ARBEITSBLATT 6-5. Kurvendiskussion

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1 ARBEITSBLATT 6-5 Kurvendiskussion Die mathematische Untersuchung des Graphen einer Funktion heißt Kurvendiskussion. Die Differentialrechnung liefert dabei wichtige Dienste. Intuitive Erfassung der Begriffe Krümmung, Wendepunkt, Etrema (Hoch- und Tiefpunkte): Es gibt nun Punkte auf dieser Kurve, die uns besonders interessieren: Betrachten wir die obige Kurve unter folgendem Aspekt. Stellen wir uns dabei ein gebirgiges Gelände vor. Von Punkt P kommend, erreichen wir im Punkt E die Talsohle, also den tiefstgelegenen Punkt der Umgebung. Wenn wir unsere Wanderung fortsetzen, so gelangen wir nach einiger Zeit zum Gipfel E dem höchstgelegenen Punkt der Umgebung. Der höchst- bzw. tiefstgelegene Punkt der Umgebung wird (lokaler) Etrempunkt genannt. Welcher mathematische Zusammenhang beschreibt aber nun diese Etremwerte? Die Tangenten in E und E an den Graphen sind parallel zur -Achse; wobei die -Achse hier mit einer der beiden Tangenten identisch ist (welcher?). Damit haben wir aber eine Eigenschaft von Etrempunkten erkannt: Etrempunkte besitzen waagrechte (zur -Achse parallele) Tangenten, was aber nur bedeutet, dass die Steigung der Tangenten und damit der Funktion in den Etremwerten gleich sein muss. Stellen wir uns zum obigen Graphen nun eine andere Situation vor: Wir befinden uns auf einer Straße, die dem Verlauf der nebenstehenden Kurve entspricht. Auf dem Weg von P nach N, fahren wir mit unserem PKW zunächst in einer Linkskurve. Jeder Autofahrer weiß, dass er der Straßenkrümmung Rechnung tragen muss: Im Bereich des Punktes N, beginnen wir das nach links eingeschlagene Lenkrad langsam nach rechts zu drehen, weil die Krümmung abnimmt. Etwas später (wann?) befinden wir uns

2 in einer Rechtskurve. Interessant ist nun, dass im Punkt W die Straße weder eine Links- noch eine Rechtskurve macht und daher das Auto vollkommen gerade fährt. Die Straße hat in W keine Krümmung. Den Punkt W nennt man Wendepunkt. Die Krümmung ist also das intuitive Maß für die Drehung der Kurve. In einem Wendepunkt ist die Krümmung stets. Mathematisch wird die Krümmung die zweite Ableitung der Funktion f sein. Definition der Begriffe Monotonie, Krümmung, Etrema und Wendepunkte mithilfe der Differentialrechnung: f ( )= Erkenne: f ist monoton wachsend. f ( )= Erkenne: f ist monoton fallend Wir berechnen uns nun die Steigung der Funktion f, d.h. die wir bilden die erste Ableitung. f ( ) = Wir berechnen uns nun die Steigung der Funktion f, d.h. die wir bilden die erste Ableitung. f ( ) = Erkenne: Da für jedes positiv ist, ist die. Ableitung für jedes größer Null! Ich zeichne nun den Graphen f (): Erkenne: Da für jedes positiv ist, ist die. Ableitung für jedes kleiner Null! Ich zeichne nun den Graphen f ():

3 Schauen wir uns nun noch die Krümmung der Funktion f an. Dazu bilden wir die zweite Ableitung, d.h. wir differenzieren f () noch einmal: f ( ) = 6 Erkenne: Bei positiven ist die zweite Ableitung größer Null, bei negativen wird die zweite Ableitung negativ. Ich zeichne nun die Funktion f (): Schauen wir uns nun noch die Krümmung der Funktion f an. Dazu bilden wir die zweite Ableitung, d.h. wir differenzieren f () noch einmal: f ( ) = 6 Erkenne: Bei positiven ist die zweite Ableitung kleiner Null, bei negativen wird die zweite Ableitung positiv. Ich zeichne nun die Funktion f (): Wenn wir nun die Krümmung mit dem ursprünglichen Graphen von f vergleichen, so fällt auf, dass die Funktion im negativen Bereich (<) im Uhrzeigersinn gedreht ist. Dort erhalten wir eine negative Krümmung. Folglich ergibt eine Drehung im Uhrzeigersinn eine negative Krümmung. Im positiven Bereich (>) ist die Funktion gegen den Uhrzeigersinn gedreht. Dort erhalten wir eine positive Krümmung. Folglich ergibt eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn eine positive Krümmung. Wenn wir nun die Krümmung mit dem ursprünglichen Graphen von f vergleichen, so fällt auf, dass die Funktion im negativen Bereich (<) gegen den Uhrzeigersinn gedreht ist. Dort erhalten wir eine positive Krümmung. Folglich ergibt eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn eine positive Krümmung. Im positiven Bereich (>) ist die Funktion im Uhrzeigersinn gedreht. Dort erhalten wir eine negative Krümmung. Folglich ergibt eine Drehung im Uhrzeigersinn eine negative Krümmung.

4 Nun können wir die Monotonie definieren: Definition: Sei f: [a,b] R ) f ist in [a,b] monoton wachsend, wenn gilt: f ( für [a,b] Eine Funktion nennt man also monoton wachsend, wenn ihre Steigung größer oder gleich Null ist. f ist in [a,b] monoton fallend, wenn gilt: f ( ) für [a,b] Eine Funktion nennt man also monoton fallend, wenn ihre Steigung kleiner oder gleich Null ist. Nun müssen wir uns noch einiges in Bezug auf die Etremwerte überlegen. Oben haben wir bereits festgestellt, dass Etremwerte die Eigenschaft haben, dass bei ihnen die Steigung der Funktion Null ist. Wir wollen aber bei jedem Etremwert noch wissen, ob er ein Hochpunkt (also ein Maimum) oder ein Tiefpunkt (also ein Minimum ist). Dazu verwenden wir die zweite Ableitung, also die Krümmung. Überlegen sie sich mittels folgender Darstellung: Wenn die Kurve im Etremwert gegen den Uhrzeigersinn (die Krümmung ist also positiv) gedreht ist, so kann es sich bei dem Etremwert nur um einen Tiefpunkt handeln. Ist die Kurve hingegen im Etremwert im Uhrzeigersinn gedreht (Krümmung ist negativ), so kann der Etremwert nur ein Hochpunkt sein: 4

5 Der Punkt E(/y) ist ein (lokaler) Etrempunkt einer Funktion f, wenn gilt: f ( ) = Dieser Punkt ist ein (lokales) Maimum bzw. ein Hochpunkt, wenn außerdem gilt: f ( ) < H Kurve ist negativ (rechts) gekrümmt!!! Dieser Punkt ist ein (lokales) Minimum bzw. ein Tiefpunkt, wenn außerdem gilt: f ( ) > Kurve ist positiv (links) gekrümmt!!! T 5

6 Nun definieren wir noch den Wendepunkt, also den Punkt, Krümmung genau ändert, mathematisch eakt: Ein Punkt W(/y) heißt Wendepunkt der Funktion f, wenn gilt: indem sich die f ( ) = und f ( ) Im Punkt W ändert sich die Krümmung, daher ist die Kurve in diesem Punkt weder positiv noch negativ gekrümmt, also f ( ) = Anmerkung: Warum f ( )? Damit will man sichergehen, dass wirklich ein Wendepunkt vorliegt und kein Flachpunkt: Was soll bei einer Kurvendiskussion berechnet werden? ) Nullstellen: f ( ) = ) Etrema: f ( ) =. Wenn f ( ) <, dann Hochpunkt Wenn f ( ) >, dann Tiefpunkt ) Wendepunkte: f ( ) = und f ( ) 4) Wendetangenten: y = 5) Zeichnung k +d 6

7 Sehen wir uns nun die Berechnung an einem konkreten Beispiel an: Beispiel: Diskutiere die Funktion f ( ) = ³ ² +. Lösung: ) Nullstellen: Den Begriff der Nullstelle haben sie bereits im. Semester kennen gelernt. Nullstellen sind die Schnittpunkte der Funktion mit der -Achse, d.h dass Nullstellen immer die y-koordinate Null haben. Wir suchen also nun jene Punkte der Funktion f, für die gilt, dass f ( )=. Wir setzen also nun f() = (oder y = ): ³ ² + = Da es sich hier um eine Gleichung dritten Grades handelt, besitzt diese maimal drei reelle Lösungen und somit kann unsere Kurve maimal drei Nullstellen besitzen! Da dies eine Gleichung dritten Grades ist, lässt sich die Lösung nicht mittels einer Formel berechnen. Wir müssen die erste Lösung mittels Probierens finden. Dazu setzen wir -Werte in die Funktion ein und errechnen uns den y-wert: f ( ) = ³ ² + - f ( ) = ( ) ( ) + = f () = + = f () = + = Für = erhalten wir den y-wert Null, dies ist also die erste Lösung unserer Gleichung. = Die anderen Lösungen können wir jetzt mittels Polynomdivision finden. Dazu erinnern wir uns an den sogenannten Satz des Vieta. Dieser sagt unter anderem aus, dass man eine Gleichung n-ten Grades mit den Lösungen bis n auch als Produkt ihrer Linearfaktoren schreiben kann. Also: n n n + a + b f + g = ( ) ( )... ( n ) Das liest sich nun etwas kompliziert. Es bedeutet für unsere Gleichung dritten Grades aber nur Folgendes: Wenn unsere Gleichung drei Lösungen,, hat, so können wir unsere Gleichung f ( ) = ³ ² + auch durch Multiplikation der Linearfaktoren erhalten. Also: ( ) ( ) ( ) ³ ² + = Nun ist uns die erste der drei Lösungen bereits bekannt. Wir bringen also deshalb den entsprechenden Linearfaktor auf die andere Gleichungsseite: ³ ² + = / ( ) ( ) ( ) ( ) : 7

8 ( ) ( ) ( ³ ² + ) : ( ) = Die obere Zeile sagt nun Folgendes aus: Wenn wir unsere Funktion durch dividieren, so erhalten wir eine einfachere Gleichung, in der die beiden übrigen Lösungen enthalten sein müssen. Wir schreiben nun die Division an: ( + ) : ( ) = Wie wir nun diese Polynomdivision durchführen müssen? Dazu sehen sie bitte in ihren Unterlagen aus dem. Semester, Arbeitsblatt 7 nach: ( ³ ² + ):( ) = ² ± ³ m ² ² + m ² ± + + Als Ergebnis haben wir nun eine quadratische Gleichung erhalten. In dieser müssen nun die restlichen Lösungen zu finden sein. Wir setzen also diesen Ausdruck gleich Null und berechnen die Lösungen: = ± = =,7 =, Die y-koordinate all dieser Punkte muss ja Null sein. Folglich erhalten wir die Nullstellen: N ( /) N (,7/) N (,7/) ) Etremwerte: f ( ) = Suchen jenen Punkte der Kurve, deren zugehörige Tangente eine waagrechte Tangente ist. Denn gerade diese Punkte sind die Hochund Tiefpunkte unserer Kurve. Waagrecht bedeutet, dass die Steigung k der Tangente gleich Null sein muss. Da die Steigung der Tangente gleich der Steigung der Funktion im Berührpunkt sein muss, suchen wir also jene Punkte der Funktion, in denen die Steigung der Funktion Null ist. Die Steigung der Funktion ist aber die erste Ableitung, d.h. f ( ) =!!! Wir bilden die erste Ableitung: f '( ) = 6 Nun schauen wir, bei welchem f () Null wird: 8

9 ² 6= ( ) = = oder = Um die y-koordinaten der Etrempunkte zu bekommen, muss man die -Werte in die Funktionsgleichung (Ausgangsgleichung) einsetzen, also: y = f () = ³ ² + = E (/ ) y = f () = ³ ² + = E ( / ) Nun müssen wir noch herausfinden, ob die errechneten Etrema Hochbzw. Tiefpunkte sind! Dazu benötigen wir die zweite Ableitung unserer Funktion (Wir differenzieren also die erste Ableitung): f ( ) = 6 6 Wenn nun f ( ) >, dann Tiefpunkt. Wenn f ( ) <, dann Hochpunkt!!! Wir überprüfen zunächst den ersten Etremwert. Dieser hat den -Wert, folglich berechnen wir f () (sprich: f zwei Strich an der Stelle Null )., d.h. wir setzen für Null ein: f ''() = 6 = 6 Wir bekommen einen Wert kleiner Null, folglich ist dieser Etremwert ein Hochpunkt: f ( ) = 6= 6< H (/ ) Nun überprüfen wir den zweiten Etremwert. Dieser ist an der Stelle =. Wir berechnen also f (): f ( ) = 6= 6> T ( / ) ) Wendepunkte: f ( ) = Wir setzen die zweite Ableitung der Funktion gleich Null, weil wir so all jene Punkte der Kurve ermitteln, die Krümmung gleich Null haben und die haben wir vorher als Wendepunkte definiert!!! Wir ermitteln zunächst die zweite Ableitung, indem wir f () noch einmal differenzieren: f ''( ) = 6 6 Nun setzen wir diese zweite Ableitung gleich Null: 6 6= = / + 6/ : 6 Die y-koordinate des Wendepunktes erhält man, indem wir wiederum in die Funktionsgleichung (f() = ³ ² + ) einsetzen, also f ( ) = ³ ² + = + = W (/ ) 9

10 4) Wendetangente(n): Gesucht ist die Gleichung der Tangente im Wendepunkt W(/). Jede Tangente ist auch nur eine Gerade. Sie muss also von der Form t w : y= k+ d sein Die Tangentengleichung ist dann bestimmt, wenn man k und d ermittelt hat!!! Wir ermitteln zunächst die Steigung k der Tangente. Die Steigung der Tangente muss ja gleich der Steigung der Funktion im Berührpunkt, also im Wendepunkt sein. Folglich ermitteln wir uns zunächst die Steigung der Funktion im Wendepunkt. Steigung bedeutet nichts anderes als f, der Wendepunkt ist an der Stelle =. Folglich benötigen wir f (). Wir nehmen die erste Ableitung der Funktion: f '( ) = 6 und setzen nun für = ein: f ( ) = 6= Die Funktion hat also im Wendepunkt die Steigung, dies muss aber auch die Steigung der Tangente sein. Wir wissen also: k = Damit wissen wir, dass die Tangente also t w : y= + d lautet. Nun müssen wir noch d berechnen. Dazu setzen wir die Koordinaten des Wendepunktes W(/) in die Tangentengleichung ein (Der Wendepunkt muss ja auch auf der Wendetangente liegen!!): = + d d= Also lautet die Tangentengleichung: t w : y= + Eigentlich müsste man noch die dritte Ableitung ermitteln, damit man sichergeht, dass wirklich ein Wendepunkt vorliegt und kein Flachpunkt! f ( ) = 6 W (/ ) ist tatsächlich ein Wendepunkt!!! Zeichnung: Nun folgt noch die Zeichnung: Dazu vermerken sie zunächst einmal die berechneten Punkte (Nullstellen, Etremwerte, Wendepunkte). Danach machen sie sich eine Wertetabelle und berechnen sich einige zusätzliche Punkte:

11 f() Bemerkungen - --+=- -,7 Nullstelle Hochpunkt Nullstelle, Wendepunkt - Tiefpunkt,7 Nullstelle Nun zeichnen sie die berechneten Punkte und tragen den Funktionsgraphen ein. Übung: Übungsblatt 5; Aufgaben 7