative : Das systematische Pobieen kann auch mit de Tabellenkalkulation duchgefüht weden. Zweite Kopfzeile de Spalte A: = seq(k,k,,30) Zweite Kopfzeile de Spalte B: = seq(binomcdf(k,,,k),k,,30) Altenative : P(X ) 0,95 P(X ) 0,05 k n k n 5 0,05 k k = 0 0 n n n 5 n 5 0, n n 5 5 n + 0,05 Diese Ungleichung lässt sich nicht mit dem CAS-Rechne lösen, wohl abe die zugehöige Gleichung: n n 5 5 n + = 0,05 Die negative Lösung entfällt. Da gefagt ist, wie goß n mindestens sein muss, wid die nächstgößee natüliche Zahl n = 7 gewählt. Man muss mindestens 7-mal wefen. Vegleichen Sie die Bemekungen zum CAS-Rechne auf Seite XX

41 Kenfach Mathematik (Thüingen): Abitupüfung 04 Wahlaufgabe C: Stochastik / Geometie. He Meye möchte das Dach seines Einfamilienhauses neu eindecken. Bei einem Angebot sichet de Vekäufe zu, dass nu etwa ein Pozent de Ziegel unbauchba ist. Die Ziegel weden auf Paletten geliefet. Auf eine Palette sind 8 Pakete mit je 3 Ziegeln. a) He Meye öffnet das este Paket Ziegel. Beechnen Sie die Wahscheinlichkeit folgende Eeignisse: A: = Kein Ziegel ist unbauchba. B: = Nu de este Ziegel ist unbauchba. C: = Genau ein Ziegel ist unbauchba. (3 BE) b) Beechnen Sie die zu ewatende Anzahl unbauchbae Ziegel po Palette. Geben Sie die Wahscheinlichkeit dafü an, dass diese Anzahl nicht übeschitten wid. ( BE) c) Emitteln Sie die Mindestanzahl de Ziegel, die gepüft weden müssen, damit mit eine Wahscheinlichkeit von mindestens 95 % mindestens zwei unbauchbae Ziegel dabei sind. (3 BE) He Meye findet beeits im esten Paket zwei unbauchbae Ziegel und vemutet deshalb, dass die Fehlequote etwa 5 % betägt. De Vekäufe ist sich siche, dass % de Ziegel unbauchba ist. Deshalb bietet e einen Peisnachlass an, wenn bei de Übepüfung de esten Palette mindestens sieben unbauchbae Ziegel gefunden weden. d) Beechnen Sie die Wahscheinlichkeit dafü, dass de Vekäufe einen Peisnachlass gewähen muss, obwohl tatsächlich nu % de Poduktion unbauchba ist. Bestimmen Sie die Wahscheinlichkeit dafü, dass He Meye keinen Peisnachlass ehält, obwohl e mit seine Vemutung Recht hat. (4 BE). Gegeben ist die Geade g duch die Punkte A( 3 4) und B(8 3 8). Fü jede eelle Zahl z ist eine Geade 3 h: x = ( 0) 5 z gegeben. a) Emitteln Sie den Wet von z so, dass die Geaden g und h paallel zueinande sind. b) Beechnen Sie einen Wet fü z so, dass die Geaden g und h senkecht aufeinande stehen. Bestimmen Sie fü diesen Fall den Schnittpunkt de Geaden. c) Untesuchen Sie, ob ein Wet fü z existiet, so dass die Geaden g und h windschief sind. ( BE) (4 BE) ( BE) (0 BE) 04-4

42 Hinweise und Tipps Aufgabe a Entscheiden Sie, unte welchen Voaussetzungen die Anzahl de bauchbaen bzw. unbauchbaen Ziegel duch eine binomialveteilte Zufallsgöße X beschieben weden kann. Nutzen Sie in den Fällen, bei denen die Binomialveteilung zutifft, die Befehle binompdf() bzw. binomcdf(). Bestimmen Sie die Länge de Benoullikette und die Teffewahscheinlichkeit. Eeignis A: Binomialveteilung anwenden. Eeignis B: Zeichnen Sie ein veküztes Baumdiagamm, da die Binomialveteilung hie nicht anwendba ist. Eeignis C: Binomialveteilung anwenden. Aufgabe b Um die zu ewatende Anzahl unbauchbae Ziegel zu bestimmen, nutzen Sie aus, dass es sich um eine binomialveteilte Zufallsgöße handelt. Bestimmen Sie n und p fü diesen Fall und beechnen Sie den Ewatungswet. Schließen Sie aus dem Ewatungswet auf die ganzzahlige Anzahl unbauchbae Ziegel. Beechnen Sie die gesuchte Wahscheinlichkeit mithilfe de Veteilungsfunktion de Binomialveteilung. Aufgabe c Bescheiben Sie die gesuchte Wahscheinlichkeit mit de in Teilaufgabe a definieten Zufallsgöße. Es ist de Paamete n de binomialveteilten Zufallsgöße X n; 0,0 zu bestimmen. Gesucht ist die Wahscheinlichkeit P(X n; 0,0 ) 95 %. Sie können den Wet duch systematisches Pobieen finden. Aufgabe d Es handelt sich um einen Altenativtest mit vogegebene Entscheidungsegel. Die beiden Altenativen sind: p = % unbauchbae Ziegel bzw. p = 5 % unbauchbae Ziegel. Es weden n = 88 Ziegel getestet. (Man kann auch mit n = 5 abeiten, da das este Paket nicht meh in den Test einbezogen weden sollte.) Teil : Annahme p gilt und es muss ein Peisnachlass gewäht weden heißt, man findet 7 ode meh unbauchbae Ziegel. Teil : Annahme p gilt und es muss kein Peisnachlass gewäht weden heißt, man findet ode wenige unbauchbae Ziegel. Nutzen Sie fü die Bestimmung diese beiden Wahscheinlichkeiten die Summenfunktion de Binomialveteilung. 04-4

43 Aufgabe a Zwei Geaden sind genau dann zueinande paallel, wenn die Richtungsvektoen a und b Vielfache voneinande sind. Zwei Vektoen a und b sind Vielfache voneinande, wenn man in de Gleichung a = s b genau eine Lösung fü s 0 findet. Aufgabe b Zwei Geaden stehen genau dann senkecht aufeinande, wenn die beiden Richtungsvektoen a und b senkecht aufeinande stehen. Ob zwei Vektoen senkecht aufeinande stehen, kann man mit dem Skalapodukt übepüfen. Untesuchen Sie, ob sich die Geaden g und h schneiden, indem Sie das Gleichungssystem g(t) = h() lösen. Bestimmen Sie dann den Schnittpunkt. Aufgabe c Zwei Geaden sind genau dann windschief zueinande, wenn sie keinen Schnittpunkt besitzen und gleichzeitig nicht paallel zueinande sind. Untesuchen Sie, wann das Gleichungssystem g(t) = h(, z) keine Lösung besitzt, und bestimmen Sie hiefü den Wet fü z. Was lässt sich hieaus schlussfolgen? Beücksichtigen Sie Ihe Lösung aus Teilaufgabe a. Lösungen. Die Lösung de Aufgabe setzt voaus, dass man von eine binomialveteilten Zufallsgöße ausgehen kann. Modellannahme: Die Ziegel sind mit eine Wahscheinlichkeit von p = 0,0 unbauchba und das Öffnen de Pakete kann als stochastisch unabhängig angenommen weden. Die Zufallsgöße X gibt die Anzahl unbauchbae Ziegel unte den untesuchten an. Damit ist X binomialveteilt mit den Paameten p = 0,0 und n. De Paamete n muss in jede Teilaufgabe entspechend den Gegebenheiten gewählt weden. a) P(A) = P( kein Ziegel unbauchba ) P(A) = B 3; 0,0 (X = 0) 0,94 P(B) = P( nu de este Ziegel unbauchba ) P(B) = 0,0 0, ,0070 Altenative Lösung: P(B) = 0,0 B 35; 0,99 (X = 35) 0,0070 P(C) = P( genau ein Ziegel unbauchba ) P(C) = B 3; 0,0 (X = ) 0,53 b) Ausgehend vom Modell eine binomialveteilten Zufallsgöße gilt fü die Beechnung des Ewatungswetes E(X) = n p mit n = 88 und p = 0,0: E(X) = 88 0,0 =,88 3 Po Palette kann man von zwei bis dei unbauchbaen Ziegeln ausgehen. Je nach Intepetation dieses Egebnisses egeben sich die folgenden beiden Lösungsmöglichkeiten

44 Lösungsweg : Optimistischee Ansatz B 88; 0,0 (X ) 0,449 Lösungsweg : Pessimistischee Ansatz B 88; 0,0 (X 3) 0,74 c) Deimal-mindestens-Aufgabe Die Zufallsgöße X ist binomialveteilt mit p = 0,0 und unbekanntem n. Die Wahscheinlichkeit, dass sich unte mindestens n entnommenen Ziegeln mindestens zwei unbauchbae befinden, soll mindestens 95 % betagen. Diese Summenwahscheinlichkeit B n; 0,0 (X ) 0,95 kann z. B. mittels systematischen Pobieens gefunden weden. Es müssen mindestens 473 Ziegel getestet weden. Altenative Lösung: Unte Vewendung des Gegeneeignisses kann man die gesuchte Zahl auch diekt beechnen: B n; 0,0(X ) = ( B n; 0,0(X = 0) + B n; 0,0(X = ) ) 0, 95 n 0,00 0,99n + n 0,0 0,99n 0,95 0 (( ) ( ) ) Die Umsetzung diese Ungleichung in den Taschencompute gelingt nu duch das Lösen de entspechenden Gleichung. Auch hie egibt sich als Lösung, dass mindestens 473 Ziegel getestet weden müssen. Hinweis: Die Befehle binompdf() bzw. binomcdf() können hie nicht genutzt weden, da diese nu fü ganzzahlige Wete fü n definiet sind und anscheinend Näheungsfomeln vewenden. Man könnte sich abe eine eigene Funktion definieen. d) Altenativtest Modellannahme: Die getesteten Ziegel sind eine Zufallsstichpobe aus de Gesamtliefeung. Testgöße Y: Zufällige Anzahl de unbauchbaen Ziegel unte allen gepüften. Die beiden Altenativen sind: p = % unbauchbae Ziegel bzw. p = 5 % unbauchbae Ziegel. Es weden n = 88 Ziegel getestet

45 Man sollte alledings mit n = 5 abeiten, da das este Paket nicht meh zum eigentlichen Test gehöt, de sich nu auf einen in de Zukunft liegenden Sachvehalt beziehen kann. Vaiante : n = 88 Nullhypothese H 0 : p = 0,0; Altenativhypothese H : p = 0,05 Annahmebeeich: A = {0; ; ; } Ablehnungsbeeich: A = {7; 8; ; 88} De Vekäufe muss einen Peisnachlass gewähen, wenn mindestens 7 unbauchbae Ziegel gefunden weden. Wenn dies abe zufällig geschieht, obwohl doch H 0 gilt, kann man dieses Risiko beechnen: B 88; 0,0 (Y 7 ) 0,07 Umgekeht ehält He Meye keinen Peisnachlass, wenn wenige als 7 unbauchbae Ziegel gefunden weden. Wenn dies abe zufällig geschieht, obwohl H gilt, kann man auch dieses Risiko beechnen: B 88; 0,0 (Y < 7 ) 0,0097 Vaiante : n = 5 Nullhypothese H 0 : p = 0,0; Altenativhypothese H : p = 0,05 Annahmebeeich: A = {0; ; ; 4} Ablehnungsbeeich: A = {5; ; ; 5} De Vekäufe muss einen Peisnachlass gewähen, wenn in den estlichen 7 Paketen noch mindestens 5 unbauchbae Ziegel gefunden weden. Wenn dies abe zufällig geschieht, obwohl doch H 0 gilt, kann man dieses Risiko beechnen: B 5; 0,0 (Y 5 ) 0,05 Umgekeht ehält He Meye keinen Peisnachlass, wenn wenige als 5 unbauchbae Ziegel gefunden weden. Wenn dies abe zufällig geschieht, obwohl H gilt, kann man auch dieses Risiko beechnen: B 5; 0,05 (Y < 5 ) 0,004. Bei Beabeitung mit dem Taschencompute sollten die benötigten Objekte zunächst definiet weden. Auch die Geade g, die duch die Punkte A und B veläuft, wid aufgestellt: g(ab): x = 3 + t 0 (t 0)

46 a) Die Untesuchung de Paallelität de Richtungsvektoen beide Geaden efolgt duch Lösen des Gleichungssystems a = s b, wobei a und b die jeweiligen Richtungsvektoen sind. Fü z = sind g und h paallel zueinande. b) Die beiden Geaden g und h stehen genau dann othogonal aufeinande, wenn sie einen Schnittpunkt haben und gleichzeitig fü die Richtungsvektoen a b= 0 gilt: = 0 z = 7 4 z Mit diesem Wet fü z = 7 wid nun untesucht, fü welche Wete das Gleichungssystem g(t) = h() eine Lösung hat. De Schnittpunkt S fü diesen Fall ist: 4 78 S c) Zwei Geaden sind genau dann windschief zueinande, wenn sie A: nicht paallel zueinande sind und B: keinen Schnittpunkt besitzen. Um Bedingung A zu efüllen, muss z sein (vgl. Teilaufgabe a). Um die Bedingung B zu übepüfen, vesucht man z. B. das Gleichungssystem g(t) = h() ohne Einschänkung fü z zu lösen. Man ekennt, dass dieses Gleichungssystem keine Lösung besitzt, wenn z = ist. Da sich nun Bedingung A und Bedingung B widespechen, gibt es keinen Wet fü z, sodass die Geaden windschief zueinande sind. Egänzung: Dastellung im 3D-Fenste Paallelität fü z = Othogonalität und Schnittpunkt fü z =