Analysis 5.

Transkript

1 Analysis 5 Aufgaben Gegeben ist die Funktion f durch f(x) = 2 e 2 x 2 (x D f ) a) Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion f an und führen Sie für die Funktion f eine Kurvendiskussion durch (Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen mit Koordinatenachsen, Monotonie, Verhalten im Unendlichen). Zeichnen Sie den Graph der Funktion f im Intervall 0 x 5. b) In jedem Punkt P (u f(u)) (u R) existiert genau eine Tangente t u an den Graph der Funktion f. Ermitteln Sie eine Gleichung für die Tangente t u. Berechnen Sie den Wert für u, für den die zugehörige Tangente t u durch den Punkt B(1 2) verläuft. Geben Sie die Gleichung dieser Tangente an. Zeichnen Sie die durch B verlaufende Tangente in das Koordinatensystem von Aufgabenteil a) ein. c) Der Graph der Funktion f, die x-achse und die y-achse begrenzen eine Fläche A vollständig. Berechnen Sie den Flächeninhalt der Fläche A. Der Fläche A seien Rechtecke so einbeschrieben, dass eine Rechteckseite auf der x-achse, eine Rechteckseite auf der y-achse und ein Eckpunkt auf dem Graph der Funktion f liegen. Durch Rotation dieser Rechtecke um die y-achse werden Zylinder erzeugt. Zeigen Sie, dass unter diesen Zylindern ein Zylinder mit maximalen Oberflächeninhalt existiert. Ermitteln Sie den Oberflächeninhalt des Zylinders. 1

2 d) Gegeben ist das Dreieck ABC durch die Punkte A(0 2), B(1 2) und C(0 f(0)). Für jedes a (a R a > 0) begrenzen die Gerade mit der Gleichung x = a, der Graph der Funktion f, die y-achse und die Gerade mit der Gleichung y = 2 eine Fläche A a vollständig. Ermitteln Sie lim a A a. Bestimmen Sie den Wert für a so, dass sich der Flächeninhalt der Fläche A a zum Flächeninhalt des Dreiecks ABC wie 3 : 2 verhält. 2

3 Lösungen a) Die Funktion f ist an jeder Stelle definiert. Es gilt für den Definitionsbereich: D f { x R } An den Nullstellen ist der Funktionswert f(x) = 0: 0 = 2 e 2 x 2 1 = e 2 x 0 = 2 x x = 2 Die Funktion f schneidet die x-achse im Punkt S x (2 0). Zur Bestimmung des Schnittpunktes S y der Funktion f mit der y-achse, ermittelt man den Wert f(0): f(0) = 2 e 2 2 Die Funktion f schneidet die y-achse im Punkt S y (0 2e 2 2). Zur Bestimmung der Monotonie untersucht man die erste Ableitung f : f(x) = 2 e 2 x 2 f (x) = 2 e 2 x Da 2 < 0 und e 2 x > 0 ist f (x) < 0 im gesamten Definitionsbereich. Die Funktion f ist im gesamten Definitionsbereich monoton fallend. Für den Grenzwert lim f(x) gilt: x lim (2 x e2 x 2) = lim 2 x e2 x lim 2 x = 2 e 2 lim x e x 2 = 2 e = 2 3

4 Für den Grenzwert lim f(x) gilt: x lim (2 x e2 x 2) = lim 2 x e2 x lim 2 x = 2 e 2 lim x e x 2 = 2 e 2 2 = b) Der Anstieg m u der Tangente t u ergibt sich aus der ersten Ableitung f (u): m u = f (u) = 2 e 2 u Setzt man nun den Punkt P (u f(u)) und den Anstieg m u in die allgemeine Geradengleichung y = mx + n ein ergibt sich: f(u) = 2 e 2 u u + n 2 e 2 u 2 = 2 e 2 u u + n n = 2 e 2 u e 2 u u Damit ergibt sich als Tangentengleichung: t u : y = 2 e 2 u x + 2 e 2 u u + 2 e 2 u 2 4

5 Zur Bestimmung von u setzt man den Punkt B in die Gleichung ein und stellt nach u um: 2 = 2 e 2 u e 2 u u + 2 e 2 u 2 0 = u u = 0 Es ergibt sich die Tangentengleichung t 0 : t 0 : y = 2 e 2 x + 2 e 2 2 c) Um den gesuchten Flächeninhalt A zu bestimmen, muss die Funktion f in den Grenzen x 1 = 0 (y-achse) und x 2 = 2 (Nullstelle) integriert werden: A = e 2 x 2 dx [ = 2 e 2 x] 2 [ ] 2 2x 0 0 = e 2 (4 0) = 2 e 2 6 Der gesuchte Flächeninhalt beträgt A 8, 8. Für den Oberflächeninhalt eines Zylinders gilt: A O = 2 π r (r + h) 5

6 Da der Zylinder durch Rotation um die y-achse entsteht, ist r = x und h = f(x) und es ergibt sich die Zielfunktion: A O (x) = 2 π x (x + f(x)) = 2 π x (x + 2 e 2 x 2 ) = 2 π x π e 2 x x 4 π x (0 < x < 2) auf Nullstellen findet man die Ex- Durch Untersuchung der ersten Ableitung A O trema: A O (x) = 2 π x π e 2 x x 4 π x A O(x) = 4 π x + 4 π (1 x) e 2 x 4 π 0 = 4 π x + 4 π e 2 x 4 π e 2 x x 4 π 0 = x + e 2 x x e 2 x 1 0 = (x 1) (1 e 2 x) x 1 = 1 x 2 = 2 x 2 entfällt (siehe Definitionsbereich der Zielfunktion). Mit der zweiten Ableitung A O wird die Art des Extremum bestimmt: A O(x) = 4 π x + 4 π e 2 x 4 π e 2 x x 4 π A O(x) = 4 π 4 π e 2 x 4 π e 2 x (1 x) = 4 π 8 π e 2 x + 4 π x e 2 x A O(1) = 4 π 8 π e + 4 π e = 4 π 4 π e < 0 Für x = 1 ist der Oberflächeninhalt A O maximal. Dieser beträgt: A O (1) = 2 π + 4 π e 4 π = 4 π e 2 π 27, 9 6

7 d) Der gesuchte Flächeninhalt A a ergibt sich durch Integration der Funktion f in den Grenzen x 1 = 0 und x 2 = a + dem Inhalt des Rechtecks unter der x-achse: a A a = (2 e 2 x 2) dx + (2 a) 0 [ ] a = 2e 2 x 2x + (2a) 0 = 2e 2 a 2a ( 2e 2) + 2a = 2e 2 2e 2 a Für den Grenzwert lim A(a) gilt: a ( lim 2e 2 2e 2 a) = 2e 2 lim a a 2e2 a = 2e 2 0 = 2e 2 Für den Flächeninhalt A D des Dreiecks gilt: A D = 1 2 AB AC = (2e ) = e 2 Nun muss noch die Verhältnisgleichung aufgestellt werden: 2e 2 2e 2 a e 2 = e2 a e 2 = 3 4 e 2 a = 1 4 e2 e a = 4 a = ln 4 Für a = ln 4 ist das Verhältnis A a : A D = 3 : 2. 7